Անտագոնիստական ​​խաղեր շարունակական ռազմավարություններով: Մատրիցային անտագոնիստական ​​խաղերի լուծում Հակասական խաղերի լուծում առցանց

Կոչվում է երկու անձից բաղկացած զրոյական գումարով խաղ, որտեղ նրանցից յուրաքանչյուրն ունի ռազմավարությունների վերջավոր հավաքածու: Մատրիցային խաղի կանոնները որոշվում են վճարման մատրիցով, որի տարրերն են առաջին խաղացողի վճարումները, որոնք նաև երկրորդ խաղացողի կորուստներն են:

Մատրիցային խաղ անտագոնիստական ​​խաղ է: Առաջին խաղացողը ստանում է առավելագույն երաշխավորված (կախված չէ երկրորդ խաղացողի պահվածքից) վարձատրություն, որը հավասար է խաղի գնին, նմանապես, երկրորդ խաղացողը հասնում է նվազագույն երաշխավորված կորստի:

Տակ Ստրատեգիա հասկացվում է որպես կանոնների (սկզբունքների) մի շարք, որոնք որոշում են խաղացողի յուրաքանչյուր անձնական քայլի համար գործողությունների տարբերակի ընտրությունը՝ կախված ներկա իրավիճակից:

Հիմա ամեն ինչի մասին՝ կարգով և մանրամասն։

Վճարման մատրիցա, մաքուր ռազմավարություններ, խաղի գին

AT մատրիցային խաղ որոշվում են դրա կանոնները հատուցման մատրիցա .

Դիտարկենք մի խաղ, որտեղ կան երկու մասնակիցներ՝ առաջին խաղացողը և երկրորդ խաղացողը: Թող առաջին խաղացողը ունենա մմաքուր ռազմավարություններ, և երկրորդ խաղացողի տրամադրության տակ. nմաքուր ռազմավարություններ. Քանի որ խաղ է դիտարկվում, բնական է, որ այս խաղում լինում են հաղթանակներ և կորուստներ։

AT վճարման մատրիցա տարրերը թվեր են, որոնք արտահայտում են խաղացողների ձեռքբերումներն ու կորուստները: Հաղթանակներն ու կորուստները կարող են արտահայտվել միավորներով, փողերով կամ այլ միավորներով:

Եկեք ստեղծենք վճարման մատրիցա.

Եթե ​​առաջին խաղացողը ընտրի ես-րդ մաքուր ռազմավարությունը, իսկ երկրորդ խաղացողը ժ-րդ մաքուր ռազմավարությունը, ապա առաջին խաղացողի վարձատրությունն է աijմիավորներ, իսկ երկրորդ խաղացողի կորուստը նույնպես աijմիավորներ.

Որովհետեւ աij + (- ա ij) = 0, ապա նկարագրված խաղը զրոյական գումարով մատրիցային խաղ է։

Մատրիցային խաղի ամենապարզ օրինակը մետաղադրամ նետելն է: Խաղի կանոնները հետեւյալն են. Առաջին և երկրորդ խաղացողները մետաղադրամ են նետում, և արդյունքը գլուխներ կամ պոչեր է: Եթե ​​գլուխներն ու գլուխները կամ պոչերը կամ պոչերը գլորվում են միաժամանակ, ապա առաջին խաղացողը կշահի մեկ միավոր, իսկ մնացած դեպքերում նա կկորցնի մեկ միավոր (երկրորդ խաղացողը կշահի մեկ միավոր): Նույն երկու ռազմավարությունը գտնվում է երկրորդ խաղացողի տրամադրության տակ: Համապատասխան վճարման մատրիցը կլինի.

Խաղերի տեսության խնդիրն է որոշել առաջին խաղացողի ռազմավարության ընտրությունը, որը նրան կերաշխավորի առավելագույն միջին շահույթ, ինչպես նաև երկրորդ խաղացողի ռազմավարության ընտրությունը, որը կերաշխավորի նրան առավելագույն միջին կորուստ:

Ինչպե՞ս է ընտրվում ռազմավարությունը մատրիցային խաղում:

Եկեք նորից նայենք վճարման մատրիցային.

Նախ, մենք որոշում ենք առաջին խաղացողի վարձատրությունը, եթե նա օգտագործի եսմաքուր ռազմավարություն. Եթե ​​առաջին խաղացողը օգտագործում է ես-րդ մաքուր ռազմավարությունը, ապա տրամաբանական է ենթադրել, որ երկրորդ խաղացողը կկիրառի այնպիսի մաքուր ռազմավարություն, որի շնորհիվ առաջին խաղացողի վարձատրությունը կլինի նվազագույն: Իր հերթին, առաջին խաղացողը կկիրառի այնպիսի մաքուր ռազմավարություն, որը նրան կապահովի առավելագույն շահույթ: Այս պայմանների հիման վրա առաջին խաղացողի վճարումը, որը մենք նշում ենք որպես v1 , կոչվում է առավելագույն հաղթանակ կամ ավելի ցածր խաղի գին .

ժամը այս արժեքների համար առաջին խաղացողը պետք է գործի հետևյալ կերպ. Յուրաքանչյուր տողից դուրս գրեք նվազագույն տարրի արժեքը և դրանցից ընտրեք առավելագույնը: Այսպիսով, առաջին խաղացողի վարձատրությունը կլինի նվազագույնի առավելագույնը: Այստեղից էլ անունը՝ maximin win. Այս տարրի տողի համարը կլինի առաջին խաղացողի կողմից ընտրված մաքուր ռազմավարության թիվը:

Հիմա որոշենք երկրորդ խաղացողի կորուստը, եթե նա օգտագործի ժ-րդ ռազմավարությունը. Այս դեպքում առաջին խաղացողը օգտագործում է իր մաքուր ռազմավարությունը, որի դեպքում երկրորդ խաղացողի կորուստը կլինի առավելագույնը: Երկրորդ խաղացողը պետք է ընտրի այնպիսի մաքուր ռազմավարություն, որում նրա կորուստը կլինի նվազագույն: Երկրորդ խաղացողի կորուստը, որը մենք նշում ենք v2 , կոչվում է նվազագույն կորուստ կամ լավագույն խաղի գինը .

ժամը խաղի գնի վերաբերյալ խնդիրների լուծում և ռազմավարության որոշում Երկրորդ խաղացողի համար այս արժեքները որոշելու համար կատարեք հետևյալը. Յուրաքանչյուր սյունակից դուրս գրեք առավելագույն տարրի արժեքը և դրանցից ընտրեք նվազագույնը: Այսպիսով, երկրորդ խաղացողի կորուստը կլինի առավելագույնի նվազագույնը։ Այստեղից էլ անունը՝ նվազագույն շահույթ: Այս տարրի սյունակի համարը կլինի երկրորդ խաղացողի կողմից ընտրված մաքուր ռազմավարության թիվը: Եթե ​​երկրորդ խաղացողը օգտագործում է «մինիմաքս», ապա անկախ առաջին խաղացողի ռազմավարության ընտրությունից, նա առավելագույնը կպարտվի. v2 միավորներ.

Օրինակ 1

.

Շարքերի ամենափոքր տարրերից ամենամեծը 2-ն է, սա խաղի ավելի ցածր գինն է, առաջին շարքը համապատասխանում է դրան, հետևաբար, առաջին խաղացողի առավելագույն ռազմավարությունը առաջինն է: Սյունակների ամենամեծ տարրերից ամենափոքրը 5-ն է, սա խաղի վերին գինն է, երկրորդ սյունակը համապատասխանում է դրան, հետևաբար, երկրորդ խաղացողի նվազագույն ռազմավարությունը երկրորդն է:

Այժմ, երբ մենք սովորեցինք, թե ինչպես գտնել խաղի ստորին և վերին գինը, առավելագույն և նվազագույն ռազմավարությունները, ժամանակն է սովորել, թե ինչպես կարելի է պաշտոնապես նշանակել այս հասկացությունները:

Այսպիսով, առաջին խաղացողի երաշխավորված վճարը հետևյալն է.

Առաջին խաղացողը պետք է ընտրի մաքուր ռազմավարություն, որը նրան կապահովի նվազագույն վճարումների առավելագույնը: Այս շահույթը (առավելագույնը) նշվում է հետևյալ կերպ.

.

Առաջին խաղացողը օգտագործում է իր մաքուր ռազմավարությունը, որպեսզի երկրորդ խաղացողի կորուստը լինի առավելագույնը: Այս կորուստը սահմանվում է հետևյալ կերպ.

Երկրորդ խաղացողը պետք է ընտրի իր մաքուր ռազմավարությունը, որպեսզի նրա կորուստը նվազագույն լինի: Այս կորուստը (նվազագույնը) նշվում է հետևյալ կերպ.

.

Մեկ այլ օրինակ նույն շարքից.

Օրինակ 2Տրվում է մատրիցային խաղ՝ վճարման մատրիցով

.

Որոշեք առաջին խաղացողի առավելագույն ռազմավարությունը, երկրորդ խաղացողի նվազագույն ռազմավարությունը, խաղի ստորին և վերին գինը:

Լուծում. Վճարման մատրիցի աջ կողմում մենք գրում ենք ամենափոքր տարրերը նրա տողերում և նշում դրանց առավելագույնը, իսկ մատրիցի ներքևից՝ սյունակների ամենամեծ տարրերը և ընտրում դրանց նվազագույնը.

Շարքերի ամենափոքր տարրերից ամենամեծը 3-ն է, սա խաղի ավելի ցածր գին է, երկրորդ շարքը համապատասխանում է դրան, հետևաբար, առաջին խաղացողի առավելագույն ռազմավարությունը երկրորդն է: Սյունակների ամենամեծ տարրերից ամենափոքրը 5-ն է, սա խաղի վերին գինն է, առաջին սյունակը համապատասխանում է դրան, հետևաբար, երկրորդ խաղացողի նվազագույն ռազմավարությունը առաջինն է:

Թամբի կետը մատրիցային խաղերում

Եթե ​​խաղի վերին և ստորին գինը նույնն են, ապա մատրիցային խաղը համարվում է թամբի կետ: Ճիշտ է նաև հակառակը. եթե մատրիցային խաղն ունի թամբի կետ, ապա մատրիցային խաղի վերին և ստորին գները նույնն են: Համապատասխան տարրը և՛ ամենափոքրն է տողում, և՛ ամենամեծը սյունակում և հավասար է խաղի գնին։

Այսպիսով, եթե , ապա առաջին խաղացողի օպտիմալ մաքուր ռազմավարությունն է, և երկրորդ խաղացողի օպտիմալ մաքուր ռազմավարությունն է: Այսինքն, խաղի հավասար ցածր և վերին գները ձեռք են բերվում նույն զույգ ռազմավարությունների վրա:

Այս դեպքում մատրիցային խաղը լուծում ունի մաքուր ռազմավարությունների մեջ .

Օրինակ 3Տրվում է մատրիցային խաղ՝ վճարման մատրիցով

.

Լուծում. Վճարման մատրիցի աջ կողմում մենք գրում ենք ամենափոքր տարրերը նրա տողերում և նշում դրանց առավելագույնը, իսկ մատրիցի ներքևից՝ սյունակների ամենամեծ տարրերը և ընտրում դրանց նվազագույնը.

Խաղի ցածր գինը նույնն է, ինչ խաղի վերին գինը: Այսպիսով, խաղի գինը 5 է: Այսինքն. Խաղի գինը հավասար է թամբի կետի արժեքին։ Առաջին խաղացողի առավելագույն ռազմավարությունը երկրորդ մաքուր ռազմավարությունն է, իսկ երկրորդ խաղացողի նվազագույն ռազմավարությունը երրորդ մաքուր ռազմավարությունն է: Այս մատրիցային խաղը լուծում ունի մաքուր ռազմավարությունների մեջ:

Ինքներդ լուծեք մատրիցային խաղի խնդիրը, այնուհետև տեսեք լուծումը

Օրինակ 4Տրվում է մատրիցային խաղ՝ վճարման մատրիցով

.

Գտեք խաղի ստորին և վերին գինը: Այս մատրիցային խաղն ունի՞ թամբի կետ:

Մատրիցային խաղեր օպտիմալ խառը ռազմավարությամբ

Շատ դեպքերում մատրիցային խաղը չունի թամբի կետ, ուստի համապատասխան մատրիցային խաղը չունի զուտ ռազմավարական լուծումներ:

Բայց դա լուծում ունի օպտիմալ խառը ռազմավարություններում: Դրանք գտնելու համար պետք է ենթադրել, որ խաղը կրկնվում է այնքան անգամ, որ փորձից ելնելով կարելի է կռահել, թե որ ռազմավարությունն է նախընտրելի։ Ուստի որոշումը կապված է հավանականության և միջինի (ակնկալիքի) հայեցակարգի հետ։ Վերջնական լուծման մեջ կա և՛ թամբի կետի անալոգը (այսինքն՝ խաղի ստորին և վերին գների հավասարությունը), և՛ դրանց համապատասխան ռազմավարությունների անալոգը։

Այսպիսով, որպեսզի առաջին խաղացողը ստանա առավելագույն միջին շահույթ, իսկ երկրորդ խաղացողը ունենա նվազագույն միջին կորուստ, մաքուր ռազմավարություններ պետք է օգտագործվեն որոշակի հավանականությամբ:

Եթե ​​առաջին խաղացողը օգտագործում է զուտ ռազմավարություններ հավանականություններով , ապա վեկտորը կոչվում է առաջին խաղացողի խառը ռազմավարություն: Այսինքն՝ զուտ ռազմավարությունների «խառնուրդ» է։ Այս հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.

.

Եթե ​​երկրորդ խաղացողը օգտագործում է զուտ ռազմավարություններ հավանականություններով , ապա վեկտորը կոչվում է երկրորդ խաղացողի խառը ռազմավարություն: Այս հավանականությունների գումարը հավասար է մեկի.

.

Եթե ​​առաջին խաղացողը օգտագործում է խառը ռազմավարություն էջ, իսկ երկրորդ խաղացողը՝ խառը ռազմավարություն ք, ապա դա իմաստ ունի ակնկալվող արժեքը առաջին խաղացողը հաղթում է (երկրորդը պարտվում է): Այն գտնելու համար դուք պետք է բազմապատկեք առաջին խաղացողի խառը ռազմավարության վեկտորը (որը կլինի մեկ շարքի մատրիցա), վճարման մատրիցը և երկրորդ խաղացողի խառը ռազմավարության վեկտորը (որը կլինի մեկ սյունակ մատրիցա).

.

Օրինակ 5Տրվում է մատրիցային խաղ՝ վճարման մատրիցով

.

Որոշեք առաջին խաղացողի շահույթի մաթեմատիկական ակնկալիքը (երկրորդ խաղացողի կորուստը), եթե առաջին խաղացողի խառը ռազմավարությունը , իսկ երկրորդ խաղացողի խառը ռազմավարությունը .

Լուծում. Համաձայն առաջին խաղացողի շահույթի (երկրորդ խաղացողի կորստի) մաթեմատիկական ակնկալիքի բանաձևի, այն հավասար է առաջին խաղացողի խառը ռազմավարության վեկտորի, վճարման մատրիցայի և երկրորդ խաղացողի խառը ռազմավարության վեկտորի արտադրյալին.

Առաջին խաղացողը կոչվում է այնպիսի խառը ռազմավարություն, որը նրան կապահովի առավելագույն միջին շահույթ, եթե խաղը կրկնվի բավարար քանակությամբ անգամ:

Օպտիմալ խառը ռազմավարություն Երկրորդ խաղացողը կոչվում է այնպիսի խառը ռազմավարություն, որը նրան կապահովի նվազագույն միջին կորուստ, եթե խաղը կրկնվի բավարար քանակությամբ անգամ:

Մաքուր ռազմավարությունների դեպքում առավելագույն և մինիմաքս նշումների համեմատությամբ, օպտիմալ խառը ռազմավարությունները նշվում են հետևյալ կերպ (և կապված են մաթեմատիկական ակնկալիքի հետ, այսինքն՝ առաջին խաղացողի շահույթի և երկրորդ խաղացողի կորստի միջինի հետ).

,

.

