Logjika argëtuese në matematikë. Logjikë zbavitëse Pyetje logjike matematikore

1. Shënim shpjegues
1.1 Rëndësia
1.2 Qëllimi i programit
1.3 Objektivat e programit
1.4 Kushtet e zbatimit të programit, mosha e fëmijëve, format e zhvillimit të orëve
1.5 Fazat e zbatimit të programit
1.6 Përmbajtja e programit
1.7 Rezultatet e pritshme

2. Mbështetja metodologjike
2.1 Plani perspektiv-tematik i rrethit " Logjikë argëtuese»

3. Program diagnostikues për të menduarit logjik të fëmijëve të moshës parashkollore.

5. Burimet e informacionit

1. Shënim shpjegues.
Pse logjikë për një parashkollor të vogël?
Sipas L.A. Wenger, “për fëmijët pesëvjeçarë, veçoritë e jashtme të gjërave nuk janë qartësisht të mjaftueshme. Ata janë mjaft të gatshëm që gradualisht të njihen jo vetëm me vetitë dhe marrëdhëniet e jashtme, por edhe të brendshme, të fshehura që qëndrojnë në themel të njohurive shkencore për botën ... E gjithë kjo do të jetë e dobishme zhvillimin mendor fëmija vetëm nëse trajnimi ka për qëllim zhvillimin e aftësive mendore, ato aftësi në fushën e perceptimit, të menduarit imagjinar, imagjinatës, të cilat bazohen në asimilimin e mostrave të vetive të jashtme të gjërave dhe varieteteve të tyre ... "
Aftësitë e fituara nga fëmija në periudhën parashkollore do të shërbejnë si bazë për marrjen e njohurive dhe zhvillimin e aftësive në një moshë më të madhe - në shkollë. Dhe më e rëndësishmja midis këtyre aftësive është aftësia e të menduarit logjik, aftësia për të "vepruar në mendje". Do të jetë më e vështirë për një fëmijë që nuk ka zotëruar metodat e të menduarit logjik të zgjidhë problemet; kryerja e ushtrimeve do të kërkojë shumë kohë dhe përpjekje. Si rezultat, shëndeti i fëmijës mund të vuajë, interesi për të mësuar mund të dobësohet apo edhe të zbehet.
Pasi të ketë zotëruar operacionet logjike, fëmija do të jetë më i vëmendshëm, do të mësojë të mendojë qartë dhe qartë dhe të jetë në gjendje të përqendrohet në thelbin e problemit në kohën e duhur. Do të bëhet më e lehtë për të mësuar, që do të thotë se procesi i të mësuarit, dhe ajo vetë jeta shkollore do të sjellë gëzim dhe kënaqësi.
Ky program tregon se si përmes lojërave dhe ushtrimeve të veçanta është e mundur të formohet aftësia e fëmijëve për të krijuar në mënyrë të pavarur marrëdhënie logjike në realitetin përreth.
Duke punuar me parashkollorët për zhvillimin e proceseve njohëse, arrini në përfundimin se një nga kushtet e nevojshme për zhvillimin dhe mësimin e suksesshëm të tyre është konsistenca, d.m.th. një sistem lojërash dhe ushtrimesh speciale me përmbajtje të vazhdueshme në zhvillim dhe duke u bërë më komplekse, me detyra didaktike, veprimet e lojës dhe rregullat. Lojërat dhe ushtrimet e marra veçmas mund të jenë shumë interesante, por duke i përdorur ato jashtë sistemit, nuk mund të arrihet rezultati i dëshiruar mësimor dhe zhvillimor.
1.1 Rëndësia
Për zhvillimin e suksesshëm të kurrikulës shkollore, fëmija duhet jo vetëm të dijë shumë, por edhe të mendojë në mënyrë të vazhdueshme dhe përfundimtare, të hamendësojë, të tregojë tension mendor, të mendojë logjikisht.
Mësimdhënia e zhvillimit të të menduarit logjik ka një rëndësi jo të vogël për studentin e ardhshëm dhe është shumë i rëndësishëm sot.
Duke zotëruar çdo metodë të memorizimit, fëmija mëson të veçojë një qëllim dhe të kryejë punë të caktuar me materialin për ta arritur atë. Ai fillon të kuptojë nevojën për të përsëritur, krahasuar, përgjithësuar, grupuar materialin me qëllim të memorizimit.
Mësimi i fëmijëve për klasifikimin kontribuon në zotërimin e suksesshëm të një mënyre më komplekse të të mbajturit mend - grupimin semantik që fëmijët hasin në shkollë.
Duke shfrytëzuar mundësitë për zhvillimin e të menduarit logjik dhe të kujtesës së parashkollorëve, është e mundur që fëmijët të përgatiten më me sukses për zgjidhjen e problemeve që na shtron arsimi shkollor.
Zhvillimi i të menduarit logjik përfshin përdorimin e lojërave didaktike, zgjuarsinë, enigmat, zgjidhjen e ndryshme lojëra logjike dhe labirinteve dhe është me interes të madh për fëmijët. Në këtë aktivitet, tek fëmijët formohen tipare të rëndësishme të personalitetit: pavarësia, shkathtësia, zgjuarsia, zhvillohet këmbëngulja dhe zhvillohen aftësitë konstruktive. Fëmijët mësojnë të planifikojnë veprimet e tyre, të mendojnë për to, të hamendësojnë në kërkim të një rezultati, ndërsa tregojnë kreativitet.
Ndërsa punoni me fëmijët, mund të vini re se shumë fëmijë nuk përballen me detyra logjike në dukje të thjeshta. Për shembull, shumica e fëmijëve të moshës parashkollore më të madhe nuk mund t'i përgjigjen saktë pyetjes se çfarë është më shumë: fruta apo mollë, edhe nëse kanë në duar një fotografi në të cilën janë vizatuar frutat - shumë mollë dhe disa dardha. Fëmijët do të përgjigjen se ka më shumë dardha. Në raste të tilla, ai i mbështet përgjigjet e tij në atë që sheh me sytë e tij. Ata “zhgënjehen” nga të menduarit imagjinativ dhe në moshën 5-vjeçare fëmijët nuk kanë ende arsyetim logjik. Në të lartë mosha parashkollore fillojnë të tregojnë elemente të të menduarit logjik, karakteristikë për nxënësit e shkollave dhe të rriturit, të cilat duhet të zhvillohen në identifikimin e metodave më optimale për zhvillimin e të menduarit logjik.
Lojërat me përmbajtje logjike ndihmojnë në kultivimin e interesit njohës te fëmijët, kontribuojnë në kërkimin kërkimor dhe krijues, dëshirën dhe aftësinë për të mësuar. Lojërat didaktike janë një nga aktivitetet më të natyrshme të fëmijëve dhe kontribuojnë në formimin dhe zhvillimin e manifestimeve intelektuale dhe krijuese, vetë-shprehjes dhe pavarësisë. Zhvillimi i të menduarit logjik tek fëmijët përmes lojëra didaktikeështë e rëndësishme për suksesin e shkollimit të mëvonshëm, për formimin e saktë të personalitetit të studentit dhe në edukimin e mëtejshëm do të ndihmojë për të zotëruar me sukses bazat e matematikës dhe shkencave kompjuterike.
1.2 Qëllimi i programit: krijimi i kushteve për zhvillimin maksimal të të menduarit logjik të parashkollorëve në përgatitje për shkollim të suksesshëm.
1.3 Objektivat e programit:

  • mësojini fëmijëve veprimet themelore logjike: analiza, sinteza, krahasimi, mohimi, klasifikimi, sistemimi, kufizimi, përgjithësimi, konkludimi
  • Mësojini fëmijët të lundrojnë në hapësirë
  • zhvillojnë tek fëmijët funksione më të larta mendore, aftësi për të arsyetuar, provuar
  • për të kultivuar dëshirën për të kapërcyer vështirësitë, vetëbesimin, dëshirën për të ndihmuar një bashkëmoshatar

1.4 Kushtet e zbatimit të programit, mosha e fëmijëve, format e zhvillimit të orëve
Afatet e zbatimit të programit - 1-2 vjet
Programi është krijuar për fëmijët 5-7 vjeç.
Programi parashikon zhvillimin e klasave të rrethit në forma të ndryshme:

  • Individual punë e pavarur fëmijët.
  • Punë në çift.
  • Format e punës në grup.
  • I diferencuar.
  • Kontroll dhe kontroll frontal.
  • Vetëvlerësimi i punës së kryer.
  • Lojë didaktike.
  • Konkurs.
  • Konkurse.

