수학에서 재미있는 논리. 재미있는 논리 수학 논리 문제

1. 설명
1.1 관련성
1.2 프로그램의 목적
1.3 프로그램 목표
1.4 프로그램 시행 조건, 어린이 연령, 수업 형태
1.5 프로그램 구현 단계
1.6 프로그램 내용
1.7 예상 결과

2. 방법론적 지원
2.1 원의 관점 - 주제 계획 " 재미있는 논리»

3. 미취학 아동의 논리적 사고를 위한 진단 프로그램.

5. 정보 자원

1. 설명.
왜 어린 미취학 아동을 위한 논리입니까?
L.A. Wenger에 따르면 “5세 어린이의 경우 사물의 외부 속성만으로는 분명히 충분하지 않습니다. 그들은 외부뿐만 아니라 세계에 대한 과학적 지식의 기초가되는 내부, 숨겨진 속성 및 관계에 대해서도 점차적으로 알게 될 준비가되어 있습니다 ...이 모든 것이 도움이 될 것입니다 정신 발달훈련이 정신 능력, 지각, 상상적 사고, 상상력 분야의 능력을 개발하는 것을 목표로하는 경우에만 아동 및 사물의 외부 속성 샘플의 동화를 기반으로합니다 ... "
취학 전 아동이 습득 한 기술은 학교에서 노년기에 지식을 습득하고 능력을 개발하는 기초가 될 것입니다. 그리고 이러한 기술 중 가장 중요한 것은 논리적 사고의 기술, 즉 "마음으로 행동하는" 능력입니다. 논리적 사고의 방법을 숙달하지 않은 아이가 문제를 해결하는 것은 더 어려울 것입니다; 연습을 수행하려면 많은 시간과 노력이 필요합니다. 결과적으로 아이의 건강이 나빠지고 학습에 대한 관심이 약해지거나 시들해질 수 있습니다.
논리적 조작을 마스터하면 아이는 더 주의를 기울이고 명확하고 명확하게 생각하는 법을 배우며 적절한 시기에 문제의 본질에 집중할 수 있습니다. 배우기 쉬워질 것입니다. 즉, 학습 과정과 자신이 학교 생활기쁨과 만족을 가져다 줄 것입니다.
이 프로그램은 특별한 게임과 연습을 통해 아이들이 주변 현실에서 논리적인 관계를 독립적으로 구축할 수 있는 능력을 형성하는 방법을 보여줍니다.
인지 과정의 발달에 대해 미취학 아동과 함께 일하면서 성공적인 발달과 학습에 필요한 조건 중 하나는 일관성, 즉 일관성이라는 결론에 도달합니다. 교육적 과제와 함께 지속적으로 개발되고 더 복잡한 콘텐츠가 되는 특수 게임 및 연습 시스템, 게임 액션그리고 규칙. 별도로 취한 게임과 연습은 매우 흥미로울 수 있지만 시스템 외부에서 사용하면 원하는 학습 및 발달 결과를 얻을 수 없습니다.
1.1 관련성
학교 커리큘럼의 성공적인 개발을 위해서는 아이가 많이 알아야 할 뿐만 아니라 일관되고 결정적으로 생각하고, 추측하고, 정신적 긴장을 보여주고, 논리적으로 생각해야 합니다.
논리적 사고의 발달을 가르치는 것은 미래의 학생에게 그다지 중요하지 않으며 오늘날에도 매우 관련이 있습니다.
암기 방법을 마스터하면 아이는 목표를 선택하고 그것을 달성하기 위해 재료로 특정 작업을 수행하는 법을 배웁니다. 그는 암기할 목적으로 자료를 반복, 비교, 일반화, 그룹화할 필요성을 이해하기 시작합니다.
아이들에게 분류에 대해 가르치는 것은 아이들이 학교에서 접하는 의미론적 그룹인 더 복잡한 기억 방식을 성공적으로 숙달하는 데 기여합니다.
미취학 아동의 논리적 사고와 기억력 개발 기회를 사용하여 학교 교육이 우리 앞에 제시하는 문제를 해결하기 위해 어린이를보다 성공적으로 준비시킬 수 있습니다.
논리적 사고의 발달에는 교훈적인 게임의 사용, 독창성, 퍼즐, 다양한 해결이 포함됩니다. 논리 게임미로와 어린이들에게 큰 관심거리입니다. 이 활동에서 중요한 성격 특성이 어린이에게 형성됩니다. 독립성, 수완, 독창성, 인내심이 개발되고 건설적인 기술이 개발됩니다. 아이들은 창의성을 보여주면서 자신의 행동을 계획하고, 생각하고, 결과를 찾아 추측하는 법을 배웁니다.
아이들과 함께 일하는 동안, 많은 아이들이 겉보기에 단순해 보이는 논리적인 일에 대처하지 못한다는 것을 알 수 있습니다. 예를 들어, 취학 전 연령의 대부분의 어린이는 과일이 그려진 그림이 손에 있더라도 과일 또는 사과, 즉 많은 사과와 여러 배에 대한 질문에 올바르게 대답할 수 없습니다. 아이들은 배가 더 많다고 대답할 것입니다. 그러한 경우 그는 자신의 눈으로 본 것을 바탕으로 대답합니다. 그들은 상상력이 풍부한 사고에 의해 "실망"하고 5세가 되면 아직 논리적인 추론을 하지 못합니다. 시니어에서 취학 전 연령그들은 논리적 사고의 발달을위한 가장 최적의 방법을 식별하는 데 개발되어야하는 학생과 성인의 특징 인 논리적 사고의 요소를 보여주기 시작합니다.
논리적 콘텐츠 게임은 어린이의 인지적 관심을 키우고 연구 및 창의적 검색, 학습 욕구 및 능력에 기여하는 데 도움이 됩니다. 교훈적 게임은 어린이의 가장 자연스러운 활동 중 하나이며 지적 및 창조적 표현, 자기 표현 및 독립의 형성 및 발달에 기여합니다. 통해 아이들의 논리적 사고 발달 교훈적인 게임후속 학교 교육의 성공, 학생 성격의 올바른 형성 및 추가 교육을 위해 중요합니다. 수학 및 컴퓨터 과학의 기초를 성공적으로 마스터하는 데 도움이 될 것입니다.
1.2 프로그램의 목적:성공적인 학교 교육을 준비하기 위해 미취학 아동의 논리적 사고를 최대한 개발할 수 있는 조건을 조성합니다.
1.3 프로그램 목표:

  • 아이들에게 기본적인 논리 연산을 가르칩니다: 분석, 종합, 비교, 부정, 분류, 체계화, 제한, 일반화, 추론
  • 아이들에게 우주에서 탐색하는 법을 가르치십시오.
  • 어린이의 더 높은 정신 기능, 추론 능력, 증명 능력 개발
  • 어려움 극복 욕구, 자신감, 동료를 돕고자 하는 욕구 함양

1.4 프로그램 시행 조건, 어린이 연령, 수업 형태
프로그램 구현 기간 – 1-2년
이 프로그램은 5-7세 어린이를 대상으로 합니다.
이 프로그램은 다양한 형태의 서클 수업을 제공합니다.

