Szórakoztató logika a matematikában. Szórakoztató logika Matek logikai kérdések

1. Magyarázó megjegyzés
1.1 Relevancia
1.2 A program célja
1.3 A program céljai
1.4 A program megvalósításának feltételei, a gyermekek életkora, a foglalkozások lebonyolításának formái
1.5 A program végrehajtásának szakaszai
1.6 A program tartalma
1.7 Várható eredmények

2. Módszertani támogatás
2.1 A kör perspektíva-tematikus terve " Szórakoztató logika»

3. Diagnosztikai program idősebb óvodáskorú gyermekek logikus gondolkodására.

5. Információs források

1. Magyarázó megjegyzés.
Miért logika egy kis óvodás számára?
L. A. Wenger szerint „az ötéves gyerekek számára a dolgok külső tulajdonságai egyértelműen nem elegendőek. Nagyon készek arra, hogy fokozatosan megismerjék nemcsak a külső, hanem a belső, rejtett tulajdonságokat és összefüggéseket is, amelyek a világról szóló tudományos ismeretek hátterében állnak ... Mindez előnyös lesz mentális fejlődés gyermek csak akkor, ha a képzés a szellemi képességek fejlesztésére irányul, az észlelés, a képzeletbeli gondolkodás, a képzelet területén azon képességek fejlesztésére, amelyek a dolgok külső tulajdonságainak mintáinak és fajtáiknak asszimilációján alapulnak ... "
A gyermek által az óvodáskorban megszerzett készségek megalapozzák az ismeretek megszerzését és a képességek fejlesztését idősebb korban - az iskolában. És ezek közül a készségek közül a legfontosabb a logikus gondolkodás képessége, az „elmében való cselekvés” képessége. A logikus gondolkodás módszereit nem elsajátító gyermek számára nehezebb lesz megoldani a problémákat, a gyakorlatok elvégzése sok időt és erőfeszítést igényel. Emiatt a gyermek egészsége megsérülhet, a tanulás iránti érdeklődés meggyengülhet, vagy akár el is múlhat.
A logikai műveletek elsajátítása után a gyermek figyelmesebb lesz, megtanul tisztán és tisztán gondolkodni, és képes lesz a megfelelő időben koncentrálni a probléma lényegére. Könnyebb lesz a tanulás, ami azt jelenti, hogy a tanulási folyamat, és magát iskolai életörömet és elégedettséget fog okozni.
Ez a program bemutatja, hogyan lehet speciális játékokkal és gyakorlatokkal kialakítani a gyerekek azon képességét, hogy önállóan létesítsenek logikai kapcsolatokat a környező valóságban.
Az óvodásokkal a kognitív folyamatok fejlesztésén dolgozva arra a következtetésre jut, hogy sikeres fejlődésük és tanulásuk egyik szükséges feltétele a következetesség, azaz. következetesen fejlődő és egyre összetettebb tartalmú speciális játékok, gyakorlatok rendszere didaktikai feladatokkal, játék akciókés szabályokat. A külön-külön vett játékok, gyakorlatok nagyon érdekesek lehetnek, de rendszeren kívüli használatával nem lehet elérni a kívánt tanulási, fejlesztési eredményt.
1.1 Relevancia
Az iskolai tananyag sikeres kialakításához a gyermeknek nemcsak sokat kell tudnia, hanem következetesen és meggyőzően kell gondolkodnia, találgatnia, megmutatnia a lelki feszültséget, logikusan kell gondolkodnia.
A logikus gondolkodás fejlesztésének tanítása nem kis jelentőségű a leendő hallgató számára, és ma is nagyon aktuális.
A memorizálás bármely módszerének elsajátítása során a gyermek megtanul egy célt kiemelni, és bizonyos munkát végez az anyaggal annak elérése érdekében. Kezdi megérteni, hogy meg kell ismételni, összehasonlítani, általánosítani, csoportosítani az anyagot a memorizálás céljából.
A gyerekek osztályozásra való tanítása hozzájárul az emlékezés összetettebb módjának sikeres elsajátításához – a szemantikai csoportosításhoz, amellyel a gyerekek az iskolában találkoznak.
Az óvodások logikus gondolkodásának és emlékezetének fejlesztésének lehetőségeit kihasználva sikeresebben lehet felkészíteni a gyerekeket az iskolai oktatás elénk állított problémák megoldására.
A logikus gondolkodás fejlesztése magában foglalja a didaktikai játékok használatát, a találékonyságot, a rejtvényeket, a különféle megoldásokat logikai játékokés labirintusok, és nagyon érdekes a gyerekek számára. Ebben a tevékenységben a gyermekekben kialakulnak a fontos személyiségjegyek: az önállóság, a találékonyság, a találékonyság, a kitartás, az építő képességek fejlődnek. A gyerekek megtanulják megtervezni cselekvéseiket, gondolkodni rajtuk, találgatni az eredmény keresése közben, miközben kreativitást mutatnak.
A gyerekekkel végzett munka során észreveheti, hogy sok gyerek nem birkózik meg a látszólag egyszerű logikai feladatokkal. Például a legtöbb idősebb óvodás korú gyermek nem tud helyesen válaszolni arra a kérdésre, hogy mi több: gyümölcs vagy alma, még akkor sem, ha van a kezükben egy kép, amelyre gyümölcsöt rajzolnak - sok alma és több körte. A gyerekek azt válaszolják, hogy több körte van. Ilyenkor a saját szemével látottakra alapozza válaszait. A képzeletbeli gondolkodás „cserbenhagyja” őket, és 5 éves korukra a gyerekeknek még nincs logikus érvelése. Seniorban óvodás korú megjelennek az iskolásokra és a felnőttekre jellemző logikus gondolkodás elemei, amelyeket a logikus gondolkodás fejlesztésének legoptimálisabb módszereinek meghatározásában kell fejleszteni.
A logikai tartalmú játékok elősegítik a gyermekek kognitív érdeklődésének felkeltését, hozzájárulnak a kutatáshoz és a kreatív kereséshez, a tanulási vágyhoz és képességhez. A didaktikai játékok, mint a gyermekek egyik legtermészetesebb tevékenysége, hozzájárulnak az intellektuális és kreatív megnyilvánulások, az önkifejezés és az önállóság kialakulásához és fejlődéséhez. A gyerekek logikus gondolkodásának fejlesztése révén didaktikus játékok fontos a későbbi iskoláztatás sikere, a tanuló személyiségének helyes formálása szempontjából, és a továbbtanulásban segíti a matematika és számítástechnika alapjainak sikeres elsajátítását.
1.2 A program célja: feltételek megteremtése az óvodások logikus gondolkodásának maximális kibontakozásához a sikeres iskoláztatásra való felkészülés érdekében.
1.3 A program céljai:

• megtanítani a gyerekeknek az alapvető logikai műveleteket: elemzés, szintézis, összehasonlítás, tagadás, osztályozás, rendszerezés, korlátozás, általánosítás, következtetés
• tanítsa meg a gyerekeket a térben való navigálásra
• fejleszteni a gyermekekben magasabb mentális funkciókat, az érvelési, bizonyítási képességet
• a nehézségek leküzdése iránti vágy, az önbizalom, a kortárs segítése iránti vágy ápolása

1.4 A program megvalósításának feltételei, a gyermekek életkora, a foglalkozások lebonyolításának formái
A program megvalósítási ideje – 1-2 év
A program 5-7 éves gyermekek számára készült.
A program különféle formájú körórák lebonyolítását biztosítja:

• Egyedi önálló munkavégzés gyermekek.
• Párokban dolgozni.
• Csoportos munkaformák.
• Differenciált.
• Elülső ellenőrzés és vezérlés.
• Az elvégzett munka önértékelése.
• Didaktikus játék.
• Verseny.
• Versenyek.

