Matematikadan qiziqarli mantiq. Qiziqarli mantiq Matematika mantiqiy savollar

1. Tushuntirish xati
1.1 Muvofiqlik
1.2 Dasturning maqsadi
1.3 Dastur maqsadlari
1.4 Dasturni amalga oshirish shartlari, bolalarning yoshi, mashg'ulotlarni o'tkazish shakllari
1.5 Dasturni amalga oshirish bosqichlari
1.6 Dastur mazmuni
1.7 Kutilayotgan natijalar

2. Uslubiy ta'minot
2.1 To'garakning istiqbolli-tematik rejasi " Qiziqarli mantiq»

3. Kattaroq maktabgacha yoshdagi bolalarning mantiqiy fikrlashi uchun diagnostika dasturi.

5. Axborot resurslari

1. Tushuntirish xati.
Nima uchun kichik maktabgacha tarbiyachi uchun mantiq?
L.A.Vengerning fikricha, “besh yoshli bolalar uchun faqat narsalarning tashqi xossalari yetarli emasligi aniq. Ular asta-sekin nafaqat tashqi, balki dunyo haqidagi ilmiy bilimlar asosidagi ichki, yashirin xususiyatlar va munosabatlar bilan tanishishga juda tayyor ... Bularning barchasi foydali bo'ladi. aqliy rivojlanish Agar mashg'ulot aqliy qobiliyatlarni rivojlantirishga qaratilgan bo'lsa, narsalarning tashqi xususiyatlari va ularning turlarini o'zlashtirishga asoslangan idrok, tasavvur, tasavvur, tasavvur sohasidagi qobiliyatlarni rivojlantirishga qaratilgan bo'lsa ... "
Maktabgacha yoshdagi bola tomonidan olingan ko'nikmalar katta yoshdagi - maktabda bilim olish va qobiliyatlarni rivojlantirish uchun asos bo'lib xizmat qiladi. Va bu qobiliyatlar orasida eng muhimi mantiqiy fikrlash qobiliyati, "ongda harakat qilish" qobiliyatidir. Mantiqiy fikrlash usullarini o'zlashtirmagan bolaga muammolarni hal qilish qiyinroq bo'ladi, mashqlarni bajarish ko'p vaqt va kuch talab qiladi. Natijada bolaning sog'lig'i yomonlashishi, o'rganishga bo'lgan qiziqishi susayishi yoki hatto so'nishi mumkin.
Mantiqiy operatsiyalarni o'zlashtirgan bola e'tiborliroq bo'ladi, aniq va aniq fikrlashni o'rganadi va o'z vaqtida muammoning mohiyatiga e'tibor qarata oladi. O'rganish osonroq bo'ladi, ya'ni o'quv jarayoni va o'zi maktab hayoti quvonch va mamnuniyat keltiradi.
Ushbu dastur maxsus o'yinlar va mashqlar orqali bolalarda atrofdagi haqiqatda mantiqiy munosabatlarni mustaqil o'rnatish qobiliyatini qanday shakllantirish mumkinligini ko'rsatadi.
Kognitiv jarayonlarni rivojlantirish bo'yicha maktabgacha yoshdagi bolalar bilan ishlash, siz ularning muvaffaqiyatli rivojlanishi va o'rganishi uchun zarur shartlardan biri bu izchillik degan xulosaga kelasiz, ya'ni. mazmuni izchil rivojlanib, murakkablashib boruvchi, didaktik vazifalarga ega bo‘lgan maxsus o‘yinlar va mashqlar tizimi; o'yin harakatlari va qoidalar. Alohida olingan o'yinlar va mashqlar juda qiziqarli bo'lishi mumkin, ammo ularni tizimdan tashqarida ishlatib, kerakli o'rganish va rivojlanish natijasiga erishib bo'lmaydi.
1.1 Muvofiqlik
Maktab o'quv dasturini muvaffaqiyatli rivojlantirish uchun bola nafaqat ko'p narsani bilishi, balki izchil va yakuniy fikrlash, taxmin qilish, aqliy zo'riqishni ko'rsatish, mantiqiy fikrlash kerak.
Mantiqiy fikrlashni rivojlantirishni o'rgatish bo'lajak talaba uchun juda muhim ahamiyatga ega va bugungi kunda juda dolzarbdir.
Har qanday yodlash usulini o'zlashtirgan holda, bola maqsadni ajratib ko'rsatishni va unga erishish uchun material bilan muayyan ishlarni bajarishni o'rganadi. U yodlash maqsadida materialni takrorlash, solishtirish, umumlashtirish, guruhlash zarurligini tushuna boshlaydi.
Bolalarni tasniflashni o'rgatish, eslashning yanada murakkab usulini - bolalar maktabda uchragan semantik guruhlashni muvaffaqiyatli o'zlashtirishga yordam beradi.
Maktabgacha yoshdagi bolalarning mantiqiy tafakkuri va xotirasini rivojlantirish imkoniyatlaridan foydalanib, bolalarni maktab ta'limi oldimizga qo'yadigan muammolarni hal qilishga yanada muvaffaqiyatli tayyorlash mumkin.
Mantiqiy fikrlashni rivojlantirish didaktik o'yinlardan foydalanish, zukkolik, boshqotirma, turli xil muammolarni hal qilishni o'z ichiga oladi. mantiqiy o'yinlar va labirintlar va bolalarda katta qiziqish uyg'otadi. Bu faoliyatda bolalarda muhim shaxsiy xususiyatlar shakllanadi: mustaqillik, topqirlik, zukkolik, qat'iyatlilik, konstruktiv qobiliyatlar rivojlanadi. Bolalar o'z harakatlarini rejalashtirishni, ular haqida o'ylashni, natijani qidirishda, ijodkorlikni namoyish qilishni o'rganadilar.
Bolalar bilan ishlashda siz ko'p bolalar oddiy ko'rinadigan mantiqiy vazifalarni bajara olmasligini sezishingiz mumkin. Masalan, kattaroq maktabgacha yoshdagi bolalarning aksariyati nima ko'proq degan savolga to'g'ri javob bera olmaydi: meva yoki olma, hatto qo'llarida mevalar chizilgan rasm bo'lsa ham - ko'plab olma va bir nechta nok. Bolalar ko'proq nok bor deb javob berishadi. Bunday hollarda u o'z ko'zlari bilan ko'rgan narsasiga javob beradi. Ular xayoliy fikrlash bilan "pastga" qo'yiladi va 5 yoshga to'lgan bolalar hali mantiqiy fikrlashga ega emaslar. Katta yoshdagi maktabgacha yosh ular mantiqiy fikrlashni rivojlantirishning eng maqbul usullarini aniqlashda ishlab chiqilishi kerak bo'lgan maktab o'quvchilari va kattalarga xos bo'lgan mantiqiy fikrlash elementlarini ko'rsata boshlaydi.
Mantiqiy mazmundagi o'yinlar bolalarda kognitiv qiziqishni rivojlantirishga yordam beradi, tadqiqot va ijodiy izlanishga, o'rganish istagi va qobiliyatiga hissa qo'shadi. Didaktik o'yinlar bolalarning eng tabiiy faoliyatidan biri bo'lib, intellektual va ijodiy namoyon bo'lish, o'zini namoyon qilish va mustaqillikni shakllantirish va rivojlantirishga yordam beradi. orqali bolalarda mantiqiy fikrlashni rivojlantirish didaktik o'yinlar keyingi maktab ta'limining muvaffaqiyati, o'quvchi shaxsini to'g'ri shakllantirish uchun muhim ahamiyatga ega va keyingi ta'limda matematika va informatika asoslarini muvaffaqiyatli o'zlashtirishga yordam beradi.
1.2 Dasturning maqsadi: maktabgacha yoshdagi bolalarning mantiqiy tafakkurini maksimal darajada rivojlantirish uchun sharoit yaratish, muvaffaqiyatli maktabga tayyorgarlik ko'rish.
1.3 Dastur maqsadlari:

• bolalarga asosiy mantiqiy operatsiyalarni o'rgatish: tahlil qilish, sintez qilish, taqqoslash, inkor qilish, tasniflash, tizimlashtirish, cheklash, umumlashtirish, xulosa chiqarish.
• bolalarni kosmosda harakat qilishni o'rgatish
• bolalarda yuqori aqliy funktsiyalarni, fikr yuritish, isbotlash qobiliyatini rivojlantirish
• qiyinchiliklarni engish istagini, o'ziga ishonchni, tengdoshga yordam berish istagini rivojlantirish

1.4 Dasturni amalga oshirish shartlari, bolalarning yoshi, mashg'ulotlarni o'tkazish shakllari
Dasturni amalga oshirish muddati – 1-2 yil
Dastur 5-7 yoshli bolalar uchun mo'ljallangan.
Dastur turli shakllarda to'garak mashg'ulotlarini o'tkazishni nazarda tutadi:

• Individual mustaqil ish bolalar.
• Juft bo'lib ishlamoq.
• Guruh ish shakllari.
• Differensiallashgan.
• Frontal tekshirish va nazorat qilish.
• Bajarilgan ishlarni o'z-o'zini baholash.
• Didaktik o'yin.
• Musobaqa.
• Musobaqalar.

