Underhållande logik i matematik. Underhållande logik Math logik frågor

1. Förklarande anmärkning
1.1 Relevans
1.2 Syftet med programmet
1.3 Programmål
1.4 Villkor för genomförandet av programmet, barns ålder, former för att genomföra klasser
1.5 Stadier av programmets genomförande
1.6 Programinnehåll
1.7 Förväntade resultat

2. Metodstöd
2.1 Perspektiv-tematisk plan för cirkeln " Underhållande logik»

3. Diagnosprogram för äldre förskolebarns logiska tänkande.

5. Informationsresurser

1. Förklarande anmärkning.
Varför logik för en liten förskolebarn?
Enligt L.A. Wenger, "för femåriga barn är de yttre egenskaperna hos saker helt klart inte tillräckliga. De är ganska redo att gradvis bekanta sig inte bara med externa, utan också med interna, dolda egenskaper och relationer som ligger till grund för vetenskaplig kunskap om världen ... Allt detta kommer att vara fördelaktigt mental utveckling barn endast om träningen syftar till att utveckla mentala förmågor, de förmågor inom perception, fantasifullt tänkande, fantasi, som är baserade på assimilering av prover av sakers yttre egenskaper och deras varianter ... "
De färdigheter som barnet förvärvar under förskoletiden kommer att ligga till grund för att få kunskap och utveckla förmågor i högre ålder - i skolan. Och den viktigaste bland dessa färdigheter är färdigheten i logiskt tänkande, förmågan att "agera i sinnet." Det kommer att bli svårare för ett barn som inte behärskar metoderna för logiskt tänkande att lösa problem; att utföra övningar kommer att kräva mycket tid och ansträngning. Som ett resultat kan barnets hälsa bli lidande, intresset för lärande kan försvagas eller till och med försvinna.
Efter att ha bemästrat logiska operationer kommer barnet att vara mer uppmärksamt, lära sig att tänka klart och tydligt och kunna koncentrera sig på problemets kärna vid rätt tidpunkt. Det kommer att bli lättare att lära sig, vilket innebär att inlärningsprocessen, och sig själv skol liv kommer att ge glädje och tillfredsställelse.
Detta program visar hur det genom speciella spel och övningar är möjligt att bilda barns förmåga att självständigt etablera logiska relationer i den omgivande verkligheten.
Genom att arbeta med förskolebarn om utvecklingen av kognitiva processer kommer du till slutsatsen att en av de nödvändiga förutsättningarna för deras framgångsrika utveckling och lärande är konsekvens, d.v.s. ett system av speciella spel och övningar med konsekvent utvecklande och mer komplext innehåll, med didaktiska uppgifter, spelåtgärder och regler. Separat tagna spel och övningar kan vara mycket intressanta, men att använda dem utanför systemet kan man inte uppnå önskat inlärnings- och utvecklingsresultat.
1.1 Relevans
För en framgångsrik utveckling av skolans läroplan behöver barnet inte bara veta mycket, utan också tänka konsekvent och slutgiltigt, gissa, visa mental spänning, tänka logiskt.
Att lära ut utvecklingen av logiskt tänkande är av ingen liten betydelse för den blivande studenten och är mycket relevant idag.
Genom att behärska vilken metod som helst för memorering lär sig barnet att peka ut ett mål och utföra visst arbete med materialet för att uppnå det. Han börjar förstå behovet av att upprepa, jämföra, generalisera, gruppmaterial i syfte att memorera.
Att lära barn om klassificering bidrar till att framgångsrikt bemästra ett mer komplext sätt att komma ihåg - den semantiska gruppering som barn möter i skolan.
Genom att använda möjligheterna för utveckling av logiskt tänkande och minne hos förskolebarn är det möjligt att mer framgångsrikt förbereda barn för att lösa de problem som skolundervisningen ställer framför oss.
Utvecklingen av logiskt tänkande inkluderar användningen av didaktiska spel, uppfinningsrikedom, pussel, lösa olika logiska spel och labyrinter och är av stort intresse för barn. I denna aktivitet bildas viktiga personlighetsdrag hos barn: självständighet, fyndighet, uppfinningsrikedom, uthållighet utvecklas och konstruktiva färdigheter utvecklas. Barn lär sig att planera sina handlingar, tänka på dem, gissa på jakt efter ett resultat, samtidigt som de visar kreativitet.
När du arbetar med barn kan du märka att många barn inte klarar av till synes enkla logiska uppgifter. Till exempel kan de flesta barn i äldre förskoleålder inte korrekt svara på frågan om vad som är mer: frukt eller äpplen, även om de har en bild i sina händer som frukter ritas på - många äpplen och flera päron. Barn kommer att svara att det finns fler päron. I sådana fall baserar han sina svar på vad han ser med egna ögon. De är "svikna" av fantasifullt tänkande, och vid 5 års ålder har barn ännu inte logiskt resonemang. I senior förskoleåldern de börjar visa element av logiskt tänkande, karakteristiska för skolbarn och vuxna, som måste utvecklas för att identifiera de mest optimala metoderna för utveckling av logiskt tänkande.
Spel med logiskt innehåll hjälper till att odla kognitiva intresse hos barn, bidra till forskning och kreativt sökande, lust och förmåga att lära. Didaktiska spel som en av de mest naturliga aktiviteterna för barn och bidrar till bildandet och utvecklingen av intellektuella och kreativa manifestationer, självuttryck och oberoende. Utvecklingen av logiskt tänkande hos barn genom didaktiska spelär viktigt för framgången för efterföljande skolgång, för korrekt bildning av elevens personlighet och i vidareutbildning kommer att hjälpa till att framgångsrikt bemästra grunderna i matematik och datavetenskap.
1.2 Syftet med programmet: skapa förutsättningar för maximal utveckling av förskolebarns logiska tänkande som förberedelse för framgångsrik skolgång.
1.3 Programmål:

  • lära barn grundläggande logiska operationer: analys, syntes, jämförelse, negation, klassificering, systematisering, begränsning, generalisering, slutledning
  • lära barn att navigera i rymden
  • utveckla hos barn högre mentala funktioner, förmågan att resonera, bevisa
  • att odla viljan att övervinna svårigheter, självförtroende, viljan att hjälpa en kamrat

1.4 Villkor för genomförandet av programmet, barns ålder, former för att genomföra klasser
Programgenomförandeperioder – 1-2 år
Programmet är utformat för barn 5-7 år.
Programmet ger möjlighet att genomföra cirkelklasser i olika former:

  • Enskild självständigt arbete barn.
  • Arbeta i par.
  • Grupparbetsformer.
  • Differentierad.
  • Frontal kontroll och kontroll.
  • Självutvärdering av utfört arbete.
  • Didaktiskt spel.
  • Konkurrens.
  • Tävlingar.