1.5 A program végrehajtásának szakaszai
A tevékenység technológiája szakaszosan épül fel:

1. A kognitív folyamatok kezdeti fejlettségi szintjének diagnosztizálása és fejlődésük ellenőrzése.
2. Egy-egy tulajdonság fejlesztésének eszközeinek megtervezése (figyelem, emlékezet, képzelőerő, gondolkodás), figyelembe véve minden gyermek egyéniségét és a rendelkezésre álló tudást
3. A képzés interdiszciplináris (integrális) alapjainak kialakítása egy fejlesztő tanfolyamon.
4. Az anyag fokozatos bonyolítása, a munka mennyiségének fokozatos növekedése, a gyermekek önállóságának növelése.
5. Ismerkedés az elmélet elemeivel, az érvelés tanítási módszereivel, a választás önérvelése.
6. Az ismeretek és módszerek integrálása kognitív tevékenység, általánosított technikáinak elsajátítása.
7. A fejlesztő tanfolyam eredményeinek értékelése a kidolgozott szempontok szerint, melybe a gyermeket is bele kell foglalni (önbecsülés, önkontroll, kölcsönös kontroll).

1. 6 A program tartalma
Rövid leírás az osztályok szakaszai és témái (a szakaszok egy bizonyos logikai műveletnek felelnek meg, amelyet a gyerekek az órán tanulnak meg):

1. Elemzés - szintézis.
A cél megtanítani a gyerekeket az egész részekre bontására, kapcsolat kialakítására közöttük; tanulja meg gondolatban egy tárgy egyes részeit egyetlen egésszé egyesíteni.
Játékok és gyakorlatok: logikai pár keresése (macska - cica, kutya - ? (kölyökkutya)). A kép kiegészítése (foltot vesz fel, zsebet rajzol a ruhára). Ellentétek keresése (könnyű - nehéz, hideg - meleg). Dolgozzon különböző bonyolultságú rejtvényekkel. Képek kirakása számlálópálcákból és geometriai formákból.

2. Összehasonlítás.
A cél, hogy megtanítsuk gondolatban megállapítani a tárgyak hasonlóságait és különbségeit lényegi jellemzők szerint; fejleszteni a figyelmet, a gyermekek észlelését. A térben való tájékozódás javítása.
Játékok és gyakorlatok: fogalmak konszolidációja: nagy - kicsi, hosszú - rövid, alacsony - magas, keskeny - széles, magasabb - alacsonyabb, távolabb - közelebb stb. Az "ugyanaz", a "legtöbb" fogalmakkal operálva. Keressen hasonlóságokat és különbségeket 2 hasonló képen.

3. Korlátozás.
A cél az, hogy megtanítsunk egy csoportból egy vagy több tárgyat bizonyos jellemzők szerint kiemelni. Fejleszti a gyermekek megfigyelőkészségét.
Játékok és gyakorlatok: „csak a piros zászlókat karikázd be egy vonallal”, „keresd meg az összes nem kör alakú tárgyat” stb. A negyedik felesleges kizárása.

4. Általánosítás.
A cél az, hogy megtanítsuk gondolatban a tárgyakat tulajdonságaik szerint csoportosítani. Hozzájárulni a szókincs gyarapításához, a gyermekek mindennapi ismereteinek bővítéséhez.
Játékok, gyakorlatok általánosító fogalmakkal való operációhoz: bútorok, edények, közlekedés, zöldségek, gyümölcsök stb.

5. Rendszerezés.
A cél a minták azonosításának megtanítása; bővíteni a gyermekek szókincsét; tanulj meg képből megmondani, újramesélni.
Játékok és gyakorlatok: bűvös négyzetek (a hiányzó részt szedd fel, kép). Mese készítése képsorok alapján, a képek logikai sorrendbe rendezése.

6. Osztályozás.
A cél az, hogy megtanítsuk az objektumokat csoportokba osztani lényeges tulajdonságaik szerint. Általánosító fogalmak megszilárdítása, szabad működés velük.

7. Következtetés.
A cél az, hogy ítéletek segítségével tanítsunk következtetéseket levonni. Hozzájárulni a gyermekek háztartási ismereteinek bővítéséhez. Fejleszd a képzelőerőt.
Játékok és gyakorlatok: pozitív és negatív jelenségek keresése (például ha esik az eső, táplálja a növényeket - ez jó, de az a rossz, hogy esőben az ember elázhat, megfázhat és megbetegszik) . Egyes ítéletek helyességének értékelése („fúj a szél, mert a fák ringatnak.” Ugye?). Megoldás logikai feladatok.

1.7 Várható eredmények
Tervezett eredmények:
A gyerekeknek tudniuk kell:

• minták felépítésének elvei, számok, tárgyak, jelenségek, szavak tulajdonságai;
• a rejtvények, keresztrejtvények, láncszavak, labirintusok felépítésének alapelvei;
• antonimák és szinonimák;
• geometriai formák nevei és tulajdonságaik;
• a programozás elve és a cselekvések algoritmusának elkészítése.

A gyerekeknek képesnek kell lenniük:

• mintákat határoz meg és e szerint hajt végre egy feladatot, osztályozza és csoportosítja az objektumokat, összehasonlítja, megtalálja a közös és sajátos tulajdonságokat, általánosít és elvonatkoztat, elemzi és értékeli tevékenységeiket;
• érvelés útján logikai, nem szabványos feladatokat old meg, kreatív keresést, verbális-didaktikai, numerikus feladatokat végez, matematikai rejtvényekre választ talál;
• gyorsan és helyesen válaszoljon a bemelegítés során a feltett kérdésekre;
• feladatok elvégzése a figyelem, az észlelés, a memória képzésére
• grafikus diktálásokat végezni, képes eligazodni a grafikai feladatok sematikus ábrázolásában;
• tudjon célt kitűzni, megtervezni a munka szakaszait, saját erőből eredményt elérni.