1.5 Dasturni amalga oshirish bosqichlari
Faoliyat texnologiyasi bosqichma-bosqich quriladi:

1. Kognitiv jarayonlar rivojlanishining dastlabki darajasini diagnostikasi va ularning rivojlanishini nazorat qilish.
2. Har bir bolaning individualligini va mavjud bilimlarni hisobga olgan holda, u yoki bu sifatni (diqqat, xotira, tasavvur, fikrlashni) rivojlantirish mumkin bo'lgan vositalarni rejalashtirish
3. Rivojlanayotgan kursda o'qitish uchun fanlararo (integral) asosni yaratish.
4. Materialni bosqichma-bosqich murakkablashtirish, ish hajmini bosqichma-bosqich oshirish, bolalarning mustaqillik darajasini oshirish.
5. Nazariya elementlari bilan tanishish, fikrlash usullarini o'rgatish, tanlovning o'z-o'zini argumentatsiyasi.
6. Bilim va usullarning integratsiyasi kognitiv faoliyat, uning umumlashtirilgan usullarini o'zlashtirish.
7. Rivojlanish kursining natijalarini ishlab chiqilgan mezonlar bo'yicha baholash, bu bolani o'z ichiga olishi kerak (o'zini o'zi qadrlash, o'zini o'zi nazorat qilish, o'zaro nazorat).

1. 6 Dastur mazmuni
Qisqa Tasvir bo'limlar va dars mavzulari (bo'limlar bolalar sinfda o'rganadigan ma'lum bir mantiqiy operatsiyaga mos keladi):

1. Analiz - sintez.
Maqsad - bolalarni butunni qismlarga bo'lishga o'rgatish, ular o'rtasida aloqa o'rnatish; ob'ekt qismlarini aqliy ravishda bir butunga birlashtirishni o'rganing.
O'yinlar va mashqlar: mantiqiy juftlikni topish (mushuk - mushukcha, it - ? (kuchukcha)). Rasmni to'ldirish (yamoqni oling, kiyimga cho'ntak torting). Qarama-qarshiliklarni qidiring (engil - og'ir, sovuq - issiq). Turli murakkablikdagi jumboqlar bilan ishlash. Sanoq tayoqchalari va geometrik shakllardan rasmlarni joylashtirish.

2. Taqqoslash.
Maqsad - ob'ektlarning muhim belgilariga ko'ra o'xshashlik va farqlarini aqliy aniqlashga o'rgatish; bolalarning e'tiborini, idrokini rivojlantirish. Kosmosda orientatsiyani yaxshilang.
O'yinlar va mashqlar: tushunchalarni mustahkamlash: katta - kichik, uzun - qisqa, past - baland, tor - keng, baland - past, yanada - yaqinroq va boshqalar. "Bir xil", "eng" tushunchalari bilan ishlash. 2 ta o'xshash rasmda o'xshashlik va farqlarni qidiring.

3. Cheklash.
Maqsad - guruhdan bir yoki bir nechta ob'ektlarni ma'lum xususiyatlarga ko'ra ajratib ko'rsatishga o'rgatish. Bolalarning kuzatish qobiliyatini rivojlantirish.
O'yinlar va mashqlar: "faqat qizil bayroqlarni bitta chiziq bilan aylantiring", "barcha aylana bo'lmagan narsalarni toping" va hokazo. To'rtinchi ortiqcha narsani istisno qilish.

4. Umumlashtirish.
Maqsad - ob'ektlarni xususiyatlariga ko'ra bir guruhga aqliy ravishda birlashtirishga o'rgatish. So'z boyligini boyitishga hissa qo'shing, bolalarning kundalik bilimlarini kengaytiring.
Umumlashtiruvchi tushunchalar bilan ishlash uchun o'yinlar va mashqlar: mebel, idish-tovoq, transport, sabzavotlar, mevalar va boshqalar.

5. Tizimlashtirish.
Maqsad - naqshlarni aniqlashga o'rgatish; bolalarning so'z boyligini kengaytirish; rasmdan aytib berishni, qayta aytib berishni o'rganing.
O'yinlar va mashqlar: sehrli kvadratlar (etishmayotgan qismni, rasmni oling). Bir qator rasmlar asosida hikoya tuzish, rasmlarni mantiqiy ketma-ketlikda joylashtirish.

6. Tasniflash.
Maqsad - ob'ektlarni muhim belgilariga ko'ra guruhlarga taqsimlashni o'rgatish. Umumlashtiruvchi tushunchalarni birlashtirish, ular bilan erkin ishlash.

7. Xulosa.
Maqsad - hukmlar yordamida xulosa chiqarishga o'rgatish. Bolalarning uy bilimlarini kengaytirishga hissa qo'shing. Tasavvurni rivojlantiring.
O'yinlar va mashqlar: hodisalarda ijobiy va salbiyni izlash (masalan, yomg'ir yog'ganda, u o'simliklarni oziqlantiradi - bu yaxshi, lekin yomon tomoni shundaki, yomg'irda odam ho'l bo'lib, shamollashi va kasal bo'lishi mumkin) . Muayyan hukmlarning to'g'riligini baholash ("daraxtlar chayqalgani uchun shamol esadi." To'g'rimi?). Yechim mantiqiy vazifalar.

1.7 Kutilayotgan natijalar
Rejalashtirilgan natijalar:
Bolalar bilishi kerak:

• sonlar, predmetlar, hodisalar, so‘zlarning qoliplarini, xossalarini yasash tamoyillari;
• boshqotirmalar, krossvordlar, chaynvordlar, labirintlar tuzilish tamoyillari;
• antonimlar va sinonimlar;
• geometrik shakllarning nomlari va ularning xossalari;
• dasturlash va harakatlar algoritmini tuzish printsipi.

Bolalar quyidagilarni bilishlari kerak:

• qoliplarni aniqlash va shu qolipga muvofiq vazifani bajarish, ob'ektlarni tasniflash va guruhlash, solishtirish, umumiy va alohida xususiyatlarni topish, umumlashtirish va mavhumlashtirish, ularning faoliyatini tahlil qilish va baholash;
• mulohaza yuritish, mantiqiy, nostandart masalalarni yechish, ijodiy izlanish, og‘zaki-didaktik, sonli vazifalarni bajarish, matematik topishmoqlar javobini topish;
• qizdirish jarayonida berilgan savollarga tez va to‘g‘ri javob berish;
• diqqat, idrok, xotirani o'rgatish uchun vazifalarni bajarish
• grafik diktantlarni bajarish, grafik topshiriqlarning sxematik tasvirida harakatlana olish;
• o'z oldiga maqsad qo'ya olish, ish bosqichlarini rejalashtirish, o'z kuchlari bilan natijalarga erishish.

Ish natijalarini tekshirish usuli : har bir bo'limdan keyin umumlashtiruvchi darslar va mantiqiy fikrlash operatsiyalarini o'zlashtirish darajasining 2 diagnostikasi (boshlang'ich (sentyabr) va yakuniy (may)).