1.5 Stadier av programmets genomförande
Aktivitetstekniken byggs upp i steg:

  1. Diagnos av den initiala utvecklingsnivån av kognitiva processer och kontroll över deras utveckling.
  2. Planera medlen med vilka en eller annan kvalitet kan utvecklas (uppmärksamhet, minne, fantasi, tänkande), med hänsyn till varje barns individualitet och tillgänglig kunskap
  3. Att bygga en tvärvetenskaplig (integrerad) grund för utbildning i en utvecklande kurs.
  4. Gradvis komplikation av materialet, en gradvis ökning av mängden arbete, vilket ökar nivån av oberoende hos barn.
  5. Bekantskap med teorins inslag, undervisningsmetoder för resonemang, självargumentation av val.
  6. Integration av kunskap och metoder kognitiv aktivitet, behärska dess generaliserade tekniker.
  7. Utvärdering av utvecklingskursens resultat enligt de utvecklade kriterierna, som bör omfatta barnet (självkänsla, självkontroll, ömsesidig kontroll).

1. 6 Programinnehåll
Kort beskrivning avsnitt och ämnen i klasser (avsnitt motsvarar en viss logisk operation som barn kommer att lära sig i klassen):

1. Analys - syntes.
Målet är att lära barn att dela upp helheten i delar, att skapa en koppling mellan dem; lära sig att mentalt kombinera delar av ett objekt till en enda helhet.
Spel och övningar: hitta ett logiskt par (katt - kattunge, hund - ? (valp)). Komplettera bilden (plocka upp en lapp, rita en ficka till klänningen). Sök efter motsatser (lätt - tung, kall - varm). Arbeta med pussel av varierande komplexitet. Lägga ut bilder från räknepinnar och geometriska former.

2. Jämförelse.
Målet är att lära ut att mentalt fastställa likheter och skillnader mellan föremål enligt väsentliga egenskaper; utveckla uppmärksamhet, uppfattning om barn. Förbättra orienteringen i rymden.
Spel och övningar: konsolidering av begrepp: stor - liten, lång - kort, låg - hög, smal - bred, högre - lägre, längre - närmare, etc. Arbetar med begreppen "samma", "de flesta". Sök efter likheter och skillnader i 2 liknande bilder.

3. Begränsning.
Målet är att lära ut att peka ut ett eller flera föremål från en grupp enligt vissa egenskaper. Utveckla barns observationsförmåga.
Spel och övningar: "cirkla bara röda flaggor med en linje", "hitta alla icke-cirkulära föremål" osv. Uteslutning av den fjärde överflödiga.

4. Generalisering.
Målet är att lära sig att mentalt kombinera föremål till en grupp enligt deras egenskaper. Bidra till att berika ordförrådet, utöka vardagskunskapen om barn.
Spel och övningar för att arbeta med generaliserande begrepp: möbler, disk, transport, grönsaker, frukt, etc.

5. Systematisering.
Målet är att lära sig att identifiera mönster; utöka barnens ordförråd; lära sig berätta från en bild, återberätta.
Spel och övningar: magiska rutor (plocka upp den saknade delen, bild). Rita upp en berättelse baserad på en serie bilder, ordna bilderna i en logisk följd.

6. Klassificering.
Målet är att lära sig att fördela objekt i grupper enligt deras väsentliga egenskaper. Konsolidering av generaliserande begrepp, fri drift med dem.

7. Slutledning.
Målet är att med hjälp av bedömningar lära ut att göra en slutsats. Bidra till att utöka hushållens kunskap om barn. Utveckla fantasin.
Spel och övningar: sök efter positiva och negativa fenomen i fenomen (till exempel när det regnar ger det näring åt växterna - det här är bra, men det dåliga är att i regnet kan en person bli blöt, bli förkyld och bli sjuk) . Utvärdering av riktigheten av vissa bedömningar ("vinden blåser för att träden vajar." eller hur?). Lösning logiska uppgifter.

1.7 Förväntade resultat
Planerade resultat:
Barn bör veta:

  • principer för att konstruera mönster, egenskaper hos tal, objekt, fenomen, ord;
  • principerna för strukturen av pussel, korsord, kedjeord, labyrinter;
  • antonymer och synonymer;
  • namn på geometriska former och deras egenskaper;
  • principen för programmering och utarbetande av en handlingsalgoritm.

Barn ska kunna:

  • fastställa mönster och utföra en uppgift enligt detta mönster, klassificera och gruppera objekt, jämföra, hitta vanliga och särskilda egenskaper, generalisera och abstrahera, analysera och utvärdera deras aktiviteter;
  • genom resonemang, lösa logiska, icke-standardiserade problem, utföra kreativ sökning, verbalt-didaktiska, numeriska uppgifter, hitta svaret på matematiska gåtor;
  • svara snabbt och korrekt under uppvärmningen på de ställda frågorna;
  • utföra uppgifter för att träna uppmärksamhet, perception, minne
  • utföra grafiska diktat, kunna navigera i en schematisk representation av grafiska uppgifter;
  • kunna sätta upp ett mål, planera arbetsmomenten, nå resultat med egna ansträngningar.

Sätt att kontrollera resultatet av arbetet : generaliserande klasser efter varje avsnitt och 2 diagnostik (inledande (september) och sista (maj)) av nivån för att behärska logiskt tänkande.