A munka eredményének ellenőrzésének módja : szakaszonként általánosító óra és 2 diagnosztika (kezdő (szeptember) és záró (május)) a logikus gondolkodás műveleteinek elsajátítása szintjén.

Sherlock Holmes szavai: „Hányszor mondtam már, dobj el mindent, ami lehetetlen, akkor ami megmarad, az lesz a válasz, bármilyen hihetetlennek is tűnik” – e fejezet epigráfusaként szolgálhat.

Ha egy rejtvény megoldásához csak a logikus gondolkodás képessége szükséges, és egyáltalán nem kell számtani számításokat végezni, akkor az ilyen rejtvényt általában logikai feladatnak nevezik. A logikai problémák természetesen a matematikai feladatok közé tartoznak, hiszen a logika nagyon általános, alapvető matematikának tekinthető. Mindazonáltal célszerű külön kiemelni és tanulmányozni a logikai rejtvényeket a számtani testvéreiktől. Ebben a fejezetben a logikai problémák három gyakori típusát fogjuk felvázolni, és megpróbáljuk kitalálni, hogyan lehet megközelíteni őket.

A leggyakoribb problématípus, amelyet a rejtvények szerelmesei néha „Smith-Jones-Robinson problémának” neveznek (a G. Dudeni által kitalált régi rejtvény analógiájára).

Egy sor csomagból áll, amelyek általában bizonyos információkat közölnek a karakterekről; Ezen feltételezések alapján bizonyos következtetéseket le kell vonni. Így néz ki például a Dudeney-probléma legújabb amerikai verziója:

1. Smith, Jones és Robinson ugyanabban a vonatszemélyzetben dolgoznak sofőrként, karmesterként és tűzoltóként. Szakmáikat nem feltétlenül ugyanabban a sorrendben nevezik el, mint a vezetéknevüket. A brigád által kiszolgált vonaton három azonos vezetéknevű utas tartózkodik.

A jövőben minden utast tisztelettel "Mr"-nek (Mr) fogunk hívni.

2. Mr. Robinson Los Angelesben él.

3. A karmester Omahában él.

4. Mr. Jones már rég elfelejtette az összes algebrát, amit az egyetemen tanítottak neki.

5. Utas – karmester névrokona Chicagóban él.

6. A karmester és az egyik utas, a matematikai fizika ismert szakembere ugyanabba a templomba megy.

7. Smith mindig megveri a stokert, amikor véletlenül találkoznak biliárdozni.

Mi a sofőr neve?

Ezeket a problémákat le lehetne fordítani a matematikai logika nyelvére, annak szabványos jelölésével, és megfelelő módszerekkel lehetne megoldást keresni, de egy ilyen megközelítés túlságosan körülményes lenne. Másrészt ilyen vagy olyan rövidítések nélkül nehéz megérteni a probléma logikai felépítését. A legkényelmesebb egy táblázatot használni, amelynek üres celláiba beírjuk a vizsgált halmazok elemeinek összes lehetséges kombinációját. Esetünkben két ilyen készlet van, tehát két táblázatra van szükségünk (139. ábra).

Rizs. 139 Két táblázat Smith, Jones és Robinson problémájához.

Minden cellába 1-et írunk be, ha a megfelelő kombináció megengedett, vagy 0-t, ha a kombináció ellentmond a probléma feltételeinek. Lássuk, hogyan készült. A 7. feltétel nyilvánvalóan kizárja annak lehetőségét, hogy Smith stoker, ezért a bal oldali táblázat jobb felső sarkában lévő mezőbe 0-t írunk be. A 2. feltételből kiderül, hogy Robinson Los Angelesben él, így a táblázat bal alsó sarkában írjon be 1-et és 0-t az alsó sor és a bal oszlop összes többi cellájába annak jelzésére, hogy Mr. Robinson nem Omahában vagy Chicagóban él, Mr. Smith és Mr. Jones pedig nem Los Angelesben.

Most egy kicsit gondolkodnunk kell. A 3. és 6. feltételből tudjuk, hogy a matematikus fizikus Omahában él, de vezetéknevét nem ismerjük. Nem lehet sem Mr. Robinson, sem Mr. Jones (elvégre még az elemi algebrát is elfelejtette).

Ezért biztosan Mr. Smith. Ezt a körülményt úgy jegyezzük meg, hogy a jobb oldali táblázat felső sorának középső cellájába 1-et teszünk, a sor többi cellájába pedig 0-t, a középső oszlopba pedig üres cellákat teszünk. A harmadik egység immár csak egy cellába írható be: ez bizonyítja, hogy Mr. Jones Chicagóban él. Az 5. feltételből megtudjuk, hogy a vezetőnek Jones vezetékneve is van, és a bal oldali táblázat központi cellájába 1-et írunk be, a középső sor és középső oszlop összes többi cellájába pedig 0-t. Ezt követően táblázataink az ábrán látható formában jelennek meg. 140.

Rizs. 140 asztal ábrán látható tojások. 139, előtöltés után.

Most már nem nehéz folytatni a végső válaszhoz vezető érvelést. A "Stoker" feliratú oszlopban egy egység csak az alsó cellában helyezhető el. Ebből rögtön következik, hogy a bal alsó sarokban 0 legyen.Csak a táblázat bal felső sarkában lévő cella marad üresen, ahová csak 1 tehető.Tehát a driver neve Smith.

Lewis Carroll szeretett ilyen rendkívül összetett és zseniális problémákat kitalálni. A Dortmouth College matematikai dékánja, John J. Kemeny beprogramozta az egyik szörnyű (13 változóval és 12 feltétellel, amiből az következik, hogy "egy bíró sem szippantja a dohányt") Carroll-problémákat az IBM-704 számítógépre. A gép körülbelül 4 perc alatt végezte el a megoldást, bár a probléma teljes "igazságtáblázatának" kinyomtatása (egy táblázat, amely megmutatja, hogy a probléma változóinak lehetséges igazságérték-kombinációi igazak vagy hamisak) 13 órát vett igénybe!

Azoknak az olvasóknak, akik a Smith-Jones-Robinson problémánál nehezebb feladattal szeretnének szerencsét próbálni, egy új rejtvényt ajánlunk. Szerzője R. Smullyan, a Princetoni Egyetemről.

1. 1918-ban az első Világháború. A békeszerződés aláírásának napján három házaspár gyűlt össze, hogy az ünnepi asztalnál megünnepeljék ezt az eseményt.

2. Minden férj az egyik feleség testvére, a feleség pedig az egyik férj húga volt, vagyis a jelenlévők közül három rokon „testvérpár” volt feltüntethető.

3. Helen pontosan 26 héttel idősebb férjénél, aki augusztusban született.

4. Mr. White nővére feleségül vette Ellen sógorát, és a születésnapján, januárban vette feleségül.

5. Margaret White alacsonyabb, mint William Blake.

6. Arthur nővére szebb, mint Beatrice.

7. János 50 éves.

Hogy hívják Mrs. Brownt?