1.5 Fazat e zbatimit të programit
Teknologjia e veprimtarisë ndërtohet në faza:

  1. Diagnoza e nivelit fillestar të zhvillimit të proceseve njohëse dhe kontrolli mbi zhvillimin e tyre.
  2. Planifikimi i mjeteve me të cilat mund të zhvillohet një ose një cilësi tjetër (vëmendja, kujtesa, imagjinata, të menduarit), duke marrë parasysh individualitetin e secilit fëmijë dhe njohuritë e disponueshme.
  3. Ndërtimi i një baze ndërdisiplinore (integrale) për trajnim në një kurs në zhvillim.
  4. Komplikimi gradual i materialit, një rritje graduale e sasisë së punës, duke rritur nivelin e pavarësisë së fëmijëve.
  5. Njohja me elementet e teorisë, metodat mësimore të arsyetimit, vetëargumentimi i zgjedhjes.
  6. Integrimi i njohurive dhe metodave aktiviteti njohës, duke zotëruar teknikat e tij të përgjithësuara.
  7. Vlerësimi i rezultateve të kursit zhvillimor sipas kritereve të zhvilluara, ku duhet të përfshihet fëmija (vetëvlerësimi, vetëkontrolli, kontrolli i ndërsjellë).

1. 6 Përmbajtja e programit
Përshkrim i shkurtër seksionet dhe temat e klasave (seksionet korrespondojnë me një veprim të caktuar logjik që fëmijët do të mësojnë në klasë):

1. Analizë – sintezë.
Qëllimi është të mësojmë fëmijët të ndajnë të tërën në pjesë, të krijojnë një lidhje midis tyre; Mësoni të kombinoni mendërisht pjesë të një objekti në një tërësi të vetme.
Lojëra dhe ushtrime: gjetja e një çifti logjik (mace - kotele, qen - ? (qenush)). Plotësimi i figurës (merrni një copë toke, vizatoni një xhep në fustan). Kërkoni për të kundërtat (e lehtë - e rëndë, e ftohtë - e nxehtë). Punoni me enigma me kompleksitet të ndryshëm. Shtrimi i figurave nga shkopinj numërimi dhe forma gjeometrike.

2. Krahasimi.
Qëllimi është të mësohet të vendosë mendërisht ngjashmëritë dhe dallimet e objekteve sipas veçorive thelbësore; zhvilloni vëmendjen, perceptimin e fëmijëve. Përmirësoni orientimin në hapësirë.
Lojëra dhe ushtrime: konsolidimi i koncepteve: i madh - i vogël, i gjatë - i shkurtër, i ulët - i lartë, i ngushtë - i gjerë, më i lartë - më i ulët, më tej - më afër, etj. Duke vepruar me konceptet "e njëjta", "shumica". Kërkoni për ngjashmëri dhe dallime në 2 fotografi të ngjashme.

3. Kufizimi.
Qëllimi është të mësojmë të veçojmë një ose më shumë objekte nga një grup sipas karakteristikave të caktuara. Zhvilloni aftësitë e vëzhgimit të fëmijëve.
Lojëra dhe ushtrime: “Rretho vetëm flamujt e kuq me një vijë”, “gjeni të gjitha objektet jorrethore” etj. Përjashtimi i të katërtit të tepërt.

4. Përgjithësim.
Qëllimi është të mësojmë të kombinojmë mendërisht objektet në një grup sipas vetive të tyre. Kontribuoni në pasurimin e fjalorit, zgjeroni njohuritë e përditshme të fëmijëve.
Lojëra dhe ushtrime për të vepruar me koncepte përgjithësuese: mobilje, pjata, transport, perime, fruta etj.

5. Sistematizimi.
Qëllimi është të mësojmë të identifikojmë modelet; zgjeroni fjalorin e fëmijëve; mësoni të dalloni nga një figurë, ritregoni.
Lojëra dhe ushtrime: katrore magjike (marr pjesën që mungon, foto). Hartimi i një tregimi bazuar në një seri fotografish, renditja e figurave në një sekuencë logjike.

6. Klasifikimi.
Qëllimi është të mësohet shpërndarja e objekteve në grupe sipas veçorive të tyre thelbësore. Konsolidimi i koncepteve përgjithësuese, funksionimi i lirë me to.

7. Konkluzioni.
Qëllimi është të mësojmë me ndihmën e gjykimeve të nxjerrim një përfundim. Kontribuoni në zgjerimin e njohurive shtëpiake të fëmijëve. Zhvilloni imagjinatën.
Lojëra dhe ushtrime: kërkoni për pozitive dhe negative në fenomene (për shembull, kur bie shi, ushqen bimët - kjo është e mirë, por e keqja është se në shi një person mund të laget, të ftohet dhe të sëmuret) . Vlerësimi i saktësisë së disa gjykimeve ("era fryn sepse lëkunden pemët." A është?). Zgjidhje detyrat logjike.

1.7 Rezultatet e pritshme
Rezultatet e planifikuara:
Fëmijët duhet të dinë:

  • parimet e ndërtimit të modeleve, vetitë e numrave, sendeve, dukurive, fjalëve;
  • parimet e strukturës së enigmave, fjalëkryqeve, fjalëve zinxhir, labirinteve;
  • antonime dhe sinonime;
  • emrat e formave gjeometrike dhe vetitë e tyre;
  • parimi i programimit dhe hartimit të një algoritmi veprimesh.

Fëmijët duhet të jenë në gjendje të:

  • të përcaktojë modele dhe të kryejë një detyrë sipas këtij modeli, të klasifikojë dhe grupojë objektet, të krahasojë, të gjejë veti të përbashkëta dhe të veçanta, të përgjithësojë dhe abstraktojë, të analizojë dhe vlerësojë aktivitetet e tyre;
  • përmes arsyetimit zgjidh problema logjike, jo standarde, kryen kërkim krijues, detyra verbale-didaktike, numerike, gjej përgjigjen e gjëegjëzave matematikore;
  • përgjigjuni shpejt dhe saktë pyetjeve të parashtruara gjatë nxehjes;
  • kryejnë detyra për të trajnuar vëmendjen, perceptimin, kujtesën
  • të kryejë diktime grafike, të jetë në gjendje të lundrojë në një paraqitje skematike të detyrave grafike;
  • të jeni në gjendje të vendosni një qëllim, të planifikoni fazat e punës, të arrini rezultate me përpjekjet tuaja.

Mënyra për të kontrolluar rezultatet e punës : Përgjithësimi i klasave pas çdo seksioni dhe 2 diagnostikime (fillestare (shtator) dhe përfundimtare (maj)) të nivelit të zotërimit të operacioneve të të menduarit logjik.