Այս դեպքում՝ ֆունկցիայի համար Ե կա թամբի կետ , ինչը նշանակում է հավասարություն։

Օպտիմալ խառը ռազմավարություններ և թամբի կետ գտնելու համար, այսինքն. լուծել մատրիցային խաղը խառը ռազմավարություններով , պետք է մատրիցային խաղը կրճատել գծային ծրագրավորման խնդրի, այսինքն՝ օպտիմալացման խնդրի, և լուծել համապատասխան գծային ծրագրավորման խնդիրը։

Մատրիցային խաղի կրճատում մինչև գծային ծրագրավորման խնդիր

Մատրիցային խաղ խառը ռազմավարություններում լուծելու համար հարկավոր է ուղիղ գիծ կազմել գծային ծրագրավորման խնդիրև նրա երկակի խնդիրը. Երկակի խնդիրում ընդլայնված մատրիցը, որը պահպանում է սահմանափակումների համակարգում փոփոխականների գործակիցները, հաստատուն անդամները և նպատակային ֆունկցիայի փոփոխականների գործակիցները, փոխադրվում է։ Այս դեպքում սկզբնական խնդրի նպատակային ֆունկցիայի նվազագույնը կապված է երկակի խնդրի առավելագույնի հետ։

Նպատակային ֆունկցիան ուղիղ գծային ծրագրավորման հարցում.

.

Սահմանափակումների համակարգը գծային ծրագրավորման ուղղակի խնդրի մեջ.

Նպատակի գործառույթը երկակի խնդրի մեջ.

.

Սահմանափակումների համակարգը երկակի խնդրի մեջ.

Նշեք ուղիղ գծային ծրագրավորման խնդրի օպտիմալ պլանը

,

իսկ երկակի խնդրի օպտիմալ պլանը նշվում է

Համապատասխան օպտիմալ նախագծման գծային ձևերը կնշանակվեն և.

և դրանք պետք է գտնել որպես օպտիմալ պլանների համապատասխան կոորդինատների գումար:

Նախորդ բաժնի սահմանումներին և օպտիմալ պլանների կոորդինատներին համապատասխան՝ առաջին և երկրորդ խաղացողների հետևյալ խառը ռազմավարությունները վավեր են.

.

Մաթեմատիկոսներն ապացուցել են դա խաղի գինը Օպտիմալ հատակագծերի գծային ձևերով արտահայտվում է հետևյալ կերպ.

,

այսինքն՝ դա օպտիմալ պլանների կոորդինատների գումարների փոխադարձն է։

Մենք՝ պրակտիկանտներս, կարող ենք օգտագործել միայն այս բանաձևը՝ խառը ռազմավարություններով մատրիցային խաղեր լուծելու համար: Հավանել օպտիմալ խառը ռազմավարություններ գտնելու բանաձևեր համապատասխանաբար առաջին և երկրորդ խաղացողները.

որոնցում երկրորդ գործոնները վեկտորներն են: Օպտիմալ խառը ռազմավարությունները նույնպես վեկտորներ են, ինչպես մենք արդեն սահմանել ենք նախորդ պարբերությունում: Ուստի թիվը (խաղի գինը) բազմապատկելով վեկտորով (օպտիմալ պլանների կոորդինատներով) ստանում ենք նաև վեկտոր։

Օրինակ 6Տրվում է մատրիցային խաղ՝ վճարման մատրիցով

.

Գտեք խաղի գինը Վև օպտիմալ խառը ռազմավարություններ և.

Լուծում. Մենք կազմում ենք այս մատրիցային խաղին համապատասխան գծային ծրագրավորման խնդիրը.

Մենք ստանում ենք ուղղակի խնդրի լուծում.

.

Մենք գտնում ենք օպտիմալ պլանների գծային ձևը որպես գտնված կոորդինատների գումար:

Ուղարկել ձեր լավ աշխատանքը գիտելիքների բազայում պարզ է: Օգտագործեք ստորև բերված ձևը

Ուսանողները, ասպիրանտները, երիտասարդ գիտնականները, ովքեր օգտագործում են գիտելիքների բազան իրենց ուսումնառության և աշխատանքի մեջ, շատ շնորհակալ կլինեն ձեզ:

Ներածություն

1. Տեսական մաս

1.3 Խաղի պատվեր 2v2

1.4 Հանրահաշվական մեթոդ

1.5 Գրաֆիկական մեթոդ

1.6 Խաղեր 2xn կամ mx2

1.7 Խաղերի լուծում մատրիցային մեթոդով

2. Գործնական մաս

2.2 2xn և mx2 խաղեր

2.3 Մատրիցային մեթոդ

2.4 Բրաուն մեթոդ

Արդյունքների վերլուծություն

Ներածություն

Հակառակ խաղը զրոյական գումարով խաղ է: Անտագոնիստական ​​խաղը ոչ համագործակցային խաղ է, որին մասնակցում են երկու խաղացողներ, որոնց վարձատրությունը հակառակն է:

Ֆորմալ առումով, անտագոնիստական ​​խաղը կարող է ներկայացվել եռյակով , որտեղ X և Y-ը համապատասխանաբար առաջին և երկրորդ խաղացողների ռազմավարությունների բազմությունն են, F-ն առաջին խաղացողի վճարման ֆունկցիան է, որը կապում է ռազմավարությունների յուրաքանչյուր զույգ (x, y), որտեղ օգտակարին համապատասխանող իրական թիվ է։ առաջին խաղացողն է, որն իրացնում է այս իրավիճակը:

Քանի որ խաղացողների շահերը հակադիր են, F ֆունկցիան միաժամանակ ներկայացնում է երկրորդ խաղացողի կորուստը։

Պատմականորեն անտագոնիստական ​​խաղերը խաղերի տեսության մաթեմատիկական մոդելների առաջին դասն են, որոնք օգտագործվել են նկարագրելու համար. Դրամախաղ. Ենթադրվում է, որ այս հետազոտության առարկայի շնորհիվ խաղերի տեսությունը ստացել է իր անվանումը։ Ներկայումս անտագոնիստական ​​խաղերը համարվում են ոչ համագործակցային խաղերի ավելի լայն դասի մաս:

1. Տեսական մաս

1.1 Խաղի հիմնական սահմանումներ և դրույթներ

Խաղը բնութագրվում է կանոնների համակարգով, որը որոշում է խաղի մասնակիցների թիվը, նրանց հնարավոր գործողություններև շահումների բաշխում՝ կախված նրանց վարքագծից և արդյունքներից: Խաղացողը համարվում է խաղի մեկ մասնակից կամ մասնակիցների խումբ, որոնք իրենց համար ունեն ընդհանուր հետաքրքրություններ, որոնք չեն համընկնում այլ խմբերի շահերի հետ: Ուստի ամեն մասնակից չէ, որ խաղացող է համարվում։

Խաղի կանոնները կամ պայմանները որոշում են խաղացողների հնարավոր վարքագիծը, ընտրությունը և քայլերը խաղի զարգացման ցանկացած փուլում: Խաղացողի համար ընտրություն կատարելը նշանակում է կանգ առնել նրա վարքագծի հնարավորություններից մեկի վրա: Այնուհետև խաղացողը կատարում է այդ ընտրությունը շարժումներով: Շարժում կատարել նշանակում է խաղի որոշակի փուլում կատարել ընտրությունը ամբողջությամբ կամ մի մասով` կախված խաղի կանոններով նախատեսված հնարավորություններից: Յուրաքանչյուր խաղացող խաղի որոշակի փուլում կատարում է քայլ՝ ըստ կատարված ընտրության: Մյուս խաղացողը, իմանալով կամ չիմանալով առաջին խաղացողի ընտրության մասին, նույնպես քայլ է անում։ Խաղացողներից յուրաքանչյուրը փորձում է հաշվի առնել խաղի անցյալի զարգացման մասին տեղեկատվությունը, եթե նման հնարավորություն թույլատրվում է խաղի կանոններով։

Կանոնների մի շարք, որոնք միանշանակ ասում են խաղացողին, թե ինչ ընտրություն նա պետք է կատարի յուրաքանչյուր քայլի ժամանակ՝ կախված խաղի արդյունքում ստեղծված իրավիճակից, կոչվում է խաղացողի ռազմավարություն։ Ռազմավարությունը խաղերի տեսության մեջ նշանակում է խաղացողի համար գործողությունների որոշակի ամբողջական ծրագիր, որը ցույց է տալիս, թե ինչպես նա պետք է գործի խաղի զարգացման բոլոր հնարավոր դեպքերում: Ռազմավարություն նշանակում է խաղի զարգացման ցանկացած փուլում խաղացողին հասանելի տեղեկատվության ցանկացած վիճակի բոլոր ցուցումների ամբողջությունը: Սա արդեն ցույց է տալիս, որ ռազմավարությունները կարող են լինել լավ և վատ, հաջողակ և անհաջող և այլն:

Կլինի զրոյական գումարով խաղ, երբ նրա յուրաքանչյուր խաղում բոլոր խաղացողների վճարումների գումարը զրո է, այսինքն՝ զրոյական գումարով խաղում բոլոր խաղացողների ընդհանուր կապիտալը չի ​​փոխվում, այլ վերաբաշխվում է խաղացողների միջև։ կախված ստացված արդյունքներից: Այսպիսով, շատ տնտեսական և ռազմական իրավիճակներ կարող են դիտվել որպես զրոյական գումարով խաղեր:

Մասնավորապես, երկու խաղացողների զրոյական գումարով խաղը կոչվում է անտագոնիստ, քանի որ դրանում խաղացողների նպատակները ուղիղ հակառակն են. մի խաղացողի շահույթը տեղի է ունենում միայն մյուսի կորստի հաշվին:

1.1.1 Մատրիցային խաղերի սահմանում, օրինակներ և լուծումներ մաքուր ռազմավարություններում

Երկու խաղացողների զրոյական գումարով մատրիցային խաղը կարելի է դիտել որպես հետևյալ վերացական երկու խաղացողով խաղը:

Առաջին խաղացողն ունի m ռազմավարություն i =1, 2,…, m, երկրորդը ունի n ռազմավարություն j = 1, 2,…, n: Ռազմավարությունների յուրաքանչյուր զույգին (i, j) հատկացվում է a ij թիվ, որն արտահայտում է առաջին խաղացողի վճարումը երկրորդ խաղացողի հաշվին, եթե առաջին խաղացողը օգտագործում է իրը i-րդ ​​ռազմավարություն, իսկ երկրորդը՝ իր j-րդ ռազմավարությունը։

Խաղացողներից յուրաքանչյուրը կատարում է մեկ քայլ. առաջին խաղացողն ընտրում է իր i-րդ ռազմավարությունը (i = 1, 2, ..., m), երկրորդը: -- ձեր j-րդռազմավարություն (j = 1, 2,…, n), որից հետո առաջին խաղացողը ստանում է ij երկրորդ խաղացողի հաշվին (եթե ij է< 0, то это значит, что первый игрок платит второму сумму a ij). На этом игра заканчивается.

Խաղացողի յուրաքանչյուր ռազմավարություն i = 1, 2,…, t; j = 1, 2,…, n-ը հաճախ կոչվում է մաքուր ռազմավարություն:

Երկու խաղացողների զրոյական գումարով մատրիցային խաղը կկոչվի պարզապես մատրիցային խաղ: Ակնհայտ է, որ մատրիցային խաղը պատկանում է անտագոնիստական ​​խաղերին: Նրա սահմանումից հետևում է, որ մատրիցային խաղ սահմանելու համար բավական է նշել առաջին խաղացողի վճարումների m-ի կարգի A = (a ij) մատրիցը:

Հաշվի առնելով վճարման մատրիցը

այնուհետև մատրիցային խաղի յուրաքանչյուր խաղի կատարումը A մատրիցով կրճատվում է առաջին խաղացողի ընտրությամբ i-րդ ​​տող, և j-րդ սյունակի երկրորդ խաղացողի կողմից և առաջին խաղացողը (երկրորդի հաշվին) ստանում է A մատրիցում գտնվող i-րդ շարքի և j-րդ սյունակի հատման կետում գտնվող վճարումը:

Իրական կոնֆլիկտային իրավիճակը մատրիցային խաղի տեսքով պաշտոնականացնելու համար անհրաժեշտ է բացահայտել և վերահամարակալել յուրաքանչյուր խաղացողի մաքուր ռազմավարությունը և կազմել հատուցման մատրիցա:

Հաջորդ քայլը խաղացողների օպտիմալ ռազմավարության և վարձատրության որոշումն է:

Խաղերի ուսումնասիրության մեջ գլխավորը խաղացողների համար օպտիմալ ռազմավարության հայեցակարգն է: Այս հայեցակարգը ինտուիտիվորեն ունի հետևյալ իմաստը. խաղացողի ռազմավարությունը օպտիմալ է, եթե այս ռազմավարության կիրառումը նրան ապահովում է ամենամեծ երաշխավորված օգուտը մյուս խաղացողի բոլոր հնարավոր ռազմավարությունների համար: Ելնելով այս դիրքերից՝ առաջին խաղացողը ուսումնասիրում է իր վճարումների A մատրիցը (1.1) հետևյալ բանաձևի համաձայն. i (i = 1, 2, ..., m) յուրաքանչյուր արժեքի համար որոշվում է նվազագույն վճարման արժեքը՝ կախված. երկրորդ խաղացողի կողմից օգտագործվող ռազմավարությունների վրա

(i = 1, 2,..., մ) (1.2)

այսինքն՝ որոշվում է առաջին խաղացողի նվազագույն շահութաբերությունը, պայմանով, որ նա կիրառի իր i-րդ մաքուր ռազմավարությունը, ապա այս նվազագույն վճարումներից կգտնվի այնպիսի ռազմավարություն i=i 0, որի համար այս նվազագույն վճարումը կլինի առավելագույնը, այսինքն՝ գտնվի։

Սահմանում. (1.3) բանաձևով որոշված ​​b թիվը կոչվում է խաղի ավելի ցածր զուտ արժեքը և ցույց է տալիս, թե ինչ նվազագույն եկամուտ կարող է երաշխավորել առաջին խաղացողն իրեն՝ կիրառելով իր մաքուր ռազմավարությունը երկրորդ խաղացողի բոլոր հնարավոր գործողությունների համար:

Երկրորդ խաղացողն իր օպտիմալ պահվածքով պետք է ձգտի, հնարավորության դեպքում, նվազագույնի հասցնել առաջին խաղացողի վարձատրությունը իր ռազմավարությունների հաշվին: Հետեւաբար, երկրորդ խաղացողի համար մենք գտնում ենք

այսինքն՝ սահմանվում է առաջին խաղացողի առավելագույն վարձատրությունը՝ պայմանով, որ երկրորդ խաղացողը կիրառի իրը ժ-րդ մաքուրռազմավարությունը, այնուհետև երկրորդ խաղացողը գտնում է իր սեփական j = j 1 ռազմավարությունը, որի համար առաջին խաղացողը ստանում է նվազագույն վարձատրություն, այսինքն՝ գտնում է.

Սահմանում. (1.5) բանաձևով որոշված ​​β թիվը կոչվում է խաղի զուտ վերին արժեքը և ցույց է տալիս, թե ինչ առավելագույն շահույթ կարող է երաշխավորել առաջին խաղացողն իրեն իր ռազմավարության շնորհիվ: Այլ կերպ ասած, կիրառելով իր մաքուր ռազմավարությունները, առաջին խաղացողը կարող է ապահովել առնվազն b-ի շահույթ, իսկ երկրորդ խաղացողը, կիրառելով իր մաքուր ռազմավարությունները, կարող է կանխել առաջին խաղացողի շահումը c-ից ավելի:

Սահմանում. Եթե ​​A մատրիցով խաղում խաղի ստորին և վերին զուտ գները համընկնում են, այսինքն՝ b = c, ապա ասվում է, որ այս խաղը զուտ ռազմավարություններում ունի թամբի կետ և խաղի զուտ գին.

n = b = c (1.6)

Թամբի կետը համապատասխանաբար առաջին և երկրորդ խաղացողների զուտ ռազմավարությունների () զույգն է, որի ներքո հավասարություն է ձեռք բերվում:

Թամբի կետ հասկացությունն ունի հետևյալ նշանակությունը. եթե խաղացողներից մեկը հետևում է թամբի կետին համապատասխան ռազմավարությանը, ապա մյուս խաղացողը չի կարող ավելի լավ անել, քան հավատարիմ մնալ թամբի կետին համապատասխան ռազմավարությանը: Նկատի ունենալով, որ խաղացողի լավագույն վարքագիծը չպետք է հանգեցնի նրա վարձատրության նվազմանը, իսկ վատագույն պահվածքը կարող է հանգեցնել նրա վարձատրության նվազմանը, այս պայմանները կարելի է մաթեմատիկորեն գրել հետևյալ հարաբերությունների տեսքով.