Nem kevésbé gyakori a logikai problémák egy másik változata, amelyet a következő jól ismert példával analógia alapján nevezhetünk „színes sapkák probléma” típusú problémáknak. Három ember (nevezzük őket A, Bés TÓL TŐL) kösd be a szemed, és mondd, hogy mindegyikük piros vagy zöld sapkát viselt. Ezután feloldják a szemüket, és megkérik őket, hogy emeljék fel a kezüket, ha piros sapkát látnak, és hagyják el a szobát, ha biztosak abban, hogy tudják, milyen színű a sapka a fejükön. Mindhárom kalap vörösnek bizonyult, így mindhárman felemelték a kezét. Eltelt néhány perc és TÓL TŐL, ami intelligensebb annál DEés NÁL NÉL, elhagyta a szobát. Hogyan TÓL TŐL sikerült megállapítani, hogy milyen színű a kalap rajta?

[A zöldsapkás bölcsek problémája úgy van megfogalmazva a szövegben, hogy nem lehet rá megoldás. Ez különösen nyilvánvaló, ha sok a bölcs ember. Mennyi ideig tart az első bölcs, hogy kitalálja a valódi helyzetet?

A negyvenes évek végén ezt a problémát intenzíven tárgyalták Moszkvában az iskolai matematikai körökben, és feltalálták ennek egy új változatát, amelyben bevezették a diszkrét időt. A feladat így nézett ki.

Az ókorban bölcsek egy városban éltek. Mindegyiküknek volt felesége. Reggelente kijöttek a piacra, és ott megtudták a város minden pletykáját. Ők maguk is pletykálók voltak. Nagy örömükre szolgált, hogy bármelyik feleség hűtlenségéről értesültek – azonnal megtudták. Egy kimondatlan szabályt azonban szigorúan betartottak: a férjnek soha semmit nem jelentettek feleségéről, hiszen mindegyikük, miután tudomást szerzett saját szégyenéről, kikergette volna feleségét a házból. Így éltek, élvezték a meghitt beszélgetéseket, és teljesen tudatlanok maradtak saját ügyeikről.

Ám egy nap igazi pletyka érkezett a városba. Eljött a bazárba, és nyilvánosan kijelentette: „De nem minden bölcsnek van hűséges felesége!” Úgy tűnik, a pletyka nem mondott semmi újat - és így mindenki tudta, minden bölcs tudta (csak rosszindulattal nem magára gondolt, hanem a másikra), így egyik lakó sem figyelt a pletyka szavaira. . De a bölcsek azt gondolták – ezért bölcsek – és n-a pletyka érkezése utáni napon n bölcseket n hűtlen feleségeket utasítottak ki (ha voltak n).

Nem nehéz helyreállítani a bölcsek érvelését. Nehezebb megválaszolni a kérdést: milyen információkat adott hozzá a pletyka ahhoz, amit nélküle is tudtak a bölcsek?

Ezzel a problémával többször találkoztak a szakirodalomban].

C megkérdezi magától, lehet-e zöld a sapkája. Ha ez így lenne, akkor DE azonnal felismerné, hogy piros sapkát visel, mert csak a fején lévő piros sapkát teheti meg NÁL NÉL emelje fel a kezét. De aztán DE elhagyná a szobát. NÁL NÉL pontosan ugyanúgy okoskodni kezdett volna, és szintén elhagyta volna a szobát. Mivel sem az egyik, sem a másik nem jött ki, TÓL TŐL arra a következtetésre jutott, hogy a saját sapkájának pirosnak kell lennie.

Ez a probléma általánosítható arra az esetre, amikor bármennyi ember van, és mindegyik piros sapkát visel. Tegyük fel, hogy egy negyedik szereplő is megjelent a problémában D, még éleslátóbb, mint CDígy érvelhet: „Ha a sapkám zöld lenne, akkor A, Bés TÓL TŐL pontosan ugyanabba a helyzetbe kerülnének, mint az imént leírtuk, és néhány percen belül a trió legszembetűnőbbje biztosan elhagyná a termet.

De már eltelt öt perc, és egyik sem jön ki, ezért a sapkám piros.

Ha lenne ötödik tag, aki még ennél is okosabb D, tíz perc várakozás után arra a következtetésre juthatott volna, hogy piros sapkát visel. Természetesen érvelésünk elveszti meggyőző erejét a találékonyság különböző fokára vonatkozó feltételezések miatt. A, B, C... és meglehetősen homályos megfontolások arra vonatkozóan, hogy mennyi ideig kell várnia a legszembetűnőbb embernek, mielőtt magabiztosan megnevezheti kalapja színét.

Néhány más „színsapka” probléma kevesebb bizonytalanságot tartalmaz. Ilyen például a következő, szintén Smullyan által kitalált probléma. Mind a három A, Bés TÓL TŐL- folyékonyan ismeri a logikát, vagyis tudja, hogyan lehet egy adott premisszákból azonnal kivonni az összes következményt, és tudja, hogy a többiek is rendelkeznek ezzel a képességgel.

Veszünk négy piros és négy zöld bélyeget, bekötjük „logikusaink” szemét, és két-két bélyeget ragasztunk a homlokukra. Ezután eltávolítjuk a kötést a szemükről, és viszont megkérdezzük A, Bés TÓL TŐL ugyanaz a kérdés: "Tudod milyen színűek a bélyegek a homlokodon?" Mindegyikük nemmel válaszol. Ezután újra megkérdezzük DEés ismét nemleges választ kapunk. De amikor másodszor is feltesszük ugyanazt a kérdést NÁL NÉL, igennel válaszol.

Milyen színű a jel a homlokon NÁL NÉL?

A népszerű logikai rejtvények harmadik típusa a hazugokkal és azokkal kapcsolatos problémák, akik mindig igazat mondanak. NÁL NÉL klasszikus változat feladatokat beszélgetünk egy utazóról, aki egy két törzs által lakott országban találja magát. Az egyik törzs tagjai mindig hazudnak, a másik törzs tagjai mindig igazat mondanak. Az utazó találkozik két bennszülötttel. – Mindig igazat mondasz? – kérdezi a magas bennszülötttől. Azt válaszolja: "Tarabar". – Igent mondott – magyarázza a kisebbik bennszülött, aki tud angolul –, de rettenetesen hazudik. Melyik törzshez tartozik az egyes őslakosok?

A megoldás szisztematikus megközelítése az lenne, ha mind a négy lehetőséget kiírnánk: AI, IL, LI, LL (I jelentése "igaz", L - "hamis") - és kizárja azokat, amelyek ellentmondanak a probléma adatainak. Sokkal gyorsabban kaphatunk választ, ha megfigyeljük, hogy a magas bennszülöttnek igennel kell válaszolnia, hogy hazudik vagy igazat mond. Mivel a kisebb bennszülött igazat mondott, az igazmondók törzséhez kell tartoznia, magas barátja pedig a hazugok törzséhez.