  • 개인 독립적 인 일어린이들.
  • 쌍으로 작업하십시오.
  • 그룹 작업 형태.
  • 차별화.
  • 정면 점검 및 통제.
  • 완료된 작업에 대한 자체 평가.
  • 교훈적인 게임.
  • 경쟁.
  • 콘테스트.

1.5 프로그램 구현 단계
활동 기술은 단계적으로 구축됩니다.

  1. 인지 과정의 초기 발달 수준을 진단하고 발달을 통제합니다.
  2. 각 아동의 개성과 이용 가능한 지식을 고려하여 하나 또는 다른 자질(주의력, 기억력, 상상력, 사고력)을 개발할 수 있는 수단 계획
  3. 개발 과정에서 교육을 위한 학제간(통합) 기반 구축.
  4. 재료의 점진적인 합병증, 작업량의 점진적인 증가, 어린이의 독립 수준 증가.
  5. 이론 요소에 대한 지식, 추론 방법 교육, 선택의 자기 주장.
  6. 지식과 방법의 통합 인지 활동, 일반화된 기술을 마스터합니다.
  7. 아동을 포함해야 하는 개발된 기준에 따른 발달 과정의 결과 평가(자존감, 자기 통제, 상호 통제).

1. 6 프로그램 내용
간단한 설명클래스의 섹션 및 주제(섹션은 아이들이 수업에서 배울 특정 논리적 연산에 해당함):

1. 분석 - 합성.
목표는 아이들에게 전체를 부분으로 나누고 그들 사이의 연결을 확립하도록 가르치는 것입니다. 정신적으로 대상의 부분을 하나의 전체로 결합하는 법을 배웁니다.
게임 및 연습: 논리적 쌍 찾기(고양이 - 새끼 고양이, 개 - ?(강아지)). 그림을 보완합니다(패치를 들고 드레스에 주머니를 그립니다). 반대 항목을 검색하십시오(가벼운 - 무겁고, 차갑고 - 뜨거운). 다양한 복잡성의 퍼즐로 작업하십시오. 막대기와 기하학적 모양을 세면서 그림을 배치합니다.

2. 비교.
목표는 본질적인 특징에 따라 대상의 유사점과 차이점을 정신적으로 확립하도록 가르치는 것입니다. 주의력, 어린이의 인식을 개발하십시오. 공간에서 방향을 개선합니다.
게임 및 연습: 개념 통합: 크다-작다, 길다-짧다, 낮다-높다, 좁다-넓다, 더 높다-낮다, 더 멀리-가까이 등 "동일한", "대부분의" 개념으로 작동합니다. 2개의 유사한 사진에서 유사점과 차이점을 검색합니다.

3. 제한.
목표는 특정 특성에 따라 그룹에서 하나 이상의 대상을 선택하도록 가르치는 것입니다. 아이들의 관찰 기술을 개발하십시오.
게임 및 연습: "빨간 깃발에만 한 줄로 동그라미 표시", "원형이 아닌 모든 물체 찾기" 등 네 번째 불필요한 것의 제외.

4. 일반화.
목표는 정신적으로 사물을 속성에 따라 그룹으로 결합하는 방법을 가르치는 것입니다. 어휘의 풍부화에 기여하고 어린이의 일상 지식을 확장합니다.
일반화 개념으로 작동하기 위한 게임 및 연습: 가구, 접시, 운송, 야채, 과일 등

5. 체계화.
목표는 패턴을 식별하도록 가르치는 것입니다. 어린이의 어휘를 확장하십시오. 그림에서 말하는 법을 배우고 다시 말하십시오.
게임 및 연습: 매직 스퀘어(누락된 부분 선택, 그림). 일련의 그림을 기반으로 이야기를 만들고 그림을 논리적 순서로 배열합니다.

6. 분류.
목표는 본질적인 특징에 따라 개체를 그룹으로 배포하는 방법을 가르치는 것입니다. 일반화 개념의 통합, 그들과의 자유로운 작동.

7. 추론.
목표는 결론을 내리기 위해 판단의 도움으로 가르치는 것입니다. 어린이의 가정 지식 확장에 기여합니다. 상상력을 개발하십시오.
게임 및 운동: 현상에서 긍정적 및 부정적 검색(예: 비가 오면 식물에 영양을 공급합니다. 이것은 좋지만 나쁜 점은 비가 내리면 사람이 젖고 감기에 걸리고 아플 수 있다는 것입니다) . 특정 판단의 정확성에 대한 평가("나무가 흔들리기 때문에 바람이 분다." 맞죠?). 해결책 논리적 작업.

1.7 예상 결과
계획된 결과:
아이들이 알아야 할 사항:

  • 패턴 구성의 원리, 숫자, 대상, 현상, 단어의 속성;
  • 퍼즐, 십자말 풀이, 사슬 낱말, 미로 구조의 원리;
  • 반의어 및 동의어;
  • 기하학적 모양의 이름과 속성;
  • 프로그래밍 원칙 및 행동 알고리즘 작성.

아이들은 다음을 할 수 있어야 합니다.

  • 패턴을 결정하고 이 패턴에 따라 작업을 수행하고, 개체를 분류 및 그룹화하고, 공통 및 특정 속성을 비교, 찾기, 일반화 및 추상화, 활동을 분석 및 평가합니다.
  • 추론을 통해 논리적이고 비표준적인 문제를 해결하고 창의적 검색, 언어 교육, 수치 작업을 수행하고 수학적 수수께끼에 대한 답을 찾습니다.
  • 제기된 질문에 대한 워밍업 동안 신속하고 정확하게 응답합니다.
  • 주의력, 지각력, 기억력을 훈련시키는 작업을 수행
  • 그래픽 받아쓰기를 수행하고 그래픽 작업의 도식적 표현을 탐색할 수 있습니다.
  • 목표를 설정하고, 작업 단계를 계획하고, 자신의 노력으로 결과를 얻을 수 있습니다.

작업 결과 확인 방법 : 각 섹션 후 일반화 클래스 및 논리적 사고 작업을 마스터하는 수준의 2 진단 (초기 (9 월) 및 최종 (5 월)).

셜록 홈즈(Sherlock Holmes)의 말: "내가 당신에게 몇 번이나 말했습니까? 불가능한 것은 모두 버리십시오. 그러면 그것이 아무리 믿을 수 없을지라도 남아 있는 것이 답이 될 것입니다."는 이 장의 서문 역할을 할 수 있습니다.

퍼즐을 푸는 데 논리적으로 생각하는 능력만 필요하고 산술 계산을 전혀 수행할 필요가 없다면 그러한 퍼즐을 일반적으로 논리적 문제라고 합니다. 물론 논리 문제는 수학적 문제 중 하나입니다. 논리는 매우 일반적이고 기본적인 수학으로 간주될 수 있기 때문입니다. 그럼에도 불구하고, 더 많은 산술 자매와 별도로 논리적 퍼즐을 골라서 연구하는 것이 편리합니다. 이 장에서 우리는 세 가지 일반적인 유형의 논리적 문제에 대해 설명하고 이에 접근하는 방법을 알아 내려고 노력할 것입니다.