Fjalët e Sherlock Holmes: "Sa herë ju kam thënë, hiqni gjithçka të pamundur, atëherë ajo që mbetet do të jetë përgjigja, sado e pabesueshme të duket", mund të shërbejnë si një epigraf për këtë kapitull.

Nëse zgjidhja e një enigme kërkon vetëm aftësinë për të menduar logjikisht dhe nuk ka nevojë fare për të kryer llogaritjet aritmetike, atëherë një enigmë e tillë zakonisht quhet problem logjik. Problemet logjike, natyrisht, janë ndër ato matematikore, pasi logjika mund të konsiderohet si matematikë shumë e përgjithshme, themelore. Sidoqoftë, është e përshtatshme të veçoni dhe studioni enigmat logjike veçmas nga motrat e tyre më të shumta aritmetike. Në këtë kapitull, ne do të përshkruajmë tre lloje të zakonshme të problemeve logjike dhe do të përpiqemi të kuptojmë se si t'u qasemi atyre.

Lloji më i zakonshëm i problemit që dashamirët e enigmës ndonjëherë e quajnë "problemi Smith-Jones-Robinson" (për analogji me enigmën e vjetër të shpikur nga G. Dudeni).

Ai përbëhet nga një seri parcelash, që zakonisht raportojnë informacione të caktuara për personazhet; Në bazë të këtyre supozimeve, duhet të nxirren përfundime të caktuara. Për shembull, ja se si duket versioni më i fundit amerikan i problemit Dudeney:

1. Smith, Jones dhe Robinson punojnë në të njëjtin ekuipazh treni si shofer, konduktor dhe zjarrfikës. Profesionet e tyre nuk emërtohen domosdoshmërisht në të njëjtën rend si mbiemrat e tyre. Në trenin që shërben brigada ka tre pasagjerë me të njëjtin mbiemër.

Në të ardhmen do ta quajmë me respekt çdo pasagjer “Mr” (Mr).

2. Z. Robinson jeton në Los Anxhelos.

3. Dirigjenti jeton në Omaha.

4. Z. Jones ka harruar prej kohësh të gjithë algjebrën që i mësuan në kolegj.

5. Pasagjeri - emri i dirigjentit jeton në Çikago.

6. Drejtuesi dhe një nga pasagjerët, një specialist i njohur i fizikës matematikore, shkojnë në të njëjtën kishë.

7. Smith gjithmonë e mund stokerin kur takohen për një lojë bilardo.

Cili është emri i shoferit?


Këto probleme mund të përkthehen në gjuhën e logjikës matematikore, duke përdorur shënimin standard të saj dhe mund të kërkohet një zgjidhje duke përdorur metoda të përshtatshme, por një qasje e tillë do të ishte shumë e rëndë. Nga ana tjetër, pa shkurtime të një lloji apo tjetër, është e vështirë të kuptohet struktura logjike e problemit. Është më e përshtatshme të përdoret një tabelë, në qelizat boshe të së cilës do të futim të gjitha kombinimet e mundshme të elementeve të grupeve në shqyrtim. Në rastin tonë, ekzistojnë dy grupe të tilla, kështu që na duhen dy tabela (Fig. 139).

Oriz. 139 Dy tabela për problemin e Smith, Jones dhe Robinson.


Në çdo qelizë ne fusim 1 nëse kombinimi përkatës është i pranueshëm, ose 0 nëse kombinimi bie në kundërshtim me kushtet e problemit. Le të shohim se si është bërë. Kushti 7 padyshim që përjashton mundësinë që Smith të jetë stoker, kështu që në kutinë në këndin e sipërm të djathtë të tabelës së majtë vendosim 0. Kushti 2 na tregon se Robinson jeton në Los Angeles, kështu që në këndin e poshtëm të majtë të tabelës ne futni 1 dhe 0 në të gjitha qelizat e tjera në rreshtin e poshtëm dhe kolonën e majtë për të treguar se z. Robinson nuk jeton në Omaha ose Çikago dhe z. Smith dhe z. Jones nuk jetojnë në Los Anxhelos.

Tani duhet të mendojmë pak. Nga kushtet 3 dhe 6 dimë që fizikani matematikor jeton në Omaha, por mbiemrin e tij nuk ia dimë. Ai nuk mund të jetë as z. Robinson, as z. Jones (në fund të fundit, ai ka harruar edhe algjebrën elementare).

Prandaj, duhet të jetë zoti Smith. Ne e vërejmë këtë rrethanë duke vendosur 1 në qelizën e mesme të rreshtit të sipërm të tabelës së djathtë dhe 0 në qelizat e mbetura të të njëjtit rresht dhe qelizat boshe në kolonën e mesme. Njësia e tretë tani mund të futet vetëm në një qeli: kjo dëshmon se zoti Jones jeton në Çikago. Nga kushti 5 mësojmë se dirigjenti ka edhe mbiemrin Jones dhe shënojmë 1 në qelizën qendrore të tabelës së majtë dhe 0 në të gjitha qelizat e tjera të rreshtit të mesëm dhe kolonës së mesme. Pas kësaj, tabelat tona marrin formën e treguar në Fig. 140.



Oriz. 140 Tabela vezët e paraqitura në fig. 139, pas mbushjes paraprake.


Tani nuk është e vështirë të vazhdohet me arsyetimin që çon në përgjigjen përfundimtare. Në kolonën e emërtuar "Stoker", një njësi mund të vendoset vetëm në qelizën e poshtme. Nga kjo rrjedh menjëherë se 0 duhet të jetë në këndin e poshtëm të majtë. Vetëm qeliza në këndin e sipërm të majtë të tabelës mbetet bosh, ku mund të vendoset vetëm 1. Pra, emri i shoferit është Smith.

Lewis Carroll pëlqente të shpikte probleme jashtëzakonisht komplekse dhe të zgjuara të këtij lloji. Dekani i matematikës në Kolegjin Dortmouth, John J. Kemeny, programoi një nga problemet monstruoze (me 13 variabla dhe 12 kushte, nga ku rezulton se "asnjë gjykatës nuk nuhat duhanin") problemet Carroll për kompjuterin IBM-704. Makina e përfundoi zgjidhjen në rreth 4 minuta, megjithëse printimi i plotë i "tabelës së së vërtetës" të problemit (një tabelë që tregon nëse kombinimet e mundshme të vlerave të vërteta të variablave të problemit janë të vërteta ose të rreme) do të kishte marrë 13 orë!

Për lexuesit që duan të provojnë fatin e tyre me një problem më të vështirë se problemi Smith-Jones-Robinson, ne ofrojmë një enigmë të re. Autori i tij është R. Smullyan nga Universiteti Princeton.

1. Më 1918, i pari Lufte boterore. Në ditën e nënshkrimit të traktatit të paqes, tre çifte të martuara u mblodhën për të festuar këtë ngjarje në tryezën festive.

2. Secili burrë ishte vëllai i njërës prej grave dhe secila grua ishte motra e njërit prej burrave, domethënë, midis të pranishmëve, mund të tregoheshin tre çifte të lidhura të "vëllait dhe motrës".

3. Helen është saktësisht 26 javë më e madhe se burri i saj, i cili ka lindur në gusht.

4. Motra e zotit White është e martuar me kunatin e Ellen dhe është martuar me të në ditëlindjen e saj, në janar.

5. Margaret White është më e shkurtër se William Blake.

6. Motra e Arturit është më e bukur se Beatrice.

7. Gjoni është 50 vjeç.

Cili është emri i zonjës Brown?