որտեղ i, j-ը համապատասխանաբար առաջին և երկրորդ խաղացողների ցանկացած մաքուր ռազմավարություն են. (i 0, j 0) - թամբի կետ ձևավորող ռազմավարություններ: Ստորև մենք ցույց կտանք, որ թամբի կետի սահմանումը համարժեք է պայմաններին (1.8):

Այսպիսով, հիմնվելով (1.8) վրա, թամբի տարրը նվազագույնն է i 0-րդ շարքում և առավելագույնը j 0-րդ սյունակում A մատրիցով: A մատրիցի թամբի կետը գտնելը հեշտ է. մատրիցում: A, հաջորդաբար յուրաքանչյուր տողում, գտեք նվազագույն տարրը և ստուգեք, արդյոք այս տարրը առավելագույնն է իր սյունակում: Եթե ​​դա այդպիսին է, ապա դա թամբի տարր է, և դրան համապատասխանող ռազմավարությունների զույգը կազմում է թամբի կետ։ Առաջին և երկրորդ խաղացողների զուտ ռազմավարությունների զույգը (i 0, j 0), որոնք կազմում են թամբի կետ և թամբի տարր, կոչվում է խաղի լուծում:

Մաքուր ռազմավարությունները i 0 և j 0, որոնք կազմում են թամբի կետ, կոչվում են համապատասխանաբար առաջին և երկրորդ խաղացողների օպտիմալ մաքուր ռազմավարություններ:

Թեորեմ 1. Թող f (x, y) լինի x A և y B երկու փոփոխականների իրական ֆունկցիա և գոյություն ունի.

ապա b = c.

Ապացույց. Նվազագույնի և առավելագույնի սահմանումից հետևում է, որ

Քանի որ x-ը կամայական է (1.11), ապա

Անհավասարության աջ կողմում (1.12) y-ը կամայական է, ուստի

Ք.Ե.Դ.

Մասնավորապես, մատրիցը () f (x, y) ֆունկցիայի հատուկ դեպքն է, այսինքն, եթե դնենք x = i, y = j, = f (x, y), ապա թեորեմ 1-ից ստանում ենք, որ ցածրը. զուտ գինը չի գերազանցում խաղի վերին զուտ արժեքը մատրիցային խաղում:

Սահմանում. Թող f (x, y)-ը լինի x A և y B երկու փոփոխականների իրական ֆունկցիա: Կետը (x 0, y 0) կոչվում է թամբի կետ f (x, y) ֆունկցիայի համար, եթե գործում են հետևյալ անհավասարությունները.

f (x, y 0) f (x 0, y 0) f (x 0, y) (1.14)

ցանկացած x A-ի և y B-ի համար:

1.2 Օպտիմալ խառը ռազմավարություններ և դրանց հատկությունները

Մատրիցային խաղի ուսումնասիրությունը սկսվում է զուտ ռազմավարություններում իր թամբի կետը գտնելով: Եթե ​​մատրիցային խաղը զուտ ռազմավարություններում ունի թամբի կետ, ապա այս կետը գտնելով ավարտվում է խաղի ուսումնասիրությունը: Եթե ​​մատրիցային խաղում մաքուր ռազմավարություններում չկա թամբի կետ, ապա մենք կարող ենք գտնել այս խաղի ստորին և վերին մաքուր գները, որոնք ցույց են տալիս, որ առաջին խաղացողը չպետք է հույս ունենա խաղի վերին գնից ավելի մեծ վարձատրության վրա, և կարող է վստահ լինել, որ ստանում է ոչ պակաս վարձատրություն, քան խաղի ավելի ցածր գինը: Նման առաջարկությունները, որոնք վերաբերում են խաղացողների վարքագծին մատրիցային խաղում, առանց թամբի կետի մաքուր ռազմավարություններում, չեն կարող բավարարել հետազոտողներին և պրակտիկանտներին: Մատրիցային խաղերի լուծման բարելավումը պետք է փնտրել մաքուր ռազմավարությունների կիրառման գաղտնիության և խնջույքների տեսքով խաղերի կրկնվող կրկնության հնարավորության մեջ: Այսպես, օրինակ, խաղում են շախմատ, շաշկի, ֆուտբոլի մի շարք խաղեր, և ամեն անգամ խաղացողները կիրառում են իրենց ռազմավարությունը այնպես, որ մրցակիցները տեղյակ չեն դրանց բովանդակությունից և այդ ընթացքում միջին հաշվով որոշակի օգուտներ են ստանում. խաղալով խաղերի ամբողջ շարքը: Այս վճարումները միջին հաշվով ավելի մեծ են, քան խաղի ցածր գինը և ավելի քիչ, քան խաղի վերին գինը: Որքան մեծ է այս միջին արժեքը, այնքան ավելի լավ ռազմավարությունկիրառվել է խաղացողի կողմից: Ուստի գաղափար առաջացավ մաքուր ռազմավարություններ կիրառել պատահականորեն, որոշակի հավանականությամբ։ Սա լիովին ապահովում է դրանց օգտագործման գաղտնիությունը: Յուրաքանչյուր խաղացող կարող է փոխել իր մաքուր ռազմավարությունների կիրառման հավանականությունն այնպես, որ առավելագույնի հասցնի իր միջին եկամուտը և այդ ճանապարհին ձեռք բերի օպտիմալ ռազմավարություններ: Այս գաղափարը հանգեցրեց խառը ռազմավարության հայեցակարգին:

Սահմանում. Խաղացողի խառը ռազմավարությունը նրա մաքուր ռազմավարությունների կիրառման հավանականությունների ամբողջական փաթեթն է:

Այսպիսով, եթե առաջին խաղացողն ունի m մաքուր ռազմավարություններ 1, 2, … i, … m, ապա նրա խառը ռազմավարությունը x = (x 1 , x 2 , ..., x i ,…, x t ) բավարարող թվերի բազմություն է։ հարաբերությունները

x i 0 (i = 1, 2, ... , m), = 1. (1.15)

Նմանապես, երկրորդ խաղացողի համար, որն ունի n մաքուր ռազմավարություն, խառը ռազմավարությունը y-ը հարաբերությունները բավարարող y = (y 1 ,…, y j , … y n) թվերի բազմությունն է:

y j 0 (j = 1, 2, ... , n), = 1. (1.16)

Քանի որ ամեն անգամ, երբ խաղացողն օգտագործում է մեկ մաքուր ռազմավարություն, բացառում է մյուսի օգտագործումը, մաքուր ռազմավարություններն անհամատեղելի իրադարձություններ են: Բացի այդ, դրանք միակ հնարավոր իրադարձություններն են։

Ակնհայտ է, որ մաքուր ռազմավարությունը խառը ռազմավարության հատուկ դեպք է: Իսկապես, եթե խառը ռազմավարության մեջ որևէ մեկը i-րդ ​​ցանցռազմավարությունը կիրառվում է մեկ հավանականությամբ, ապա մնացած բոլոր մաքուր ռազմավարությունները չեն կիրառվում: Եվ այս i-րդ մաքուր ռազմավարությունը խառը ռազմավարության հատուկ դեպք է: Գաղտնիությունը պահպանելու համար յուրաքանչյուր խաղացող կիրառում է իր ռազմավարությունը՝ անկախ մյուս խաղացողի ընտրությունից:

Սահմանում. Ա մատրիցով մատրիցային խաղում առաջին խաղացողի միջին վճարումը արտահայտվում է որպես նրա վճարումների մաթեմատիկական ակնկալիք

E (A, x, y) = (1.20)

Ակնհայտ է, որ առաջին խաղացողի միջին վճարումը x և y փոփոխականների երկու խմբերի ֆունկցիա է: Առաջին խաղացողը նպատակ ունի առավելագույնի հասցնել իր միջին եկամուտը E (A, x, y)՝ փոխելով իր խառը ռազմավարությունները x, իսկ երկրորդ խաղացողը ձգտում է E (A, x, y) դարձնել նվազագույն՝ իր խառը ռազմավարությունների միջոցով, այսինքն՝ e. Խաղը լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել այնպիսի x, y, որի համար հասնում է խաղի վերին գինը։

1.3 Պատվիրեք 22 խաղ

22 կարգի մատրիցային խաղը տրվում է հետևյալ վճարման մատրիցով առաջին խաղացողի համար.

Այս խաղի լուծումը պետք է սկսվի զուտ ռազմավարությունների մեջ թամբի կետ գտնելով: Այդ նպատակով առաջին շարքում գտեք նվազագույն տարրը և ստուգեք՝ արդյոք այն առավելագույնն է իր սյունակում: Եթե ​​նման տարր չի գտնվել, ապա նույն կերպ ստուգվում է երկրորդ տողը։ Եթե ​​նման տարր է հայտնաբերվել երկրորդ տողում, ապա դա թամբի տարր է։

Գտնելով թամբի տարրը, եթե այդպիսին կա, ավարտվում է դրա լուծումը գտնելու գործընթացը, քանի որ այս դեպքում հայտնաբերվում է խաղի գինը՝ թամբի տարրը և թամբի կետը, այսինքն՝ առաջինի և երկրորդի համար մաքուր ռազմավարությունների զույգը։ խաղացողներ, որոնք կազմում են օպտիմալ մաքուր ռազմավարություններ: Եթե ​​մաքուր ռազմավարություններում չկա թամբի կետ, ապա խառը ստրատեգիաներում անհրաժեշտ է գտնել թամբի կետ, որն անպայման գոյություն ունի մատրիցային խաղերի հիմնական թեորեմի համաձայն։

Նշեք x=(x 1 ,x 2), y=(y 1 ,y 2) համապատասխանաբար առաջին և երկրորդ խաղացողների խառը ռազմավարությունները։ Հիշեք, որ x 1-ը նշանակում է առաջին խաղացողի իր առաջին ռազմավարությունն օգտագործելու հավանականությունը, իսկ x 2 \u003d 1 - x 1-ը իր երկրորդ ռազմավարությունն օգտագործելու հավանականությունն է: Նմանապես երկրորդ խաղացողի համար. 1 - առաջին ռազմավարության օգտագործման հավանականությունը, y 2 = 1 - 1 - երկրորդ ռազմավարության օգտագործման հավանականությունը:

Համաձայն թեորեմի հետևության՝ x և y խառը ռազմավարությունների օպտիմալության համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ ոչ բացասական x 1, x 2, y 1, y 2-ի համար պահպանվեն հետևյալ հարաբերությունները.

Այժմ մենք ցույց ենք տալիս, որ եթե մատրիցային խաղը չունի զուտ ռազմավարություններ, ապա այս անհավասարությունները պետք է վերածվեն հավասարության.

Իսկապես. Թող խաղը զուտ ռազմավարություններում թամբի կետ չունենա, ապա խառը ռազմավարությունների օպտիմալ արժեքները բավարարում են անհավասարությունները

0<<1, 0<< 1,

0< <1, 01. (1.25)

Ենթադրենք, որ (1.22) երկու անհավասարություններն էլ խիստ են

ապա, ըստ թեորեմի, y 1 = y 2 = 0, որը հակասում է պայմաններին (1.25):

Նմանապես կարելի է ապացուցել, որ (1.23) երկու անհավասարությունները չեն կարող խիստ անհավասարություններ լինել:

Հիմա ենթադրենք, որ անհավասարություններից մեկը (1.22) կարող է խիստ լինել, օրինակ՝ առաջինը

Սա նշանակում է, որ ըստ թեորեմի y 1 = 0, y 2 =1: Հետևաբար, (1.23)-ից մենք ստանում ենք

Եթե ​​երկու անհավասարություններն էլ (1.24) խիստ են, ապա x1 = x2 = 0 թեորեմով, որը հակասում է (1.25): Բայց եթե 12 a 22 է, ապա անհավասարություններից մեկը (1.27) խիստ է, իսկ մյուսը հավասարություն է: Ավելին, հավասարությունը կպահպանվի 12-ից և 22-ից ավելի մեծ տարրի համար, այսինքն՝ (1.27)-ից մեկ անհավասարությունը պետք է խիստ լինի: Օրինակ 12< а 22 . Тогда справедливо а 12 < v, а это равносильно тому, что первое неравенство из (1.24) строгое. Тогда согласно теореме должно х 1 = 0, что противоречит условию (1.25). Если а 12 = а 22 , то оба неравенства (1.27) превращаются в равенства и тогда можно положить х 1 = 0, что противоречит (1.25). Итак, предположение о том, что первое неравенство из (1.22) может быть строгим, не справедливо. Аналогично можно показать, что второе неравенство из (1.22) также не может быть строгим.

Այսպիսով, ցույց է տրվում, որ եթե մատրիցային խաղը զուտ ռազմավարություններում չունի թամբի կետ, ապա անհավասարությունները (1.22) վերածվում են հավասարությունների առաջին խաղացողի օպտիմալ ռազմավարությունների համար: Նմանատիպ փաստարկները անհավասարությունների վերաբերյալ (1.23) կհանգեցնեն նրան, որ այս դեպքում անհավասարությունները (1.23) պետք է լինեն հավասարություններ։

Այսպիսով, եթե 22 կարգի մատրիցային խաղը չունի թամբի կետ, ապա խաղացողների օպտիմալ խառը ռազմավարությունները և խաղի գինը կարող են որոշվել՝ լուծելով հավասարումների համակարգը (1.24): Սահմանված է նաև, որ եթե 2x2 մատրիցային խաղում խաղացողներից մեկն ունի օպտիմալ մաքուր ռազմավարություն, ապա մյուս խաղացողը նույնպես ունի օպտիմալ մաքուր ռազմավարություն:

Հետևաբար, եթե մատրիցային խաղը մաքուր ռազմավարություններում չունի թամբի կետ, ապա այն պետք է լուծում ունենա խառը ռազմավարություններում, որոնք որոշվում են (1.24) հավասարումներով: Համակարգային լուծում (1.25)

1.4 Հանրահաշվական մեթոդ

Հանրահաշվական մեթոդով խնդիրները լուծելու երկու դեպք կա.

1. մատրիցն ունի թամբի կետ;

2. մատրիցը չունի թամբի կետ:

Առաջին դեպքում լուծումը մի զույգ ռազմավարություն է, որը կազմում է խաղի թամբի կետը: Դիտարկենք երկրորդ դեպքը. Այստեղ լուծումները պետք է փնտրել խառը ռազմավարություններում.

Գտեք ռազմավարություններ և Երբ առաջին խաղացողը օգտագործում է իր օպտիմալ ռազմավարությունը, երկրորդ խաղացողը կարող է, օրինակ, կիրառել երկու այդպիսի մաքուր ռազմավարություն

Միևնույն ժամանակ, սեփականության ուժով, եթե խաղացողներից մեկն օգտագործում է օպտիմալ խառը ռազմավարությունը, իսկ մյուսը` ցանկացած մաքուր, ընդգրկված իր օպտիմալ խառը ռազմավարության մեջ ոչ զրոյական հավանականությամբ, ապա վճարման մաթեմատիկական ակնկալիքը միշտ. մնում է անփոփոխ և հավասար է խաղի գնին, այսինքն.

Վճարը այս դեպքերից յուրաքանչյուրում պետք է հավասար լինի V խաղի արժեքին: Այս դեպքում վավեր են հետևյալ հարաբերությունները.

Երկրորդ խաղացողի օպտիմալ ռազմավարության համար կարող է ստեղծվել նաև (2.5), (2.6) հավասարումների համակարգ.

Հաշվի առնելով նորմալացման պայմանը.

Եկեք միասին լուծենք (1.37) - (1.41) հավասարումը անհայտների նկատմամբ, և ոչ բոլորը միանգամից, այլ երեքը միանգամից՝ առանձին (1.36), (1.38), (1.40) և (1.37), (1.39) , (1.41). Լուծման արդյունքում մենք ստանում ենք.

1.5 Գրաֆիկական մեթոդ

22 խաղի մոտավոր լուծումը կարելի է բավականին հեշտությամբ ստանալ՝ օգտագործելով գրաֆիկական մեթոդը։ Դրա էությունը հետևյալն է.