Sherlok Xolmsning so'zlari: "Men sizga necha marta aytdim, imkonsiz hamma narsani tashlab qo'ying, shunda qolgan narsa, qanchalik aql bovar qilmaydigan bo'lib tuyulmasin, javob bo'ladi", bu bobga epigraf bo'lib xizmat qilishi mumkin.

Agar boshqotirmani yechish uchun faqat mantiqiy fikrlash qobiliyati talab qilinsa va umuman arifmetik hisob-kitoblarni bajarish kerak bo‘lmasa, bunday boshqotirma odatda mantiqiy masala deb ataladi. Mantiqiy masalalar, albatta, matematik masalalar qatoriga kiradi, chunki mantiqni juda umumiy, fundamental matematika deb hisoblash mumkin. Shunga qaramay, mantiqiy jumboqlarni ko'p sonli arifmetik opa-singillaridan alohida ajratib ko'rsatish va o'rganish qulay. Ushbu bobda biz uchta umumiy turdagi mantiqiy muammolarni ko'rsatamiz va ularga qanday yondashishni aniqlashga harakat qilamiz.

Jumboqlarni sevuvchilarni ba'zan "Smit-Jons-Robinson muammosi" deb ataydigan eng keng tarqalgan muammo turi (G. Dudeni tomonidan ixtiro qilingan eski jumboq bilan o'xshash).

U bir qator posilkalardan iborat bo'lib, odatda belgilar haqida ma'lum ma'lumotlarni bildiradi; Ushbu taxminlar asosida ma'lum xulosalar chiqarish kerak. Misol uchun, Dudeney muammosining so'nggi Amerika versiyasi qanday ko'rinishga ega:

1. Smit, Jons va Robinson bir xil poyezd ekipajida haydovchi, konduktor va o‘t o‘chiruvchi bo‘lib ishlaydi. Ularning kasblari familiyalari bilan bir xil tartibda nomlanishi shart emas. Brigada xizmat ko‘rsatayotgan poyezdda bir xil familiyali uchta yo‘lovchi bor.

Kelajakda biz har bir yo‘lovchini hurmat bilan “janob” (janob) deb chaqiramiz.

2. Janob Robinson Los-Anjelesda yashaydi.

3. Dirijyor Omaxada yashaydi.

4. Janob Jons kollejda o‘rgatilgan barcha algebrani allaqachon unutgan.

5. Yo'lovchi - dirijyorning familiyasi Chikagoda yashaydi.

6. Konduktor va yo'lovchilardan biri, matematik fizika bo'yicha taniqli mutaxassis, bir cherkovga boradi.

7. Smit bilyard o'yini uchun tasodifan uchrashganida doimo stokerni uradi.

Haydovchining ismi nima?

Bu masalalarni matematik mantiq tiliga uning standart yozuvidan foydalangan holda tarjima qilish va tegishli usullar yordamida yechim izlash mumkin edi, lekin bunday yondashuv juda mashaqqatli bo‘lar edi. Boshqa tomondan, u yoki bu turdagi qisqartmalarsiz, masalaning mantiqiy tuzilishini tushunish qiyin. Jadvaldan foydalanish eng qulaydir, uning bo'sh kataklariga biz ko'rib chiqilayotgan to'plamlar elementlarining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarini kiritamiz. Bizning holatlarimizda ikkita bunday to'plam mavjud, shuning uchun bizga ikkita jadval kerak (139-rasm).

Guruch. 139 Smit, Jons va Robinson muammosi uchun ikkita jadval.

Har bir katakchaga, agar mos keladigan kombinatsiya ruxsat etilgan bo'lsa, biz 1 ni kiritamiz yoki kombinatsiya muammoning shartlariga zid bo'lsa, 0 ni kiritamiz. Keling, bu qanday amalga oshirilganini ko'rib chiqaylik. 7-shart Smitning stoker bo'lish ehtimolini istisno qiladi, shuning uchun biz chap stolning yuqori o'ng burchagidagi qutiga 0 ni kiritamiz. 2-shart Robinson Los-Anjelesda yashashini aytadi, shuning uchun stolning pastki chap burchagida biz janob Robinson Omaxa yoki Chikagoda yashamasligini va janob Smit va janob Jons Los-Anjelesda yashamasligini ko'rsatish uchun pastki qatordagi va chap ustundagi barcha boshqa kataklarga 1 va 0 kiriting.

Endi biroz o'ylashimiz kerak. 3 va 6-shartlardan biz matematik fizik Omaxada yashashini bilamiz, lekin uning familiyasini bilmaymiz. U janob Robinson ham, janob Jons ham bo‘la olmaydi (axir u hatto elementar algebrani ham unutgan).

Shuning uchun, bu janob Smit bo'lishi kerak. Ushbu holatni o'ng jadvalning yuqori qatorining o'rta katakchasiga 1 va bir xil qatorning qolgan kataklariga 0 va o'rta ustundagi bo'sh katakchalarni qo'yish orqali qayd etamiz. Uchinchi birlik endi faqat bitta katakka kiritilishi mumkin: bu janob Jonsning Chikagoda yashashidan dalolat beradi. 5-shartdan biz dirijyorning ham Jones familiyasi borligini bilib olamiz va chap jadvalning markaziy katakchasiga 1 ni, o'rta qator va o'rta ustunning qolgan barcha kataklariga 0 ni kiritamiz. Shundan so'ng bizning jadvallarimiz rasmda ko'rsatilgan shaklni oladi. 140.

Guruch. 140 Jadval shaklda ko'rsatilgan tuxum. 139, oldindan to'ldirilgandan keyin.

Endi yakuniy javobga olib keladigan mulohazalarni davom ettirish qiyin emas. "Stoker" deb nomlangan ustunda birlik faqat pastki katakchaga joylashtirilishi mumkin. Bundan darhol kelib chiqadiki, 0 pastki chap burchagida bo'lishi kerak.Faqat jadvalning yuqori chap burchagidagi katak bo'sh qoladi, bu erda faqat 1 qo'yish mumkin.Demak, haydovchining ismi Smit.

Lyuis Kerroll bunday turdagi juda murakkab va mohir masalalarni ixtiro qilishni yaxshi ko'rardi. Dortmut kollejining matematika dekani Jon J. Kemeni IBM-704 kompyuteri uchun dahshatli (13 ta o'zgaruvchi va 12 shart bilan, "hech bir sudya tamaki hidlamaydi" degan xulosaga keladi) Kerroll muammolaridan birini dasturladi. Mashina yechimni taxminan 4 daqiqada yakunladi, garchi muammoning to'liq "haqiqat jadvali" ni (muammo o'zgaruvchilari haqiqat qiymatlarining mumkin bo'lgan kombinatsiyalari to'g'ri yoki noto'g'ri ekanligini ko'rsatadigan jadval) chop etish 13 soat davom etgan bo'lar edi!

O'z omadini Smit-Jons-Robinson muammosidan ko'ra qiyinroq masala bilan sinab ko'rmoqchi bo'lgan kitobxonlar uchun biz yangi boshqotirmani taklif qilamiz. Uning muallifi Prinston universitetidan R. Smullyan.

1. 1918 yilda birinchi Jahon urushi. Tinchlik shartnomasi imzolangan kuni uchta er-xotin ushbu voqeani bayram dasturxoniga nishonlash uchun yig'ilishdi.

2. Har bir er xotinlardan birining ukasi, har bir xotin esa erlardan birining singlisi bo'lgan, ya'ni hozir bo'lganlar orasida uchta bir-biriga bog'liq bo'lgan "aka va opa" juftligini ko'rsatish mumkin edi.

3. Xelen avgust oyida tug'ilgan eridan roppa-rosa 26 hafta katta.

4. Janob Uaytning singlisi Ellenning kuyoviga uylangan va uning tug'ilgan kunida, yanvar oyida unga uylangan.

5. Margaret Uayt Uilyam Bleykdan pastroq.

6. Arturning singlisi Beatritsadan chiroyliroq.

7. Jon 50 yoshda.

Missis Braunning ismi nima?