Jo më pak e zakonshme është një larmi tjetër problemesh logjike, të cilat, në analogji me shembullin e mëposhtëm të mirënjohur, mund të quhen probleme të llojit "problemi i kapelave me ngjyra". Tre persona (le t'i quajmë A, B dhe NGA) lidhni sytë dhe thoni se secili prej tyre ishte vendosur në një kapak të kuq ose jeshil. Më pas u zgjidhen sytë dhe u kërkohet të ngrenë dorën nëse shohin një kapak të kuq dhe të dalin nga dhoma nëse janë të sigurt se e dinë se çfarë ngjyre ka kapaku në kokë. Të tre kapelet doli të ishin të kuqe, kështu që të tre ngritën duart. Kaluan disa minuta dhe NGA, e cila është më inteligjente se POR dhe AT, doli nga dhoma. Si NGA ishte në gjendje të përcaktojë se çfarë ngjyre ka kapela mbi të?

[Problemi i të mençurve me kapele jeshile është formuluar në tekst në mënyrë të tillë që nuk mund të ketë zgjidhje. Kjo është veçanërisht e dukshme kur numri i njerëzve të mençur është i madh. Sa kohë do t'i duhet njeriut të parë të mençur për të marrë me mend situatën e vërtetë?

Në fund të viteve dyzet, ky problem u diskutua intensivisht në Moskë në qarqet matematikore shkollore dhe u shpik një version i ri i tij, në të cilin u prezantua koha diskrete. Detyra dukej kështu.

Në kohët e lashta, njerëzit e mençur jetonin në një qytet. Secili prej tyre kishte një grua. Në mëngjes vinin në treg dhe merrnin vesh të gjitha thashethemet e qytetit atje. Ata ishin vetë thashetheme. U dha atyre kënaqësi të madhe të mësonin për pabesinë e ndonjërës prej grave - ata e morën vesh menjëherë. Sidoqoftë, një rregull i pashprehur u respektua rreptësisht: asgjë nuk iu raportua kurrë burrit për gruan e tij, pasi secili prej tyre, pasi kishte mësuar për turpin e tij, do ta kishte dëbuar gruan e tij nga shtëpia. Kështu ata jetonin, duke shijuar bisedat intime dhe duke mbetur plotësisht injorantë për punët e tyre.

Por një ditë në qytet erdhi një thashetheme e vërtetë. Ai erdhi në pazar dhe deklaroi publikisht: "Por jo të gjithë njerëzit e mençur kanë gra besnike!" Duket se thashethemet nuk thanë asgjë të re - dhe kështu të gjithë e dinin, çdo i urtë e dinte (vetëm me keqdashje ai nuk mendoi për veten, por për tjetrin), kështu që asnjë nga banorët nuk i kushtoi vëmendje fjalëve të thashethemeve. . Por të urtët menduan – prandaj janë të urtë – dhe n- dita e pas ardhjes së thashethemeve n burrat e mençur u dëbuan n gra jobesnike (nëse kishte n).

Nuk është e vështirë të rivendosësh arsyetimin e të urtëve. Është më e vështirë t'i përgjigjesh pyetjes: çfarë informacioni i shtoi thashethemetrit asaj që dihej nga të urtët edhe pa të?

Ky problem është hasur vazhdimisht në literaturë].

C pyet veten nëse kapelja e tij mund të jetë jeshile. Nëse do të ishte kështu, atëherë POR do ta kuptonte menjëherë se kishte veshur një kapak të kuq, sepse vetëm një kapak i kuq në kokë mund të bënte AT ngre një dorë. Por pastaj POR do të largohej nga dhoma. AT do të kishte filluar të arsyetonte saktësisht në të njëjtën mënyrë dhe gjithashtu do të kishte dalë nga dhoma. Meqë nuk doli as njëri as tjetri, NGA arriti në përfundimin se kapelja e tij duhet të jetë e kuqe.

Ky problem mund të përgjithësohet në rastin kur ka një numër të madh njerëzish dhe të gjithë janë të veshur me kapele të kuqe. Supozoni se një aktor i katërt është shfaqur në problem D, edhe më thellë se C.D mund të arsyetonte kështu: “Nëse kapelja ime do të ishte jeshile, atëherë A, B dhe NGA do të gjendeshin pikërisht në të njëjtën situatë që sapo u përshkrua, dhe në pak minuta më perceptuesi i treshes me siguri do të largohej nga dhoma.

Por tashmë kanë kaluar pesë minuta, dhe asnjë prej tyre nuk del, prandaj, kapaku im është i kuq.

Nëse do të kishte një anëtar të pestë që ishte edhe më i zgjuar se D, ai mund të kishte arritur në përfundimin se kishte veshur një kapak të kuq pasi kishte pritur dhjetë minuta. Natyrisht, arsyetimi ynë e humbet bindjen e tij për shkak të supozimeve rreth shkallëve të ndryshme të zgjuarsisë. A, B, C... dhe konsiderata mjaft të paqarta se sa kohë duhet të presë personi më i mprehtë para se të mund të emërojë me besim ngjyrën e kapelës së tij.

Disa probleme të tjera me "kapakun e ngjyrave" përmbajnë më pak pasiguri. I tillë, për shembull, është problemi i mëposhtëm, i shpikur gjithashtu nga Smullyan. Secila prej të treve A, B dhe NGA- flet rrjedhshëm logjikën, domethënë di të nxjerrë në çast të gjitha pasojat nga një grup i caktuar premisash dhe e di se edhe pjesa tjetër e ka këtë aftësi.

Ne marrim katër pulla të kuqe dhe katër jeshile, lidhim sytë "logjikët" tanë dhe ngulim dy pulla në secilin prej ballit të tyre. Më pas i heqim fashat nga sytë dhe, nga ana tjetër, pyesim A, B dhe NGA e njëjta pyetje: "A e dini se çfarë ngjyre janë pullat në ballin tuaj?" Secili prej tyre përgjigjet negativisht. Pastaj pyesim përsëri POR dhe përsëri marrim një përgjigje negative. Por kur bëjmë të njëjtën pyetje për herë të dytë AT, përgjigjet ai pozitivisht.

Çfarë ngjyre ka shenja në ballë AT?


Lloji i tretë i enigmave logjike popullore janë problemet për gënjeshtarët dhe ata që thonë gjithmonë të vërtetën. AT version klasik detyrat po flasim për një udhëtar që e gjen veten në një vend të banuar nga dy fise. Anëtarët e një fisi gënjejnë gjithmonë, pjesëtarët e një tjetri gjithmonë thonë të vërtetën. Udhëtari takon dy vendas. "A thua gjithmonë të vërtetën?" pyet ai vendasin shtatlartë. Ai përgjigjet: “Tarabar”. "Ai tha po," shpjegon një vendas më i vogël që di anglisht, "por ai është një gënjeshtar i tmerrshëm." Cilit fis i përket secili vendas?


Një qasje sistematike për zgjidhjen do të ishte të shkruani të katër mundësitë: AI, IL, LI, LL (Unë do të thotë "e vërtetë", L - "e rreme") - dhe të përjashtohen ato që kundërshtojnë të dhënat e problemit. Përgjigja mund të merret shumë më shpejt nëse vërehet se një vendas i gjatë duhet të përgjigjet pozitivisht nëse gënjen apo thotë të vërtetën. Meqenëse vendësi më i vogël tha të vërtetën, ai duhet t'i përkasë fisit të të vërtetëve, dhe shoku i tij i gjatë - fisit të gënjeshtarëve.