Az ilyen típusú leghíresebb probléma, amelyet a valószínűségi súlyok bevezetése és a nem túl világos megfogalmazás bonyolított, egészen váratlanul A. Eddington angol csillagász New Pathways in Science című könyvének hatodik fejezetének közepén találkozhatunk vele. "Ha egy A, B, Cés D mondj igazat háromból egyszer (függetlenül) és DE azt állítja NÁL NÉL tagadja ezt TÓL TŐL mondja, mintha D hazug, mennyi a valószínűsége annak D igazat mondott?"

Eddington válasza, 25/71, az olvasók tiltakozását fogadta, és nevetséges és zavaros vitát váltott ki, amelyet végül soha nem sikerült megoldani. G. Dingle angol csillagász, Eddington könyvéről a Nature folyóiratban megjelent recenzió szerzője (1935. március) úgy vélte, hogy a probléma egyáltalán nem érdemel figyelmet, mint értelmetlen, és csak azt jelzi, hogy Eddington nem gondolta át kellőképpen az alapgondolatokat. a valószínűségelméletről. T. Stern amerikai fizikus (Nature, 1935. június) ezt kifogásolta, és kijelentette, hogy véleménye szerint a probléma korántsem értelmetlen, de nincs elegendő adat a megoldásához.

Válaszul Dingle megjegyezte (Nature, 1935. szeptember), hogy ha valaki Stern álláspontját fogadja, akkor elegendő adat áll rendelkezésre a döntéshez, és a válasz 1/3 lesz. Itt Eddington beszállt a küzdelembe, és közzétett (Mathemetical Gazette, 1935. október) egy cikket, amely részletesen elmagyarázza, hogyan kapta meg a választ. A vita újabb két cikkel zárult, amelyek ugyanabban a folyóiratban jelentek meg, az egyik szerzője Eddingtont védte, a másik pedig az összes korábbitól eltérő álláspontot képviselt.

A nehézség elsősorban az Eddington-féle megfogalmazás megértésében rejlik. Ha egy NÁL NÉL, kinyilvánítva tagadását, igazat mond, akkor okkal feltételezhetjük, hogy TÓL TŐL azt mondta, hogy D Mondd meg az igazat? Eddington úgy vélte, hogy nincs elég alap egy ilyen feltételezéshez. Hasonlóképpen, ha DE hazugságok, biztosak lehetünk benne NÁL NÉLés TÓL TŐL mondtak egyáltalán valamit? Szerencsére mindezeket a nyelvi nehézségeket megkerülhetjük, ha a következő feltevésekkel élünk (Eddington nem tette meg őket):

1. A négy közül senki sem maradt néma.

2. Nyilatkozatok A, Bés TÓL TŐL(mindegyik külön-külön) megerősíti vagy cáfolja a következő állítást.

3. A hamis állítás egybeesik a tagadásával, a hamis tagadás pedig egy állítással.

Mind a négy egymástól függetlenül hazudik 1/3-os valószínűséggel, vagyis átlagosan a három állításuk közül bármelyik kettő hamis. Ha igaz állítást jelöl a betű És, és hamis - levél L, akkor azért A, B, Cés D nyolcvanegy különböző kombinációból álló táblázatot kapunk. Ebből a számból ki kell zárni azokat a kombinációkat, amelyek a probléma körülményei miatt lehetetlenek.

Érvényes, betűvel végződő kombinációk száma És(azaz igaz - igaz - állítás D), el kell osztani az összes érvényes kombináció számával, amely megadja a választ.

Tisztázandó a probléma megfogalmazása egy utazóról és két bennszülöttről. Az utazó rájött, hogy a bennszülöttek nyelvén a „halandzsa” szó „igent” vagy „nem”-et jelent, de nem tudta kitalálni, hogy pontosan mit. Ez több e-mailt is figyelmeztetett volna, amelyek közül az egyiket alább bemutatom.

A magas bennszülött láthatóan egy szót sem értett abból, amit az utazó mondott neki (angolul), és nem tudott angolul igennel vagy nemmel válaszolni. Ezért a "halandzsa" valami ilyesmit jelent: "Nem értem" vagy "Üdvözöljük a Bongo-Bongóban". Következésképpen a kis bennszülött hazudott, amikor azt mondta, hogy barátja igennel válaszolt, és mivel a kicsi hazug volt, akkor is hazudott, amikor a magas bennszülöttet hazugnak nevezte. Ezért egy magas bennszülöttet igaznak kell tekinteni.

Tehát a női logika csapást mért a férfi hiúságomra. Nem sérti egy kicsit a szerző büszkeségét?

Válaszok

Az első logikai problémát három táblázat segítségével lehet legjobban megoldani: az egyik a feleségek vezeték- és utónevének kombinációit, a második a férjek vezeték- és keresztnevét, a harmadik pedig családi kötelékek.

Mivel Mrs. White neve Margaret (5. feltétel), a másik két feleség nevére csak két lehetőségünk maradt: a) Helen Blake és Beatrice Brown, vagy b) Helen Brown és Beatrice Blake.

Tegyük fel, hogy a lehetőségek közül a második következik be. White nővére Helen vagy Beatrice lehet. De Beatrice nem lehet Wyne nővére, mert akkor Blake Helen testvére, Blake két sógora pedig White (felesége bátyja) és Brown (húga férje) lenne; Beatrice Blake egyikük sem házas, ami ellentmond a 4. feltételnek. Ezért White nővére Helen lehet. Ebből viszont arra következtetünk, hogy Brown húgát Beatrice-nek hívják, Blake húgát pedig Margaret.

A 6. feltételből következik, hogy Mr. White neve Arthur (Brown nem lehet Arthur, hiszen egy ilyen kombináció azt jelentené, hogy Beatrice szebb nála, Blake pedig nem lehet Arthur, hiszen az 5. feltételből ismerjük a nevét: William). Szóval Mr. Brown csak John lehet. Sajnos a 7. feltételből azt látjuk, hogy János 1868-ban született (50 évvel a békeszerződés aláírása előtt). De 1868 szökőév, tehát Helennek egy nappal idősebbnek kell lennie a férjénél, mint a 3. feltételben megadott 26 hét. (A 4. állapotból tudjuk, hogy januárban született, a 3. állapotból pedig azt, hogy férje született. augusztusban pontosan 26 héttel lehet idősebb férjénél, ha a születésnapja január 31-én, az övé pedig augusztus 1-jén lenne, és ha ezen időpontok között nem lenne február 29.) Szóval a lehetőségek közül a második, amivel kezdtük el kell vetni, ami lehetővé teszi a feleségek megnevezését: Margaret White, Helen Blake és Beatrice Brown. Nincs itt semmi ellentmondás, hiszen Blake születési évét nem ismerjük. A probléma körülményeiből arra lehet következtetni, hogy Margaret Brown nővére, Beatrice Blake, Helen pedig White nővére, de White és Brown nevének kérdése továbbra is megoldatlan.