Quyidagi mashhur misolga o'xshab, "rangli qopqoq muammosi" tipidagi muammolar deb atash mumkin bo'lgan yana bir xilma-xil mantiqiy muammolar kamroq tarqalgan. Uch kishi (ularni chaqiraylik A, B va FROM) ko'zlarini bog'lab, ularning har biri qizil yoki yashil qalpoqcha kiyganligini ayting. Keyin ularning ko'zlari ochiladi va agar ular qizil qalpoqchani ko'rsalar, qo'llarini ko'tarishlari va boshidagi qalpoq qanday rangda ekanligini bilishlariga ishonchlari komil bo'lsa, xonani tark etishlari so'raladi. Uchta shlyapa ham qizil bo'lib chiqdi, shuning uchun uchtasi qo'llarini ko'tardi. Bir necha daqiqa o'tdi va FROM dan ko'ra aqlliroqdir LEKIN va DA, xonani tark etdi. Qanday qilib FROM shlyapa qanday rangda ekanligini aniqlay oldimi?

[Yashil qalpoqli donishmandlar muammosi matnda shunday ifodalanganki, uning yechimi bo'lmaydi. Bu, ayniqsa, donishmandlar soni ko'p bo'lganda yaqqol namoyon bo'ladi. Birinchi donishmand haqiqiy vaziyatni taxmin qilish uchun qancha vaqt kerak bo'ladi?

40-yillarning oxirida bu muammo Moskvada maktab matematika to'garaklarida qizg'in muhokama qilindi va uning yangi versiyasi ixtiro qilindi, unda diskret vaqt joriy etildi. Vazifa shunday ko'rinardi.

Qadimda donishmandlar bir shaharda yashagan. Ularning har birining xotini bor edi. Ertalab bozorga kelishdi va shaharning barcha g'iybatlarini o'sha erda bilishdi. Ularning o'zlari g'iybatchilar edi. Xotinlardan birining xiyonati haqida bilish ularga katta zavq bag'ishladi - ular bu haqda darhol bilib olishdi. Biroq, bitta aytilmagan qoidaga qat'iy rioya qilingan: eriga xotini haqida hech narsa aytilmagan, chunki ularning har biri o'z uyatlarini bilib, xotinini uydan haydab yuborgan bo'lar edi. Shunday qilib, ular samimiy suhbatdan zavqlanib, o'z ishlaridan mutlaqo bexabar bo'lib yashashdi.

Ammo bir kuni shaharga haqiqiy g'iybat keldi. U bozorga kelib: "Ammo hamma donishmandlarning ham sodiq xotinlari bo'lmaydi!" Ko'rinishidan, g'iybat yangi hech narsa aytmagan - va shuning uchun buni hamma bilar edi, har bir donishmand buni bilardi (faqat g'iybat bilan u o'zi haqida emas, balki boshqasi haqida o'ylardi), shuning uchun hech kim g'iybatchining so'zlariga e'tibor bermadi. . Ammo donishmandlar o'yladilar - shuning uchun ular donishmandlar - va n- g'iybat kelganidan keyin n dono kishilar n vafosiz xotinlar (agar bo'lgan bo'lsa) haydalgan. n).

Donishmandlarning tafakkurini tiklash qiyin emas. Savolga javob berish qiyinroq: g'iybatchi usiz ham donishmandlarga ma'lum bo'lgan narsaga qanday ma'lumot qo'shgan?

Bu muammo adabiyotda bir necha bor uchrab turadi].

C o'zidan so'raydi, uning qopqog'i yashil bo'lishi mumkinmi. Agar shunday bo'lganida edi LEKIN uning qizil qalpoq kiyganini darrov taniydi, chunki uning boshiga faqat qizil qalpoq yasash mumkin edi DA qo'l ko'taring. Ammo keyin LEKIN xonani tark etardi. DA aynan shu tarzda mulohaza yurita boshlagan bo'lardi va xonani ham tark etgan bo'lardi. Biri ham, ikkinchisi ham chiqmagani uchun, FROM o'z qalpog'i qizil bo'lishi kerak degan xulosaga keldi.

Bu muammoni har qanday odam bor va ularning hammasi qizil qalpoqcha kiygan holga umumlashtirish mumkin. Faraz qilaylik, muammoda to'rtinchi aktyor paydo bo'ldi D dan ham ko'proq tushunarli C.D quyidagicha fikr yuritish mumkin: “Agar mening qalpoq yashil bo'lganida edi A, B va FROM O'zlarini hozirgina tasvirlangan vaziyatga tushib qolishadi va bir necha daqiqadan so'ng trioning eng idrokililari xonani tark etishi aniq.

Ammo besh daqiqa o'tdi va ularning hech biri chiqmadi, shuning uchun mening qalpoqcham qizil.

Agar undan ham aqlliroq beshinchi a'zo bo'lsa D, u o'n daqiqa kutgandan keyin qizil qalpoq kiygan degan xulosaga kelishi mumkin edi. Albatta, bizning fikrimiz turli darajadagi zukkolik haqidagi taxminlar tufayli o'zining ishonchliligini yo'qotadi. A, B, C... va eng idrokkor odam shlyapa rangini ishonch bilan nomlashdan oldin qancha kutishi kerakligi haqidagi noaniq fikrlar.

Ba'zi boshqa "rang qopqog'i" muammolari kamroq noaniqlikni o'z ichiga oladi. Bu, masalan, Smullyan tomonidan ixtiro qilingan quyidagi muammodir. Uchtasining har biri A, B va FROM- mantiqni yaxshi biladi, ya'ni u berilgan binolar to'plamidan barcha oqibatlarni bir zumda qanday chiqarishni biladi va qolganlari ham bu qobiliyatga ega ekanligini biladi.

Biz to'rtta qizil va to'rtta yashil markani olamiz, "mantiqchilarimiz" ning ko'zlarini bog'laymiz va ularning har bir peshonasiga ikkita muhr yopishtiramiz. Keyin ko'zlaridan bandajlarni olib tashlaymiz va o'z navbatida so'raymiz A, B va FROM xuddi shu savol: "Sizning peshonangizdagi markalar qanday rangda ekanligini bilasizmi?" Ularning har biri salbiy javob beradi. Keyin yana so'raymiz LEKIN va yana biz salbiy javob olamiz. Ammo biz bir xil savolni ikkinchi marta berganimizda DA, u ijobiy javob beradi.

Peshonadagi belgi qanday rangda DA?

Mashhur mantiqiy jumboqlarning uchinchi turi - yolg'onchilar va har doim haqiqatni aytadiganlar haqidagi muammolar. DA klassik versiya vazifalar gaplashamiz ikki qabila yashaydigan mamlakatda o'zini ko'rgan sayohatchi haqida. Bir qabila a'zolari doimo yolg'on gapiradi, boshqa qabila vakillari doimo haqiqatni aytadilar. Sayohatchi ikki mahalliy odam bilan uchrashadi. — Har doim haqiqatni aytasizmi? — deb so‘radi u baland bo‘yli mahalliy odamdan. U: «Tarabar», deb javob beradi. "U "ha" dedi, - deb tushuntiradi ingliz tilini biladigan kichikroq mahalliy fuqaro, - lekin u dahshatli yolg'onchi". Mahalliy aholining har biri qaysi qabilaga mansub?

Yechishda tizimli yondashuv barcha to'rtta imkoniyatni yozishdan iborat bo'ladi: AI, IL, LI, LL (men "to'g'ri", L - "noto'g'ri" degan ma'noni anglatadi) - va muammoning ma'lumotlariga zid bo'lganlarni chiqarib tashlash. Agar baland bo'yli mahalliy odam yolg'on gapiryaptimi yoki rostmi, deb ijobiy javob berishi kerakligini kuzatsa, javobni tezroq olish mumkin. Kichkina mahalliy odam haqiqatni aytgani uchun u rostgo'ylar qabilasidan, uzun bo'yli do'sti esa yolg'onchilar qabilasidan bo'lishi kerak.