Problemi më i famshëm i këtij lloji, i ndërlikuar nga futja e peshave të probabilitetit dhe një formulimi jo shumë i qartë, mund të gjendet krejt papritur në mes të kapitullit të gjashtë të librit Rrugët e reja në shkencë të astronomit anglez A. Eddington. "Nese nje A, B, C dhe D thuaj të vërtetën një herë nga tre (në mënyrë të pavarur) dhe POR Shtetet që AT e mohon atë NGA thotë sikur D gënjeshtar, sa ka gjasa që D tha të vërtetën?"

Përgjigja e Eddington, 25/71, u prit me një breshëri proteste nga lexuesit dhe shkaktoi një mosmarrëveshje qesharake dhe konfuze që nuk u zgjidh kurrë përfundimisht. Astronomi anglez G. Dingle, autori i një rishikimi të librit të Eddingtonit të botuar në revistën Nature (mars 1935), besonte se problemi nuk meriton aspak vëmendje si të pakuptimtë dhe vetëm tregon se Eddington nuk kishte menduar mjaftueshëm për idetë themelore. të teorisë së probabilitetit. Fizikani amerikan T. Stern (Nature, qershor 1935) e kundërshtoi këtë, duke thënë se, sipas tij, problemi nuk është aspak i pakuptimtë, por nuk ka të dhëna të mjaftueshme për ta zgjidhur atë.

Si përgjigje, Dingle vuri në dukje (Nature, shtator 1935) se nëse dikush merr këndvështrimin e Stern, atëherë ka të dhëna të mjaftueshme për një vendim dhe përgjigja do të jetë 1/3. Këtu Eddington hyri në grindje, duke botuar (Gazeta Mathemetical, tetor 1935) një artikull që shpjegonte në detaje se si e mori përgjigjen e tij. Mosmarrëveshja përfundoi me dy artikuj të tjerë që u shfaqën në të njëjtën revistë, autori i njërit prej të cilëve mbrojti Eddington, dhe tjetri parashtroi një këndvështrim të ndryshëm nga të gjithë të mëparshmit.

Vështirësia qëndron kryesisht në të kuptuarit e formulimit të Eddington. Nese nje AT, duke shprehur mohimin e tij, flet të vërtetën, atëherë a mund ta supozojmë me arsye këtë NGA tha se D flas të vërtetën? Eddington besonte se nuk kishte arsye të mjaftueshme për një supozim të tillë. Po kështu, nëse POR gënjeshtra, a mund të jemi të sigurt për këtë AT dhe NGA a thane ndonje gje? Për fat të mirë, ne mund t'i kapërcejmë të gjitha këto vështirësi gjuhësore duke bërë supozimet e mëposhtme (Eddington nuk i bëri ato):

1. Asnjë nga të katër nuk heshti.

2. Deklarata A, B dhe NGA(secila prej tyre veç e veç) ose konfirmoni ose mohoni deklaratën e mëposhtme.

3. Pohimi i rremë përkon me mohimin e tij, dhe mohimi i rremë përkon me një pohim.

Të katër gënjejnë në mënyrë të pavarur nga njëri-tjetri me një probabilitet prej 1/3, domethënë, mesatarisht, çdo dy nga tre pohimet e tyre janë të rreme. Nëse një deklaratë e vërtetë shënohet me shkronjë Dhe, dhe letra e rreme L, pastaj për A, B, C dhe D marrim një tabelë të përbërë nga tetëdhjetë e një kombinime të ndryshme. Nga ky numër, duhet të përjashtohen ato kombinime që janë të pamundura për shkak të kushteve të problemit.

Numri i kombinimeve të vlefshme që mbarojnë me një shkronjë Dhe(d.m.th. deklaratë e vërtetë - e vërtetë D), duhet të pjesëtohet me numrin total të të gjitha kombinimeve të vlefshme, të cilat do të japin përgjigjen.

Duhet të sqarohet formulimi i problemit për një udhëtar dhe dy vendas. Udhëtari e kuptoi se fjala "dërrmuese" në gjuhën e vendasve do të thotë ose "po" ose "jo", por ai nuk mund ta merrte me mend se çfarë saktësisht. Kjo do të kishte alarmuar disa emaile, një prej të cilave e riprodhoj më poshtë.

Banori shtatlartë me sa duket nuk kuptonte asnjë fjalë nga ajo që i tha udhëtari (në anglisht) dhe nuk mund të përgjigjej po ose jo në anglisht. Prandaj, "gërmadha" e tij do të thotë diçka si: "Nuk e kuptoj" ose "Mirë se erdhe në Bongo-Bongo". Rrjedhimisht, vendasja e vogël ka gënjyer kur ka thënë se shoku i tij i është përgjigjur “po” dhe duke qenë se i vogli ishte gënjeshtar, ka gënjyer edhe kur e ka quajtur gënjeshtar vendasin e gjatë. Prandaj, një vendas i gjatë duhet të konsiderohet i vërtetë.

Pra, logjika femërore i dha një goditje kotësisë sime mashkullore. A nuk e lëndon pak krenarinë e autorit tuaj?


Përgjigjet

Problemi i parë logjik zgjidhet më së miri duke përdorur tre tabela: njëra për kombinimet e emrave dhe mbiemrave të grave, e dyta për emrat dhe mbiemrat e burrave dhe e treta për lidhjet familjare.

Duke qenë se emri i zonjës White është Margaret (kushti 5), na mbeten vetëm dy mundësi për emrat e dy grave të tjera: a) Helen Blake dhe Beatrice Brown, ose b) Helen Brown dhe Beatrice Blake.

Le të supozojmë se ndodh e dyta nga mundësitë. Motra e White duhet të jetë ose Helen ose Beatrice. Por Beatrice nuk mund të jetë motra e Wyne, sepse atëherë Blake do të ishte vëllai i Helenës, dhe dy kunetërit e Blake do të ishin White (vëllai i gruas së tij) dhe Brown (burri i motrës së tij); Beatrice Blake nuk është e martuar me asnjërën prej tyre, gjë që bie ndesh me kushtin 4. Prandaj, motra e White duhet të jetë Helen. Nga kjo, nga ana tjetër, ne konkludojmë se motra e Brown quhet Beatrice, dhe motra e Blake është Margaret.

Nga kushti 6 rezulton se emri i zotit White është Arthur (Brown nuk mund të jetë Arthur, pasi një kombinim i tillë do të thoshte se Beatrice është më e bukur se ajo, dhe Blake nuk mund të jetë Arthur, pasi nga kushti 5 ne e dimë emrin e tij: William). Pra, zoti Brown mund të jetë vetëm John. Fatkeqësisht, nga kushti 7 shohim se Gjoni ka lindur në 1868 (50 vjet para nënshkrimit të traktatit të paqes). Por 1868 është një vit i brishtë, kështu që Helen duhet të jetë më e vjetër se burri i saj një ditë më shumë se 26 javët e përcaktuara në kushtin 3. (Nga kushti 4 dimë që ajo ka lindur në janar dhe nga kushti 3 që ka lindur burri i saj në gusht Ajo mund të ishte saktësisht 26 javë më e madhe se burri i saj nëse ditëlindja e saj ishte më 31 janar dhe e tij më 1 gusht dhe nëse nuk do të kishte 29 shkurt midis këtyre datave!) Pra, e dyta nga mundësitë, me të cilat filluam. duhet të hidhet poshtë, gjë që na lejon të emërtojmë gratë: Margaret White, Helen Blake dhe Beatrice Brown. Këtu nuk ka asnjë kontradiktë, pasi nuk e dimë vitin e lindjes së Blake. Nga kushtet e problemit, mund të konstatohet se Margaret është motra e Brown, Beatrice është motra e Blake dhe Helen është motra e White, por çështja e emrave të White dhe Brown mbetet e pazgjidhur.