Sherlock Holmes ord: "Hur många gånger har jag sagt till dig, släpp allt omöjligt, då kommer det som återstår att vara svaret, hur otroligt det än kan verka", skulle kunna fungera som en epigraf till detta kapitel.

Om att lösa ett pussel bara kräver förmågan att tänka logiskt och inte behöver utföra aritmetiska beräkningar alls, så brukar ett sådant pussel kallas för ett logiskt problem. Logiska problem hör naturligtvis till de matematiska, eftersom logik kan betraktas som mycket allmän, grundläggande matematik. Ändå är det bekvämt att peka ut och studera logiska pussel separat från sina fler aritmetiska systrar. I det här kapitlet kommer vi att beskriva tre vanliga typer av logiska problem och försöka ta reda på hur vi ska närma oss dem.

Den vanligaste typen av problem som pusselälskare ibland kallar "Smith-Jones-Robinson-problemet" (i analogi med det gamla pusslet som uppfanns av G. Dudeni).

Den består av en serie paket som vanligtvis rapporterar viss information om karaktärerna; På grundval av dessa antaganden måste vissa slutsatser dras. Så här ser till exempel den senaste amerikanska versionen av Dudeney-problemet ut:

1. Smith, Jones och Robinson arbetar i samma tågpersonal som förare, konduktör och brandman. Deras yrken är inte nödvändigtvis namngivna i samma ordning som deras efternamn. Det finns tre passagerare med samma efternamn på tåget som betjänas av brigaden.

I framtiden kommer vi respektfullt att kalla varje passagerare "Mr" (Mr).

2. Mr Robinson bor i Los Angeles.

3. Konduktören bor i Omaha.

4. Mr. Jones har länge glömt all algebra han lärde sig på college.

5. Passagerare - konduktörens namne bor i Chicago.

6. Konduktören och en av passagerarna, en välkänd specialist i matematisk fysik, går till samma kyrka.

7. Smith slår alltid stokern när de råkar träffas för en omgång biljard.

Vad heter föraren?


Dessa problem skulle kunna översättas till matematisk logiks språk, med hjälp av dess standardnotation, och en lösning skulle kunna sökas med hjälp av lämpliga metoder, men ett sådant tillvägagångssätt skulle vara för besvärligt. Å andra sidan, utan förkortningar av ett eller annat slag, är det svårt att förstå problemets logiska struktur. Det är mest praktiskt att använda en tabell, i de tomma cellerna som vi kommer att ange alla möjliga kombinationer av element i de uppsättningar som övervägs. I vårt fall finns det två sådana uppsättningar, så vi behöver två bord (bild 139).

Ris. 139 Två tabeller för problemet med Smith, Jones och Robinson.


I varje cell anger vi 1 om motsvarande kombination är tillåten, eller 0 om kombinationen motsäger villkoren för problemet. Låt oss se hur det går till. Villkor 7 utesluter uppenbarligen möjligheten att Smith är en stoker, så i rutan i det övre högra hörnet av det vänstra bordet anger vi 0. Villkor 2 berättar att Robinson bor i Los Angeles, så i det nedre vänstra hörnet av bordet vi skriv in 1 och 0 till alla andra celler i den nedre raden och vänster kolumn för att visa att Mr. Robinson inte bor i Omaha eller Chicago, och Mr. Smith och Mr. Jones bor inte i Los Angeles.

Nu måste vi fundera lite. Från villkor 3 och 6 vet vi att den matematiska fysikern bor i Omaha, men vi vet inte hans efternamn. Han kan inte vara varken Mr. Robinson eller Mr. Jones (han har trots allt glömt till och med elementär algebra).

Därför måste det vara herr Smith. Vi noterar denna omständighet genom att sätta 1 i den mellersta cellen i den övre raden i den högra tabellen och 0 i de återstående cellerna i samma rad och tomma celler i den mellersta kolumnen. Den tredje enheten kan nu bara skrivas in i en cell: detta bevisar att Mr. Jones bor i Chicago. Från villkor 5 får vi veta att ledaren också har efternamnet Jones, och vi anger 1 i den centrala cellen i den vänstra tabellen och 0 i alla andra celler i den mellersta raden och mittkolumnen. Efter det tar våra tabeller den form som visas i fig. 140.



Ris. 140 Tabell ägg som visas i fig. 139, efter förfyllning.


Nu är det inte svårt att fortsätta resonemanget som leder fram till det slutgiltiga svaret. I kolumnen märkt "Stoker" kan en enhet endast placeras i den nedre cellen. Det följer omedelbart av detta att 0 ska stå i det nedre vänstra hörnet. Endast cellen i tabellens övre vänstra hörn förblir tom, där endast 1 kan sättas. Så, förarens namn är Smith.

Lewis Carroll tyckte om att uppfinna extremt komplexa och geniala problem av detta slag. Dekanus för matematik vid Dortmouth College, John J. Kemeny, programmerade ett av de monstruösa (med 13 variabler och 12 villkor, av vilka det följer att "ingen domare sniffar tobak") Carroll-problem för IBM-704-datorn. Maskinen slutförde lösningen på cirka 4 minuter, även om det skulle ha tagit 13 timmar att skriva ut den fullständiga "sanningstabellen" för problemet (en tabell som visar om de möjliga kombinationerna av sanningsvärden för problemets variabler är sanna eller falska!

För läsare som vill pröva lyckan med ett svårare problem än Smith-Jones-Robinson-problemet erbjuder vi ett nytt pussel. Dess författare är R. Smullyan från Princeton University.

1. År 1918, den första Världskrig. På dagen för undertecknandet av fredsfördraget samlades tre gifta par för att fira denna händelse vid festbordet.

2. Varje man var bror till en av fruarna, och varje hustru var syster till en av männen, det vill säga bland de närvarande kunde tre besläktade par av "bror och syster" anges.

3. Helen är exakt 26 veckor äldre än sin man, som föddes i augusti.

4. Mr. Whites syster är gift med Ellens svåger och gifte sig med honom på hennes födelsedag, i januari.

5. Margaret White är kortare än William Blake.

6. Arthurs syster är snyggare än Beatrice.

7. John är 50 år gammal.

Vad heter Mrs Brown?