A bélyegek problémájában NÁL NÉL három lehetőség van. Bélyegei lehetnek: 1) mindkettő piros; 2) mindkettő zöld; 3) az egyik zöld, a másik piros. Tegyük fel, hogy mindkét bélyeg piros.

Miután mindhárman válaszoltak egyszer, DEígy érvelhet: „A homlokomon lévő jelek nem lehetnek egyszerre pirosak (mert akkor TÓL TŐL négy piros bélyeget látott volna, és azonnal felismerte volna, hogy két zöld bélyeg van a homlokán, és ha TÓL TŐL akkor mindkét bélyeg zöld volt NÁL NÉL, négy zöld bélyeget látva rájött volna, hogy két piros bélyeg van a homlokán). Ezért van egy zöld és egy piros jel a homlokomon.”

De amikor DE– kérdezte másodszor is, nem tudta, milyen színű a márkája. Megengedte NÁL NÉL elveti annak lehetőségét, hogy mindkét saját bélyegzője piros. Pont ugyanúgy érvelni, mint A, B kizárta azt az esetet, amikor mindkét bélyegzője zöld. Ezért csak egy lehetősége maradt: az egyik bélyeg zöld, a másik piros.

Sok olvasó hamar észrevette, hogy a probléma nagyon gyorsan megoldható anélkül, hogy a kérdéseket és válaszokat elemezni kellene. Az egyik olvasó ezt írta erről: „A probléma körülményei teljesen szimmetrikusak a piros és a zöld jelek tekintetében.

Ezért a bélyegek szétosztásával A, Bés TÓL TŐL ha a probléma minden feltétele teljesül, és a piros jeleket zöldre cserélve, és fordítva, a zöldet pirosra cseréljük, akkor egy másik eloszláshoz jutunk, amelyhez szintén minden feltétel teljesül. Ebből következik, hogy ha a megoldás egyedi, akkor változatlannak kell lennie (nem szabad változnia), amikor a zöld címkéket pirosra, a pirosat pedig zöldre cseréljük. Ilyen megoldás csak egy olyan bélyegelosztás lehet, amelyben B-nek egy zöld és egy piros bélyegzője lesz.

Ahogy W. Manheimer, a Brooklyn College Matematika Tanszékének dékánja fogalmazott, ez az elegáns megoldás abból fakad, hogy nem A, Bés TÓL TŐL(ahogy a probléma feltételében szerepel), és Raymond Smullyan!

Az Eddington-problémában annak a valószínűsége D igazat mond, 13/41. Minden igaz és hamis kombináció, amely páratlan számú hamis (vagy igaz) értéket tartalmaz, el kell vetni, mivel ellentmond a probléma feltételeinek. Ennek eredményeként a lehetséges kombinációk száma 81-ről 41-re csökken, amelyek közül csak 13 végződik igaz állításra. D. Mert a A, Bés TÓL TŐL mondj igazat olyan esetekben, amelyek pontosan ugyanannyi érvényes kombinációnak felelnek meg, az igazmondás valószínűsége mind a négy esetében azonos.

Az ekvivalencia szimbólum használata

ami azt jelenti, hogy az általa összekapcsolt állítások vagy mindketten igazak, vagy mindkettő hamis (akkor a hamis állítás igaz, különben hamis), és a ~ tagadásszimbólum, Eddington problémája a propozíciószámításban a következőképpen írható fel:

vagy néhány ilyen egyszerűsítés után:

Ennek a kifejezésnek az igazságtáblázata megerősíti a már kapott választ.

Megjegyzések:

Ez frusztráló- ideges, valami hiábavaló, reménytelen, kudarcra ítélt dolog (angol).

Lásd a Raymond Smullyanról szóló fejezetet a könyvben M. Gardner"Időutazás" (M.: Mir, 1990).

Eddington A. Új utak a tudományban. - Cambridge: 1935; Michigan: 1959.

Bevezetés

A logika a gondolkodók istene.

L. Feuchtwanger

A helyes érvelési képesség az emberi tevékenység bármely területén szükséges: a tudomány és a technológia, az igazságszolgáltatás és a diplomácia, a gazdasági tervezés és a katonai ügyek területén. És ez a képesség visszanyúlik ősidők, logika, i.e. az érvelés formáinak helyességének tudománya alig több mint kétezer évvel ezelőtt jelent meg. században fejlesztették ki. IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT. a nagy ókori görög filozófus, Arisztotelész, tanítványai és követői munkáiban.

Valamikor a matematikusok feltették a kérdést: „Tulajdonképpen mi is a matematika, a matematikai tevékenység?” Az egyszerű válasz az, hogy a matematikusok tételeket bizonyítanak, vagyis kiderítenek néhány igazságot való Világés "ideális matematikai világ". Kísérlet arra a kérdésre válaszolni, hogy mi a matematikai tétel, a matematikai igazság, és mi a matematikai állítás igaz vagy bizonyítható, ez egyben a matematikai logika kiindulópontjának hálózata is. Az iskolában meg kell tanulnunk elemezni, összehasonlítani, a lényeget kiemelni, általánosítani és rendszerezni, bizonyítani és cáfolni, fogalmakat meghatározni és magyarázni, problémákat felállítani és megoldani. E módszerek elsajátítása gondolkodási képességet jelent. A tudományban különféle képleteket, numerikus mintákat, szabályokat kell levezetni, és érveléssel kell tételeket bizonyítani. Például 1781-ben felfedezték az Uránusz bolygót. A megfigyelések kimutatták, hogy ennek a bolygónak a mozgása eltér az elméletileg számított mozgástól. A francia tudós, Le Verrier (1811-1877), logikusan okoskodva és meglehetősen összetett számításokat végzett, meghatározta egy másik bolygó befolyását az Uránuszra, és megjelölte annak helyét. 1846-ban Galle csillagász megerősítette a Neptunusz nevű bolygó létezését. Ennek során a matematikai érvelés és számítások logikáját alkalmazták.

Megfontolásaink második kiindulópontja annak tisztázása, hogy mit jelent az, hogy egy matematikai függvény kiszámítható és kiszámítható valamilyen algoritmus, formális szabály, pontosan leírt eljárás segítségével. Ebben a két kezdeti megfogalmazásban sok a közös, természetesen a „matematikai logika” általános név alatt egyesülnek, ahol a matematikai logika alatt elsősorban a matematikai érvelés és a matematikai cselekvések logikája értendő.