퍼즐 애호가들이 때때로 "Smith-Jones-Robinson 문제"라고 부르는 가장 일반적인 유형의 문제입니다(G. Dudeni가 발명한 오래된 퍼즐과 유사).

일련의 소포로 구성되며 일반적으로 캐릭터에 대한 특정 정보를 보고합니다. 이러한 가정을 바탕으로 특정 결론을 도출해야 합니다. 예를 들어, Dudeney 문제의 최신 미국 버전은 다음과 같습니다.

1. Smith, Jones 및 Robinson은 운전사, 차장 및 소방관과 같은 열차 승무원에서 일합니다. 그들의 직업은 반드시 그들의 성(姓)과 같은 순서로 명명되지는 않습니다. 여단이 운행하는 열차에는 같은 성을 가진 세 명의 승객이 있습니다.

앞으로는 승객 한 분 한 분을 정중하게 "Mr"(Mr)이라고 부를 것입니다.

2. 로빈슨 씨는 로스앤젤레스에 산다.

3. 지휘자는 오마하에 산다.

4. Jones 씨는 대학에서 배운 모든 대수학을 오랫동안 잊어버렸습니다.

5. 승객 - 지휘자의 동명이인이 시카고에 살고 있습니다.

6. 지휘자와 수학 물리학의 유명한 전문가인 승객 중 한 명이 같은 교회에 다니고 있습니다.

7. Smith는 당구 게임을 하기 위해 만나면 항상 스토커를 이깁니다.

드라이버 이름이 무엇입니까?


이러한 문제는 표준 표기법을 사용하여 수학 논리의 언어로 번역될 수 있으며 적절한 방법을 사용하여 솔루션을 찾을 수 있지만 그러한 접근 방식은 너무 번거롭습니다. 한편, 이런저런 약어가 없으면 문제의 논리적 구조를 파악하기 어렵다. 고려중인 세트 요소의 가능한 모든 조합을 입력 할 빈 셀에 테이블을 사용하는 것이 가장 편리합니다. 우리의 경우 두 개의 세트가 있으므로 두 개의 테이블이 필요합니다(그림 139).

쌀. 139 스미스, 존스, 로빈슨 문제에 대한 두 개의 테이블.


각 셀에 해당 조합이 허용되는 경우 1을 입력하고 문제의 조건과 모순되는 조합이면 0을 입력합니다. 어떻게 되었는지 봅시다. 조건 7은 스미스가 스토커일 가능성을 분명히 배제하므로 왼쪽 테이블의 오른쪽 상단 모서리에 있는 상자에 0을 입력합니다. 조건 2는 로빈슨이 로스앤젤레스에 산다는 것을 알려주므로 테이블의 왼쪽 하단 모서리에 맨 아래 행과 왼쪽 열의 다른 모든 셀에 1을 입력하고 0을 입력하여 Mr. Robinson이 오마하나 시카고에 거주하지 않고 Smith와 Mr. Jones가 로스앤젤레스에 거주하지 않음을 나타냅니다.

이제 우리는 조금 생각해야 합니다. 조건 3과 6에서 우리는 수학 물리학자가 오마하에 살고 있다는 것을 알고 있지만 그의 성은 모릅니다. 그는 Mr. Robinson이나 Mr. Jones가 될 수 없습니다(결국 그는 기초 대수학도 잊어버렸습니다).

그러므로 스미스 씨여야 합니다. 우리는 오른쪽 테이블의 위쪽 행의 가운데 셀에 1을, 같은 행의 나머지 셀에 0을 넣고 가운데 열에 빈 셀을 넣어 이러한 상황에 주목합니다. 세 번째 단위는 이제 하나의 셀에만 입력할 수 있습니다. 이것은 Jones 씨가 시카고에 살고 있음을 증명합니다. 조건 5에서 우리는 지휘자의 성이 Jones라는 것을 알게 되었고, 왼쪽 테이블의 중앙 셀에 1을 입력하고 중간 행과 중간 열의 다른 모든 셀에 0을 입력합니다. 그 후, 우리의 테이블은 그림 1과 같은 형식을 취합니다. 140.



쌀. 140테이블 그림에 표시된 계란. 139, 사전 채우기 후.


이제 최종 답변으로 이어지는 추론을 계속하는 것은 어렵지 않습니다. "Stoker"라고 표시된 열에서 유닛은 맨 아래 셀에만 배치할 수 있습니다. 이로부터 바로 왼쪽 아래 모서리에 0이 있어야 함을 알 수 있습니다. 테이블의 왼쪽 위 모서리에 있는 셀만 비어 있고 1만 넣을 수 있는 곳에 있으므로 드라이버 이름은 Smith입니다.

Lewis Carroll은 이런 종류의 매우 복잡하고 독창적인 문제를 만들어내는 것을 좋아했습니다. Dortmouth College의 수학 학장인 John J. Kemeny는 IBM-704 컴퓨터에 대해 "어떤 판사도 담배 냄새를 맡지 않는다"는 결과를 가져오는 괴물(13개의 변수와 12개의 조건 포함) 캐롤 문제 중 하나를 프로그래밍했습니다. 문제의 완전한 "진리표"(문제 변수의 가능한 진리값 조합이 참인지 거짓인지를 보여주는 표)를 인쇄하는 데 13시간이 걸렸지만 기계는 약 4분 만에 솔루션을 완료했습니다!

Smith-Jones-Robinson 문제보다 더 어려운 문제에서 자신의 운을 시험해보고 싶은 독자를 위해 새로운 퍼즐을 제공합니다. 저자는 Princeton University의 R. Smullyan입니다.

1. 1918년, 최초의 세계 대전. 평화 조약이 체결된 날, 세 쌍의 부부가 축제 테이블에 이 행사를 축하하기 위해 모였습니다.

2. 각 남편은 아내 중 한 사람의 형제였고, 각 아내는 남편 중 한 사람의 자매였습니다.

3. 헬렌은 8월에 태어난 남편보다 정확히 26주 연상입니다.

4. White 씨의 여동생은 Ellen의 처남과 결혼했고 1월에 그녀의 생일에 그와 결혼했습니다.

5. 마가렛 화이트는 윌리엄 블레이크보다 키가 작습니다.

6. 아서의 여동생이 베아트리체보다 예쁘다.

7. 존은 50세입니다.

브라운 부인의 이름은 무엇입니까?


덜 일반적인 것은 다음과 같은 잘 알려진 예와 유추하여 "컬러 캡 문제"유형의 문제라고 부를 수 있는 또 다른 다양한 논리적 문제입니다. 세 사람(그들을 부르자 에이, 비그리고 에서) 눈을 가리고 각각 빨간색 또는 녹색 모자를 썼다고 말합니다. 그런 다음 눈을 풀고 빨간 모자가 보이면 손을 들고 머리에 있는 모자의 색이 무엇인지 확신하면 방을 나가라고 합니다. 모자 세 개 모두 빨간색으로 밝혀져 세 사람 모두 손을 들었습니다. 몇 분이 지나고 에서, 이는 보다 지능적입니다. 하지만그리고 에, 방을 떠나다. 어떻게 에서모자의 색을 결정할 수 있었습니까?