Inte mindre vanligt är en annan mängd logiska problem, som i analogi med följande välkända exempel kan kallas problem av typen "färgade lockproblem". Tre personer (låt oss kalla dem A, B och FRÅN) ögonbindel och säga att var och en av dem satt på antingen en röd eller en grön mössa. Sedan knyts deras ögon upp och de uppmanas att räcka upp handen om de ser en röd mössa, och lämna rummet om de är säkra på att de vet vilken färg kepsen har på huvudet. Alla tre hattarna visade sig vara röda, så alla tre räckte upp händerna. Det gick flera minuter och FRÅN, vilket är mer intelligent än MEN och PÅ, lämnade rummet. Hur FRÅN kunde avgöra vilken färg hatten har på den?

[Problemet med de vise männen i gröna kepsar är formulerat i texten på ett sådant sätt att det inte kan ha en lösning. Detta är särskilt tydligt när antalet vise män är stort. Hur lång tid kommer det att ta den första vise mannen att gissa den sanna situationen?

I slutet av fyrtiotalet diskuterades detta problem intensivt i Moskva i skolans matematiska kretsar, och en ny version av det uppfanns, där diskret tid introducerades. Uppgiften såg ut så här.

I forna tider bodde vise män i en stad. Var och en av dem hade en fru. På morgnarna kom de till marknaden och fick reda på allt skvaller i staden där. De var själva skvallrare. Det gav dem ett stort nöje att lära sig om någon av fruarnas otrohet - de fick reda på det direkt. En outtalad regel följdes dock strikt: ingenting rapporterades någonsin till mannen om hans fru, eftersom var och en av dem, efter att ha lärt sig om sin egen skam, skulle ha drivit ut sin fru ur huset. Så de levde, njöt av intima samtal och förblev helt okunniga om sina egna angelägenheter.

Men en dag kom ett riktigt skvaller till stan. Han kom till basaren och förklarade offentligt: ​​"Men inte alla vise män har trogna fruar!" Det verkar som att skvallret inte sa något nytt - och så visste alla det, varje vis visste det (bara med illvilja tänkte han inte på sig själv, utan på den andre), så ingen av invånarna uppmärksammade skvallrets ord . Men de vise männen tänkte – det är därför de är vise män – och n– Dagen efter skvallrets ankomst utvisades n vise män och otrogna fruar (om det fanns n).

Det är inte svårt att återställa de vises resonemang. Det är svårare att svara på frågan: vilken information lade skvallermannen till det som var känt för de vise även utan honom?

Detta problem har upprepade gånger stött på i litteraturen].

C frågar sig om hans keps kan vara grön. Om så vore fallet, då MEN skulle genast känna igen att han hade en röd keps, eftersom bara en röd keps på huvudet kunde göra PÅ räcka upp en hand. Men då MEN skulle lämna rummet. PÅ skulle ha börjat resonera på exakt samma sätt och skulle också ha lämnat rummet. Eftersom varken det ena eller det andra kom ut, FRÅN kom fram till att hans egen keps skulle vara röd.

Detta problem kan generaliseras till fallet när det finns hur många som helst och alla bär röda kepsar. Antag att en fjärde skådespelare har dykt upp i problemet D, ännu mer insiktsfull än CD skulle kunna resonera så här: ”Om min keps vore grön, alltså A, B och FRÅN skulle hamna i exakt samma situation som nyss beskrivits, och inom några minuter skulle den mest insiktsfulla av trion säkert lämna rummet.

Men fem minuter har redan gått, och ingen av dem kommer ut, därför är min keps röd.

Om det fanns en femte medlem som var ännu smartare än D, kunde han ha kommit fram till att han bar en röd keps efter att ha väntat tio minuter. Naturligtvis tappar vårt resonemang sin övertalningsförmåga på grund av antaganden om olika grader av uppfinningsrikedom. A, B, C... och ganska vaga överväganden om hur länge den mest insiktsfulla personen bör vänta innan han självsäkert kan namnge färgen på sin hatt.

Vissa andra problem med "color cap" innehåller mindre osäkerhet. Ett sådant är till exempel följande problem, också uppfunnit av Smullyan. Var och en av de tre A, B och FRÅN- är flytande i logik, det vill säga han vet hur man omedelbart kan extrahera alla konsekvenser från en given uppsättning lokaler och vet att resten också har denna förmåga.

Vi tar fyra röda och fyra gröna stämplar, binder för ögonen våra "logiker" och klistrar två stämplar på var och en av deras pannor. Sedan tar vi bort bandagen från deras ögon och frågar i sin tur A, B och FRÅN samma fråga: "Vet du vilken färg stämplarna har på din panna?" Var och en av dem svarar nekande. Då frågar vi igen MEN och återigen får vi ett negativt svar. Men när vi ställer samma fråga en andra gång PÅ, svarar han jakande.

Vilken färg är märket på pannan PÅ?


Den tredje typen av populära logiska pussel är problem om lögnare och de som alltid talar sanningen. PÅ klassisk version uppgifter vi pratar om en resenär som befinner sig i ett land bebott av två stammar. Medlemmar av en stam ljuger alltid, medlemmar av en annan talar alltid sanningen. Resenären träffar två infödda. "Berättar du alltid sanningen?" frågar han den långe infödingen. Han svarar: "Tarabar". "Han sa ja", förklarar den mindre infödingen som kan engelska, "men han är en fruktansvärd lögnare." Vilken stam tillhör var och en av de infödda?


Ett systematiskt tillvägagångssätt för att lösa skulle vara att skriva ut alla fyra möjligheterna: AI, IL, LI, LL (I betyder "sant", L - "falskt") - och utesluta de som motsäger data om problemet. Ett svar kan fås mycket snabbare om man observerar att den långe infödingen måste svara jakande om han ljuger eller talar sanning. Eftersom den mindre infödingen berättade sanningen, måste han tillhöra de sanningsenligas stam, och hans långa vän - till lögnarstammen.