Նկար 1.1 - միավորի երկարության հատվածի հայտնաբերում

Ընտրեք միավորի երկարության հատվածը աբսցիսայի առանցքի վրա: Դրա ձախ ծայրում պատկերված կլինի առաջին խաղացողի ռազմավարությունը, իսկ երկրորդի աջ ծայրը: Բոլոր միջանկյալ կետերը համապատասխանում են առաջին խաղացողի խառը ռազմավարություններին, և կետից աջ հատվածի երկարությունը հավասար է առաջին ռազմավարության օգտագործման հավանականությանը, իսկ ձախ հատվածի երկարությունը՝ օգտագործման հավանականությանը։ երկրորդ ռազմավարությունը առաջին խաղացողի կողմից:

Իրականացվում է I-I և II-II երկու առանցք: I-I-ում մենք կհետաձգենք վճարումը, երբ առաջին խաղացողը օգտագործի առաջին ռազմավարությունը, II-II-ում, երբ նա օգտագործի երկրորդ ռազմավարությունը: Թող, օրինակ, երկրորդ խաղացողը կիրառի իր առաջին ռազմավարությունը, այնուհետև արժեքը պետք է գծագրվի I-I առանցքի վրա, իսկ արժեքը՝ II-II առանցքի վրա:

Առաջին խաղացողի ցանկացած խառը ռազմավարության համար նրա վարձատրությունը կորոշվի սեգմենտի չափով: I-I տողը համապատասխանում է երկրորդ խաղացողի կողմից առաջին ռազմավարության կիրառմանը, մենք այն կանվանենք երկրորդ խաղացողի առաջին ռազմավարություն։ Երկրորդ խաղացողի երկրորդ ռազմավարությունը կարող է կառուցվել նույն կերպ: Այնուհետև, ընդհանուր առմամբ, խաղի մատրիցայի գրաֆիկական ցուցադրումը կունենա հետևյալ ձևը.

Նկար 1.2 - գտնել խաղի գինը

Սակայն պետք է նշել, որ այս շինարարությունն իրականացվել է առաջին խաղացողի համար։ Այստեղ հատվածի երկարությունը հավասար է V խաղի արժեքին։

1N2 գիծը կոչվում է վճարման ստորին գիծ: Այստեղ հստակ երևում է, որ N կետը համապատասխանում է առաջին խաղացողի երաշխավորված վարձատրության առավելագույն արժեքին:

Ընդհանուր առմամբ, երկրորդ խաղացողի ռազմավարությունը նույնպես կարելի է որոշել այս ցուցանիշից, օրինակ՝ նման ձևերով։ I-I առանցքի վրա.

կամ II-II առանցքի վրա

Այնուամենայնիվ, երկրորդ խաղացողի ռազմավարությունը նույնպես կարող է սահմանվել այնպես, ինչպես դա արվում է առաջին խաղացողի համար, այսինքն. կառուցել նման աղյուսակ.

Նկար 1.3 - երկրորդ խաղացողի ռազմավարության սահմանում

Այստեղ 1N2 տողը կորստի վերին սահմանն է։ N կետը համապատասխանում է երկրորդ խաղացողի նվազագույն հնարավոր կորստին, և դա որոշում է ռազմավարությունը:

Կախված գործակիցների հատուկ արժեքներից, գրաֆիկական մատրիցները կարող են ունենալ նաև այլ ձև, օրինակ՝ հետևյալ կերպ.

Նկար 1.4 - որոշում է առաջին խաղացողի օպտիմալ ռազմավարությունը

Նման իրավիճակում առաջին խաղացողի օպտիմալ ռազմավարությունը մաքուր է.

1.6 Խաղեր 2n կամ m2

2n կարգի խաղերում առաջին խաղացողն ունի 2 մաքուր ռազմավարություն, իսկ երկրորդ խաղացողը՝ n մաքուր ռազմավարություն, այսինքն. Առաջին խաղացողի համար վճարման մատրիցը հետևյալն է.

Եթե ​​նման խաղը թամբի կետ ունի, ապա հեշտ է գտնել այն և լուծում ստանալ:

Ենթադրենք, խաղն ունի թամբի կետեր: Այնուհետև անհրաժեշտ է գտնել այնպիսի խառը ռազմավարություններ և, համապատասխանաբար, առաջին և երկրորդ խաղացողները և v խաղի գինը, որոնք բավարարում են հարաբերությունները.

Քանի որ խաղը չունի թամբի կետ, անհավասարությունը (1.54) փոխարինվում է անհավասարություններով.

(1.56), (1.55), (1.53) համակարգերը լուծելու համար նպատակահարմար է օգտագործել գրաֆիկական մեթոդը։ Այդ նպատակով ներկայացնում ենք անհավասարության ձախ կողմի նշումը (1.53)

մատրիցային խաղի մաթեմատիկական մոդել

կամ, սահմանելով (1.55)-ից և կատարելով պարզ փոխակերպումներ, մենք ստանում ենք

որտեղ է առաջին խաղացողի միջին վարձատրությունը, պայմանով, որ նա օգտագործում է իր խառը ռազմավարությունը, իսկ երկրորդը՝ իր j-րդ մաքուր ռազմավարությունը:

Ըստ արտահայտության՝ j=1, 2, …, n յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգի ուղիղ գծի։

Երկրորդ խաղացողի նպատակն է նվազագույնի հասցնել առաջին խաղացողի վարձատրությունը՝ ընտրելով նրա ռազմավարությունը: Հետևաբար, մենք հաշվարկում ենք

որտեղ է սահմանափակումների հավաքածուի ստորին սահմանը: Նկար 1.6-ում ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է հաստ գծով:

Տեղակայված է http://www.allbest.ru/ կայքում

Նկար 1.6 - ֆունկցիայի գրաֆիկ

Առաջին խաղացողի նպատակն է առավելագույնի հասցնել իր վարձատրությունը ընտրության միջոցով, այսինքն. հաշվարկել

Նկար 1.6-ում կետը նշանակում է առավելագույն արժեքը, որը ստացվել է: Խաղի գինը, քանի որ.

Այսպիսով, գրաֆիկորեն որոշվում են առաջին խաղացողի օպտիմալ խառը ռազմավարությունը և երկրորդ խաղացողի զուտ ռազմավարությունները, որոնք խաչմերուկում մի կետ են կազմում:Նկար 1.6-ում ներկայացված են երկրորդ խաղացողի 2-րդ և 3-րդ ռազմավարությունները: Նման ռազմավարությունների համար անհավասարությունները (1.53) վերածվում են հավասարության։ Նկար 1.6-ում սրանք j=2, j=3 ռազմավարություններ են:

Այժմ մենք կարող ենք լուծել հավասարումների համակարգը

և ճշգրիտ որոշել և արժեքները (գրաֆիկորեն դրանք որոշվում են մոտավորապես): Այնուհետև դնելով բոլոր արժեքները այն j-ների վրա, որոնց համար դրանք կետ չեն կազմում, լուծելով հավասարումների համակարգը (1.56) Նկար 1.6-ում ներկայացված օրինակի համար սա հետևյալ համակարգն է.

իսկ մնացածը Այս համակարգը կարող է լուծվել թեքությամբ, եթե որոշ j=j 0-ի համար երկրորդ խաղացողի ռազմավարությունները կազմում են M 0 կետ, ապա սահմանափակումների բազմությունների ստորին սահմանի առավելագույն արժեքը ներկայացված է հատվածին զուգահեռ. առանցքը Այս դեպքում առաջին խաղացողն ունի անսահման շատ օպտիմալ արժեքներ և խաղի գինը: երկրորդ խաղացողն ունի մաքուր օպտիմալ ռազմավարություն j=j 0:

Մ2 կարգի մատրիցային խաղերը նույնպես լուծվում են գրաֆիկական մեթոդով։ Առաջին խաղացողի վճարման մատրիցան այս դեպքում ունի ձև

Առաջին և երկրորդ խաղացողների խառը ռազմավարությունները, համապատասխանաբար, սահմանվում են այնպես, ինչպես 2n կարգի խաղերի դեպքում։ Թող 0-ից մինչև 1 արժեքը գծագրվի հորիզոնական առանցքի երկայնքով՝ առաջին խաղացողի միջին վճարման արժեքը ուղղահայաց առանցքի վրա, այն պայմաններում, երբ առաջին խաղացողը կիրառի իր մաքուր i-րդ ռազմավարությունը (i=1, 2, ..., մ), երկրորդը `նրա խառը ռազմավարությունը (y 1, 1- y 1) =y: Օրինակ, երբ m=4 գրաֆիկորեն) կարելի է ներկայացնել այնպես, ինչպես ցույց է տրված Նկար 1.7-ում:

Նկար 1.7 - ֆունկցիայի գրաֆիկ)

Առաջին խաղացողը փորձում է առավելագույնի հասցնել իր միջին եկամուտը, ուստի փորձում է գտնել

Ֆունկցիան ցուցադրվում է որպես հաստ գիծ և ներկայացնում է սահմանափակումների հավաքածուի վերին սահմանը: Երկրորդ խաղացողը փորձում է նվազագույնի հասցնել՝ ընտրելով իր ռազմավարությունը, այսինքն. արժեքը համապատասխանում է

Նկարում արժեքը նշվում է կետով: Այլ կերպ ասած, սահմանվում են առաջին խաղացողի այնպիսի երկու ռազմավարություններ և հավանականություն երկրորդ խաղացողի համար, որոնց համար հավասարություն է ձեռք բերվում.

Նկարից տեսնում ենք, որ խաղի գինը կետի օրդինատն է, հավանականությունը՝ կետի աբսցիսա։ Մնացած մաքուր ռազմավարությունների համար առաջին խաղացողը օպտիմալ խառը ռազմավարության մեջ պետք է ().

Այսպիսով, լուծելով համակարգը (1.69), մենք ստանում ենք երկրորդ խաղացողի օպտիմալ ռազմավարությունը և խաղի արժեքը: Մենք գտնում ենք առաջին խաղացողի համար օպտիմալ խառը ռազմավարությունը՝ լուծելով հավասարումների հետևյալ համակարգը.

1.7 Խաղերի լուծման մատրիցային մեթոդ

Նշումներ:

Պատվերի մատրիցայի ցանկացած քառակուսի ենթամատրիցան

Մատրիցա (1);

Մատրիցա տեղափոխվում է;

B-ին կցված մատրիցա;

- (1) X-ից ստացված մատրիցա՝ ջնջելով այն տարրերը, որոնք համապատասխանում են ստացվելիս ջնջված տողերին.

- (1) մատրիցա, որը ստացվում է այն տարրերի ջնջումից, որոնք համապատասխանում են ստացվելուց ջնջված տողերին:

Ալգորիթմ:

1. Ընտրեք կարգի մատրիցի քառակուսի ենթամատրիցան () և հաշվարկեք

2. Եթե մի քանիսը կամ, ապա նետեք հայտնաբերված մատրիցը և փորձեք մեկ այլ մատրիցով:

3. Եթե (), (), մենք հաշվարկում և կառուցում ենք X և և-ից՝ համապատասխան տեղերում զրոներ ավելացնելով։

Ստուգում, թե արդյոք անհավասարությունները բավարարված են

յուրաքանչյուրի համար (1,75)

և անհավասարություններ

յուրաքանչյուրի համար (1.76)

Եթե ​​գործակիցներից մեկը չի բավարարվում, ապա մենք փորձում ենք մյուսը։ Եթե ​​բոլոր հարաբերությունները վավեր են, ապա X, և ցանկալի լուծումները:

1.8 Խաղի գնի հաջորդական մոտարկման մեթոդը

Խաղային իրավիճակների ուսումնասիրության ժամանակ հաճախ կարող է պատահել, որ խաղի ճշգրիտ լուծում գտնելու անհրաժեշտություն չլինի կամ, ինչ-ինչ պատճառներով, անհնար է կամ շատ դժվար է գտնել խաղի արժեքի ճշգրիտ արժեքը և օպտիմալ խառը ռազմավարությունները: Այնուհետև կարող եք օգտագործել մատրիցային խաղը լուծելու մոտավոր մեթոդներ:

Եկեք նկարագրենք այս մեթոդներից մեկը՝ խաղի գնի հաջորդական մոտարկման մեթոդը։ Մեթոդով հաշվարկված հատուցումների քանակը մոտավորապես մեծանում է հատուցման մատրիցայի տողերի և սյունակների թվին համամասնորեն:

Մեթոդի էությունը հետևյալն է՝ մտավոր խաղը բազմիցս է խաղում, այսինքն. հաջորդաբար, յուրաքանչյուր խաղի խաղում խաղացողն ընտրում է այն ռազմավարությունը, որը նրան տալիս է ամենամեծ ընդհանուր (ընդհանուր) վարձատրությունը:

Որոշ խաղերի նման իրականացումից հետո այն հաշվարկում է առաջին խաղացողի հաղթանակի և երկրորդ խաղացողի կորստի միջին արժեքը, և նրանց թվաբանական միջինը վերցվում է որպես խաղի գնի մոտավոր արժեք: Մեթոդը հնարավորություն է տալիս գտնել երկու խաղացողների օպտիմալ խառը ռազմավարությունների մոտավոր արժեքը. անհրաժեշտ է հաշվարկել յուրաքանչյուր մաքուր ռազմավարության կիրառման հաճախականությունը և այն ընդունել որպես մոտավոր արժեք համապատասխան խաղացողի օպտիմալ խառը ռազմավարության մեջ:

Կարելի է ապացուցել, որ ծրագրային խաղերի քանակի անսահմանափակ աճով, առաջին խաղացողի միջին շահույթը և երկրորդ խաղացողի միջին կորուստը անորոշ ժամանակով կմոտենան խաղի գնին և խառը ռազմավարությունների մոտավոր արժեքներին: Այն դեպքը, երբ խաղի լուծումը եզակի է, հակված կլինի յուրաքանչյուր խաղացողի օպտիմալ խառը ռազմավարություններին: Ընդհանուր առմամբ, նշված արժեքներից բարձր արժեքների մոտարկումը իրական արժեքներին դանդաղ է ընթանում: Այնուամենայնիվ, այս գործընթացը կարող է հեշտությամբ մեքենայացվել և այդպիսով օգնել խաղի լուծում ստանալ անհրաժեշտ աստիճանի ճշգրտությամբ նույնիսկ համեմատաբար մեծ կարգի վճարման մատրիցներով:

2. Գործնական մաս

Զույգը որոշում է, թե որտեղ գնալ զբոսնելու և ժամանակ անցկացնել երկուսի օգտին:

Աղջիկը որոշում է զբոսնել այգում՝ մաքուր օդ ընդունելու, երեկոյան գնալ մոտակա կինոթատրոնում ֆիլմ դիտելու։

Տղան առաջարկում է գնալ տեխնոպարկ՝ կենտրոնական մարզադաշտում տեղի ակումբի ֆուտբոլիստների հանդիպումը դիտելուց հետո։

Դրան համապատասխան, դուք պետք է պարզեք, թե որքան ժամանակ է հասնելու խաղացողներից մեկի նպատակին: Վճարման մատրիցը կունենա հետևյալ տեսքը.

Աղյուսակ 1. Վճարման մատրիցա

1 2-ից ի վեր, այս խաղում ակնհայտորեն զուտ ռազմավարություններում ոչ մի կետ չկա: Հետևաբար, մենք օգտագործում ենք հետևյալ բանաձևերը և ստանում ենք.

Տեղակայված է http://www.allbest.ru/ կայքում

2.2 Նվագարկում 2xn և mx2

Խնդիր 1 (2xn)

Չոր և խոնավ կլիմայի համար աճեցվում է երկու մշակաբույս:

Իսկ բնության վիճակը կարելի է համարել՝ չոր, թաց, չափավոր։

Տեղակայված է http://www.allbest.ru/ կայքում

M()-ի առավելագույն արժեքը հասնում է M կետում, որը ձևավորվում է j=1, j"=2-ին համապատասխանող գծերի հատումից: Հետևաբար, մենք ենթադրում ենք.

Խնդիր 2 (mx2)

Տղան ու աղջիկը տարբերակներ են դիտարկում, թե ուր գնալ հանգստյան օրերին:

Հանգստի վայրի ընտրությունը կարելի է ներկայացնել որպես այգի, կինոթատրոն, ռեստորան։

Տեղակայված է http://www.allbest.ru/ կայքում

M()-ի առավելագույն արժեքը ձեռք է բերվում E կետում, որը ձևավորվում է j=1, j"=2-ին համապատասխանող գծերի հատումից: Հետևաբար, մենք ենթադրում ենք.

v արժեքը որոշելու համար անհրաժեշտ է լուծել հետևյալ հավասարումները.