[초록 모자를 쓴 현자의 문제는 텍스트에서 해결 방법이 없을 정도로 공식화되어 있습니다. 이것은 현자의 수가 많을 때 특히 분명합니다. 최초의 현명한 사람이 실제 상황을 추측하는 데 얼마나 걸립니까?

40년대 말에 이 문제는 모스크바에서 학교 수학계에서 집중적으로 논의되었으며 이산 시간이 도입된 새로운 버전이 발명되었습니다. 작업은 이렇게 생겼습니다.

고대에는 현자들이 한 도시에 살았습니다. 그들 각각에게는 아내가 있었습니다. 아침에 그들은 시장에 와서 그곳에 있는 도시의 모든 소문을 알아냈습니다. 그들은 그 자체로 험담을 하는 사람들이었습니다. 아내의 불충실에 대해 알게 된 것은 그들에게 큰 기쁨을 주었습니다. 그들은 즉시 그 사실을 알게 되었습니다. 그러나 한 가지 암묵적인 규칙이 엄격하게 준수되었습니다. 남편에게는 아내에 대해 아무 것도보고되지 않았습니다. 각자 자신의 수치를 알게되어 아내를 집에서 몰아 냈을 것이기 때문입니다. 그래서 그들은 친밀한 대화를 즐기며 자신의 일에 대해 완전히 무지한 채로 살았습니다.

그러나 어느 날 진짜 소문이 마을에 왔습니다. 그는 시장에 와서 공개적으로 이렇게 선언했습니다. “그러나 모든 현자에게 충실한 아내가 있는 것은 아닙니다!” 가십은 새로운 것을 말하지 않은 것 같았습니다. 그래서 모든 사람이 그것을 알았고 모든 현자는 그것을 알고 있었습니다(악의로만 그는 자신에 대해 생각하지 않고 다른 사람에 대해 생각했습니다). . 그러나 현명한 사람들은 생각했습니다 - 그것이 그들이 현명한 사람들인 이유입니다 - 그리고 N- 가십이 오고 난 후 n명의 현자들이 n명의 불충실한 아내들에게 추방되었다. N).

성인의 이성을 회복하는 것은 어렵지 않습니다. 질문에 대답하는 것이 더 어렵습니다. 험담하는 사람은 자신이 없어도 현인에게 알려진 정보에 어떤 정보를 추가 했습니까?

이 문제는 문헌에서 반복적으로 발생했습니다.]

C는 모자가 녹색이 될 수 있는지 자문합니다. 그렇다면, 하지만그의 머리에 빨간 모자만 쓸 수 있기 때문에 그는 즉시 그가 빨간 모자를 쓰고 있다는 것을 알아차릴 것입니다. 에손을 들어. 하지만 하지만방을 떠날 것입니다. 에정확히 같은 방식으로 추론하기 시작했을 것이고 또한 방을 떠났을 것입니다. 둘 중 하나가 나오지 않았기 때문에 에서자신의 모자가 빨간색이어야 한다는 결론을 내렸습니다.

이 문제는 여러 사람이 있고 모두 빨간 모자를 쓰고 있는 경우로 일반화할 수 있습니다. 문제에 네 번째 배우가 등장했다고 가정합니다. 디, 보다 통찰력 있는 CD다음과 같이 추론할 수 있습니다. "내 모자가 녹색이면 에이, 비그리고 에서방금 설명한 것과 똑같은 상황에 처하게 되며 몇 분 안에 세 사람 중 가장 지각이 있는 사람이 확실히 자리를 떠날 것입니다.

그런데 벌써 5분이 지났는데 하나도 나오지 않아 모자가 빨개졌어요.

그보다 더 똑똑한 다섯 번째 멤버가 있다면 디, 그는 10분을 기다린 끝에 빨간 모자를 쓰고 있다는 결론에 도달할 수 있었다. 물론, 우리의 추론은 다른 정도의 독창성에 대한 가정으로 인해 설득력을 잃습니다. A, B, C... 그리고 가장 통찰력 있는 사람이 자신의 모자 색깔을 자신 있게 말할 수 있기까지 얼마나 기다려야 하는지에 대한 다소 모호한 고려.

일부 다른 "색상 캡" 문제에는 불확실성이 적습니다. 예를 들어, Smullyan도 발명한 다음 문제가 있습니다. 세 가지 각각 에이, 비그리고 에서- 논리에 능숙합니다. 즉, 주어진 전제 집합에서 모든 결과를 즉시 추출하는 방법을 알고 나머지도 이러한 능력을 가지고 있음을 알고 있습니다.

우리는 4개의 빨간색 우표와 4개의 녹색 우표를 가져 와서 "논리학자"의 눈을 가리고 각 이마에 2개의 우표를 붙입니다. 그런 다음 우리는 그들의 눈에서 붕대를 제거하고 차례로 묻습니다. 에이, 비그리고 에서같은 질문: "이마에 우표가 무슨 색인지 아세요?" 그들 각각은 부정으로 대답합니다. 그러면 우리는 다시 묻습니다. 하지만그리고 다시 우리는 부정적인 대답을 얻습니다. 하지만 같은 질문을 두 번째로 하면 에, 그는 긍정적으로 대답합니다.

이마의 표시는 무슨 색입니까? 에?


대중적인 논리 퍼즐의 세 번째 유형은 거짓말쟁이와 항상 진실을 말하는 사람들에 대한 문제입니다. 에 클래식 버전작업 우리 대화하는 중이 야두 부족이 살고 있는 나라에서 자신을 발견한 여행자에 관한 것입니다. 한 부족의 구성원은 항상 거짓말을 하고 다른 부족의 구성원은 항상 진실을 말합니다. 여행자는 두 명의 원주민을 만납니다. "항상 진실을 말합니까?" 그는 키 큰 원주민에게 묻는다. 그는 "Tarabar"라고 대답합니다. 영어를 할 줄 아는 작은 원주민이 설명합니다. "하지만 그는 정말 대단한 거짓말쟁이입니다." 각 원주민은 어느 부족에 속합니까?


해결에 대한 체계적인 접근은 AI, IL, LI, LL(I는 "참", L - "거짓"을 의미함)의 네 가지 가능성을 모두 작성하고 문제의 데이터와 모순되는 것은 제외하는 것입니다. 키가 큰 원주민이 거짓말을 하든 진실을 말하든 긍정으로 대답해야 한다는 것을 관찰하면 대답을 훨씬 더 빨리 얻을 수 있습니다. 작은 원주민이 진실을 말했기 때문에 그는 진실한 부족에 속하고 그의 키 큰 친구는 거짓말쟁이 부족에 속해야 합니다.