Det mest kända problemet av denna typ, komplicerat av införandet av sannolikhetsvikter och en inte särskilt tydlig formulering, kan hittas helt oväntat i mitten av sjätte kapitlet i boken New Pathways in Science av den engelske astronomen A. Eddington. "Om en A, B, C och D berätta sanningen en gång av tre (oberoende) och MEN stater som PÅ förnekar det FRÅN säger som om D lögnare, vad är sannolikheten att D berättade sanningen?"

Eddingtons svar, 25/71, möttes av en protesthagl från läsarna och gav upphov till en löjlig och förvirrad tvist som aldrig slutgiltigt löstes. Den engelske astronomen G. Dingle, författaren till en recension av Eddingtons bok publicerad i tidskriften Nature (mars 1935), menade att problemet inte alls förtjänar uppmärksamhet som meningslöst och tyder bara på att Eddington inte tillräckligt tänkt igenom de grundläggande idéerna av sannolikhetsteorin. Den amerikanske fysikern T. Stern (Nature, juni 1935) invände mot detta och menade att problemet enligt hans mening inte på något sätt är meningslöst, men att det inte finns tillräckligt med data för att lösa det.

Som svar påpekade Dingle (Nature, september 1935) att om man tar Sterns synvinkel så finns det tillräckligt med data för ett beslut och svaret blir 1/3. Här gick Eddington in i striden och publicerade (Mathemetical gazette, oktober 1935) en artikel som förklarade i detalj hur han fick sitt svar. Tvisten slutade med ytterligare två artiklar som publicerades i samma tidskrift, författaren till en av dem försvarade Eddington, och den andra lade fram en annan synpunkt än alla tidigare.

Svårigheten ligger främst i att förstå Eddingtons formulering. Om en PÅ, som uttrycker sitt förnekande, talar sanning, då kan vi rimligen anta det FRÅN sa att D tala sanning? Eddington ansåg att det inte fanns tillräckliga skäl för ett sådant antagande. Likaså om MEN lögner, kan vi vara säkra på det PÅ och FRÅN sa de något alls? Lyckligtvis kan vi komma runt alla dessa språkliga svårigheter genom att göra följande antaganden (Eddington gjorde dem inte):

1. Ingen av de fyra förblev tyst.

2. Uttalanden A, B och FRÅN(var och en av dem separat) antingen bekräfta eller förneka följande påstående.

3. Ett falskt påstående sammanfaller med dess negation, och en falsk negation sammanfaller med ett påstående.

Alla fyra ligger oberoende av varandra med en sannolikhet på 1/3, det vill säga i genomsnitt är två av deras tre påståenden falska. Om ett sant påstående betecknas med bokstaven Och, och falsk - bokstav L, sedan för A, B, C och D vi får ett bord som består av åttioen olika kombinationer. Från detta nummer bör man utesluta de kombinationer som är omöjliga på grund av problemets förhållanden.

Antal giltiga kombinationer som slutar med en bokstav Och(dvs sanningsenligt - sant - uttalande D), ska delas med det totala antalet av alla giltiga kombinationer, vilket ger svaret.

Formuleringen av problemet om en resenär och två infödda bör förtydligas. Resenären insåg att ordet "snackor" på de inföddas språk betyder antingen "ja" eller "nej", men han kunde inte gissa vad exakt. Detta skulle ha larmat flera e-postmeddelanden, varav ett jag återger nedan.

Den långe infödingen förstod tydligen inte ett ord av vad resenären sa till honom (på engelska), och kunde inte svara ja eller nej på engelska. Därför betyder hans "prat" något i stil med: "Jag förstår inte" eller "Välkommen till Bongo-Bongo." Följaktligen ljög den lille infödingen när han sa att hans vän svarade "ja", och eftersom den lille var en lögnare, ljög han också när han kallade den långe infödingen för en lögnare. Därför bör en lång inföding betraktas som sanningsenlig.

Så kvinnlig logik gav ett slag mot min manliga fåfänga. Sårar det inte din författares stolthet lite?


Svar

Det första logiska problemet löses bäst med hjälp av tre tabeller: en för kombinationer av för- och efternamn på hustrur, den andra för för- och efternamn på män och den tredje för familjeband.

Eftersom Mrs White heter Margaret (villkor 5) har vi bara två möjligheter kvar för namnen på de andra två fruarna: a) Helen Blake och Beatrice Brown, eller b) Helen Brown och Beatrice Blake.

Låt oss anta att den andra av möjligheterna äger rum. Whites syster måste vara antingen Helen eller Beatrice. Men Beatrice kan inte vara Wynes syster, för då skulle Blake vara Helens bror, och Blakes två svågrar skulle vara White (hans frus bror) och Brown (hans systers man); Beatrice Blake är inte gift med någon av dem, vilket motsäger villkor 4. Därför måste Whites syster vara Helen. Av detta drar vi i sin tur slutsatsen att Browns syster heter Beatrice, och Blakes syster är Margaret.

Det följer av villkor 6 att Mr. White heter Arthur (Brown kan inte vara Arthur, eftersom en sådan kombination skulle innebära att Beatrice är vackrare än hon själv, och Blake kan inte vara Arthur, eftersom vi från villkor 5 känner till hans namn: William). Så, Mr. Brown kan bara vara John. Tyvärr ser vi från villkor 7 att John föddes 1868 (50 år före undertecknandet av fredsfördraget). Men 1868 är ett skottår, så Helen måste vara äldre än sin man med en dag mer än de 26 veckor som anges i villkor 3. (Från villkor 4 vet vi att hon föddes i januari, och från villkor 3 att hennes man föddes i augusti. Hon kan vara exakt 26 veckor äldre än sin man om hennes födelsedag var den 31 januari och hans den 1 augusti, och om det inte fanns den 29 februari mellan dessa datum!) Så, den andra av möjligheterna som vi började med bör kasseras, vilket gör att vi kan namnge fruarna: Margaret White, Helen Blake och Beatrice Brown. Det finns ingen motsägelse här, eftersom vi inte vet vilket år Blake föds. Av villkoren för problemet kan man dra slutsatsen att Margaret är Browns syster, Beatrice är Blakes syster och Helen är Whites syster, men frågan om namnen på White och Brown förblir olöst.