2.5 Մատրիցային մեթոդ

Երկու մրցակից ռեստորաններ (սննդի կազմակերպություններ) մատուցում են ծառայությունների հետևյալ փաթեթները. Առաջին ռեստորանը գտնվում է կենտրոնում, իսկ մյուսը՝ քաղաքի ծայրամասում։

Կենտրոնական ռեստորանը ներառում է հետևյալ ծառայությունները.

1) ավելի թանկ և ավելի լավ հաճախորդների սպասարկում.

2) ճաշատեսակները կենտրոնացած են ֆրանսիական խոհանոցի վրա.

Երկրորդ ռեստորանը տրամադրում է.

1) ոչ թանկ և որակյալ սպասարկում.

2) ճաշացանկը միավորում է աշխարհի տարբեր հայտնի խոհանոցները.

3) նաև կանոնավոր ակցիաներ և զեղչեր.

4) իրականացնում է առաքում և ընդունում է տուն առաքման պատվերներ.

Առաջադրանքին համապատասխան՝ մեկ օրվա շահույթը երկու ռեստորանների միջև կբաշխվի հետևյալ կերպ.

Աղյուսակ 2. Վճարման մատրիցա

Մատրիցային ձևով խաղի լուծում.

Գոյություն ունեն վեց ենթամատրիսներ և.

Դիտարկենք մատրիցը.

x 1 =? 0,x2=? 0

Քանի որ x 2 =< 0, то мы отбрасываем.

Այժմ հաշվի առեք մատրիցը.

x 1 =? 0,x2=? 0

Խաղի գինը.

Այս հարաբերակցությունը հակասում է պահանջին, ուստի այն հարմար չէ։

Այժմ հաշվի առեք մատրիցը.

x 1 = , x 2 = ? 0,

y 1 =< 0, y 2 = ? 0.

Քանի որ y 1 =< 0, то мы отбрасываем и.

Այժմ հաշվի առեք մատրիցը.

x 1 \u003d, x 2 \u003d 0, քանի որ x 2 \u003d 0, այնուհետև մենք մերժում ենք և.

Այժմ հաշվի առեք մատրիցը.

x 1 = , x 2 = ? 0. Քանի որ x 1 \u003d 0, ապա մենք մերժում ենք և.

Այժմ հաշվի առեք մատրիցը.

x 1 = , x 2 =, y 1 = , y 2 =, ապա մենք շարունակում ենք հետագա.

x 1 = , x 2 =, y 1 = , y 2 = կամ

Խաղի գինը.

Այժմ ստուգվում են հիմնական հարաբերությունները.

Տեղակայված է http://www.allbest.ru/ կայքում

Պատասխան՝ x 1 =, x 2 =, y 1 =, y 2 =, y 3 =0, y 4 =0,.

Շագանակագույն մեթոդ

Որոշակի ընկերության աշխատողների խնդրանքով արհմիությունը բանակցություններ է վարում իր ղեկավարության հետ ընկերության հաշվին տաք սնունդ կազմակերպելու շուրջ։ Աշխատողների շահերը ներկայացնող արհմիությունն ապահովում է, որ սնունդը լինի հնարավորինս որակյալ, հետևաբար՝ ավելի թանկ։ Ընկերության ղեկավարությունը հակասական շահեր ունի։ Ի վերջո կողմերը պայմանավորվել են հետեւյալի շուրջ. Արհմիությունը (խաղացող 1) ընտրում է տաք կերակուր մատակարարող երեք ընկերություններից մեկը (A 1, A 2, A 3), իսկ ընկերության ղեկավարությունը (խաղացող 2) ընտրում է ճաշատեսակների հավաքածու երեք հնարավոր տարբերակներից (B 1, B 2, Բ 3) . Համաձայնագրի ստորագրումից հետո արհմիությունը կազմում է հետևյալ վճարային մատրիցան, որի տարրերը ներկայացնում են ճաշատեսակների հավաքածուի արժեքը.

Թող խաղը տրվի հետևյալ վճարման մատրիցով.

Ենթադրենք, որ երկրորդ խաղացողն ընտրել է իր 2-րդ ռազմավարությունը, ապա առաջինը կստանա.

2, եթե նա օգտագործում է իր 1-ին ռազմավարությունը,

3, եթե նա օգտագործում է իր 3-րդ ռազմավարությունը:

Ստացված արժեքներն ամփոփված են Աղյուսակ 1-ում:

Աղյուսակ 3. Երկրորդ խաղացողի ռազմավարություն

Աղյուսակ 3-ը ցույց է տալիս, որ երկրորդ խաղացողի 2-րդ ռազմավարության դեպքում առաջին խաղացողը կստանա ամենամեծ վարձատրությունը 3՝ օգտագործելով իր 2-րդ կամ 3-րդ ռազմավարությունը: Քանի որ առաջին խաղացողը ցանկանում է ստանալ առավելագույն եկամուտ, նա պատասխանում է երկրորդ խաղացողի 2-րդ ռազմավարությանը իր 2-րդ ռազմավարությամբ: Առաջին խաղացողի 2-րդ ռազմավարությամբ երկրորդը կպարտվի.

1, եթե նա կիրառի իր 1-ին ռազմավարությունը,

3, եթե նա օգտագործում է իր 2-րդ ռազմավարությունը,

4, եթե նա օգտագործում է իր 3-րդ ռազմավարությունը:

Աղյուսակ 4. Առաջին խաղացողի ռազմավարությունը

Աղյուսակ 2-ը ցույց է տալիս, որ առաջին խաղացողի 2-րդ ռազմավարության դեպքում երկրորդ խաղացողը կունենա նվազագույն կորուստ 1, եթե նա կիրառի իր 1-ին ռազմավարությունը: Քանի որ երկրորդ խաղացողը ցանկանում է ավելի քիչ պարտվել, ապա ի պատասխան առաջին խաղացողի 2-րդ ռազմավարության՝ նա կկիրառի իր 1-ին ռազմավարությունը։ Ստացված արդյունքներն ամփոփված են Աղյուսակ 5-ում:

Աղյուսակ 5. Առաջին և երկրորդ խաղացողների ռազմավարությունները համապատասխանաբար

Աղյուսակում. Երկրորդ տողում երկրորդ խաղացողի ռազմավարության սյունակում 5-ը թիվ 1-ն է, որը ցույց է տալիս, որ երկրորդ խաղում երկրորդ խաղացողի համար ձեռնտու է օգտագործել իր 1-ին ռազմավարությունը. սյունակում և առաջին խաղացողի 3-ի ամենամեծ միջին վճարումն է, որը նա ստացել է առաջին խաղում. w սյունակը պարունակում է ամենափոքր միջին կորուստը 1, որը ստացել է երկրորդ խաղացողը առաջին խաղում. v սյունակը պարունակում է թվաբանական միջինը v = (u + w) - այսինքն՝ խաղի գնի մոտավոր արժեքը, որը ստացվել է խաղի մեկ խաղ խաղալու արդյունքում: Եթե ​​երկրորդ խաղացողը կիրառում է իր 1-ին ռազմավարությունը, ապա առաջին խաղացողը կստանա համապատասխանաբար 3, 1, 2 իր 1-ին, 2-րդ, 3-րդ ռազմավարություններով, և առաջին խաղացողի ընդհանուր գումարը երկու խաղերի համար կլինի.

2 + 3=5 իր 1-ին ռազմավարությամբ,

3 + 1=4 իր 2-րդ ռազմավարությամբ,

3 + 2=5 իր 3-րդ ռազմավարությամբ։

Այս ընդհանուր շահումները գրանցվում են աղյուսակի երկրորդ տողում։ 3 և առաջին խաղացողի ռազմավարությանը համապատասխանող սյունակներում՝ 1, 2, 3:

Բոլոր ընդհանուր վճարումներից ամենամեծը 5-ն է: Այն ստացվում է առաջին խաղացողի 1-ին և 3-րդ ռազմավարությամբ, այնուհետև նա կարող է ընտրել դրանցից որևէ մեկը. ասենք, նման դեպքերում, երբ կան երկու (կամ մի քանի) միանման ընդհանուր վճարումներ, ընտրվում է ամենափոքր թվով ռազմավարությունը (մեր դեպքում մենք պետք է վերցնենք 1-ին ռազմավարությունը):

Առաջին խաղացողի 1-ին ռազմավարությամբ երկրորդ խաղացողը կպարտվի համապատասխանաբար 3, 2, 3 իր 1-ին, 2-րդ, 3-րդ ռազմավարություններին, իսկ երկրորդ խաղացողի ընդհանուր կորուստը երկու խաղերում կլինի.

1 + 3=4 իր 1-ին ռազմավարությամբ,

3 + 2=5 իր 2-րդ ռազմավարությամբ,

4 + 3=7 իր 3-րդ ռազմավարությամբ։

Այս ընդհանուր կորուստները գրանցված են աղյուսակի երկրորդ տողում։ 5 և երկրորդ խաղացողի 1-ին, 2-րդ, 3-րդ ռազմավարություններին համապատասխանող սյունակներում:

Երկրորդ խաղացողի բոլոր ընդհանուր կորուստներից ամենափոքրը 4-ն է: Այն ստացվում է նրա 1-ին ռազմավարությամբ, հետևաբար երրորդ խաղում երկրորդ խաղացողը պետք է կիրառի իր 1-ին ռազմավարությունը: Սյունակում դրեք երկու խաղերում առաջին խաղացողի ամենամեծ ընդհանուր գումարը, բաժանված խաղերի քանակով, այսինքն. w սյունակը պարունակում է երկու խաղերում երկրորդ խաղացողի ամենափոքր ընդհանուր կորուստը՝ բաժանված խաղերի քանակով, այսինքն. Այս արժեքների միջին թվաբանականը դրվում է v սյունակում, այսինքն. = Այս թիվը վերցվում է որպես երկու «խաղացված» խաղերով խաղի գնի մոտավոր արժեք:

Այսպիսով, ստացվում է հետևյալ աղյուսակը 4-ը՝ խաղի երկու սեթերի համար։

Աղյուսակ 6. Խաղացողների ընդհանուր շահույթն ու կորուստը երկու խաղում

Աղյուսակ 6-ի երրորդ շարքում, երկրորդ խաղացողի ռազմավարության սյունակում կա թիվ 1, որը ցույց է տալիս, որ երրորդ խաղում երկրորդ խաղացողը պետք է կիրառի իր 1-ին ռազմավարությունը: Այս դեպքում առաջին խաղացողը հաղթում է 3, 1, 2՝ համապատասխանաբար օգտագործելով իր 1-ին, 2-րդ, 3-րդ ռազմավարությունները, և նրա ընդհանուր վճարումը երեք խաղերի համար կլինի.

3 + 5 = 8 իր 1-ին ռազմավարության ժամանակ,

1 +4 = 5 իր 2-րդ ռազմավարությամբ,

2 + 5 = 7 նրա 3-րդ ռազմավարության համար:

Առաջին խաղացողի այս ընդհանուր վճարումները գրանցված են աղյուսակ 6-ի երրորդ շարքում և նրա 1, 2, 3 ռազմավարություններին համապատասխանող սյունակներում: Քանի որ առաջին խաղացողի ամենամեծ գումարը 8-ը ստացվում է 1-ին ռազմավարությամբ, նա համապատասխանաբար ընտրում է 1-ին: .

Առաջին խաղացողի 1-ին ռազմավարությամբ երկրորդ խաղացողը կպարտվի համապատասխանաբար 3, 1, 2, 1-ին, 2-րդ, 3-րդ ռազմավարություններին, իսկ երկրորդ խաղացողի ընդհանուր կորուստը երկու խաղերի համար կլինի.

3 + 4=7 իր 1-ին ռազմավարությամբ,

2 + 5=7 իր 2-րդ ռազմավարությամբ,

3 + 7=10 իր 3-րդ ռազմավարությամբ։

Այս ընդհանուր կորուստները գրանցված են աղյուսակի երրորդ տողում։ 6 և երկրորդ խաղացողի 1-ին, 2-րդ, 3-րդ ռազմավարություններին համապատասխանող սյունակներում: Նրա բոլոր ընդհանուր կորուստներից 7-ը ամենափոքրն է և ստացվում է իր 1-ին և 2-րդ ռազմավարությամբ, ապա երկրորդ խաղացողը պետք է կիրառի իր 1-ին ռազմավարությունը:

Աղյուսակում. 6-ը սյունակում երրորդ շարքում և երեք խաղերում առաջին խաղացողի ամենամեծ ընդհանուր շահումները՝ բաժանված խաղի թվի վրա, այսինքն. w սյունակը պարունակում է երեք խաղերում երկրորդ խաղացողի ամենափոքր ընդհանուր կորուստը՝ բաժանված խաղերի քանակի վրա, այսինքն. v սյունակում դրեք դրանց միջին թվաբանականը

Այսպիսով, մենք ստանում ենք աղյուսակը: 7 երեք կողմերի համար:

Աղյուսակ 7. Խաղացողների ընդհանուր ձեռքբերումներն ու կորուստները երեք խաղերում

Աղյուսակ 8. Վերջնական աղյուսակ՝ քսան խաղացված խաղերով

Սեղանից. 7 և 8, կարելի է տեսնել, որ 20 պարտված խաղերում առաջին խաղացողի համար 1, 2, 3 ռազմավարությունները տեղի են ունենում համապատասխանաբար 12, 3, 5 անգամ, հետևաբար, դրանց հարաբերական հաճախականությունները համապատասխանաբար հավասար են. Երկրորդ խաղացողի համար 1, 2, 3 ռազմավարությունները տեղի են ունենում համապատասխանաբար 7, 11,2 անգամ, հետևաբար դրանց հարաբերական հաճախականությունները համապատասխանաբար հավասար են. խաղի գնի մոտավոր արժեքը. Այս մոտավորությունը բավական լավ է:

Եզրափակելով, մենք նշում ենք, որ եթե խաղն ունի մեկից ավելի լուծումներ, ապա խաղի արժեքի մոտավոր արժեքները դեռևս անորոշ ժամանակով կմոտենան խաղի իրական արժեքին, իսկ ռազմավարությունների արտաքին տեսքի հարաբերական հաճախականություններին: խաղացողներն այլևս պարտադիր չեն մոտենա խաղացողների իրական օպտիմալ խառը ռազմավարություններին:

Արդյունքների վերլուծություն

Այս կուրսային աշխատանքում անտագոնիստական ​​խաղերի լուծում գտնելու նյութը ուսումնասիրվում է գրաֆիկական, մատրիցային մեթոդով, խաղի գնի հաջորդական մոտարկման մեթոդով։ Գտնվում են առաջին և երկրորդ խաղացողների օպտիմալ ռազմավարությունները, ինչպես նաև խաղի արժեքը 2x2, 2xn և mx2 խաղերում, ինչպես նաև մատրիցային մեթոդով և Բրաունի մեթոդով խաղերում:

Զույգի օրինակով մոդելավորվել է 2x2 խաղ, որը լուծվել է հանրահաշվական և գրաֆիկական մեթոդով։ Խաղը լուծելով հանրահաշվական մեթոդով՝ լուծումը ցույց է տալիս, որ կիրառելով իրենց օպտիմալ խառը ռազմավարությունները՝ առաջին և երկրորդ խաղացողները միասին կանցկացնեն 4,6 ժամ։ Խնդրի գրաֆիկական լուծումը ստացվել է փոքր սխալով և կազմել 4,5 ժամ։

Եվ նաև մոդելավորվեցին երկու առաջադրանքներ՝ 2xn և mx2: 2xn խնդրի մեջ դիտարկվել է գյուղատնտեսական մշակույթը և ռազմավարությունը ցույց է տալիս, որ ավելի լավ է դաշտը տնկել 50-ով 50-ով, իսկ խաղի գինը կազմել է 3,75 միլիոն ռուբլի։ Իսկ mx2 խնդրի մեջ դիտարկվել է մի զույգ, որի ռազմավարությունը ցույց է տվել, որ այգի ու կինոթատրոն գնալն ավելի էժան է, իսկ գինն ու արժեքը կլինի 4,3 ռուբլի։

Մատրիցային մեթոդի համար մոդելավորվել է առաջադրանք, որում դիտարկվել են երկու ռեստորան, խնդրի լուծումը ցույց է տվել, որ դրա օպտիմալ խառը ռազմավարությունը կիրառելիս առաջին ռեստորանի շահույթը կկազմի 15,6 մլն ռուբլի, իսկ դրա օպտիմալ խառը ռազմավարությունն օգտագործելիս՝ երկրորդ ռեստորանը, այն թույլ չի տա առաջինին վաստակել ավելի քան 15,6 մլն ռուբլի։ Գրաֆիկական մեթոդով լուծումը սխալ է տվել, և խաղի արժեքը կազմել է 14,9 մլն ռուբլի։

Բրաունի մեթոդի համար կազմվել է առաջադրանք, որում հաշվի են առնվում արհմիությունը և ընկերության ղեկավարությունը, նրանց խնդիրն է ապահովել աշխատողների սնունդը։ Երբ երկու խաղացողներն էլ օգտագործեն իրենց օպտիմալ ռազմավարությունը, մեկ անձի համար սնունդը կկազմի 2,45 հազար ռուբլի:

Օգտագործված աղբյուրների ցանկը

1) Վիլիսով Վ.Յա. Դասախոսության նշումներ «Խաղերի տեսություն և վիճակագրական լուծումներ», - Մասնաճյուղ - «Ոսկեդի» ՄԱԻ. 1979. 146 էջ.