이 유형의 가장 유명한 문제는 확률 가중치의 도입과 명확하지 않은 공식으로 인해 복잡하며 영국 천문학자 A. Eddington의 책 New Pathways in Science의 6장 중간에서 아주 뜻밖에도 발견할 수 있습니다. "만약 A, B, C그리고 디세 번 중 한 번(독립적으로) 진실을 말하고 하지만다음을 명시 에그것을 거부 에서마치 디거짓말쟁이, 그럴 확률은 얼마인가 디사실대로 말했어?"

Eddington의 답변인 25/71은 독자들로부터 엄청난 항의를 받았고 결국 해결되지 않은 우스꽝스럽고 혼란스러운 논쟁을 불러일으켰습니다. 1935년 3월 네이처 저널에 실린 에딩턴의 책 평론을 쓴 영국의 천문학자 G. 딩글(G. Dingle)은 이 문제가 의미가 없는 문제로 전혀 주목을 받을 가치가 없다고 믿었고, 에딩턴이 기본 아이디어에 대해 충분히 생각하지 못했음을 지적할 뿐이다. 확률 이론의. 미국 물리학자 T. Stern(Nature, 1935년 6월)은 자신의 의견으로는 문제가 무의미한 것은 아니지만 이를 해결할 데이터가 충분하지 않다고 말하면서 이에 반대했습니다.

이에 대해 Dingle는 Stern의 관점을 취하면 결정을 위한 충분한 데이터가 있고 대답은 1/3이 될 것이라고 말했습니다(Nature, 1935년 9월). 여기에서 에딩턴은 자신이 어떻게 답을 얻었는지 자세히 설명하는 기사를 출판하면서 싸움에 뛰어들었습니다. 논쟁은 같은 저널에 두 개의 추가 기사가 실렸고, 그 중 하나의 저자는 에딩턴을 변호했고, 다른 하나는 이전의 모든 기사와 다른 관점을 제시하면서 끝났습니다.

어려움은 주로 에딩턴의 공식을 이해하는 데 있습니다. 만약 에, 자신의 부정을 표현하고 진실을 말한다면 우리는 합리적으로 다음과 같이 추측할 수 있습니다. 에서말했다 디진실을 말해? 에딩턴은 그러한 가정에 대한 근거가 충분하지 않다고 믿었습니다. 마찬가지로, 만약 하지만거짓말, 우리는 그것을 확신 할 수 있습니까? 에그리고 에서그들은 아무 말도하지 않았습니까? 다행히도 우리는 다음과 같은 가정을 함으로써 이러한 모든 언어적 어려움을 해결할 수 있습니다(Eddington은 가정하지 않았습니다).

1. 넷 중 아무도 침묵하지 않았다.

2. 진술 에이, 비그리고 에서(각각 개별적으로) 다음 진술을 확인하거나 거부하십시오.

3. 거짓 주장은 부정과 일치하고 거짓 부정은 주장과 일치합니다.

4개는 모두 1/3의 확률로 서로 독립적으로 거짓말을 합니다. 즉, 평균적으로 3개의 진술 중 2개가 거짓입니다. 문자로 참 진술을 나타내는 경우 그리고, 및 거짓 문자 엘, 다음을 위해 A, B, C그리고 디우리는 81가지 다른 조합으로 구성된 테이블을 얻습니다. 이 숫자에서 문제의 조건으로 인해 불가능한 조합은 제외해야 합니다.

문자로 끝나는 유효한 조합의 수 그리고(즉, 진실한 - 진실한 - 진술 디), 모든 유효한 조합의 총 수로 나누어야 답이 나옵니다.

여행자와 두 명의 원주민에 대한 문제의 공식화를 명확히 해야 합니다. 여행자는 원주민 언어로 "횡설수설하다"라는 단어가 "예" 또는 "아니오"를 의미한다는 것을 깨달았지만 정확히 무엇을 추측할 수는 없었습니다. 이것은 여러 이메일을 경고했을 것입니다. 그 중 하나는 아래에서 재현합니다.

키가 큰 원주민은 분명히 여행자가 그에게 (영어로) 한 말을 이해하지 못했고 영어로 예 또는 아니오로 대답할 수 없었습니다. 따라서 그의 "횡설수설"은 "이해하지 못함"또는 "Bongo-Bongo에 오신 것을 환영합니다"와 같은 의미입니다. 따라서 꼬마 토박이는 친구가 "예"라고 대답했다고 거짓말을 했고, 꼬마 토박이가 거짓말쟁이였기 때문에 키 큰 토박이를 거짓말쟁이라고 했을 때도 거짓말을 했습니다. 따라서 키가 큰 원주민은 진실한 것으로 간주되어야 합니다.

그래서 여성의 논리는 내 남성의 허영심에 타격을 가했습니다. 작가의 자존심이 조금 상하지 않나요?


답변

첫 번째 논리적 문제는 세 개의 테이블을 사용하여 가장 잘 해결됩니다. 하나는 아내의 성과 이름 조합, 두 번째는 남편의 성과 이름, 세 번째는 가족의 유대.

White 부인의 이름은 Margaret(조건 5)이므로 다른 두 아내의 이름에 대해 두 가지 가능성만 남습니다. a) Helen Blake와 Beatrice Brown, 또는 b) Helen Brown과 Beatrice Blake.

두 번째 가능성이 발생한다고 가정합시다. 화이트의 여동생은 헬렌이나 베아트리체임에 틀림없다. 그러나 Beatrice는 Wyne의 누이가 될 수 없습니다. Blake는 Helen의 형제가 되고 Blake의 두 매형은 White(그의 아내의 형제)와 Brown(누이의 남편)이 되기 때문입니다. 베아트리체 블레이크는 둘 중 어느 쪽과도 결혼하지 않았으며 이는 조건 4와 모순됩니다. 따라서 화이트의 여동생은 헬렌이어야 합니다. 이것으로부터 차례로 우리는 Brown의 여동생을 Beatrice라고 부르고 Blake의 여동생이 Margaret이라고 결론을 내립니다.

조건 6에서 White 씨의 이름은 Arthur가 됩니다(Brown은 Arthur가 될 수 없습니다. 이러한 조합은 Beatrice가 자신보다 더 아름답다는 것을 의미하고 Blake는 Arthur가 될 수 없기 때문입니다. 조건 5에서 그의 이름: William을 알고 있기 때문입니다). 그래서 브라운 씨는 존만 될 수 있습니다. 불행히도 조건 7에서 요한은 1868년(평화 조약이 체결되기 50년 전)에 태어났음을 알 수 있습니다. 그러나 1868년은 윤년이므로 Helen은 조건 3에 명시된 26주보다 하루는 남편보다 나이가 많아야 합니다. (조건 4에서 그녀가 1월에 태어났다는 것을 알고, 조건 3에서 남편이 태어났다는 것을 압니다. 그녀의 생일이 1월 31일이고 그의 생일이 8월 1일이고 이 날짜 사이에 2월 29일이 없다면 그녀는 남편보다 정확히 26주 더 많을 수 있습니다!) 그래서, 우리가 시작한 가능성의 두 번째 마가렛 화이트(Margaret White), 헬렌 블레이크(Helen Blake), 베아트리체 브라운(Beatrice Brown)과 같은 아내의 이름을 지정할 수 있습니다. 블레이크가 태어난 해를 모르기 때문에 여기에는 모순이 없습니다. 문제의 조건에서 마가렛은 브라운의 여동생, 베아트리체는 블레이크의 여동생, 헬렌은 화이트의 여동생이라고 결론지을 수 있지만 화이트와 브라운의 이름에 대한 질문은 여전히 ​​풀리지 않고 있다.