I problemet med frimärken PÅ det finns tre möjligheter. Hans stämplar kan vara: 1) båda röda; 2) båda gröna; 3) den ena är grön och den andra är röd. Låt oss anta att båda stämplarna är röda.

När alla tre har svarat en gång, MEN kan resonera så här: "Märkena på min panna kan inte vara både röda (för då FRÅN skulle ha sett fyra röda stämplar och skulle genast ha insett att han hade två gröna stämplar i pannan, och om FRÅN båda frimärkena var alltså gröna PÅ, när han såg fyra gröna stämplar, skulle han ha insett att han hade två röda stämplar i pannan). Det är därför jag har ett grönt och ett rött märke i pannan.”

Men när MEN frågade en andra gång, han visste inte vilken färg hans märke hade. Det tillät PÅ förkasta möjligheten att båda hans egna stämplar är röda. Att argumentera på exakt samma sätt som A, B utesluter fallet när båda hans frimärken är gröna. Därför lämnades han med bara en möjlighet: en stämpel är grön, den andra är röd.

Flera läsare märkte snabbt att problemet kan lösas väldigt snabbt utan att man behöver analysera frågorna och svaren. Så här skrev en av läsarna om detta: ”Problemets förutsättningar är helt symmetriska med avseende på de röda och gröna märkena.

Därför genom att dela ut frimärken mellan A, B och FRÅN om alla villkor för problemet är uppfyllda och ersätter de röda märkena med grönt och omvänt grönt med rött, kommer vi fram till en annan fördelning, för vilken alla villkor också kommer att uppfyllas. Det följer att om lösningen är unik måste den vara oföränderlig (bör inte ändras) när gröna etiketter ersätts med röda och röda med gröna. En sådan lösning kan bara vara en sådan distribution av frimärken, där B kommer att ha en grön och en röd stämpel.

Som W. Manheimer, dekanus vid institutionen för matematik vid Brooklyn College, uttryckte det, kommer denna eleganta lösning från det faktum att inte A, B och FRÅN(som anges i tillståndet för problemet), och Raymond Smullyan!


I Eddington-problemet är sannolikheten att D säger sanningen, är 13/41. Alla kombinationer av sant och falskt som innehåller ett udda antal gånger falskt (eller sant) bör förkastas eftersom det motsäger villkoren för problemet. Som ett resultat reduceras antalet möjliga kombinationer från 81 till 41, varav endast 13 slutar i ett sant uttalande. D. Eftersom det A, B och FRÅN berätta sanningen i fall som motsvarar exakt samma antal giltiga kombinationer, är sannolikheten att tala sanning densamma för alla fyra.

Använda ekvivalenssymbolen

vilket betyder att de påståenden som förbinds med den är antingen båda sanna eller båda falska (då är den falska påståenden sann, annars är den falsk), och negationssymbolen ~, Eddingtons problem i propositionskalkylen kan skrivas på följande sätt:

eller efter några förenklingar som detta:

Sanningstabellen för detta uttryck bekräftar det redan mottagna svaret.

Anmärkningar:

Det är frustrerande- upprörd, göra något meningslöst, hopplöst, doom to failure (engelska).

Se kapitlet om Raymond Smullyan i boken M. Gardner"Tidsresor" (M.: Mir, 1990).

Eddington A. New Pathways in Science. - Cambridge: 1935; Michigan: 1959.

Introduktion

Logiken är tänkarnas Gud.

L. Feuchtwanger

Förmågan att resonera korrekt är nödvändig inom alla områden av mänsklig verksamhet: vetenskap och teknik, rättvisa och diplomati, ekonomisk planering och militära angelägenheter. Och denna förmåga går tillbaka till antiken, logik, dvs. vetenskapen om vilka former av resonemang som är korrekta uppstod för bara drygt två tusen år sedan. Det utvecklades på VI-talet. FÖRE KRISTUS. i verk av den store antika grekiske filosofen Aristoteles, hans elever och anhängare.

Vid något tillfälle ställde matematiker frågan: "Vad är egentligen matematik, matematisk aktivitet?" Det enkla svaret är att matematiker bevisar satser, det vill säga tar reda på några sanningar om verkliga världen och "ideal matematisk värld". Ett försök att svara på frågan om vad som är ett matematiskt teorem, matematisk sanning och vad som är ett matematiskt påstående sant eller bevisbart, detta är också nätverket för den matematiska logikens utgångspunkt. I skolan ska vi lära oss att analysera, jämföra, lyfta fram huvudsaken, generalisera och systematisera, bevisa och vederlägga, definiera och förklara begrepp, ställa och lösa problem. Att behärska dessa metoder innebär förmågan att tänka. Inom vetenskapen måste man härleda olika formler, numeriska mönster, regler och bevisa satser genom resonemang. Till exempel, 1781 upptäcktes planeten Uranus. Observationer har visat att denna planets rörelse skiljer sig från den teoretiskt beräknade rörelsen. Den franska vetenskapsmannen Le Verrier (1811-1877), logiskt resonerande och utför ganska komplexa beräkningar, bestämde inflytandet från en annan planet på Uranus och angav dess plats. 1846 bekräftade astronomen Galle existensen av en planet som fick namnet Neptunus. Därvid använde de logiken i matematiska resonemang och beräkningar.

Den andra utgångspunkten för våra överväganden är att klargöra vad det innebär att en matematisk funktion är beräkningsbar och kan beräknas med hjälp av någon algoritm, en formell regel, en exakt beskriven procedur. Dessa två initiala formuleringar har mycket gemensamt, de förenas naturligt under det allmänna namnet "matematisk logik", där matematisk logik i första hand förstås som logiken i matematiska resonemang och matematiska handlingar.