Azért választottam ezt a témát, mert a matematikai logika elemeinek elsajátítása nagy segítségemre lesz a jövőbeni gazdasági szakmámban. Hiszen egy marketinges elemzi a trendeketpiac,árakat, forgalmat és marketing módszereket, adatokat gyűjt a versengő szervezetekről,ajánlásokat ad ki. Ehhez a logika ismereteit kell használni.

Célkitűzés: a matematikai logika lehetőségeinek tanulmányozása és felhasználása a különböző területek és emberi tevékenységek problémamegoldásában.

Feladatok:

1. Elemezze a matematikai logika lényegével és eredetével foglalkozó irodalmat!

2. Tanulmányozza a matematikai logika elemeit!

3. Válassza ki és oldja meg a feladatokat a matematikai logika elemeivel.

Mód: irodalomelemzés, fogalmak, analógiák módszere a problémamegoldásban, önmegfigyelés.

1. A matematikai logika megjelenésének történetéből

A matematikai logika szorosan kapcsolódik a logikához, és annak köszönheti eredetét. A logika, az emberi gondolkodás törvényszerűségeinek és formáinak tudományának alapjait a legnagyobb ókori görög filozófus, Arisztotelész (Kr. e. 384-322) fektette le, aki értekezéseiben alaposan tanulmányozta a logika terminológiáját, részletesen elemezte a következtetések elméletét. és bizonyítások, számos logikai műveletet leírtak, megfogalmazták a gondolkodás alaptörvényeit, köztük az ellentmondás és a harmadik kizárásának törvényeit. Arisztotelész hozzájárulása a logikához nagyon nagy, nem ok nélkül a másik neve arisztotelészi logika. Még Arisztotelész is észrevette, hogy az általa megalkotott tudomány és a matematika (akkoriban aritmetikának hívták) között sok a közös. Ezt a két tudományt igyekezett ötvözni, mégpedig a reflexiót, vagy inkább a következtetést a kiindulási pozíciók alapján történő számítássá redukálni. Arisztotelész egyik értekezésében közel került a matematikai logika egyik részéhez - a bizonyítások elméletéhez.

A jövőben sok filozófus és matematikus dolgozott ki bizonyos logikai rendelkezéseket, sőt néha felvázolta a modern propozicionális számítás körvonalait, de a matematikai logika megalkotásához a 17. század második felében került a legközelebb a kiváló német tudós, Gottfried Wilhelm. Leibniz (1646-1716), aki rámutatott a logika fordításának módjaira "a bizonytalanságokkal teli verbális birodalomból a matematika birodalmába, ahol az objektumok vagy állítások közötti kapcsolatokat tökéletes pontossággal határozzák meg". Leibniz még abban is reménykedett, hogy a jövőben a filozófusok ahelyett, hogy eredménytelenül vitatkoznának, papírt vesznek, és rájönnek, melyiküknek van igaza. Ugyanakkor Leibniz a kettes számrendszert is érintette műveiben. Meg kell jegyezni, hogy a két karakter használatának ötlete az információ kódolására nagyon régi. Az ausztrál őslakosok kettesben számoltak, egyes Új-Guinea és Dél-Amerika vadászó-gyűjtögető törzsei szintén bináris számlálórendszert használtak. Egyes afrikai törzsekben az üzeneteket dob ​​segítségével továbbítják, hangos és tompa ütemek kombinációja formájában. A kétkarakteres kódolás jól ismert példája a Morse-kód, ahol az ábécé betűit pontok és kötőjelek bizonyos kombinációi képviselik. Leibniz után számos kiváló tudós végzett kutatásokat ezen a területen, de az igazi sikert itt az autodidakta angol matematikus, George Boole (1815-1864) érte el, eltökéltsége nem ismert határokat.

Pénzügyi helyzet George szülei (akinek apja cipész volt) csak az érettségit engedték meg neki Általános Iskola a szegények számára. Egy idő után Buhl, miután több szakmát váltott, egy kis iskolát nyitott, ahol maga tanított. Sok időt szentelt az önképzésnek, és hamarosan érdeklődni kezdett a szimbolikus logika gondolatai iránt. Boole 1847-ben publikálta "A logika matematikai elemzése, avagy a deduktív következtetések számításának tapasztalata" című cikket, 1854-ben pedig "A logikai matematikai elméletek és a valószínűségi elméletek alapját képező gondolkodási törvények vizsgálata" című főműve. . Boole feltalált egyfajta algebrát - egy jelölési és szabályrendszert, amely mindenféle objektumra alkalmazható, a számoktól és betűktől a mondatokig. Ennek a rendszernek a segítségével kódolni tudta az állításokat (azokat az állításokat, amelyeket igaznak vagy hamisnak kellett bizonyítani) nyelve szimbólumaival, majd ugyanúgy manipulálni tudja azokat, ahogyan a számokat a matematikában manipulálják. A Boole-algebra alapvető műveletei a konjunkció (AND), a diszjunkció (OR) és a negáció (NOT). Egy idő után világossá vált, hogy a Boole rendszere kiválóan alkalmas elektromos kapcsolóáramkörök leírására. Az áramkörben áramolhat vagy nem, ahogy egy állítás igaz vagy hamis lehet. Néhány évtizeddel később, már a 20. században a tudósok egyesítették a George Boole által megalkotott matematikai apparátust a kettes számrendszerrel, megalapozva ezzel a digitális elektronikus számítógép fejlesztését. Boole munkájának egyes rendelkezéseit bizonyos mértékig érintették előtte és utána is más matematikusok és logikusok. Ma azonban ezen a területen George Boole munkáit tekintik matematikai klasszikusnak, őt magát pedig joggal tekintik a matematikai logika, és annál is inkább annak legfontosabb szakaszainak - a logikai algebrának (Boole-algebra). ) és a kijelentések algebra.

A logika fejlesztéséhez nagyban hozzájárultak az orosz tudósok is, P.S. Poretsky (1846-1907), I.I. Zhegalkin (1869-1947).

A 20. században óriási szerepet játszott a matematikai logika fejlődésében

D. Hilbert (1862-1943), aki egy olyan programot javasolt a matematika formalizálására, amely magához a matematika alapjainak kidolgozásához kapcsolódik. Végül a 20. század utolsó évtizedeiben a matematikai logika rohamos fejlődése az algoritmuselmélet és az algoritmikus nyelvek, az automataelmélet, a gráfelmélet fejlődésének volt köszönhető (S.K. Kleene, A. Church, A. A. Markov, P. S. Novikov ill. sokan mások).