우표 문제에서 에세 가지 가능성이 있습니다. 그의 우표는 다음과 같을 수 있습니다. 1) 둘 다 빨간색; 2) 둘 다 녹색; 3) 하나는 녹색이고 다른 하나는 빨간색입니다. 두 스탬프가 모두 빨간색이라고 가정해 보겠습니다.

세 사람이 모두 한 번 대답한 후, 하지만다음과 같이 추론할 수 있습니다. 에서네 개의 빨간 우표를 보았을 것이고 그의 이마에 두 개의 녹색 우표가 있음을 즉시 인식했을 것입니다. 에서두 우표는 모두 녹색이었고, 에, 네 개의 녹색 우표를 보고 그의 이마에 두 개의 빨간색 우표가 있음을 깨달았을 것입니다.) 그래서 이마에 초록색 자국 하나, 빨간색 자국 하나가 있어요.”

하지만 때 하지만두 번째 질문에 그는 자신의 브랜드가 무슨 색인지 몰랐습니다. 그것은 허용했다 에자신의 우표가 둘 다 빨간색일 가능성을 버리십시오. 와 똑같은 방식으로 주장한다. 에이, 비두 스탬프가 모두 녹색인 경우는 제외했습니다. 따라서 그에게는 하나의 가능성만 남았습니다. 하나는 녹색이고 다른 하나는 빨간색입니다.

몇몇 독자들은 질문과 답변을 분석하지 않고도 문제를 매우 빠르게 해결할 수 있다는 것을 빠르게 알아차렸습니다. 다음은 독자 중 한 명이 쓴 내용입니다. “문제의 조건은 빨간색과 녹색 표시에 대해 완전히 대칭입니다.

따라서 우표를 배포함으로써 에이, 비그리고 에서문제의 모든 조건이 충족되고 빨간색 표시를 녹색으로, 반대로 녹색을 빨간색으로 바꾸면 모든 조건도 충족되는 다른 분포에 도달하게 됩니다. 솔루션이 고유한 경우 녹색 레이블을 빨간색 레이블로, 빨간색 레이블을 녹색 레이블로 바꿀 때 솔루션은 불변이어야 합니다(변경되어서는 안 됨). 이러한 솔루션은 B가 하나의 녹색 및 하나의 빨간색 스탬프를 갖는 우표 배포일 수 있습니다.

Brooklyn College의 수학부 학장인 W. Manheimer가 말했듯이, 이 우아한 해결책은 에이, 비그리고 에서(문제의 조건에 명시된 대로), 그리고 Raymond Smullyan!


에딩턴 문제에서 확률은 디진실을 말해, 13/41입니다. 홀수 번 false(또는 true)를 포함하는 true와 false의 모든 조합은 문제의 조건과 모순되는 것으로 폐기되어야 합니다. 결과적으로 가능한 조합의 수는 81개에서 41개로 줄어들고 그 중 13개만 참으로 끝납니다. 디. 왜냐하면 에이, 비그리고 에서정확히 같은 수의 유효한 조합에 해당하는 경우 진실을 말하십시오. 진실을 말할 확률은 네 가지 모두에 대해 동일합니다.

등가 기호 사용

이것은 그것에 의해 연결된 명제가 둘 다 참이거나 둘 다 거짓임을 의미하고(거짓 명제는 참이고 그렇지 않으면 거짓임), 부정 기호 ~, 명제 미적분학에서 에딩턴의 문제는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

또는 다음과 같은 몇 가지 단순화 후에:

이 식의 진리표는 이미 받은 답을 확인합니다.

메모:

답답하다- 화를 내다, 헛된 일을 하다, 절망하다, 실패할 운명(영어).

책에서 Raymond Smullyan에 대한 장을 참조하십시오. 엠 가드너"시간 여행"(M.: Mir, 1990).

에딩턴 A. 과학의 새로운 길. - 케임브리지: 1935년; 미시간: 1959년.

소개

논리는 사상가의 신이다.

L. 포이흐트방거

과학 및 기술, 정의 및 외교, 경제 계획 및 군사 문제와 같은 인간 활동의 모든 분야에서 올바르게 추론하는 능력이 필요합니다. 그리고 이 능력은 다시 상대, 논리, 즉 추론의 형식이 올바른 과학은 불과 2천 년 전에 생겨났습니다. VI 세기에 개발되었습니다. 기원전. 위대한 고대 그리스 철학자 아리스토텔레스와 그의 제자와 추종자들의 작품에서.

어느 시점에서 수학자들은 "사실, 수학, 수학 활동이란 무엇입니까?"라는 질문을했습니다. 간단한 대답은 수학자들이 정리를 증명한다는 것입니다. 현실 세계그리고 "이상적인 수학 세계". 수학적 정리가 무엇인지, 수학적 진리가 무엇인지, 수학적 진술이 참인지 증명할 수 있는지에 대한 질문에 답하려는 시도, 이것은 또한 수학적 논리의 출발점의 네트워크입니다. 학교에서 우리는 분석, 비교, 주요 사항 강조, 일반화 및 체계화, 증명 및 논박, 개념 정의 및 설명, 문제 제기 및 해결 방법을 배워야 합니다. 이러한 방법을 마스터한다는 것은 생각하는 능력을 의미합니다. 과학에서는 다양한 공식, 수치 패턴, 규칙을 추론하고 추론을 통해 정리를 증명해야 합니다. 예를 들어, 1781년에 천왕성이 발견되었습니다. 관측에 따르면 이 행성의 운동은 이론적으로 계산된 운동과 다릅니다. 프랑스 과학자 Le Verrier(1811-1877)는 논리적으로 추론하고 다소 복잡한 계산을 수행하여 천왕성에 대한 다른 행성의 영향을 결정하고 그 위치를 표시했습니다. 1846년 천문학자 갈레는 해왕성이라는 행성의 존재를 확인했습니다. 그렇게 함으로써 그들은 수학적 추론과 계산의 논리를 사용했습니다.

우리가 고려하는 두 번째 출발점은 수학 함수가 계산 가능하고 일부 알고리즘, 공식 규칙, 정확하게 설명된 절차를 사용하여 계산될 수 있다는 것이 무엇을 의미하는지 명확히 하는 것입니다. 이 두 가지 초기 공식은 공통점이 많으며, "수학적 논리"라는 일반 이름으로 자연스럽게 통합되며, 여기서 수학적 논리는 주로 수학적 추론 및 수학적 행동의 논리로 이해됩니다.