2) Կրուշևսկի Ա.Վ. Խաղերի տեսություն, - Կիև. Վիշչայի դպրոց, 1977. - 216 էջ.

3) Չերչմեն Ու., Ակոֆ Ռ., Առնոֆ Լ., Գործառնությունների հետազոտության ներածություն. - Մ.: Գիտություն: 1967. - 488 էջ.

4) http://www.math-pr.com/exampl_gt2.htm

5) http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D1% 82%D0%B0%D0 %B3%D0%BE%D0%BD%D0%B8%D1%81 %D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%B0

Հյուրընկալվել է Allbest.ru-ում

Նմանատիպ փաստաթղթեր

Որոշումների կայացումը որպես մարդկային գործունեության հատուկ տեսակ: Խաղի մատրիցայի ռացիոնալ ներկայացում. Մատրիցային խաղերի օրինակներ մաքուր և խառը ռազմավարություններում: Գործառնությունների հետազոտություն. գծային ծրագրավորման խնդիրների կապը խաղի տեսական մոդելի հետ:

կուրսային աշխատանք, ավելացվել է 05/05/2010 թ


Բազմիցս կրկնվող խաղերը, դրանց տարբերակիչ հատկություններն ու փուլերը: Խառը ռազմավարություններ, պայմաններ և հնարավորություններ դրանց կիրառման գործնականում: 2 x 2 խաղի լուծման վերլուծական մեթոդ Ուղղանկյուն խաղերի հիմնական թեորեմներ. Հանրահաշվական լուծումներ.

շնորհանդես, ավելացվել է 23.10.2013թ


Բիմատրիքսային խաղերի տեսության հիմնական սահմանումները. «Աշակերտ-ուսուցիչ» բիմատրիքս խաղի օրինակ: Խառը ռազմավարություններ բիմատրիքս խաղերում. Որոնել «հավասարակշռության իրավիճակ»: 2x2 բիմատրիքսային խաղեր և բանաձևեր այն դեպքերի համար, երբ յուրաքանչյուր խաղացող ունի երկու ռազմավարություն:

վերացական, ավելացվել է 13.02.2011թ


Մատրիցային և անտագոնիստական ​​խաղերի մասին ընդհանուր տեղեկատվության ուսումնասիրություն: Դիրքային խաղի հայեցակարգ, ծառ, տեղեկատվական հավաքածու: Maximin սկզբունքի և հավասարակշռության սկզբունքի դիտարկում: Պարետո օպտիմալություն. Դիրքային ոչ անտագոնիստական ​​խաղ, դրա հատկությունները.

կուրսային աշխատանք, ավելացվել է 17.10.2014թ


Խաղերի տեսությունը մաթեմատիկայի ճյուղ է, որի առարկան կոնֆլիկտում օպտիմալ որոշումներ կայացնելու մաթեմատիկական մոդելների ուսումնասիրությունն է։ Բրաուն-Ռոբինսոնի կրկնվող մեթոդ. Մատրիցային խաղերի լուծման միապաղաղ կրկնվող ալգորիթմ:

թեզ, ավելացվել է 08/08/2007 թ


Վճարման մատրիցայի կազմում, խաղի ստորին և վերին զուտ գների որոնում, խաղացողների առավելագույն և նվազագույն ռազմավարություններ: Վճարային մատրիցայի պարզեցում. Մատրիցային խաղի լուծում՝ օգտագործելով կրճատումը դեպի գծային ծրագրավորման խնդիր և «Որոնել լուծում» հավելումը։

թեստ, ավելացվել է 11/10/2014


Խաղերի տեսությունը կոնֆլիկտային իրավիճակների մաթեմատիկական տեսություն է։ Երկու հոգանոց զրոյական գումարով խաղի մաթեմատիկական մոդելի մշակում, դրա իրականացում ծրագրային ծածկագրերի տեսքով։ Խնդրի լուծման մեթոդ. Մուտքային և ելքային տվյալներ. Ծրագիր, օգտագործողի ձեռնարկ:

կուրսային աշխատանք, ավելացվել է 17.08.2013թ


Հիմնական տեղեկություններ սիմպլեքս մեթոդի մասին, նրա դերի և կարևորության գնահատումը գծային ծրագրավորման մեջ: Երկրաչափական մեկնաբանություն և հանրահաշվական իմաստ: Գծային ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույնի գտնելը, հատուկ դեպքեր: Խնդրի լուծումը մատրիցային սիմպլեքս մեթոդով:

թեզ, ավելացվել է 01.06.2015թ


Հաշվողական համակարգերի մաթեմատիկական մոդելների կառուցման տեխնիկա, որոնք արտացոլում են դրանց գործունեության կառուցվածքը և գործընթացները: Միջին առաջադրանքի ընթացքում ֆայլերի մուտքերի քանակը: Արտաքին հիշողության կրիչներում ֆայլեր տեղադրելու հնարավորության որոշում:

լաբորատոր աշխատանք, ավելացվել է 21.06.2013թ


Մաթեմատիկական մոդելի նախագծում. Տիկ-տակ-ոտքի խաղի նկարագրությունը. Տրամաբանական խաղի մոդել՝ հիմնված Բուլյան հանրահաշվի վրա։ Թվային էլեկտրոնային սարքեր և դրանց մաթեմատիկական մոդելի մշակում: Խաղային կոնսոլ, խաղի կարգավորիչ, խաղատախտակի լար:

Խաղերի տեսությունը կոնֆլիկտի կամ անորոշության պայմաններում որոշումների կայացման մաթեմատիկական մոդելների տեսություն է։ Ենթադրվում է, որ խաղի կողմերի գործողությունները բնութագրվում են որոշակի ռազմավարություններով՝ գործողությունների կանոնների հավաքածուներով։ Եթե ​​մի կողմի շահույթն անխուսափելիորեն հանգեցնում է մյուս կողմի կորստի, ապա խոսում են անտագոնիստական ​​խաղերի մասին։ Եթե ​​ռազմավարությունների շարքը սահմանափակ է, ապա խաղը կոչվում է մատրիցային խաղ և լուծումը կարելի է ստանալ շատ պարզ: Խաղերի տեսության օգնությամբ ստացված լուծումներն օգտակար են մրցակիցների հնարավոր հակադրության կամ արտաքին միջավայրում անորոշության պայմաններում պլաններ կազմելու համար։

Եթե ​​բիմատրիցային խաղն անտագոնիստական ​​է, ապա 2-րդ խաղացողի հատուցման մատրիցան ամբողջությամբ որոշվում է 1-ին խաղացողի վճարման մատրիցով (այս երկու մատրիցների համապատասխան տարրերը տարբերվում են միայն նշաններով): Հետևաբար, երկմատրիցային անտագոնիստական ​​խաղն ամբողջությամբ նկարագրվում է մեկ մատրիցով (խաղացող 1-ի վճարման մատրիցան) և, համապատասխանաբար, կոչվում է մատրիցային խաղ:

Այս խաղը անտագոնիստական ​​է: Դրանում j \u003d x2 - O, P և R (O, O] \u003d H (P, P) \u003d -I և R (O, P) \u003d R (P, O) \u003d 1, կամ մատրիցային ձևով o p

Թող խաղերի ինչ-որ դաս Գ լինի «հայելային փակ», այսինքն. իր յուրաքանչյուր խաղի հետ միասին պարունակում է հայելային իզոմորֆ խաղ (քանի որ բոլոր խաղերը, որոնք տվյալ մեկի նկատմամբ հայելային իզոմորֆ են, իզոմորֆ են միմյանց նկատմամբ, մենք, ըստ նոր ասվածի, կարող ենք խոսել մեկ հայելային իզոմորֆ խաղի մասին): Այդպիսի դաս է, օրինակ, բոլոր անտագոնիստական ​​խաղերի դասը կամ բոլոր մատրիցային խաղերի դասը։

Հիշելով անտագոնիստական ​​խաղում ընդունելի իրավիճակների սահմանումը, մենք ստանում ենք, որ մատրիցային խաղի խառը ընդլայնման մեջ իրավիճակը (X, Y) ընդունելի է 1-ին խաղացողի համար, եթե և միայն այն դեպքում, երբ որևէ x G x անհավասարությունը

Խաղերը սիմետրիկների վերածելու գործընթացը կոչվում է սիմետրիզացիա։ Մենք այստեղ նկարագրում ենք սիմետրիզացիայի մեկ մեթոդ: Համաչափության մեկ այլ, սկզբունքորեն տարբեր տարբերակ կտրվի 26.7 բաժնում: Սիմետրիզացիայի այս երկու տարբերակներն էլ իրականում կիրառելի են կամայական անտագոնիստական ​​խաղերի համար, բայց կձևակերպվեն և ապացուցվեն միայն մատրիցային խաղերի համար:

Այսպիսով, ընդհանուր անտագոնիստական ​​խաղերի տեսության սկզբնական տերմիններն ու նշանակումները համընկնում են մատրիցային խաղերի տեսության համապատասխան տերմինների և նշանակումների հետ։

Վերջավոր անտագոնիստական ​​(մատրիցային) խաղերի համար այս ծայրահեղությունների գոյությունն ապացուցվել է մեր կողմից 10-րդ գլխում: 1-ին, և ամբողջ իմաստը նրանց հավասարությունը հաստատելն էր կամ գոնե նրանց անհավասարությունը հաղթահարելու ուղիներ գտնելը:

Մատրիցային խաղերի դիտարկումն արդեն ցույց է տալիս, որ խաղացողների ի սկզբանե տրված ռազմավարություններում կան անտագոնիստական ​​խաղեր՝ առանց հավասարակշռության իրավիճակների (և նույնիսկ առանց էլեկտրոնային հավասարակշռության իրավիճակների բավական փոքր e> 0-ի դեպքում):

Բայց յուրաքանչյուր վերջավոր (մատրիցային) խաղ կարող է տարածվել մինչև անսահման խաղ, օրինակ՝ յուրաքանչյուր խաղացողի տրամադրելով գերիշխող ռազմավարությունների ցանկացած քանակ (տես 22, գլ. 1): Ակնհայտ է, որ խաղացողի ռազմավարությունների նման ընդլայնումը իրականում չի նշանակի նրա հնարավորությունների ընդլայնում, և նրա իրական պահվածքը ընդլայնված խաղում չպետք է տարբերվի սկզբնական խաղում նրա պահվածքից: Այսպիսով, մենք անմիջապես ստացանք անսահման անտագոնիստական ​​խաղերի օրինակների բավարար քանակություն, որոնք չունեն թամբի կետեր: Կան նաև նման օրինակներ.

Այսպիսով, անսահման անտագոնիստական ​​խաղում maximin սկզբունքն իրականացնելու համար անհրաժեշտ է, ինչպես վերջավոր (մատրիցային) խաղի դեպքում, խաղացողների ռազմավարական հնարավորությունների որոշակի ընդլայնում։ 96-ի համար

Ինչպես մատրիցային խաղերի դեպքում (տե՛ս Գլ. 1, 17), ընդհանուր անտագոնիստական ​​խաղերի համար կարևոր դեր է խաղում խառը ռազմավարության սպեկտրի հայեցակարգը, որն այստեղ, սակայն, պետք է տրվի ավելի ընդհանուր սահմանում:

Ի վերջո, նշեք, որ կամայական անտագոնիստական ​​խաղում 1-ին խաղացողի բոլոր խառը ռազմավարությունների հավաքածուն, ինչպես մատրիցայում է.

Անգամ անտագոնիստական ​​խաղերի դիտարկումը ցույց է տալիս, որ նման խաղերի մեծ թվով, ներառյալ վերջավորները, մատրիցային խաղերը հավասարակշռության իրավիճակներ ունեն ոչ թե սկզբնական, մաքուր ռազմավարություններում, այլ միայն ընդհանրացված, խառը ռազմավարություններում: Հետևաբար, ընդհանուր, ոչ անտագոնիստական, ոչ համագործակցային խաղերի համար բնական է հավասարակշռության իրավիճակներ փնտրել հենց խառը ռազմավարություններում:

Այսպիսով, օրինակ (տես Նկ. 3.1), մենք արդեն նշել ենք, որ «Կապալառուն» գրեթե երբեք ստիպված չի լինում գործ ունենալ վարքագծային անորոշության հետ: Բայց եթե վերցնենք «Ադմինիստրատոր» տեսակի հայեցակարգային մակարդակը, ապա ամեն ինչ ճիշտ հակառակն է։ Որպես կանոն, անորոշության հիմնական տեսակը, որին պետք է բախվի նման «մեր որոշում կայացնողը», «Կոնֆլիկտ» է։ Այժմ կարող ենք պարզաբանել, որ սա սովորաբար ոչ խիստ մրցակցություն է։ «Ադմինիստրատորը» փոքր-ինչ ավելի հազվադեպ է որոշումներ կայացնում «բնական անորոշության» պայմաններում, և առավել հազվադեպ է հանդիպում խիստ, անտագոնիստական ​​կոնֆլիկտի։ Բացի այդ, «Ադմինիստրատորի» կողմից որոշումներ կայացնելիս շահերի բախումը տեղի է ունենում, այսպես ասած, «մեկ անգամ», այսինքն՝ մեր դասակարգման մեջ նա հաճախ խաղում է խաղի միայն մեկ (երբեմն շատ փոքր թվով) խաղեր։ Հետևանքների գնահատման սանդղակները ավելի հաճախ որակական են, քան քանակական: «Ադմինիստրատորի» ռազմավարական անկախությունը բավականին սահմանափակ է։ Հաշվի առնելով վերը նշվածը, կարելի է պնդել, որ այս մասշտաբի խնդրահարույց իրավիճակներն ամենից հաճախ պետք է վերլուծվեն՝ օգտագործելով ոչ կոոպերատիվ ոչ անտագոնիստական ​​երկմատրիցային խաղեր, ընդ որում՝ զուտ ռազմավարություններում:

Մատրիցային անտագոնիստական ​​խաղերի լուծման սկզբունքներ

Արդյունքում, ողջամիտ է ակնկալել, որ վերը նկարագրված խաղում հակառակորդները հավատարիմ կմնան իրենց ընտրած ռազմավարությանը: Մատրիցային անտագոնիստական ​​խաղ, որի համար max min fiv = min max Aiy>

Այնուամենայնիվ, ոչ բոլոր մատրիցային անտագոնիստական ​​խաղերն են միանգամայն որոշակի, և ընդհանուր դեպքում

Այսպիսով, ընդհանուր դեպքում, /uxl չափման մատրիցային անտագոնիստական ​​խաղը լուծելու համար անհրաժեշտ է լուծել զույգ գծային ծրագրավորման խնդիրներ, որոնց արդյունքում ստացվում է օպտիմալ ռազմավարությունների մի շարք, և խաղի արժեքը v.