Në problemin me pullat AT ka tre mundësi. Pullat e tij mund të jenë: 1) të dyja të kuqe; 2) të dyja jeshile; 3) njëra është e gjelbër dhe tjetra është e kuqe. Le të supozojmë se të dyja pullat janë të kuqe.

Pasi të tre janë përgjigjur një herë, POR mund të arsyetojë kështu: “Shenjat në ballin tim nuk mund të jenë të dyja të kuqe (sepse atëherë NGA do të kishte parë katër pulla të kuqe dhe do të kishte kuptuar menjëherë se ai kishte dy pulla jeshile në ballë, dhe nëse NGA atëherë të dyja pullat ishin jeshile AT, duke parë katër pulla jeshile, do të kishte kuptuar se kishte dy pulla të kuqe në ballë). Prandaj kam një shenjë jeshile dhe një të kuqe në ballë.”

Por kur POR pyeti për herë të dytë, ai nuk e dinte se çfarë ngjyre ishte marka e tij. E lejoi AT hidhni mundësinë që të dyja pullat e tij të jenë të kuqe. Duke argumentuar në të njëjtën mënyrë si A, B përjashtoi rastin kur të dyja pullat e tij janë jeshile. Prandaj, atij i mbeti vetëm një mundësi: njëra pullë është e gjelbër, tjetra është e kuqe.

Disa lexues vunë re shpejt se problemi mund të zgjidhet shumë shpejt pa pasur nevojë të analizojnë pyetjet dhe përgjigjet. Ja çfarë shkruan një nga lexuesit për këtë: “Kushtet e problemit janë plotësisht simetrike në lidhje me shenjat e kuqe dhe jeshile.

Prandaj, duke shpërndarë pulla ndërmjet A, B dhe NGA nëse plotësohen të gjitha kushtet e problemit dhe zëvendësimi i shenjave të kuqe me jeshile dhe, anasjelltas, jeshile me të kuqe, do të arrijmë në një shpërndarje të ndryshme, për të cilën gjithashtu do të plotësohen të gjitha kushtet. Nga kjo rrjedh se nëse zgjidhja është unike, atëherë ajo duhet të jetë e pandryshueshme (nuk duhet të ndryshojë) kur zëvendësohen etiketat jeshile me ato të kuqe dhe ato të kuqe me ato jeshile. Një zgjidhje e tillë mund të jetë vetëm një shpërndarje e tillë e pullave, në të cilën B do të ketë një pullë jeshile dhe një të kuqe.

Siç shprehet W. Manheimer, Dekan i Departamentit të Matematikës në Brooklyn College, kjo zgjidhje elegante vjen nga fakti se jo A, B dhe NGA(siç thuhet në gjendjen e problemit), dhe Raymond Smullyan!


Në problemin e Eddingtonit, probabiliteti që D thotë të vërtetën, është 13/41. Të gjitha kombinimet e të vërtetës dhe të rreme që përmbajnë një numër tek herë false (ose e vërtetë) duhet të hidhen poshtë si në kundërshtim me kushtet e problemit. Si rezultat, numri i kombinimeve të mundshme zvogëlohet nga 81 në 41, nga të cilat vetëm 13 përfundojnë me një deklaratë të vërtetë. D. Sepse A, B dhe NGA thuaj të vërtetën në rastet që korrespondojnë me të njëjtin numër kombinimesh të vlefshme, probabiliteti për të thënë të vërtetën është i njëjtë për të katër.

Përdorimi i simbolit të ekuivalencës

që do të thotë se pohimet e lidhura me të janë ose të vërteta ose të dyja të gabuara (atëherë propozimi i rremë është i vërtetë, përndryshe është i gabuar), dhe simboli mohues ~, problemi i Eddingtonit në llogaritjen propozicionale mund të shkruhet si më poshtë:

ose pas disa thjeshtimeve si kjo:

Tabela e së vërtetës së kësaj shprehje konfirmon përgjigjen e marrë tashmë.

Shënime:

Kjo është frustruese- mërzitur, bëj diçka të kotë, të pashpresë, dënim në dështim (anglisht).

Shihni kapitullin mbi Raymond Smullyan në libër M. Gardner"Udhëtimi në kohë" (M.: Mir, 1990).

Eddington A. Rrugë të reja në shkencë. - Kembrixh: 1935; Michigan: 1959.

Prezantimi

Logjika është Zoti i mendimtarëve.

L. Feuchtwanger

Aftësia për të arsyetuar saktë është e nevojshme në çdo fushë të veprimtarisë njerëzore: shkencë dhe teknologji, drejtësi dhe diplomaci, planifikim ekonomik dhe çështje ushtarake. Dhe kjo aftësi kthehet në kohët e lashta, logjika, d.m.th. shkenca për të cilën format e arsyetimit janë të sakta u ngrit vetëm pak më shumë se dy mijë vjet më parë. Ajo u zhvillua në shekullin VI. para Krishtit. në veprat e filozofit të madh të lashtë grek Aristotelit, studentëve dhe ndjekësve të tij.

Në një moment, matematikanët shtruan pyetjen: "Çfarë është, në fakt, matematika, aktiviteti matematikor?" Përgjigja e thjeshtë është se matematikanët vërtetojnë teorema, domethënë zbulojnë disa të vërteta rreth tyre botën reale dhe "bota matematikore ideale". Një përpjekje për t'iu përgjigjur pyetjes se çfarë është një teoremë matematikore, e vërteta matematikore dhe çfarë është një pohim matematikor i vërtetë apo i provueshëm, ky është gjithashtu rrjeti i pikënisjes së logjikës matematikore. Në shkollë, ne duhet të mësojmë të analizojmë, krahasojmë, nxjerrim në pah gjënë kryesore, përgjithësojmë dhe sistemojmë, vërtetojmë dhe hedhim poshtë, përcaktojmë dhe shpjegojmë konceptet, shtrojmë dhe zgjidhim probleme. Zotërimi i këtyre metodave do të thotë aftësi për të menduar. Në shkencë, duhet të nxirren formula të ndryshme, modele numerike, rregulla dhe të vërtetohen teorema me arsyetim. Për shembull, në 1781 u zbulua planeti Urani. Vëzhgimet kanë treguar se lëvizja e këtij planeti ndryshon nga lëvizja e llogaritur teorikisht. Shkencëtari francez Le Verrier (1811-1877), duke arsyetuar logjikisht dhe duke kryer llogaritje mjaft komplekse, përcaktoi ndikimin e një planeti tjetër në Uran dhe tregoi vendndodhjen e tij. Në 1846, astronomi Galle konfirmoi ekzistencën e një planeti të quajtur Neptun. Duke vepruar kështu, ata përdorën logjikën e arsyetimit dhe llogaritjeve matematikore.

Pika e dytë fillestare e konsideratave tona është të sqarojmë se çfarë do të thotë që një funksion matematikor është i llogaritshëm dhe mund të llogaritet duke përdorur një algoritëm, një rregull formal, një procedurë të përshkruar saktësisht. Këto dy formulime fillestare kanë shumë të përbashkëta, ato janë të bashkuara natyrshëm nën emrin e përgjithshëm "logjika matematikore", ku logjika matematikore kuptohet kryesisht si logjika e arsyetimit dhe veprimeve matematikore.