수학 논리의 요소를 마스터하면 미래의 경제 직업에 도움이 될 것이기 때문에 이 특정 주제를 선택했습니다. 결국 마케터는 트렌드를 분석합니다.시장,가격, 회전율 및 마케팅 방법, 경쟁 조직에 대한 데이터 수집,권고를 발행합니다. 이렇게 하려면 논리 지식을 사용해야 합니다.

목적: 다양한 분야와 인간 활동의 문제를 해결하기 위해 수학적 논리의 가능성을 연구하고 사용합니다.

작업:

1. 수학적 논리의 본질과 기원에 관한 문헌을 분석한다.

2. 수학적 논리의 요소를 연구합니다.

3. 수학적 논리 요소로 문제를 선택하고 해결합니다.

행동 양식: 문학 분석, 개념, 문제 해결의 유추 방법, 자기 관찰.

  1. 수학적 논리의 출현의 역사에서

수학적 논리는 논리와 밀접하게 관련되어 있으며 논리에 그 기원을 두고 있습니다. 논리학의 기초, 인간 사고의 법칙과 형태에 대한 과학은 고대 그리스의 가장 위대한 철학자 아리스토텔레스(Aristoteles, 384-322 BC)에 의해 세워졌습니다. 그는 그의 논문에서 논리학 용어를 철저히 연구하고 추론 이론을 자세히 분석했습니다. 그리고 여러 논리적 연산을 설명하는 증명은 모순의 법칙과 세 번째의 배제를 포함하여 사고의 기본 법칙을 공식화했습니다. 논리학에 대한 아리스토텔레스의 공헌은 매우 큽니다. 이유 없이 논리학의 다른 이름이 아리스토텔레스 논리학입니다. 아리스토텔레스 자신도 자신이 창조한 과학과 수학(당시에는 산술이라고 불림) 사이에 공통점이 많다는 사실을 깨달았습니다. 그는 이 두 가지 과학을 결합하려고 시도했습니다. 즉, 초기 위치를 기반으로 한 계산에 대한 반성 또는 추론을 줄이려고 했습니다. 그의 논문 중 하나에서 아리스토텔레스는 수학적 논리의 한 부분인 증명 이론에 접근했습니다.

미래에는 많은 철학자와 수학자들이 논리학의 특정 조항을 개발하고 때로는 현대 명제 미적분학의 윤곽을 설명하기도 했지만 수학적 논리의 창조에 가장 근접한 것은 17세기 후반에 독일의 뛰어난 과학자인 고트프리트 빌헬름(Gottfried Wilhelm)이 라이프니츠(1646~1716)는 논리학을 "불확실성이 가득한 언어의 영역에서 대상이나 문장 간의 관계가 완벽하게 정밀하게 결정되는 수학의 영역으로" 해석하는 방법을 지적했다. 라이프니츠는 심지어 미래에 철학자들이 무익하게 논쟁하는 대신 종이를 가지고 그들 중 어느 것이 옳았는지 알아내기를 바랐습니다. 동시에 라이프니츠는 그의 작품에서 이진수 체계를 다루기도 했습니다. 정보를 인코딩하기 위해 두 개의 문자를 사용한다는 아이디어는 매우 오래되었다는 점에 유의해야 합니다. 듀스로 계산되는 호주 원주민, 뉴기니와 남아메리카의 일부 수렵 채집 부족도 이진법을 사용했습니다. 일부 아프리카 부족에서는 음성과 둔탁한 비트의 조합 형태로 드럼을 사용하여 메시지를 전달합니다. 두 문자 코딩의 친숙한 예는 모스 부호로, 여기서 알파벳 문자는 점과 대시의 특정 조합으로 표시됩니다. 라이프니츠 이후에 많은 저명한 과학자들이 이 분야에서 연구를 수행했지만 여기서 진정한 성공은 독학으로 배운 영국 수학자 조지 불(1815-1864)에게 돌아갔고 그의 결단력은 한계가 없었습니다.

재정 상황 George의 부모(아버지가 구두 수선공이었음)는 그가 졸업하는 것만 허용했습니다. 초등학교가난한 사람들을 위해. 얼마 후 Buhl은 여러 직업을 바꾼 작은 학교를 열어 스스로 가르쳤습니다. 그는 독학에 많은 시간을 할애했고 곧 상징 논리학의 개념에 관심을 갖게 되었습니다. 1847년 Boole은 "논리의 수학적 분석, 또는 연역적 추론의 미적분학의 경험"이라는 기사를 발표했으며, 1854년에는 그의 주요 저서인 "논리와 확률의 수학적 이론의 기초가 되는 사고 법칙의 조사"가 발표되었습니다. . Boole은 숫자와 문자에서 문장에 이르기까지 모든 종류의 대상에 적용할 수 있는 표기법 및 규칙 시스템인 일종의 대수학을 발명했습니다. 이 시스템을 사용하여 그는 자신의 언어 기호를 사용하여 진술(참 또는 거짓을 증명해야 하는 진술)을 인코딩한 다음 수학에서 숫자를 조작하는 것과 같은 방식으로 조작할 수 있습니다. 부울 대수의 기본 연산은 결합(AND), 분리(OR) 및 부정(NOT)입니다. 얼마 후 Boole의 시스템이 전기 스위칭 회로를 설명하는 데 적합하다는 것이 분명해졌습니다. 문장이 참 또는 거짓이 될 수 있는 것처럼 회로의 전류는 흐를 수도 있고 흐르지 않을 수도 있습니다. 그리고 수십 년 후, 이미 20 세기에 과학자들은 George Boole이 만든 수학적 장치와 이진수 시스템을 결합하여 디지털 전자 컴퓨터 개발의 기반을 마련했습니다. Boole의 작업에 대한 개별 조항은 다른 수학자와 논리학자에 의해 그 이전과 이후에 어느 정도 영향을 받았습니다. 그러나 오늘날이 분야에서 수학적 고전으로 간주되는 것은 George Boole의 작품이며, 그 자신은 정당하게 수학적 논리의 창시자로 간주되며, 더욱이 가장 중요한 섹션 인 논리 대수학 (Boolean algebra ) 및 명제의 대수학.

논리 발전에 큰 공헌을 한 러시아 과학자 P.S. 포레츠키(1846-1907), I.I. 제갈킨(1869-1947).

20세기에 수학 논리의 발전에 큰 역할을 한 사람은 다음과 같습니다.

D. Hilbert(1862-1943), 수학 자체의 기초 개발과 관련된 수학 공식화 프로그램을 제안했습니다. 마지막으로 20세기의 마지막 수십 년 동안 수학적 논리의 급속한 발전은 알고리즘 및 알고리즘 언어 이론, 오토마타 이론, 그래프 이론(S.K. Kleene, A. Church, A.A. Markov, P.S. Novikov 및 많은 다른 사람들) .