A 20. század közepén a számítástechnika fejlődése vezetett a megjelenéséhez logikai elemek, logikai blokkok és számítástechnikai eszközök, amely a logika olyan területeinek további fejlesztéséhez kapcsolódott, mint a logikai szintézis, a logikai tervezés és a logikai eszközök logikai modellezése és a számítástechnika. Az 1980-as években kutatások kezdődtek a területén mesterséges intelligencia nyelveken és logikai programozási rendszereken alapul. A szakértői rendszerek létrehozása az automatikus tételbizonyítás, valamint az algoritmusok és számítógépes programok ellenőrzésére szolgáló bizonyítékokon alapuló programozási módszerek alkalmazásával és fejlesztésével kezdődött. Az 1980-as években az oktatásban is változások kezdődtek. A személyi számítógépek megjelenése a középiskolákban olyan számítástechnikai tankönyvek létrehozásához vezetett, amelyek a matematikai logika elemeit tanulmányozták a munka logikai elveinek magyarázatára. logikai áramkörökés számítástechnikai eszközök, valamint az ötödik generációs számítógépek logikai programozásának alapelvei és a tudásbázisok tervezésére szolgáló predikátumszámítási nyelv tanulmányozásával számítástechnikai tankönyvek fejlesztése.

1. A halmazelmélet alapjai

A halmaz fogalma a matematika azon alapfogalmai közé tartozik, amelyeket nehéz elemi fogalmak segítségével pontosan meghatározni. Ezért a halmaz fogalmának leíró magyarázatára szorítkozunk.

sok bizonyos egészen különálló objektumok halmazának nevezzük, amelyeket egyetlen egésznek tekintünk. A halmazelmélet megalkotója, Georg Cantor a következő definíciót adta a halmaznak: "egy halmaz sok, mint egészre gondolunk."

A halmazt alkotó egyedi objektumokat hívjuk beállított elemek.

A halmazokat általában a latin ábécé nagybetűivel, ezen halmazok elemeit pedig a latin ábécé kisbetűivel jelölik. A halmazokat zárójelben ( ) írjuk.

A következő jelöléseket szokás használni:

a∈ X - "a elem az X halmazhoz tartozik";

a∉ X - "a elem nem tartozik az X halmazhoz";

∀ - az önkényesség, általánosság kvantorja, amely "bármilyen", "bármilyen", "mindenkiért" jelölést jelent;

∃ - létezés kvantor:∃ y∈ B - "van (van) egy y elem a B halmazból";

∃! - a létezés és az egyediség számszerűsítője:∃ !b∈ C - "van egy egyedi b elem a C halmazból";

: - "oly módon, hogy; az ingatlan birtoklása";

→ - a következmény szimbóluma azt jelenti, hogy „magával jár”;

⇔ - ekvivalencia, ekvivalencia kvantor – „ha és csak akkor”.

A készletek azok véges és végtelen . A halmazokat ún végső , ha elemeinek száma véges, azaz. ha van n természetes szám, amely a halmaz elemeinek száma. A=(a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ). A készlet ún végtelen ha végtelen sok elemet tartalmaz. B=(b 1,b2,b3 , ...). Például az orosz ábécé betűkészlete véges halmaz. A természetes számok halmaza egy végtelen halmaz.

Egy M véges halmaz elemeinek számát az M halmaz számosságának nevezzük, és |M|-vel jelöljük.üres halmaz - olyan halmaz, amely nem tartalmaz elemeket -∅ . A két halmazt ún egyenlő , ha azonos elemekből állnak, pl. ugyanaz a készlet. A halmazok nem egyenlők X ≠ Y-vel, ha X-nek vannak olyan elemei, amelyek nem tartoznak Y-hoz, vagy Y-nek olyan elemei vannak, amelyek nem tartoznak X-hez. A halmazegyenlőségi szimbólum a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

X=X; - reflexivitás

ha X=Y, Y=X - szimmetria

ha X=Y,Y=Z, akkor X=Z tranzitív.

A halmazegyenlőség ezen definíciója szerint természetesen azt kapjuk, hogy minden üres halmaz egyenlő egymással, vagy ugyanaz, hogy csak egy üres halmaz van.

Részhalmazok. Befogadási reláció.

Az X halmaz egy Y halmaz részhalmaza, ha az X halmaz bármely eleme∈ és állítsa be az Y-t. Jelölje X⊆ Y.

Ha hangsúlyozni kell, hogy Y az X-ből származó elemeken kívül más elemeket is tartalmaz, akkor a szigorú befoglaló szimbólumot használjuk.⊂ : X ⊂ Y. A szimbólumok közötti kapcsolat⊂ és ⊆ által adva:

x ⊂ Y ⇔ x ⊆ Y és X≠Y

Megjegyezzük az alhalmaz néhány tulajdonságát, amelyek a definícióból következnek:

x⊆ X (reflexivitás);

→ X⊆ Z (tranzitivitás);

Az eredeti A halmazt a részhalmazaihoz viszonyítva nevezzük teljes beállítva és I-vel jelöljük.

Bármely A. részhalmazén Az A halmazt A megfelelő halmazának nevezzük.

Egy adott X halmaz összes részhalmazából és az üres halmazból álló halmaz∅ , az úgynevezett logikai érték X és β(X) jelöli. Logikai hatvány |β(X)|=2 n.

Számolható készlet- ez egy A halmaz, melynek minden eleme sorszámozható (m.b. végtelen) és 1, a 2, a 3, ..., a n , ... úgy, hogy ebben az esetben minden elem csak egy n számot kap, és minden n természetes szám a halmazunk egy és csak egy eleméhez tartozik számként.

A természetes számok halmazával egyenértékű halmazt megszámlálható halmaznak nevezzük.

Példa. 1, 4, 9, ..., n egész számok négyzeteinek halmaza 2 az N természetes számok halmazának csak egy részhalmazát reprezentálja. A halmaz megszámlálható, mivel egy az egyben megfeleltetésbe kerül a természetes sorozattal úgy, hogy minden elemhez hozzárendeli a természetes sorozat számának számát, a szám négyzetét. ami az.

A halmazok meghatározásának 2 fő módja van.

felsorolás (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,m 2 ,m 3 ,...,m n });

leírás - jelzi azokat a jellemző tulajdonságokat, amelyekkel a halmaz összes eleme rendelkezik.

Egy halmazt teljesen az elemei határoznak meg.

Egy felsorolás csak véges halmazokat adhat meg (például hónapok halmazát egy évben). A végtelen halmazok csak elemei tulajdonságainak leírásával definiálhatók (például a racionális számok halmaza definiálható Q=(n/m, m, n) leírásával∈ Z, m≠0).

A készlet leírás alapján történő megadásának módjai:

a) generáló eljárás megadásávalazon halmaz(ok) megjelölésével, amely(ek)en ezen eljárás paramétere (paraméterei) átfut - rekurzív, induktív.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - sok Fibonicci szám.

(több x elem, úgy, hogy x 1 \u003d 1, x 2 =1 és tetszőleges x k+1 (k=1,2,3,... esetén) az x képlettel számítjuk ki k+2 \u003d x k + x k + 1) vagy X \u003d)