Ինչպե՞ս է սահմանվում երկու անձի մատրիցային անտագոնիստական ​​խաղը:

Որո՞նք են մատրիցային անտագոնիստական ​​խաղերի պարզեցման և լուծման մեթոդները

Երկու հոգու խաղի դեպքում բնական է նրանց շահերը ուղղակիորեն հակադիր համարել՝ խաղն անտագոնիստական ​​է։ Այսպիսով, մի խաղացողի վարձատրությունը հավասար է մյուսի կորստի (երկու խաղացողների վճարումների գումարը զրո է, այստեղից էլ՝ անվանումը՝ զրոյական գումարով խաղ): Մենք կքննարկենք խաղերը, որոնցում յուրաքանչյուր խաղացող ունի որոշակի թվով այլընտրանքներ: Նման զրոյական գումարով երկու հոգանոց խաղի համար վճարման գործառույթը կարող է տրվել մատրիցային ձևով (վճարման մատրիցայի տեսքով):

Ինչպես արդեն նշվեց, վերջնական անտագոնիստական ​​խաղը կոչվում է մատրիցա:

ՄԱՏՐԻՑԱՅԻՆ ԽԱՂԵՐ - անտագոնիստական ​​խաղերի դաս, որին մասնակցում են երկու խաղացողներ, և յուրաքանչյուր խաղացող ունի սահմանափակ թվով ռազմավարություններ: Եթե ​​խաղացողներից մեկն ունի m ռազմավարություն, իսկ մյուս խաղացողը՝ n ռազմավարություն, ապա մենք կարող ենք կառուցել txn չափման խաղի մատրիցա: Մ.ի. կարող է ունենալ կամ չունենալ թամբի կետ: Վերջին դեպքում

Դիտարկենք վերջավոր զրոյական գումարով զույգ խաղ: Նշել ըստ ախաղացողի վարձատրությունը Ա, և միջոցով բ- խաղացողի հաղթանակ Բ. Որովհետեւ ա = –բ, ապա նման խաղը վերլուծելիս կարիք չկա հաշվի առնել այս երկու թվերն էլ. բավական է հաշվի առնել խաղացողներից մեկի վարձատրությունը: Թող լինի, օրինակ, Ա. Հետևյալում, ներկայացման հարմարության համար, կողմը Ապայմանականորեն կանվանենք» մենք«և կողմը Բ – "թշնամի".

Թույլ տվեք ունենալ մհնարավոր ռազմավարություններ Ա 1 , Ա 2 , …, Ա մ, և թշնամին nհնարավոր ռազմավարություններ Բ 1 , Բ 2 , …, B n(նման խաղը կոչվում է խաղ m×n) Ենթադրենք, որ կողմերից յուրաքանչյուրն ընտրել է որոշակի ռազմավարություն՝ մենք ընտրել ենք A i, հակառակորդ Բժ. Եթե ​​խաղը բաղկացած է միայն անձնական քայլերից, ապա ռազմավարությունների ընտրություն A iև Բժեզակիորեն որոշում է խաղի արդյունքը՝ մեր վարձատրությունը (դրական կամ բացասական): Այս շահույթը նշենք որպես այժ(հաղթում ենք, երբ ընտրում ենք ռազմավարությունը A i, իսկ թշնամին՝ ռազմավարություններ Բժ).

Եթե ​​խաղը, բացի անձնական պատահական քայլերից, պարունակում է մի զույգ ռազմավարությունների վարձատրություն A i, Բժպատահական փոփոխական է, որը կախված է բոլոր պատահական շարժումների արդյունքներից: Այս դեպքում ակնկալվող շահույթի բնական գնահատականն է պատահական հաղթանակի մաթեմատիկական ակնկալիք. Հարմարության համար մենք կնշենք ըստ այժև՛ բուն վարձատրությունը (առանց պատահական շարժումների խաղում), և՛ դրա մաթեմատիկական ակնկալիքը (պատահական շարժումներով խաղում):

Ենթադրենք, մենք գիտենք արժեքները այժյուրաքանչյուր զույգ ռազմավարության համար: Այս արժեքները կարող են գրվել որպես մատրիցա, որի տողերը համապատասխանում են մեր ռազմավարությանը ( A i), իսկ սյունակները ցույց են տալիս հակառակորդի ռազմավարությունը ( Բժ):

Նման մատրիցը կոչվում է խաղի վարձատրության մատրիցակամ պարզապես խաղի մատրիցա.

Նկատի ունեցեք, որ մեծ թվով ռազմավարություններ ունեցող խաղերի համար վճարման մատրիցայի կառուցումը կարող է բարդ խնդիր լինել: Օրինակ, շախմատային խաղի համար հնարավոր ռազմավարությունների թիվն այնքան մեծ է, որ վճարման մատրիցայի կառուցումը գործնականում անհնար է: Այնուամենայնիվ, սկզբունքորեն ցանկացած վերջավոր խաղ կարող է կրճատվել մինչև մատրիցային ձև:

Հաշվի առեք օրինակ 1 4×5 անտագոնիստական ​​խաղ. Մենք մեր տրամադրության տակ ունենք չորս ռազմավարություն, թշնամին՝ հինգ ռազմավարություն։ Խաղի մատրիցը հետևյալն է.

Ինչ ռազմավարություն մենք պետք է (այսինքն, խաղացողը Ա) օգտագործել? Ինչ ռազմավարություն էլ որ ընտրենք, ողջամիտ հակառակորդը դրան կպատասխանի այն ռազմավարությամբ, որի համար մեր վարձատրությունը կլինի նվազագույն: Օրինակ, եթե մենք ընտրենք ռազմավարությունը Ա 3 (գայթակղվելով 10 հաղթանակով), հակառակորդը կընտրի ռազմավարություն ի պատասխան Բ 1 , և մեր վարձատրությունը կլինի միայն 1: Ակնհայտորեն, զգուշության սկզբունքից ելնելով (և դա խաղերի տեսության հիմնական սկզբունքն է) մենք պետք է ընտրենք այն ռազմավարությունը, որում. մեր նվազագույն շահույթը առավելագույնն է.

Նշել ըստ ա iռազմավարության նվազագույն վճարման արժեքը A i:

և խաղի մատրիցին ավելացրեք այս արժեքները պարունակող սյունակ.

Ռազմավարություն ընտրելիս մենք պետք է ընտրենք այն, ինչի համար արժեքը ա iառավելագույնը. Նշենք այս առավելագույն արժեքը α :

Արժեք α կանչեց ավելի ցածր խաղի գինկամ առավելագույնը(առավելագույն նվազագույն հաղթանակ): Խաղացողի ռազմավարություն Աառավելագույնին համապատասխան α , կոչվում է առավելագույն ռազմավարություն.

Այս օրինակում առավելագույնը α հավասար է 3-ի (աղյուսակի համապատասխան բջիջը ընդգծված է մոխրագույնով), իսկ առավելագույն ռազմավարությունը՝ Աչորս. Ընտրելով այս ռազմավարությունը՝ մենք կարող ենք վստահ լինել, որ հակառակորդի ցանկացած պահվածքի դեպքում մենք կշահենք ոչ պակաս, քան 3 (և գուցե ավելի շատ թշնամու «անհիմն» պահվածքով): Այս արժեքը մեր երաշխավորված նվազագույնն է, որը մենք կարող ենք ապահովել. ինքներս մեզ՝ հավատարիմ մնալով ամենազգույշ («վերաապահովագրության») ռազմավարությանը։

Հիմա մենք նման պատճառաբանություն կիրականացնենք հակառակորդի համար Բ Բ Ա Բ 2 - մենք կպատասխանենք նրան Ա .

Նշել ըստ β ժ Ա Բ) ռազմավարության համար A i:

β ժ β :

7. ՈՐՆ Է ՎԵՐԻՆ ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ԽԱՂԸ Այժմ մենք կիրականացնենք նմանատիպ պատճառաբանություն հակառակորդի համար. Բ. Նա շահագրգռված է նվազագույնի հասցնել մեր շահը, այսինքն՝ մեզ ավելի քիչ տալ, բայց նա պետք է հույս դնի մեր վարքի վրա, որն իր համար ամենավատն է։ Օրինակ, եթե նա ընտրի ռազմավարությունը Բ 1 , ապա մենք նրան կպատասխանենք ռազմավարությամբ Ա 3 , և նա մեզ կտա 10. Եթե նա ընտրի Բ 2 - մենք կպատասխանենք նրան Ա 2, և նա կտա 8 և այլն: Ակնհայտ է, որ զգուշավոր հակառակորդը պետք է ընտրի այն ռազմավարությունը, որում մեր առավելագույն շահույթը կլինի նվազագույնը.

Նշել ըստ β ժառավելագույն արժեքները վճարման մատրիցայի սյունակներում (խաղացողի առավելագույն վճարումը Ա, կամ, որը նույնն է, խաղացողի առավելագույն կորուստը Բ) ռազմավարության համար A i:

և խաղի մատրիցին ավելացրեք այս արժեքները պարունակող տող.

Ընտրելով ռազմավարություն՝ թշնամին կգերադասի այն, ինչի համար արժեքավոր է β ժնվազագույնը. Նշանակենք դրանով β :

Արժեք β կանչեց լավագույն խաղի գինըկամ նվազագույն(նվազագույն առավելագույն հաղթանակ): Հակառակորդի (խաղացողի) ռազմավարությունը, որը համապատասխանում է մինիմաքսին Բ), կոչվում է նվազագույն ռազմավարություն.

Minimax-ը շահույթի արժեքն է, որն ավելին, քան ողջամիտ հակառակորդը, անշուշտ, մեզ չի տա (այլ կերպ ասած, ողջամիտ հակառակորդը կկորցնի ոչ ավելի, քան β ) Այս օրինակում նվազագույնը β հավասար է 5-ի (աղյուսակի համապատասխան բջիջը ընդգծված է մոխրագույնով) և դա ձեռք է բերվում հակառակորդի ռազմավարությամբ. Բ 3 .

Այսպիսով, զգուշության սկզբունքից ելնելով («միշտ սպասիր վատագույնին»), մենք պետք է ռազմավարություն ընտրենք Ա 4 , իսկ թշնամին՝ ռազմավարություն Բ 3 . Զգուշության սկզբունքը հիմնարար է խաղերի տեսության մեջ և կոչվում է նվազագույնի սկզբունքը.

Հաշվի առեք օրինակ 2. Թող խաղացողները Աև ATերեք թվերից մեկը գրվում է միաժամանակ և միմյանցից անկախ՝ կա՛մ «1», կա՛մ «2», կա՛մ «3»: Եթե ​​գրված թվերի գումարը զույգ է, ապա խաղացողը Բվճարում է խաղացողին Աայս գումարը։ Եթե ​​գումարը տարօրինակ է, ապա խաղացողը վճարում է այս գումարը Ախաղացող AT.

Եկեք գրենք խաղի վճարման մատրիցը և գտնենք խաղի ստորին և վերին գները (ռազմավարության համարը համապատասխանում է գրված թվին).

Խաղացող Ապետք է հավատարիմ մնա առավելագույն ռազմավարությանը Ա 1 հաղթել առնվազն -3 (այսինքն՝ պարտվել առավելագույնը 3): Minimax Player ռազմավարություն Բռազմավարություններից որևէ մեկը Բ 1 և Բ 2 , որը երաշխավորում է, որ նա կտա 4-ից ոչ ավելի։

Նույն արդյունքը կստանանք, եթե վճարման մատրիցան գրենք խաղացողի տեսանկյունից AT. Փաստորեն, այս մատրիցը ստացվում է խաղացողի տեսանկյունից կառուցված մատրիցը փոխադրելով Ա, և փոխելով տարրերի նշանները հակառակը (խաղացողի վճարումից ի վեր Ախաղացողի կորուստն է AT):

Այս մատրիցայի հիման վրա հետևում է, որ խաղացողը Բպետք է հետևի ռազմավարություններից որևէ մեկին Բ 1 և Բ 2 (իսկ հետո նա կկորցնի ոչ ավելի, քան 4), իսկ խաղացողը Ա- ռազմավարություններ Ա 1 (իսկ հետո նա կկորցնի ոչ ավելի, քան 3): Ինչպես տեսնում եք, արդյունքը ճիշտ նույնն է, ինչ վերևում ստացվածը, ուստի վերլուծությունը կարևոր չէ այն տեսանկյունից, թե որ խաղացողի կողմից ենք այն անցկացնում:

8 ԻՆՉ Է ԱՐԺԵՔԻ ԽԱՂԸ.

9. ԻՆՉԻՑ Է ԿԱԶՄՈՒՄ ՄԻՆԻՄԱՔՍԻ ՍԿԶԲՈՒՆՔԸ: 2. Խաղի ցածր և վերին գին: Minimax սկզբունքը

Դիտարկենք վճարման մատրիցով տիպի մատրիցային խաղ

Եթե ​​խաղացողը ԲԱՅՑկընտրի ռազմավարություն A i, ապա դրա բոլոր հնարավոր վճարումները կլինեն տարրեր ես- մատրիցայի-րդ շարքը ԻՑ. Ամենավատը խաղացողի համար ԲԱՅՑդեպք, երբ խաղացողը ATկիրառում է համապատասխան ռազմավարություն նվազագույնըայս գծի տարրը, խաղացողի վարձատրությունը ԲԱՅՑթվին հավասար կլինի։

Հետեւաբար, առավելագույն վարձատրություն ստանալու համար խաղացողը ԲԱՅՑդուք պետք է ընտրել ռազմավարություններից մեկը, որի համար համարը առավելագույնը.

Խաղերի տեսության մեջ մանրամասն մշակված ամենապարզ դեպքը զրոյական գումարով վերջավոր զույգ խաղն է (երկու անձի կամ երկու կոալիցիայի անտագոնիստական ​​խաղ): Դիտարկենք G խաղը, որին մասնակցում են երկու A և B խաղացողներ՝ ունենալով հակադիր շահեր. մեկի շահույթը հավասար է մյուսի կորստի: Քանի որ A խաղացողի վճարումը հավասար է հակառակ նշանով B խաղացողի վճարմանը, մեզ կարող է հետաքրքրել միայն a խաղացողի վճարումը: Բնականաբար, A-ն ցանկանում է առավելագույնի հասցնել, իսկ B-ն ցանկանում է նվազագույնի հասցնել a-ն:

Պարզության համար եկեք մեզ մտովի նույնացնենք խաղացողներից մեկի հետ (թող դա լինի A) և նրան անվանենք «մենք», իսկ խաղացող B-ն՝ «հակառակորդ» (իհարկե, A-ի համար ոչ մի իրական առավելություն դրանից չի բխում): Եկեք ունենանք հնարավոր ռազմավարություններ, իսկ հակառակորդը` հնարավոր ռազմավարություններ (այդպիսի խաղը կոչվում է խաղ): Եկեք նշենք մեր վարձատրությունը, եթե մենք օգտագործում ենք ռազմավարությունը, իսկ հակառակորդը օգտագործում է ռազմավարությունը

Աղյուսակ 26.1

Ենթադրենք, որ ռազմավարությունների յուրաքանչյուր զույգի համար մեզ հայտնի է a-ի վճարումը (կամ միջին շահույթը): Այնուհետև, սկզբունքորեն, հնարավոր է կազմել ուղղանկյուն աղյուսակ (մատրիցան), որտեղ թվարկված են խաղացողների ռազմավարությունները և համապատասխան վճարումները (տես աղյուսակ 26.1):

Եթե ​​նման աղյուսակ է կազմվում, ապա G խաղն ասում են, որ վերածվում է մատրիցային ձևի (ինքնին, խաղը նման ձևի բերելն արդեն կարող է բարդ խնդիր լինել, իսկ երբեմն էլ գործնականում անհնար՝ ռազմավարությունների մեծ քանակի պատճառով։ ) Նկատի ունեցեք, որ եթե խաղը վերածվում է մատրիցային ձևի, ապա բազմաշարժ խաղն իրականում վերածվում է մեկ քայլի խաղի. խաղացողից պահանջվում է կատարել միայն մեկ քայլ՝ ընտրել ռազմավարություն: Մենք հակիրճ կնշենք խաղի մատրիցը

Դիտարկենք G (4X5) խաղի օրինակ մատրիցային տեսքով: Մեր տրամադրության տակ (ընտրելու համար) չորս ռազմավարություն, թշնամին ունի հինգ ռազմավարություն: Խաղի մատրիցը տրված է աղյուսակ 26.2-ում

Եկեք մտածենք, թե ինչ ռազմավարություն ենք մենք (խաղացող Ա) օգտագործում: Մատրից 26.2-ն ունի գայթակղիչ «10» հատուցում; մենք պատրաստվում ենք ընտրել այնպիսի ռազմավարություն, որով մենք կստանանք այս «խոսքը»:

Բայց սպասիր, թշնամին էլ հիմար չէ։ Եթե ​​մենք ընտրենք ռազմավարությունը, նա, ի հեճուկս մեզ, կընտրի ռազմավարությունը, և մենք կստանանք «1» խղճուկ վարձատրություն։ Ոչ, դուք չեք կարող ընտրել ռազմավարություն: Ինչպե՞ս լինել: Ակնհայտորեն, ելնելով զգուշավորության սկզբունքից (և դա խաղերի տեսության հիմնական սկզբունքն է) մենք պետք է ընտրենք այն ռազմավարությունը, որի համար մեր նվազագույն շահույթը առավելագույնն է։

Աղյուսակ 26.2

Սա այսպես կոչված «մինի-մաքս» սկզբունքն է՝ գործիր այնպես, որ հակառակորդիդ վատագույն պահվածքով առավելագույն շահույթ ստանաս:

Եկեք վերագրենք 26.2 աղյուսակը և աջ լրացուցիչ սյունակում կգրենք յուրաքանչյուր տողում շահույթի նվազագույն արժեքը (նվազագույնը տող); եկեք այն նշանակենք a տողով (տես աղյուսակ 26.3):

Աղյուսակ 26.3

Բոլոր արժեքներից (աջ սյունակ) ընտրված է ամենամեծը (3): Այն համապատասխանում է ռազմավարությանը: Ընտրելով այս ռազմավարությունը՝ մենք ամեն դեպքում կարող ենք վստահ լինել, որ (հակառակորդի ցանկացած պահվածքի համար) մենք կշահենք 3-ից ոչ պակաս: Այս արժեքը մեր երաշխավորված շահն է. զգույշ վարվելով՝ մենք չենք կարող սրանից պակաս ստանալ, կարող ենք ավելին ստանալ):

Այս վճարումը կոչվում է խաղի ավելի ցածր գին (կամ «maximin»՝ նվազագույն վճարումների առավելագույնը): Այն կնշանակենք որպես ա. Մեր դեպքում

Հիմա հաշվի առնենք թշնամու տեսակետը և վիճենք նրա փոխարեն։ Նա ինչ-որ գրավատուն չէ, այլ նաև ողջամիտ: Ընտրելով ռազմավարություն՝ նա կցանկանար ավելի քիչ տալ, բայց պետք է հույս դնի մեր վարքի վրա, որն իր համար ամենավատն է։ Եթե ​​ռազմավարություն ընտրի, մենք նրան կպատասխանենք, նա էլ կտա 10; եթե նա ընտրի, մենք կպատասխանենք նրան, և նա կվերադարձնի այն և այլն: Աղյուսակ 26.3-ին ավելացնում ենք լրացուցիչ ստորին տող և գրում սյունակների առավելագույն չափերը: Ակնհայտ է, որ զգուշավոր հակառակորդը պետք է ընտրի այն ռազմավարությունը, որի համար այս արժեքը համապատասխանում է: նվազագույն (համապատասխան 5 արժեքը նշված է աղյուսակ 26.3-ում): Այս P արժեքը շահույթի արժեքն է, որից ավելին խելամիտ հակառակորդը մեզ հաստատ չի տա: Այն կոչվում է խաղի վերին գին (կամ «mi-nimax»՝ առավելագույն շահումների նվազագույնը): Մեր օրինակում, և ձեռք է բերվել հակառակորդի ռազմավարությամբ

Այսպիսով, զգուշության սկզբունքից ելնելով (վերաապահովագրության կանոնը՝ «միշտ հաշվել վատագույնի վրա») մենք պետք է ընտրենք ռազմավարություն Ա, իսկ թշնամին՝ ռազմավարություն։ Քանի դեռ մեր օրինակում երկու կողմերն էլ հավատարիմ են մնում իրենց նվազագույն ռազմավարությանը, արդյունքը կլինի

Հիմա մի պահ պատկերացրեք, որ մենք իմացել ենք, որ թշնամին հետևում է ռազմավարությանը: Արի, մենք պատժում ենք նրան սրա համար և ընտրում ենք ռազմավարություն, ստանում ենք 5, և սա այնքան էլ վատ չէ։ Բայց, ի վերջո, թշնամին նույնպես կարոտ չէ. թող նրան իմանա, որ մեր ռազմավարությունն է, նա նույնպես կշտապի ընտրել՝ նվազեցնելով մեր վարձատրությունը 2-ի և այլն (գործընկերները «շտապեցին ռազմավարությունների շուրջ»): Մի խոսքով, մեր օրինակի նվազագույն ռազմավարությունները անկայուն են մյուս կողմի վարքագծի վերաբերյալ տեղեկատվության նկատմամբ. այս ռազմավարությունները չունեն հավասարակշռության հատկություն:

Մի՞շտ է այսպես։ Ոչ միշտ չէ: Դիտարկենք 26.4 աղյուսակում տրված մատրիցով օրինակ:

Այս օրինակում խաղի ցածր գինը հավասար է վերինին. Ի՞նչ է հետևում սրանից։ A և B խաղացողների նվազագույն ռազմավարությունները կայուն կլինեն: Քանի դեռ երկու խաղացողներն էլ հավատարիմ են մնում դրանց, վարձատրությունը 6 է: Եկեք տեսնենք, թե ինչ կլինի, եթե մենք (A) պարզենք, որ հակառակորդը (B) հավատարիմ է B ռազմավարությանը:

Աղյուսակ 26.4

Եվ կոնկրետ ոչինչ չի փոխվի, Որովհետև ռազմավարությունից ցանկացած շեղում կարող է միայն վատթարացնել մեր վիճակը։ Հավասարապես, հակառակորդի ստացած տեղեկատվությունը չի ստիպի նրան նահանջել իր ռազմավարությունից։ Թամբի կետի և հավասարակշռված զույգ ռազմավարությունների առկայության նշան է խաղի ստորին և վերին գների հավասարությունը. ընդհանուր արժեքը կոչվում է խաղի գին: Մենք այն պիտակավորելու ենք

Ռազմավարությունները (այս դեպքում՝ ), որոնց դեպքում ձեռք է բերվում այդ շահույթը, կոչվում են օպտիմալ մաքուր ռազմավարություններ, և դրանց համակցությունը խաղի լուծում է։ Այս դեպքում, ասում են, որ խաղն ինքնին լուծվում է զուտ ռազմավարություններով: Երկու կողմերին էլ՝ A, և B, կարող են տրվել իրենց օպտիմալ ռազմավարությունները, որոնցում նրանց դիրքորոշումը լավագույնն է: Եվ այդ խաղացողը A-ն հաղթում է 6-ում, իսկ B-ն պարտվում է, լավ, խաղի պայմաններն են՝ դրանք ձեռնտու են A-ին, իսկ B-ին ձեռնտու:

Ընթերցողի մոտ կարող է հարց առաջանալ. ինչո՞ւ են օպտիմալ ռազմավարությունները կոչվում «մաքուր»: Մի փոքր առաջ նայելով՝ պատասխանենք այս հարցին. կան «խառը» ռազմավարություններ, որոնք բաղկացած են նրանից, որ խաղացողը օգտագործում է ոչ թե մեկ, այլ մի քանի ռազմավարություն՝ դրանք պատահականորեն փոխարինելով։ Այսպիսով, եթե ընդունենք, բացի մաքուրներից, նաև խառը ռազմավարություններից, ցանկացած վերջավոր խաղ ունի լուծում՝ հավասարակշռության կետ։ Բայց այս մասին ավելին դեռ սպասվում է:

Խաղում թամբի կետի առկայությունը հեռու է կանոն լինելուց, ավելի շուտ բացառություն է: Խաղերի մեծ մասը թամբի կետ չունի: Այնուամենայնիվ, կա մի շարք խաղեր, որոնք միշտ ունեն թամբի կետ և, հետևաբար, լուծվում են մաքուր ռազմավարություններով: Սրանք այսպես կոչված «խաղեր են ամբողջական ինֆորմացիայով»։ Ամբողջական ինֆորմացիայով խաղը խաղ է, որտեղ յուրաքանչյուր խաղացող գիտի իր զարգացման ողջ նախապատմությունը յուրաքանչյուր անհատական ​​քայլի ժամանակ, այսինքն՝ բոլոր նախորդ քայլերի արդյունքները՝ և՛ անձնական, և՛ պատահական: Ամբողջական տեղեկատվություն ունեցող խաղերի օրինակներ են շաշկի, շախմատի, տիկ-տակ-ոտքի և այլն:

Խաղերի տեսության մեջ ապացուցված է, որ ամբողջական տեղեկատվություն ունեցող յուրաքանչյուր խաղ ունի մի թամբի կետ, և, հետևաբար, կարող է լուծվել մաքուր ռազմավարություններով: Կատարյալ տեղեկատվություն ունեցող յուրաքանչյուր խաղում կա մի զույգ օպտիմալ ռազմավարություն, որը կայուն վարձատրություն է տալիս, որը հավասար է խաղի գնին և. Եթե ​​նման խաղը բաղկացած է միայն անձնական քայլերից, ապա, երբ յուրաքանչյուր խաղացող կիրառում է իր սեփական օպտիմալ ռազմավարությունը, այն պետք է ավարտվի միանգամայն որոշակի կերպով՝ խաղի գնին հավասար վարձատրությամբ: Այսպիսով, եթե խաղի լուծումը հայտնի է, խաղն ինքնին կորցնում է իր իմաստը:

Բերենք ամբողջական տեղեկություններով խաղի տարրական օրինակ. երկու խաղացող հերթափոխով նիկելներ են դնում կլոր սեղանի վրա՝ կամայականորեն ընտրելով մետաղադրամի կենտրոնի դիրքը (մետաղադրամների փոխադարձ համընկնումը չի թույլատրվում): Հաղթում է նա, ով դնում է վերջին կոպեկը (երբ ուրիշների համար տեղ չկա): Հեշտ է տեսնել, որ այս խաղի ելքը ըստ էության կանխորոշված ​​եզրակացություն է: Կա որոշակի ռազմավարություն, որը երաշխավորում է, որ այն խաղացողը, ով առաջինը դնում է մետաղադրամը, հաղթում է:

Մասնավորապես, նա պետք է առաջին անգամ նիկել դնի սեղանի կենտրոնում, իսկ հետո հակառակորդի յուրաքանչյուր քայլին պատասխանի սիմետրիկ քայլով։ Ակնհայտ է, որ հակառակորդը ինչպես էլ իրեն պահի, չի կարող խուսափել պարտությունից։ Իրավիճակը ճիշտ նույնն է շախմատի և ընդհանրապես ամբողջական տեղեկատվություն պարունակող խաղերի դեպքում. դրանցից որևէ մեկը, գրված մատրիցային ձևով, ունի թամբի կետ, հետևաբար լուծումը գտնվում է զուտ ռազմավարությունների մեջ և, հետևաբար, իմաստ ունի միայն այնքան ժամանակ, քանի դեռ այս լուծումն ունի: չի գտնվել. Ասենք շախմատային խաղկա՛մ միշտ ավարտվում է սպիտակների հաղթանակով, կա՛մ միշտ ավարտվում է սևերի հաղթանակով, կա՛մ միշտ ավարտվում է ոչ-ոքիով, բայց կոնկրետ ինչ՝ մենք դեռ չգիտենք (բարեբախտաբար շախմատի սիրահարների համար): Ավելացնենք ևս մեկ բան. տեսանելի ապագայում մենք դժվար թե իմանանք, քանի որ ռազմավարությունների թիվն այնքան մեծ է, որ չափազանց դժվար է (եթե ոչ անհնար) խաղը հասցնել մատրիցային ձևի և դրանում թամբի կետ գտնել:

Եվ հիմա եկեք ինքներս մեզ հարցնենք, թե ինչ անել, եթե խաղը չունի թամբի կետ. Դե, եթե յուրաքանչյուր խաղացող ստիպված է ընտրել մեկ մաքուր ռազմավարություն, ապա անելիք չկա. մենք պետք է առաջնորդվենք նվազագույն սկզբունքով: Մեկ այլ բան այն է, որ եթե դուք կարող եք «խառնել» ձեր ռազմավարությունները, փոխարինեք դրանք պատահականորեն որոշ հավանականություններով: Խառը ռազմավարությունների կիրառումը ենթադրվում է այսպես. խաղը կրկնվում է բազմիցս. Խաղի յուրաքանչյուր խաղից առաջ, երբ խաղացողին տրվում է անձնական քայլ, նա իր ընտրությունը «վստահում է» պատահականությանը, «վիճակ է գցում» և վերցնում է անհաջող մարտավարությունը (մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես կազմակերպել վիճակախաղը նախորդ գլխից. )

Խաղերի տեսության մեջ խառը ռազմավարությունները փոփոխական, ճկուն մարտավարության մոդել են, երբ խաղացողներից ոչ մեկը չգիտի, թե մրցակիցն ինչպես իրեն կպահի տվյալ խաղում: Այս մարտավարությունը (թեև սովորաբար առանց որևէ մաթեմատիկական հիմնավորման) հաճախ օգտագործվում է թղթախաղեր. Միևնույն ժամանակ նկատենք, որ ձեր վարքագիծը թշնամուց թաքցնելու լավագույն միջոցը դրան պատահական բնույթ տալն է և, հետևաբար, նախապես չիմանալն է, թե ինչ եք անելու։

Այսպիսով, եկեք խոսենք խառը ռազմավարությունների մասին: Մենք կնշենք համապատասխանաբար A և B խաղացողների խառը ռազմավարությունները

Կոնկրետ դեպքում, երբ բոլոր հավանականությունները, բացի մեկից, հավասար են զրոյի, իսկ այս մեկը հավասար է մեկի, խառը ռազմավարությունը վերածվում է մաքուրի։

Գոյություն ունի խաղերի տեսության հիմնարար թեորեմ. ցանկացած երկու խաղացողով վերջավոր զրոյական գումարով խաղ ունի առնվազն մեկ լուծում՝ մի զույգ օպտիմալ ռազմավարություններ, ընդհանուր առմամբ խառը, և համապատասխան գին:

Խաղի լուծում ձևավորող օպտիմալ ռազմավարությունների զույգը ունի հետևյալ հատկությունը՝ եթե խաղացողներից մեկը հավատարիմ է մնում իր օպտիմալ ռազմավարությանը, ապա մյուսի համար չի կարող ձեռնտու շեղվել նրանից։ Ռազմավարությունների այս զույգը խաղի մեջ ձևավորում է մի տեսակ հավասարակշռություն. խաղացողներից մեկը ցանկանում է վճարումը դարձնել առավելագույնը, մյուսը` նվազագույնի, յուրաքանչյուրը ձգվում է իր ուղղությամբ, և երկուսի խելամիտ պահվածքով` հավասարակշռություն և հաստատված են կայուն վարձատրություն: Եթե ​​խաղը մեզ ձեռնտու է, եթե՝ թշնամուն. երբ խաղը «արդար» է, հավասարապես շահավետ երկու մասնակիցների համար։

Դիտարկենք առանց թամբի կետի խաղի օրինակ և տվեք (առանց ապացույցի) դրա լուծումը: Խաղը հետևյալն է. երկու խաղացող A և B միաժամանակ և առանց որևէ բառ ասելու ցույց են տալիս մեկ, երկու կամ երեք մատ: Շահումը որոշվում է մատների ընդհանուր քանակով. եթե զույգ է, ապա A-ն հաղթում է և B-ից ստանում է այս թվին հավասար գումար. եթե կենտ է, ապա, ընդհակառակը, Ա-ն B-ին վճարում է այս թվին հավասար գումար: Ի՞նչ պետք է անեն խաղացողները:

Եկեք ստեղծենք խաղի մատրիցա: Մեկ խաղում յուրաքանչյուր խաղացող ունի երեք ռազմավարություն՝ ցույց տալ մեկ, երկու կամ երեք մատ: 3x3 մատրիցը տրված է Աղյուսակ 26.5-ում; Լրացուցիչ աջ սյունակը ցույց է տալիս տողի նվազագույնը, իսկ լրացուցիչ ներքևի տողը ցույց է տալիս սյունակի առավելագույնը:

Խաղի ցածր գինը համապատասխանում է ռազմավարությանը: Սա նշանակում է, որ խելամիտ, զգույշ պահվածքով մենք երաշխավորում ենք, որ չենք կորցնի 3-ից ավելի: մատրիցայի բջիջները: Մեզ համար վատ է, խաղացող Լ... Բայց եկեք մխիթարվենք. մրցակցի դիրքն ավելի վատ է թվում. խաղի ավելի ցածր գինը: ողջամիտ վարքագիծ, նա մեզ նվազագույնը 4 կտա։