20세기 중반, 컴퓨터 기술의 발달로 인해 논리적 요소, 논리 블록 및 컴퓨터 기술 장치, 논리 합성, 논리 설계 및 논리 장치 및 컴퓨터 기술의 논리 모델링 문제와 같은 논리 영역의 추가 개발과 관련되었습니다. 1980년대에는 다음과 같은 분야에서 연구가 시작되었다. 인공 지능언어 및 논리 프로그래밍 시스템을 기반으로 합니다. 전문가 시스템의 생성은 정리의 자동 증명의 사용 및 개발과 알고리즘 및 컴퓨터 프로그램 검증을 위한 증거 기반 프로그래밍 방법으로 시작되었습니다. 교육의 변화도 1980년대에 시작되었습니다. 중등 학교에서 개인용 컴퓨터의 출현으로 인해 작업의 논리적 원리를 설명하기 위해 수리 논리 요소를 연구하는 컴퓨터 과학 교과서가 만들어졌습니다. 논리 회로및 컴퓨팅 장치, 5세대 컴퓨터의 논리 프로그래밍 원리 및 지식 기반 설계를 위한 술어 미적분 언어 연구와 함께 컴퓨터 과학 교과서 개발.

  1. 집합론의 기초

집합의 개념은 초등 개념을 사용하여 정확하게 정의하기 어려운 수학의 기본 개념 중 하나입니다. 그러므로 우리는 집합의 개념에 대한 기술적인 설명으로 우리 자신을 제한합니다.

많은 하나의 전체로 간주되는 매우 별개의 개체 집합이라고 합니다. 집합 이론의 창시자인 Georg Cantor는 집합에 대해 다음과 같이 정의했습니다. "집합은 우리가 전체적으로 생각하는 많은 것입니다."

집합을 구성하는 개별 개체를요소를 설정합니다.

집합은 일반적으로 라틴 알파벳의 대문자로 표시되며 이러한 집합의 요소는 라틴 알파벳의 소문자로 표시됩니다. 집합은 중괄호( )로 표시됩니다.

다음 표기법을 사용하는 것이 일반적입니다.

    ㅏ∈ X - "요소는 집합 X에 속함";

    ㅏ∉ X - "요소가 집합 X에 속하지 않음";

    ∀ - "모든", "무엇이든", "모두를 위한"을 나타내는 임의성, 일반성의 수량자;

    ∃ - 존재 수량자:∃ 와이∈ B - "집합 B의 요소 y가 있습니다.";

    ∃! - 존재와 유일성의 수량자:∃ !비∈ C - "집합 C에서 고유한 요소 b가 있습니다";

    : - "그런 것; 재산 소유";

    → - 결과의 상징은 "포함"을 의미합니다.

    ⇔ - 등가의 수량자, 등가 - "그때만".

세트는유한하고 끝없는 . 세트라고 합니다결정적인 , 요소의 수가 유한한 경우, 즉 집합의 요소 수인 자연수 n이 있는 경우. A=(아 1 , 2 , 3 , ..., 엔 ). 세트라고 합니다끝없는 무한한 수의 요소를 포함하는 경우. B=(ㄴ 1,b2,b3 , ...). 예를 들어, 러시아 알파벳의 문자 집합은 유한 집합입니다. 자연수의 집합은 무한집합이다.

유한 집합 M의 요소 수를 집합 M의 카디널리티라고 하며 |M|으로 표시됩니다.비어 있는 집합 - 어떤 요소도 포함하지 않는 집합 -∅ . 두 세트를 호출동일한 , 동일한 요소로 구성된 경우, 즉 같은 세트입니다. X에 Y에 속하지 않는 요소가 있거나 Y에 X에 속하지 않는 요소가 있는 경우 집합은 X ≠ Y와 같지 않습니다. 집합 등식 기호에는 다음과 같은 속성이 있습니다.

    X=X; - 반사성

    X=Y, Y=X인 경우 - 대칭

    X=Y,Y=Z이면 X=Z는 전이적입니다.

집합의 평등에 대한 이 정의에 따르면, 우리는 자연스럽게 모든 빈 집합이 서로 같음 또는 하나의 빈 집합이 있는 것과 같다는 것을 얻습니다.

부분집합. 포함 관계.

집합 X는 집합 X의 요소 중 하나라도 있으면 집합 Y의 부분집합입니다.∈ 그리고 Y를 설정합니다. X로 표시⊆ 와이.

Y가 X의 요소 외에 다른 요소를 포함하고 있음을 강조할 필요가 있는 경우 엄격한 포함 기호가 사용됩니다.⊂ : 엑스 ⊂ Y. 기호 간의 관계⊂ 그리고 ⊆ 다음과 같이 주어진다:

엑스 ⊂ 와이 ⇔ 엑스 ⊆ Y 및 X≠Y

정의에서 이어지는 부분집합의 일부 속성에 주목합니다.

    엑스⊆ X(반사성);

    → 엑스⊆ Z(전이도);

부분 집합과 관련된 원래 집합 A를 호출합니다.완벽한 설정하고 I로 표시합니다.

모든 하위 집합 A나 집합 A를 A의 고유 집합이라고 합니다.

주어진 집합 X의 모든 부분집합과 빈 집합으로 구성된 집합∅ , 부울이라고 합니다. X 및 β(X)로 표시됩니다. 부울 거듭제곱 |β(X)|=2 N.

가산 세트- 이것은 집합 A이며, 모든 요소는 순서대로 번호가 매겨질 수 있습니다(m.b. 무한). 1, 2, 3, ..., 엔 , ... 이 경우 각 요소는 하나의 숫자 n만 받고 각 자연수 n은 집합의 하나의 요소에만 숫자로 주어집니다.

자연수의 집합에 해당하는 집합을 셀 수 있는 집합이라고 합니다.

예시. 정수 1, 4, 9, ..., n의 제곱 세트 2 자연수 N의 집합의 부분 집합만을 나타냅니다. 집합은 각 요소에 자연 급수의 수의 제곱을 할당하여 자연 급수와 일대일 대응되기 때문에 셀 수 있습니다 그것이 무엇인지.

집합을 정의하는 두 가지 주요 방법이 있습니다.

    열거(X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m) 1 ,중 2 ,중 3 ,..,중 N });

    설명 - 집합의 모든 요소가 갖는 특성 속성을 나타냅니다.

집합은 요소에 의해 완전히 정의됩니다.

열거형은 유한 집합(예: 1년의 월 집합)만 지정할 수 있습니다. 무한 집합은 해당 요소의 속성을 설명해야만 정의할 수 있습니다(예: 유리수 집합은 Q=(n/m, m, n)을 설명하여 정의할 수 있습니다.∈ Z, m≠0).

설명으로 세트를 지정하는 방법:

ㅏ) 생성 절차를 지정하여이 절차의 매개변수(매개변수)가 실행되는 집합(집합)의 표시와 함께 - 재귀, 유도.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - 많은 피보니치 수.

(여러 요소 x, 다음과 같은 x 1 \u003d 1, x 2 =1 및 임의의 x k+1 (k=1,2,3,...의 경우)는 공식 x에 의해 계산됩니다. k+2 \u003d x k + x k + 1) 또는 X \u003d)

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