Ehtimollik og'irliklarining kiritilishi va unchalik aniq bo'lmagan formulasi bilan murakkablashgan ushbu turdagi eng mashhur muammoni ingliz astronomi A. Eddingtonning "Fandagi yangi yo'llar" kitobining oltinchi bobining o'rtalarida kutilmaganda topish mumkin. "Agar a A, B, C va D uchdan bir marta haqiqatni ayting (mustaqil ravishda) va LEKIN Buni bildiradi DA buni rad etadi FROM deydi go'yo D yolg'onchi, buning ehtimoli qanday D rost aytdimi?"

Eddingtonning javobi, 25/71, o'quvchilar tomonidan norozilik bilan kutib olindi va hech qachon oxirigacha hal qilinmagan kulgili va chalkash bahsga sabab bo'ldi. Ingliz astronomi, Eddingtonning "Nature" jurnalida (1935 yil mart) chop etilgan kitobiga taqriz muallifi G. Dingl bu muammo umuman e'tiborga loyiq emas, deb hisobladi va faqat Eddington asosiy g'oyalarni etarlicha o'ylamaganligini ko'rsatadi. ehtimollar nazariyasi. Bunga amerikalik fizik T. Stern (Nature, 1935 yil iyun) e'tiroz bildirdi va uning fikricha, muammo hech qanday ma'nosiz emasligini, ammo uni hal qilish uchun ma'lumotlar etarli emasligini aytdi.

Bunga javoban Dingl (Tabiat, 1935 yil sentyabr) ta'kidladiki, agar biror kishi Sternning nuqtai nazarini qabul qilsa, unda qaror qabul qilish uchun etarli ma'lumotlar mavjud va javob 1/3 bo'ladi. Bu erda Eddington jangga kirishdi va (Mathemetical gazeta, 1935 yil oktyabr) o'z javobini qanday olganini batafsil tushuntirib beradigan maqolani nashr etdi. Bahs xuddi shu jurnalda chop etilgan yana ikkita maqola bilan yakunlandi, ulardan birining muallifi Eddingtonni himoya qildi, ikkinchisi esa avvalgilaridan farqli nuqtai nazarni ilgari surdi.

Qiyinchilik asosan Eddingtonning formulasini tushunishda yotadi. Agar a DA, o'z inkorini izhor qilib, haqiqatni gapiradi, keyin biz oqilona taxmin qilishimiz mumkin FROM shunday dedi D haqiqatni gapirasanmi? Eddington bunday taxmin uchun asoslar yetarli emas deb hisoblardi. Xuddi shunday, agar LEKIN yolg'on, bunga amin bo'lishimiz mumkinmi? DA va FROM ular umuman biror narsa deyishdimi? Yaxshiyamki, biz quyidagi taxminlarni amalga oshirish orqali ushbu barcha lingvistik qiyinchiliklarni engib o'tishimiz mumkin (Eddington ularni yaratmagan):

1. To'rttaning hech biri jim turmadi.

2. Bayonotlar A, B va FROM(ularning har biri alohida) quyidagi bayonotni tasdiqlaydi yoki rad etadi.

3. Yolg‘on tasdiq o‘zining inkori bilan, yolg‘on inkor esa tasdiq bilan mos keladi.

To'rttasi bir-biridan mustaqil ravishda 1/3 ehtimollik bilan yolg'on gapiradi, ya'ni o'rtacha hisobda ularning uchta bayonotidan ikkitasi yolg'ondir. Agar to'g'ri bayonot harf bilan belgilansa Va, va noto'g'ri - harf L, keyin uchun A, B, C va D sakson bir xil kombinatsiyadan iborat jadvalni olamiz. Ushbu raqamdan muammoning shartlariga ko'ra imkonsiz bo'lgan kombinatsiyalarni chiqarib tashlash kerak.

Harf bilan tugaydigan haqiqiy kombinatsiyalar soni Va(ya'ni to'g'ri - to'g'ri - bayonot D), javobni beradigan barcha joriy kombinatsiyalarning umumiy soniga bo'linishi kerak.

Sayohatchi va ikkita mahalliy aholi haqidagi muammoni shakllantirishga aniqlik kiritish kerak. Sayohatchi mahalliy aholi tilida “gibberish” so‘zi “ha” yoki “yo‘q” degan ma’noni anglatishini tushundi, lekin aniq nima ekanligini taxmin qila olmadi. Bu bir nechta elektron pochta xabarlarini ogohlantirgan bo'lardi, ulardan birini quyida keltiraman.

Aftidan, baland bo'yli mahalliy sayohatchining unga aytgan so'zlarini (ingliz tilida) bir so'z ham tushunmadi va ingliz tilida ha yoki yo'q deb javob bera olmadi. Shuning uchun, uning "ma'nosi" "Men tushunmadim" yoki "Bongo-Bongoga xush kelibsiz" degan ma'noni anglatadi. Binobarin, jajji vatandoshi dugonasi “ha” deb javob berdi, deb yolg‘on gapirdi, kichkintoy yolg‘onchi bo‘lgani uchun, baland bo‘ylini yolg‘onchi desa, u ham yolg‘on gapirdi. Shuning uchun, baland bo'yli mahalliy odamni rostgo'y deb hisoblash kerak.

Shunday qilib, ayol mantig'i mening erkak bema'niligimga zarba berdi. Muallifingizning g‘ururiga ozgina tegmaydimi?

Javoblar

Birinchi mantiqiy muammo uchta jadval yordamida eng yaxshi hal qilinadi: biri xotinlarning ismlari va familiyalarining kombinatsiyasi uchun, ikkinchisi erlarning ismlari va familiyalari uchun, uchinchisi uchun oilaviy aloqalar.

Missis Uaytning ismi Margaret (5-shart) bo'lgani uchun bizda qolgan ikkita xotinning ismlari uchun faqat ikkita imkoniyat qoldi: a) Helen Bleyk va Beatrice Braun yoki b) Helen Braun va Beatrice Bleyk.

Imkoniyatlarning ikkinchisi sodir bo'ladi deb faraz qilaylik. Uaytning singlisi Xelen yoki Beatris bo'lishi kerak. Lekin Beatrice Uaynning singlisi bo'la olmaydi, chunki u holda Bleyk Xelenning ukasi, Bleykning ikki qaynonasi Uayt (uning xotinining ukasi) va Braun (singlisining eri) bo'lar edi; Beatris Bleyk ikkalasiga ham turmushga chiqmagan, bu 4-shartga ziddir. Shuning uchun Uaytning singlisi Xelen bo'lishi kerak. Bundan, o'z navbatida, biz Braunning singlisi Beatris, Bleykning singlisi esa Margaret degan xulosaga keldik.

6-shartdan kelib chiqadiki, janob Uaytning ismi Artur (Braun Artur bo'lishi mumkin emas, chunki bunday kombinatsiya Beatrisning o'zidan chiroyliroq ekanligini bildiradi va Bleyk Artur bo'lishi mumkin emas, chunki 5-shartdan biz uning ismini bilamiz: Uilyam). Shunday qilib, janob Braun faqat Jon bo'lishi mumkin. Afsuski, 7-shartdan biz Jon 1868 yilda tug'ilganini ko'ramiz (tinchlik shartnomasi imzolanishidan 50 yil oldin). Ammo 1868 yil kabisa yili, shuning uchun Xelen eridan 3-shartda ko'rsatilgan 26 haftadan bir kun kattaroq bo'lishi kerak. (4-shartdan biz uning yanvar oyida tug'ilganini va 3-shartdan eri tug'ilganini bilamiz. avgust oyida. Agar uning tug'ilgan kuni 31 yanvarda va 1 avgustda bo'lsa va bu sanalar orasida 29 fevral bo'lmasa, u eridan roppa-rosa 26 hafta katta bo'lishi mumkin edi!) Demak, biz boshlagan imkoniyatlarning ikkinchisi. tashlab yuborilishi kerak, bu bizga xotinlarni nomlash imkonini beradi: Margaret White, Helen Blake va Beatrice Braun. Bu erda hech qanday qarama-qarshilik yo'q, chunki biz Bleykning tug'ilgan yilini bilmaymiz. Muammoning shartlaridan xulosa qilish mumkinki, Margaret Braunning singlisi, Beatris Bleykning singlisi va Xelen Uaytning singlisi, ammo Uayt va Braunning ismlari masalasi hal etilmagan.