Zgjodha këtë temë të veçantë sepse zotërimi i elementeve të logjikës matematikore do të më ndihmojë në profesionin tim të ardhshëm ekonomik. Në fund të fundit, një tregtar analizon tendencattregu,çmimet, qarkullimi dhe metodat e marketingut, mbledh të dhëna për organizatat konkurruese,nxjerr rekomandime. Për ta bërë këtë, ju duhet të përdorni njohuritë e logjikës.

Objektiv: të studiojë dhe të përdorë mundësitë e logjikës matematikore në zgjidhjen e problemeve në fusha dhe veprimtari të ndryshme njerëzore.

Detyrat:

1. Analizoni literaturën për thelbin dhe origjinën e logjikës matematikore.

2. Studioni elementet e logjikës matematikore.

3. Zgjedh dhe zgjidh problema me elemente të logjikës matematikore.

Metodat: analiza e literaturës, konceptet, metoda e analogjive në zgjidhjen e problemeve, vetëvëzhgimi.

  1. Nga historia e shfaqjes së logjikës matematikore

Logjika matematikore është e lidhur ngushtë me logjikën dhe ia detyron origjinën e saj. Themelet e logjikës, shkencës së ligjeve dhe formave të të menduarit njerëzor, u hodhën nga filozofi më i madh i lashtë grek Aristoteli (384-322 p.e.s.), i cili në traktatet e tij studioi tërësisht terminologjinë e logjikës, analizoi në detaje teorinë e konkluzioneve. dhe provat, përshkruan një sërë operacionesh logjike, formuluan ligjet bazë të të menduarit, duke përfshirë ligjet e kontradiktës dhe përjashtimin e të tretës. Kontributi i Aristotelit në logjikë është shumë i madh, jo pa arsye emri tjetër i tij është logjika aristoteliane. Edhe vetë Aristoteli vuri re se midis shkencës që krijoi dhe matematikës (në atë kohë quhej aritmetikë) ka shumë të përbashkëta. Ai u përpoq të kombinonte këto dy shkenca, domethënë, të reduktonte reflektimin, ose më mirë përfundimin, në llogaritjen në bazë të pozicioneve fillestare. Në një nga traktatet e tij, Aristoteli iu afrua një prej seksioneve të logjikës matematikore - teorisë së provave.

Në të ardhmen, shumë filozofë dhe matematikanë zhvilluan disa dispozita të logjikës dhe ndonjëherë edhe përshkruanin konturet e llogaritjes moderne propozicionale, por më e afërta me krijimin e logjikës matematikore erdhi në gjysmën e dytë të shekullit të 17-të, shkencëtari i shquar gjerman Gottfried Wilhelm. Leibniz (1646 - 1716), i cili vuri në dukje mënyrat e përkthimit të logjikës "nga sfera verbale, plot pasiguri, në fushën e matematikës, ku marrëdhëniet midis objekteve ose pohimeve përcaktohen me saktësi të përsosur". Leibniz madje shpresonte që në të ardhmen filozofët, në vend që të debatonin pa rezultat, do të merrnin letra dhe do të kuptonin se cili prej tyre kishte të drejtë. Në të njëjtën kohë, Leibniz preku edhe sistemin e numrave binar në veprat e tij. Duhet të theksohet se ideja e përdorimit të dy karaktereve për të koduar informacionin është shumë e vjetër. Aborigjenët australianë numëroheshin në copa, disa fise të gjuetarëve-mbledhësve të Guinesë së Re dhe Amerikës së Jugut përdorën gjithashtu një sistem numërimi binar. Në disa fise afrikane, mesazhet transmetohen duke përdorur bateri në formën e kombinimeve të rrahjeve të shprehura dhe të shurdhër. Një shembull i njohur i kodimit me dy karaktere është kodi Morse, ku shkronjat e alfabetit përfaqësohen nga kombinime të caktuara pikash dhe pikash. Pas Leibniz, shumë shkencëtarë të shquar kryen kërkime në këtë fushë, por suksesi i vërtetë këtu erdhi tek matematikani anglez autodidakt George Boole (1815-1864), vendosmëria e tij nuk njihte kufij.

Situata financiare Prindërit e Xhorxhit (babai i të cilit ishte këpucar) e lejuan atë të diplomohej vetëm Shkolla fillore për të varfërit. Pas ca kohësh, Buhl, pasi kishte ndryshuar disa profesione, hapi një shkollë të vogël, ku mësoi vetë. Ai i kushtoi shumë kohë vetë-edukimit dhe shpejt u interesua për idetë e logjikës simbolike. Në 1847, Boole botoi artikullin "Analiza matematikore e logjikës, ose përvoja e llogaritjes së konkluzioneve deduktive", dhe në 1854 u shfaq vepra e tij kryesore "Hetimi i ligjeve të mendimit mbi të cilat bazohen teoritë matematikore të logjikës dhe probabilitetit". . Boole shpiku një lloj algjebre - një sistem shënimesh dhe rregullash të zbatueshme për të gjitha llojet e objekteve, nga numrat dhe shkronjat tek fjalitë. Duke përdorur këtë sistem, ai mund të kodonte deklaratat (thëniet që duhej të vërtetoheshin të vërteta ose të rreme) duke përdorur simbolet e gjuhës së tij, dhe më pas t'i manipulonte ato në të njëjtën mënyrë që manipulohen numrat në matematikë. Veprimet themelore të algjebrës së Bulit janë lidhja (AND), disjunksioni (OR) dhe mohimi (JO). Pas ca kohësh, u bë e qartë se sistemi i Boole është i përshtatshëm për të përshkruar qarqet e kalimit elektrik. Rryma në një qark mund të rrjedhë ose jo, ashtu si një deklaratë mund të jetë ose e vërtetë ose e rreme. Dhe disa dekada më vonë, tashmë në shekullin e 20-të, shkencëtarët kombinuan aparatin matematikor të krijuar nga George Boole me sistemin e numrave binar, duke hedhur kështu themelet për zhvillimin e një kompjuteri elektronik dixhital. Dispozitat individuale të punës së Boole u prekën në një farë mase si para dhe pas tij nga matematikanë dhe logjikë të tjerë. Sidoqoftë, sot në këtë fushë, janë veprat e George Boole ato që konsiderohen klasike matematikore, dhe ai vetë konsiderohet me të drejtë themeluesi i logjikës matematikore dhe, aq më tepër, seksionet më të rëndësishme të saj - algjebra e logjikës (algjebra Boolean ) dhe algjebra e propozimeve.

Një kontribut të madh në zhvillimin e logjikës dhanë edhe shkencëtarët rusë P.S. Poretsky (1846-1907), I.I. Zhegalkin (1869-1947).

Në shekullin e 20-të, një rol të madh në zhvillimin e logjikës matematikore luajti nga

D. Hilbert (1862-1943), i cili propozoi një program për formalizimin e matematikës që lidhet me zhvillimin e themeleve të vetë matematikës. Së fundi, në dekadat e fundit të shekullit të 20-të, zhvillimi i shpejtë i logjikës matematikore ishte për shkak të zhvillimit të teorisë së algoritmeve dhe gjuhëve algoritmike, teorisë së automateve, teorisë së grafikëve (S.K. Kleene, A. Church, A.A. Markov, P.S. Novikov dhe shumë të tjerë).