Jag valde just det här ämnet eftersom att behärska elementen i matematisk logik kommer att hjälpa mig i mitt framtida ekonomiska yrke. En marknadsförare analyserar ju trendermarknadsföra,priser, omsättning och marknadsföringsmetoder, samlar in data om konkurrerande organisationer,utfärdar rekommendationer. För att göra detta måste du använda kunskapen om logik.

Mål: att studera och använda matematisk logiks möjligheter för att lösa problem inom olika områden och mänskliga aktiviteter.

Uppgifter:

1. Analysera litteraturen om matematisk logiks väsen och ursprung.

2. Studera elementen i matematisk logik.

3. Välj och lös problem med element av matematisk logik.

Metoder: analys av litteratur, begrepp, analogimetoden vid problemlösning, själviakttagelse.

  1. Från historien om framväxten av matematisk logik

Matematisk logik är nära besläktad med logik och har sitt ursprung till den. Grunden för logiken, vetenskapen om lagarna och formerna för mänskligt tänkande, lades av den största antika grekiske filosofen Aristoteles (384-322 f.Kr.), som i sina avhandlingar grundligt studerade logikens terminologi, analyserade i detalj teorin om slutledningar och bevis, beskrev ett antal logiska operationer, formulerade tänkandets grundläggande lagar, inklusive lagarna för motsägelse och uteslutning av den tredje. Aristoteles bidrag till logiken är mycket stort, inte utan anledning är dess andra namn aristotelisk logik. Till och med Aristoteles märkte själv att det finns mycket gemensamt mellan den vetenskap han skapade och matematik (på den tiden kallades det aritmetik). Han försökte kombinera dessa två vetenskaper, nämligen att reducera reflektion, eller snarare slutledning, till beräkning på grundval av initiala positioner. I en av sina avhandlingar kom Aristoteles nära en av delarna av den matematiska logiken – bevisteorin.

I framtiden utvecklade många filosofer och matematiker vissa bestämmelser om logik och skisserade ibland till och med konturerna av den moderna propositionskalkylen, men det närmaste skapandet av matematisk logik kom under andra hälften av 1600-talet, den framstående tyske vetenskapsmannen Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), som påpekade sätten att översätta logik "från den verbala sfären, full av osäkerheter, till matematikens sfär, där relationerna mellan objekt eller påståenden bestäms med perfekt precision." Leibniz hoppades till och med att filosofer i framtiden, istället för att argumentera fruktlöst, skulle ta papper och komma på vem av dem som hade rätt. Samtidigt berörde Leibniz också det binära talsystemet i sina verk. Det bör noteras att idén med att använda två tecken för att koda information är mycket gammal. De australiska aboriginerna räknade i tvåor, vissa stammar av jägare-samlare från Nya Guinea och Sydamerika använde också ett binärt räknesystem. I vissa afrikanska stammar sänds meddelanden med trummor i form av kombinationer av tonande och tråkiga beats. Ett välbekant exempel på tvåteckenkodning är morsekod, där bokstäverna i alfabetet representeras av vissa kombinationer av punkter och streck. Efter Leibniz utförde många framstående vetenskapsmän forskning inom detta område, men den verkliga framgången här kom till den självlärde engelske matematikern George Boole (1815-1864), hans beslutsamhet visste inga gränser.

Ekonomisk situation Georges föräldrar (vars far var skomakare) tillät honom att bara ta examen grundskola för de fattiga. Efter en tid öppnade Buhl, efter att ha bytt flera yrken, en liten skola, där han undervisade sig själv. Han ägnade mycket tid åt självutbildning och blev snart intresserad av idéerna om symbolisk logik. År 1847 publicerade Boole artikeln "Mathematical Analysis of Logic, or the Experience of the Calculus of Deductive Inferences", och 1854 kom hans huvudverk "Undersökning av tankelagarna som de matematiska teorierna om logik och sannolikhet bygger på" . Boole uppfann en sorts algebra - ett notationssystem och regler som är tillämpliga på alla typer av objekt, från siffror och bokstäver till meningar. Med detta system kunde han koda påståenden (påståenden som behövde bevisas sanna eller falska) med hjälp av symbolerna i hans språk, och sedan manipulera dem på samma sätt som siffror manipuleras i matematik. De grundläggande operationerna för boolesk algebra är konjunktion (AND), disjunktion (OR) och negation (NOT). Efter en tid stod det klart att Booles system är väl lämpat för att beskriva elektriska kopplingskretsar. Ström i en krets kan antingen flyta eller inte, precis som ett påstående kan vara antingen sant eller falskt. Och några decennier senare, redan på 1900-talet, kombinerade forskare den matematiska apparatur som skapades av George Boole med det binära talsystemet och lade därigenom grunden för utvecklingen av en digital elektronisk dator. Enskilda bestämmelser i Booles arbete berördes i viss mån både före och efter honom av andra matematiker och logiker. Men idag inom detta område är det George Booles verk som anses vara matematiska klassiker, och han själv anses med rätta vara grundaren av matematisk logik och, desto mer, dess viktigaste delar - logikens algebra (boolesk algebra) ) och propositionernas algebra.

Ett stort bidrag till utvecklingen av logik gjordes också av de ryska forskarna P.S. Poretsky (1846-1907), I.I. Zhegalkin (1869-1947).

På 1900-talet spelades en enorm roll i utvecklingen av matematisk logik

D. Hilbert (1862-1943), som föreslog ett program för formalisering av matematik i samband med utvecklingen av själva matematikens grunder. Slutligen, under de sista decennierna av 1900-talet, berodde den snabba utvecklingen av matematisk logik på utvecklingen av teorin om algoritmer och algoritmiska språk, automatteori, grafteori (S.K. Kleene, A. Church, A.A. Markov, P.S. Novikov och många andra).