Markalar bilan bog'liq muammoda DA uchta imkoniyat bor. Uning markalari quyidagilar bo'lishi mumkin: 1) ikkalasi ham qizil; 2) ikkalasi ham yashil; 3) biri yashil, ikkinchisi qizil. Faraz qilaylik, ikkala marka ham qizil rangda.

Uchalasi ham bir marta javob bergandan keyin, LEKIN quyidagicha fikr yuritish mumkin: “Mening peshonamdagi izlar ham qizil bo'lishi mumkin emas (chunki o'shanda FROM to'rtta qizil markani ko'rgan bo'lardi va uning peshonasida ikkita yashil marka borligini darhol anglagan bo'lardi va agar FROM ikkala marka ham yashil edi DA, to'rtta yashil markani ko'rib, uning peshonasida ikkita qizil marka borligini tushungan bo'lardi). Shuning uchun peshonamda bitta yashil va bitta qizil belgi bor”.

Lekin qachon LEKIN ikkinchi marta so'radi, u o'z brendi qanday rang ekanligini bilmas edi. Ruxsat berdi DA uning ikkala markasi ham qizil bo'lishi ehtimolini rad eting. Xuddi shu tarzda bahslashish A, B uning ikkala markasi ham yashil bo'lgan holatni istisno qildi. Shuning uchun unga faqat bitta imkoniyat qoldi: bir shtamp yashil, ikkinchisi qizil.

Bir nechta o'quvchilar savol va javoblarni tahlil qilmasdan muammoni juda tez hal qilish mumkinligini tezda payqashdi. O'quvchilardan biri bu haqda shunday yozgan: "Muammoning shartlari qizil va yashil belgilarga nisbatan mutlaqo nosimmetrikdir.

Shuning uchun, o'rtasida shtamplarni tarqatish orqali A, B va FROM agar muammoning barcha shartlari bajarilsa va qizil belgilarni yashilga va aksincha, yashilni qizilga almashtirsa, biz boshqa taqsimotga kelamiz, buning uchun barcha shartlar ham qondiriladi. Bundan kelib chiqadiki, agar yechim noyob bo'lsa, yashil yorliqlarni qizil rangga, qizilni esa yashil rangga almashtirishda u o'zgarmas bo'lishi kerak (o'zgarmasligi kerak). Bunday yechim faqat markalarning shunday taqsimlanishi bo'lishi mumkin, unda B bitta yashil va bitta qizil markaga ega bo'ladi.

Bruklin kolleji matematika fakulteti dekani V. Manxaymer aytganidek, bu nafis yechim shunday emasligidan kelib chiqadi. A, B va FROM(muammo shartida aytilganidek) va Raymond Smullyan!

Eddington muammosida buning ehtimoli D haqiqatni aytadi, 13/41. Toq sonli noto'g'ri (yoki rost) sonini o'z ichiga olgan barcha rost va noto'g'ri kombinatsiyalar muammoning shartlariga zid bo'lganligi sababli olib tashlanishi kerak. Natijada, mumkin bo'lgan kombinatsiyalar soni 81 dan 41 gacha kamayadi, ulardan faqat 13 tasi haqiqiy bayonot bilan tugaydi. D. Chunki A, B va FROM haqiqiy kombinatsiyalarning aynan bir xil soniga to'g'ri keladigan hollarda haqiqatni ayting, haqiqatni aytish ehtimoli to'rttasi uchun bir xil.

Ekvivalentlik belgisidan foydalanish

ya’ni u bilan bog‘langan takliflar ham to‘g‘ri yoki ikkalasi ham yolg‘ondir (bunda yolg‘on taklif to‘g‘ri bo‘ladi, aks holda u noto‘g‘ri bo‘ladi) va inkor belgisi ~, Eddingtonning taklif hisobidagi muammosi quyidagicha yozilishi mumkin:

yoki shunga o'xshash ba'zi soddalashtirishlardan keyin:

Ushbu ifodaning haqiqat jadvali allaqachon olingan javobni tasdiqlaydi.

Eslatmalar:

Bu asabiylashadi- xafa bo'lish, biror narsani behuda, umidsiz qilish, muvaffaqiyatsizlikka mahkum qilish (inglizcha).

Kitobdagi Raymond Smullyan haqidagi bobga qarang M. Gardner“Vaqt sayohati” (M.: Mir, 1990).

Eddington A. Fanda yangi yo'llar. - Kembrij: 1935 yil; Michigan: 1959 yil.

Kirish

Mantiq mutafakkirlarning xudosidir.

L. Feuchtwanger

To'g'ri fikr yuritish qobiliyati inson faoliyatining har qanday sohasida: fan va texnologiya, adolat va diplomatiya, iqtisodiy rejalashtirish va harbiy ishlarda zarur. Va bu qobiliyat yana qaytib keladi qadim zamonlar, mantiq, ya'ni. Fikrlash shakllari to'g'ri bo'lgan fan ikki ming yil oldin paydo bo'lgan. U VI asrda ishlab chiqilgan. Miloddan avvalgi. buyuk qadimgi yunon faylasufi Arastu, uning shogirdlari va izdoshlari asarlarida.

Bir payt matematiklar savol berishdi: "Aslida matematika, matematik faoliyat nima?" Oddiy javob shundaki, matematiklar teoremalarni isbotlaydilar, ya'ni ba'zi haqiqatlarni topadilar haqiqiy dunyo va "ideal matematik dunyo". Matematik teorema nima, matematik haqiqat va qanday matematik bayonot to'g'ri yoki isbotlanishi mumkin degan savolga javob berishga urinish, bu ham matematik mantiqning boshlang'ich nuqtasi tarmog'idir. Maktabda biz tahlil qilish, taqqoslash, asosiy narsani ajratib ko'rsatish, umumlashtirish va tizimlashtirish, isbotlash va rad etish, tushunchalarni aniqlash va tushuntirish, muammolarni qo'yish va hal qilishni o'rganishimiz kerak. Bu usullarni egallash fikrlash qobiliyatini bildiradi. Fanda turli formulalar, son qoliplari, qoidalarini chiqarish, teoremalarni mulohaza yuritish orqali isbotlash kerak. Masalan, 1781 yilda Uran sayyorasi kashf etilgan. Kuzatishlar shuni ko'rsatdiki, bu sayyoraning harakati nazariy jihatdan hisoblangan harakatdan farq qiladi. Frantsuz olimi Le Verrier (1811-1877) mantiqiy fikr yuritib, ancha murakkab hisob-kitoblarni amalga oshirib, boshqa sayyoraning Uranga ta'sirini aniqladi va uning joylashgan joyini ko'rsatdi. 1846 yilda astronom Galle Neptun deb nomlangan sayyora mavjudligini tasdiqladi. Bunda ular matematik fikrlash va hisob-kitoblar mantiqidan foydalanganlar.

Mulohazalarning ikkinchi boshlanish nuqtasi matematik funktsiyani hisoblash mumkinligi va qandaydir algoritm, rasmiy qoida, aniq tasvirlangan protsedura yordamida hisoblanishi mumkinligi nimani anglatishini tushuntirishdir. Ushbu ikkita dastlabki formulalar juda ko'p umumiy xususiyatlarga ega, ular tabiiy ravishda "matematik mantiq" umumiy nomi ostida birlashtirilgan, bu erda matematik mantiq, birinchi navbatda, matematik fikrlash va matematik harakatlar mantig'i sifatida tushuniladi.