Në mesin e shekullit të 20-të, zhvillimi i teknologjisë kompjuterike çoi në shfaqjen e elementet logjike, blloqe logjike dhe pajisje të teknologjisë kompjuterike, e cila u shoqërua me zhvillimin shtesë të fushave të tilla të logjikës si problemet e sintezës logjike, dizajni logjik dhe modelimi logjik i pajisjeve logjike dhe teknologjisë kompjuterike. Në vitet 1980, filloi kërkimi në fushën e inteligjence artificiale bazuar në gjuhët dhe sistemet e programimit logjik. Krijimi i sistemeve eksperte filloi me përdorimin dhe zhvillimin e vërtetimit automatik të teoremave, si dhe metodave të programimit të bazuar në dëshmi për verifikimin e algoritmeve dhe programeve kompjuterike. Ndryshimet në arsim filluan gjithashtu në vitet 1980. Shfaqja e kompjuterëve personalë në shkollat ​​e mesme çoi në krijimin e teksteve të shkencave kompjuterike me studimin e elementeve të logjikës matematikore për të shpjeguar parimet logjike të punës. qarqet logjike dhe pajisjet kompjuterike, si dhe parimet e programimit logjik për kompjuterët e gjeneratës së pestë dhe zhvillimin e teksteve të shkencave kompjuterike me studimin e gjuhës së llogaritjes së kallëzuesit për hartimin e bazave të njohurive.

  1. Bazat e teorisë së grupeve

Koncepti i një grupi është një nga ato koncepte themelore të matematikës që është e vështirë të përcaktohen saktësisht duke përdorur koncepte elementare. Prandaj, ne kufizohemi në një shpjegim përshkrues të konceptit të një grupi.

shumë quhet një grup objektesh të caktuara mjaft të dallueshme, të konsideruara si një tërësi e vetme. Krijuesi i teorisë së grupeve, Georg Cantor, dha përkufizimin e mëposhtëm të një grupi - "një grup është shumë që ne e mendojmë si një e tërë".

Objektet individuale që përbëjnë një grup quhen elementet e vendosur.

Kompletet zakonisht shënohen me shkronja të mëdha të alfabetit latin, dhe elementët e këtyre grupeve shënohen me shkronja të vogla të alfabetit latin. Kompletet shkruhen në kllapa kaçurrelë ( ).

Është zakon të përdoret shënimi i mëposhtëm:

    a∈ X - "elementi a i përket grupit X";

    a∉ X - "elementi a nuk i përket grupit X";

    ∀ - kuantifikues i arbitraritetit, i përgjithshëm, që tregon "çdo", "çfarëdo qoftë", "për të gjithë";

    ∃ - Kuantifikuesi i ekzistencës:∃ y∈ B - "ekziston (ekziston) një element y nga bashkësia B";

    ∃! - Kuantifikues i ekzistencës dhe unike:∃ !b∈ C - "ekziston një element unik b nga grupi C";

    : - "sikurse; posedimi i pasurisë";

    → - simboli i pasojës, do të thotë "përfshin";

    ⇔ - sasior i ekuivalencës, ekuivalencë - "nëse dhe vetëm atëherë".

Kompletet janë të fundme dhe të pafundme . Kompletet quhen përfundimtar , nëse numri i elementeve të tij është i fundëm, d.m.th. nëse ka një numër natyror n, që është numri i elementeve të bashkësisë. A=(a 1 , a 2 ,a 3 , ..., a n ). Kompleti quhet pafund nëse përmban një numër të pafund elementësh. B=(b 1, b 2, b 3 , ...). Për shembull, grupi i shkronjave të alfabetit rus është një grup i kufizuar. Bashkësia e numrave natyrorë është një bashkësi e pafundme.

Numri i elementeve në një bashkësi të fundme M quhet kardinalitet i bashkësisë M dhe shënohet me |M|. bosh grup - një grup që nuk përmban asnjë element -∅ . Të dy grupet quhen të barabartë , nëse përbëhen nga elementë të njëjtë, d.m.th. janë të njëjtin grup. Bashkësitë nuk janë të barabarta me X ≠ Y nëse X ka elementë që nuk i përkasin Y, ose Y ka elementë që nuk i përkasin X. Simboli i barazisë së grupit ka vetitë e mëposhtme:

    X=X; - refleksiviteti

    nëse X=Y, Y=X - simetri

    nëse X=Y,Y=Z, atëherë X=Z është kalimtar.

Sipas këtij përkufizimi të barazisë së grupeve, natyrshëm marrim se të gjitha grupet boshe janë të barabarta me njëra-tjetrën, ose se është e njëjtë që ekziston vetëm një grup bosh.

Nëngrupet. Marrëdhënia e përfshirjes.

Një grup X është një nëngrup i një bashkësie Y nëse ndonjë element i grupit X∈ dhe grupi Y. Shënuar me X⊆ Y.

Nëse është e nevojshme të theksohet se Y përmban elementë të tjerë përveç elementeve nga X, atëherë përdoret simboli i rreptë i përfshirjes.⊂ :X ⊂ Y. Marrëdhënia ndërmjet simboleve⊂ dhe ⊆ jepet nga:

X ⊂ Y ⇔ X ⊆ Y dhe X≠Y

Vëmë re disa veti të nëngrupit që rrjedhin nga përkufizimi:

    X⊆ X (refleksiviteti);

    → X⊆ Z (kalimtar);

Bashkësia origjinale A në lidhje me nënbashkësitë e saj quhet i plotë vendosur dhe shënohet me I.

Çdo nëngrup A i grupi A quhet bashkësia e duhur e A.

Një grup i përbërë nga të gjitha nëngrupet e një bashkësie të dhënë X dhe grupit bosh∅ , quhet boolean X dhe shënohet me β(X). Fuqia Boolean |β(X)|=2 n.

Komplet i numërueshëm- ky është një grup A, të gjithë elementët e të cilit mund të numërohen në një sekuencë (m.b. të pafundme) dhe 1, a 2, a 3, ..., a n , ... kështu që në këtë rast çdo element merr vetëm një numër n dhe çdo numër natyror n i jepet si numër një dhe vetëm një elementi të bashkësisë sonë.

Një bashkësi ekuivalente me bashkësinë e numrave natyrorë quhet bashkësi e numërueshme.

Shembull. Bashkësia e katrorëve të numrave të plotë 1, 4, 9, ..., n 2 përfaqëson vetëm një nëngrup të bashkësisë së numrave natyrorë N. Bashkësia është e numërueshme, pasi sillet në korrespondencë një-për-një me serinë natyrore duke i caktuar secilit element numrin e numrit të serisë natyrore, katrorin e që është.

Ekzistojnë 2 mënyra kryesore për të përcaktuar grupet.

    numërimi (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 , m 2 , m 3 ,...,m n });

    përshkrim - tregon vetitë karakteristike që kanë të gjithë elementët e grupit.

Një grup përcaktohet plotësisht nga elementët e tij.

Një numërim mund të specifikojë vetëm grupe të fundme (për shembull, një grup muajsh në një vit). Bashkësitë e pafundme mund të përcaktohen vetëm duke përshkruar vetitë e elementeve të tij (për shembull, bashkësia e numrave racionalë mund të përcaktohet duke përshkruar Q=(n/m, m, n∈ Z, m≠0).

Mënyrat për të specifikuar një grup me përshkrim:

a) duke specifikuar një procedurë gjenerimime një tregues të grupit (bashkësive) nëpër të cilat kalon parametri (parametrat) e kësaj procedure - rekursive, induktive.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - shumë numra Fibonicci.

(shumë elementë x, të tillë që x 1 \u003d 1, x 2 =1 dhe x arbitrare k+1 (për k=1,2,3,...) llogaritet me formulën x k+2 \u003d x k + x k + 1) ose X \u003d)

Postime të ngjashme