I mitten av 1900-talet ledde datateknikens utveckling till uppkomsten av logiska element, logiska block och datortekniska enheter, som var förknippad med den ytterligare utvecklingen av sådana logiska områden som problemen med logisk syntes, logisk design och logisk modellering av logiska enheter och datorteknik. På 1980-talet började forskningen inom området artificiell intelligens baserat på språk och system för logisk programmering. Skapandet av expertsystem började med användning och utveckling av automatiska bevis för satser, såväl som metoder för evidensbaserad programmering för verifiering av algoritmer och datorprogram. Förändringar inom utbildningen började också på 1980-talet. Tillkomsten av persondatorer i gymnasieskolor ledde till skapandet av datavetenskapliga läroböcker med studier av element i matematisk logik för att förklara de logiska principerna för arbete logiska kretsar och datorenheter, såväl som principerna för logisk programmering för datorer av den femte generationen och utvecklingen av datavetenskapliga läroböcker med studiet av predikatkalkylspråket för att utforma kunskapsbaser.

  1. Mängdlärans grunder

Begreppet en mängd är ett av de grundläggande begreppen i matematik som är svåra att exakt definiera med hjälp av elementära begrepp. Därför begränsar vi oss till en beskrivande förklaring av begreppet en uppsättning.

många kallas en uppsättning av vissa ganska distinkta objekt, betraktade som en enda helhet. Skaparen av mängdläran, Georg Cantor, gav följande definition av en mängd - "en mängd är mycket som vi tänker på som en helhet."

De individuella objekten som utgör en uppsättning kallas ställa in element.

Uppsättningar betecknas vanligtvis med stora bokstäver i det latinska alfabetet, och elementen i dessa uppsättningar betecknas med små bokstäver i det latinska alfabetet. Uppsättningar skrivs inom parentes ( ).

Det är vanligt att använda följande notation:

    a∈ X - "element a tillhör mängden X";

    a∉ X - "element a hör inte till mängden X";

    ∀ - kvantifierare av godtycke, generalitet, betecknar "vilket som helst", "vad som helst", "för alla";

    ∃ - existenskvantifierare:∃ y∈ B - "det finns (det finns) ett element y från mängden B";

    ∃! - kvantifierare av existens och unikhet:∃ !b∈ C - "det finns ett unikt element b från mängden C";

    : - "Så att; inneha egendomen";

    → - symbolen för konsekvensen, betyder "medför";

    ⇔ - kvantifierare av ekvivalens, ekvivalens - "om och bara då".

Uppsättningar ärändlig och oändlig . Uppsättningarna kallas slutlig , om antalet av dess element är ändligt, dvs. om det finns ett naturligt tal n, vilket är antalet element i mängden. A=(a 1 , a 2 , a 3 , ..., en n ). Uppsättningen heterändlös om den innehåller ett oändligt antal element. B=(b 1,b2,b3 , ...). Till exempel är uppsättningen bokstäver i det ryska alfabetet en ändlig uppsättning. Mängden naturliga tal är en oändlig mängd.

Antalet element i en finit mängd M kallas för mängden Ms kardinalitet och betecknas med |M|. tömma set - en uppsättning som inte innehåller några element -∅ . De två uppsättningarna kallas likvärdig , om de består av samma element, dvs. är samma uppsättning. Mängder är inte lika med X ≠ Y om X har element som inte tillhör Y, eller Y har element som inte tillhör X. Mängdlikhetssymbolen har följande egenskaper:

    X=X; - reflexivitet

    om X=Y, Y=X - symmetri

    om X=Y, Y=Z, så är X=Z transitiv.

Enligt denna definition av jämlikhet av mängder får vi naturligtvis att alla tomma mängder är lika med varandra, eller att det är likadant att det bara finns en tom mängd.

Delmängder. Inklusionsrelation.

En mängd X är en delmängd av en mängd Y om något element i mängden X∈ och set Y. Betecknas med X⊆ Y.

Om det är nödvändigt att betona att Y innehåller andra element förutom element från X, används den strikta inkluderingssymbolen.⊂ : X ⊂ Y. Relation mellan symboler⊂ och ⊆ ges av:

X ⊂ Y ⇔ X ⊆ Y och X≠Y

Vi noterar några egenskaper hos delmängden som följer av definitionen:

    X⊆ X (reflexivitet);

    → X⊆ Z (transitivitet);

Den ursprungliga mängden A i förhållande till dess delmängder kallas komplett set och betecknas med I.

Vilken delmängd som helst A i mängd A kallas en riktig mängd A.

En mängd som består av alla delmängder av en given mängd X och den tomma mängden∅ , kallas boolean X och betecknas med β(X). Boolesk potens |β(X)|=2 n.

Räknebart set- detta är en mängd A, vars alla element kan numreras i en sekvens (m.b. oändlig) och 1, a 2, a 3, ..., en n , ... så att i detta fall får varje element endast ett nummer n och varje naturligt tal n ges som ett tal till ett och endast ett element i vår mängd.

En mängd som motsvarar mängden naturliga tal kallas en räknebar mängd.

Exempel. Uppsättning kvadrater med heltal 1, 4, 9, ..., n 2 representerar endast en delmängd av mängden naturliga tal N. Mängden är räknbar, eftersom den bringas i en-till-en-överensstämmelse med den naturliga serien genom att tilldela varje element numret på talet i den naturliga serien, kvadraten på vilket det är.

Det finns två huvudsakliga sätt att definiera uppsättningar.

    uppräkning (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,m 2 ,m 3 ,..,m n });

    beskrivning - indikerar de karakteristiska egenskaper som alla element i uppsättningen har.

En uppsättning är helt definierad av dess element.

En uppräkning kan bara ange ändliga mängder (till exempel en uppsättning månader på ett år). Oändliga mängder kan bara definieras genom att beskriva egenskaperna hos dess element (till exempel kan mängden rationella tal definieras genom att beskriva Q=(n/m, m, n∈ Z, m≠0).

Sätt att specificera en uppsättning genom beskrivning:

a) genom att specificera ett genereringsförfarandemed en indikation på mängden (uppsättningarna) som parametern (parametrarna) för denna procedur går igenom - rekursiv, induktiv.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - många Fibonicci-tal.

(flera element x, så att x 1 \u003d 1, x 2 =1 och godtyckligt x k+1 (för k=1,2,3,...) beräknas med formeln x k+2 \u003d x k + x k + 1) eller X \u003d)

Liknande inlägg