Men ushbu mavzuni tanladim, chunki matematik mantiq elementlarini o'zlashtirish kelajakdagi iqtisodiy kasbimda yordam beradi. Axir, marketolog tendentsiyalarni tahlil qiladibozor,narxlar, aylanma va marketing usullari, raqobatdosh tashkilotlar to'g'risida ma'lumotlarni to'playdi;tavsiyalar beradi. Buning uchun mantiq bilimlaridan foydalanish kerak.

Ishning maqsadi: turli sohalar va inson faoliyatiga oid masalalarni yechishda matematik mantiq imkoniyatlarini o‘rganish va ulardan foydalanish.

Vazifalar:

1. Matematik mantiqning mohiyati va kelib chiqishiga oid adabiyotlarni tahlil qiling.

2. Matematik mantiq elementlarini o'rganish.

3. Matematik mantiq elementlari bilan masalalarni tanlash va yechish.

Usullari: adabiyotlarni tahlil qilish, tushunchalar, masalalarni yechishda o`xshatish usuli, o`z-o`zini kuzatish.

1. Matematik mantiqning paydo bo'lish tarixidan

Matematik mantiq mantiq bilan chambarchas bog'liq va uning kelib chiqishiga qarzdor. Mantiqning asoslari, inson tafakkurining qonuniyatlari va shakllari haqidagi fanga eng buyuk qadimgi yunon faylasufi Aristotel (miloddan avvalgi 384-322) asos solgan, u oʻz risolalarida mantiq terminologiyasini chuqur oʻrgangan, xulosalar nazariyasini har tomonlama tahlil qilgan. va dalillar, bir qator mantiqiy operatsiyalarni tasvirlab berdi, tafakkurning asosiy qonunlarini, jumladan, qarama-qarshilik va uchinchisini istisno qilish qonunlarini shakllantirdi. Aristotelning mantiqqa qo'shgan hissasi juda katta, uning boshqa nomi ham Aristotel mantiqidir. Hatto Arastuning o'zi ham u yaratgan fan va matematika (o'sha paytda u arifmetika deb atalgan) o'rtasida juda ko'p umumiylik borligini payqadi. U bu ikki fanni birlashtirishga, ya'ni aks ettirishni, to'g'rirog'i xulosa chiqarishni, dastlabki pozitsiyalar asosida hisoblashni kamaytirishga harakat qildi. Aristotel o'zining risolalaridan birida matematik mantiqning bo'limlaridan biriga - isbotlar nazariyasiga yaqinlashdi.

Kelajakda ko'plab faylasuflar va matematiklar mantiqning ma'lum qoidalarini ishlab chiqdilar va ba'zan hatto zamonaviy takliflar hisobining konturlarini ham belgilab oldilar, ammo matematik mantiqning yaratilishiga eng yaqini XVII asrning ikkinchi yarmida, taniqli nemis olimi Gotfrid Vilgelmga to'g'ri keldi. Leybnits (1646 - 1716) mantiqni "noaniqliklarga to'la og'zaki sohadan ob'ektlar yoki bayonotlar o'rtasidagi munosabatlar mukammal aniqlik bilan belgilanadigan matematika sohasiga" tarjima qilish usullarini ko'rsatdi. Leybnits hatto kelajakda faylasuflar behuda bahslashish o'rniga qog'oz olib, ulardan qaysi biri to'g'ri ekanligini aniqlashga umid qilgan. Shu bilan birga, Leybnits o'z asarlarida ikkilik sanoq sistemasiga ham to'xtalib o'tgan. Shuni ta'kidlash kerakki, ma'lumotni kodlash uchun ikkita belgidan foydalanish g'oyasi juda qadimgi. Avstraliyalik aborigenlar ikkilik hisoblangan, Yangi Gvineya va Janubiy Amerikadagi ovchi-yig'uvchilarning ba'zi qabilalari ham ikkilik hisoblash tizimidan foydalanganlar. Ba'zi Afrika qabilalarida xabarlar baraban yordamida ovozli va zerikarli zarbalarning kombinatsiyasi shaklida uzatiladi. Ikki belgili kodlashning tanish namunasi Morze kodidir, bu erda alifbo harflari nuqta va tirelarning ma'lum kombinatsiyasi bilan ifodalanadi. Leybnitsdan keyin ko'plab taniqli olimlar bu sohada tadqiqotlar olib borishdi, ammo bu erda haqiqiy muvaffaqiyat ingliz matematiki Jorj Bulga (1815-1864) erishdi, uning qat'iyati chegara bilmas edi.

Moliyaviy holat Jorjning ota-onasi (uning otasi etikdo'z edi) unga faqat o'qishni tugatishga ruxsat berdi boshlang'ich maktab kambag'allar uchun. Bir muncha vaqt o'tgach, Buhl bir nechta kasblarni o'zgartirib, kichik maktab ochdi va u erda o'zi o'qidi. U ko'p vaqtini o'z-o'zini tarbiyalashga bag'ishladi va tez orada ramziy mantiq g'oyalari bilan qiziqdi. 1847 yilda Bul "Mantiqning matematik tahlili yoki deduktiv xulosalar hisobining tajribasi" maqolasini nashr etdi va 1854 yilda "Mantiq va ehtimollikning matematik nazariyalari asos bo'lgan fikrlash qonunlarini tekshirish" asosiy asari paydo bo'ldi. . Bul algebraning bir turini ixtiro qildi - raqamlar va harflardan tortib jumlalargacha bo'lgan barcha turdagi ob'ektlarga qo'llaniladigan belgilar va qoidalar tizimi. Ushbu tizimdan foydalanib, u o'z tilining belgilaridan foydalangan holda bayonotlarni (to'g'ri yoki noto'g'riligini isbotlash kerak bo'lgan bayonotlarni) kodlashi va keyin ularni matematikada raqamlar qanday boshqarilsa, xuddi shunday boshqarishi mumkin edi. Mantiqiy algebraning asosiy amallari konyunksiya (VA), dis'yunksiya (OR) va inkor (EMAS) hisoblanadi. Biroz vaqt o'tgach, Boole tizimi elektr kommutatsiya davrlarini tavsiflash uchun juda mos ekanligi ma'lum bo'ldi. Zanjirdagi oqim ham oqishi yoki oqmasligi mumkin, xuddi bayonot to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lishi mumkin. Va bir necha o'n yillar o'tgach, 20-asrda olimlar Jorj Buul tomonidan yaratilgan matematik apparatni ikkilik sanoq tizimi bilan birlashtirdilar va shu bilan raqamli elektron kompyuterning rivojlanishiga asos soldilar. Bulning ishining individual qoidalariga ma'lum darajada undan oldin ham, undan keyin ham boshqa matematiklar va mantiqchilar tomonidan to'xtalib o'tgan. Biroq, bugungi kunda bu sohada aynan Jorj Bulning asarlari matematik klassik deb hisoblanadi va uning o'zi ham haqli ravishda matematik mantiqning asoschisi va eng muhimi, uning eng muhim bo'limlari - mantiq algebrasi (Bul algebrasi) hisoblanadi. ) va takliflar algebrasi.

Mantiqning rivojlanishiga rus olimlari P.S. Poretskiy (1846-1907), I.I. Jegalkin (1869-1947).

20-asrda matematik mantiqning rivojlanishida katta rol o'ynadi

D. Gilbert (1862-1943), matematikaning o'zi asoslarini ishlab chiqish bilan bog'liq bo'lgan matematikani rasmiylashtirish dasturini taklif qildi. Nihoyat, 20-asrning soʻnggi oʻn yilliklarida matematik mantiqning jadal rivojlanishi algoritmlar nazariyasi va algoritmik tillar, avtomatlar nazariyasi, grafiklar nazariyasi (S.K.Kleene, A.Cherç, A.A.Markov, P.S. Novikov va boshqalar)ning rivojlanishi bilan bogʻliq edi. ko'plab boshqalar).

20-asrning oʻrtalarida kompyuter texnikasining rivojlanishi ning paydo boʻlishiga olib keldi mantiqiy elementlar, mantiqiy bloklar va kompyuter texnologiyalari qurilmalari, bu mantiqiy sintez, mantiqiy dizayn va mantiqiy qurilmalar va kompyuter texnikasini mantiqiy modellashtirish muammolari kabi mantiq sohalarining qo'shimcha rivojlanishi bilan bog'liq edi. 1980-yillarda sohada tadqiqotlar boshlandi sun'iy intellekt mantiqiy dasturlash tillari va tizimlariga asoslangan. Ekspert tizimlarini yaratish teoremalarni avtomatik isbotlash, shuningdek, algoritmlar va kompyuter dasturlarini tekshirish uchun dalillarga asoslangan dasturlash usullaridan foydalanish va ishlab chiqishdan boshlandi. Taʼlim sohasidagi oʻzgarishlar ham 1980-yillarda boshlangan. Umumta’lim maktablarida shaxsiy kompyuterlarning paydo bo‘lishi ishning mantiqiy tamoyillarini tushuntirish uchun matematik mantiq elementlarini o‘rganuvchi informatika darsliklarining yaratilishiga olib keldi. mantiqiy sxemalar va hisoblash qurilmalari, shuningdek, beshinchi avlod kompyuterlari uchun mantiqiy dasturlash tamoyillari va bilimlar bazalarini loyihalash uchun predikat hisoblash tilini o'rganish bilan informatika darsliklarini ishlab chiqish.

1. To‘plamlar nazariyasi asoslari

To'plam tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo'lib, uni elementar tushunchalar yordamida aniq belgilash qiyin. Shuning uchun biz to'plam tushunchasini tavsiflovchi tushuntirish bilan cheklanamiz.

ko'p yaxlit bir butun sifatida ko'rib chiqiladigan muayyan aniq ob'ektlar to'plami deb ataladi. To'plamlar nazariyasining yaratuvchisi Georg Kantor to'plamga quyidagi ta'rifni berdi - "to'plam biz bir butun deb o'ylaydigan ko'p narsadir".

To'plamni tashkil etuvchi alohida ob'ektlar deyiladi elementlarni o'rnatish.

To'plamlar odatda lotin alifbosining bosh harflari bilan, bu to'plamlarning elementlari esa lotin alifbosining kichik harflari bilan belgilanadi. To'plamlar jingalak qavs ichida yoziladi ( ).

Quyidagi belgidan foydalanish odatiy holdir:

a∈ X - "a element X to'plamga tegishli";

a∉ X - "a element X to'plamga tegishli emas";

∀ - o‘zboshimchalik, umumiylik, “har qanday”, “nima bo‘lsa ham”, “hamma uchun”ni bildiruvchi miqdor ko‘rsatkichi;

∃ - mavjudligi miqdoriy ko'rsatkichi:∃ y∈ B - "B to'plamidan y element mavjud (mavjud)";

∃! - mavjudlik va yagonalik miqdoriy ko'rsatkichi:∃ !b∈ C - "C to'plamidan noyob b element mavjud";

: - "shu kabi; mulkka egalik qilish";

→ - oqibat belgisi, "kelib chiqadi" degan ma'noni anglatadi;

⇔ - ekvivalentlik kvantifikatori, ekvivalentlik - "agar va faqat shunda".

To'plamlar chekli va cheksiz . To'plamlar deyiladi final , agar uning elementlari soni chekli bo'lsa, ya'ni. to'plam elementlarining soni bo'lgan n natural soni bo'lsa. A=(a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n ). To'plam deyiladi cheksiz agar u cheksiz sonli elementlarni o'z ichiga olsa. B=(b 1 , b 2 , b 3 , ...). Masalan, rus alifbosining harflar to'plami cheklangan to'plamdir. Natural sonlar to'plami cheksiz to'plamdir.

Cheklangan M to‘plamdagi elementlar soni M to‘plamning kardinalligi deyiladi va |M| bilan belgilanadi. bo'sh to'plam - hech qanday elementni o'z ichiga olmaydi -∅ . Ikki to'plam chaqiriladi teng , agar ular bir xil elementlardan iborat bo'lsa, ya'ni. bir xil to'plamdir. Agar X ning Y ga tegishli bo‘lmagan elementlari bo‘lsa yoki Y ning X ga tegishli bo‘lmagan elementlari bo‘lsa, to‘plamlar X ≠ Y ga teng emas. To‘plam tenglik belgisi quyidagi xususiyatlarga ega:

X=X; - reflekslilik

agar X=Y, Y=X bo'lsa - simmetriya

agar X=Y,Y=Z, u holda X=Z tranzitivdir.

To'plamlar tengligining ushbu ta'rifiga ko'ra, biz tabiiy ravishda barcha bo'sh to'plamlar bir-biriga teng ekanligini yoki faqat bitta bo'sh to'plam mavjudligini aniqlaymiz.

Kichik to'plamlar. Inklyuziya munosabati.

X to'plami, agar X to'plamining biron bir elementi bo'lsa, Y to'plamining kichik to'plamidir∈ va Y to'plami. X bilan belgilanadi⊆ Y.

Agar Y ning X elementlaridan tashqari boshqa elementlarni ham o'z ichiga olganligini ta'kidlash kerak bo'lsa, unda qat'iy inklyuziya belgisi qo'llaniladi.⊂ :X ⊂ Y. Belgilar orasidagi munosabat⊂ va ⊆ tomonidan beriladi:

X ⊂ Y ⇔ X ⊆ Y va X≠Y

Biz ta'rifdan kelib chiqadigan kichik to'plamning ba'zi xususiyatlarini ta'kidlaymiz:

X⊆ X (reflektorlik);

→ X⊆ Z (o'tish qobiliyati);

O'zining kichik to'plamlariga nisbatan dastlabki A to'plami deyiladi to'liq oʻrnatilgan va I bilan belgilanadi.

Har qanday kichik to'plam A i A to'plamga A ning to'g'ri to'plami deyiladi.

Berilgan X to'plamning barcha kichik to'plamlaridan va bo'sh to'plamdan iborat to'plam∅ , mantiqiy deb ataladi X va b(X) bilan belgilanadi. Mantiqiy quvvat |b(X)|=2 n.

Hisoblash to'plami- bu A to'plam bo'lib, uning barcha elementlari ketma-ketlikda raqamlanishi mumkin (m.b. cheksiz) va 1, a 2, a 3, ..., a n , ... shunday qilib, bu holda har bir element faqat bitta n sonni oladi va har bir natural son n to‘plamimizning bir va faqat bitta elementiga son sifatida beriladi.

Natural sonlar toʻplamiga ekvivalent toʻplam sanaladigan toʻplam deyiladi.

Misol. 1, 4, 9, ..., n butun sonlar kvadratlari to'plami 2 N natural sonlar toʻplamining faqat kichik toʻplamini ifodalaydi. Toʻplam hisoblanishi mumkin, chunki u har bir elementga natural qatorlar sonining raqamini, kvadratini belgilash orqali natural qator bilan yakkama-yakka mos keladi. bu qaysi.

To'plamlarni aniqlashning ikkita asosiy usuli mavjud.

sanab chiqish (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,m 2 ,m 3 ,..,m n });

tavsif - to'plamning barcha elementlariga ega bo'lgan xarakterli xususiyatlarni ko'rsatadi.

To'plam uning elementlari bilan to'liq aniqlanadi.

Ro'yxatga olish faqat cheklangan to'plamlarni ko'rsatishi mumkin (masalan, bir yildagi oylar to'plami). Cheksiz to‘plamlarni faqat uning elementlarining xossalarini tavsiflash orqali aniqlash mumkin (masalan, ratsional sonlar to‘plamini Q=(n/m, m, n) tasvirlash orqali aniqlash mumkin.∈ Z, m≠0).

To'plamni tavsif bo'yicha belgilash usullari:

a) yaratish tartibini belgilash orqaliushbu protseduraning parametri (parametrlari) o'tadigan to'plam (to'plamlar) ko'rsatilgan holda - rekursiv, induktiv.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - ko'p Fibonicci raqamlari.

(bir nechta elementlar x, shuning uchun x 1 \u003d 1, x 2 =1 va ixtiyoriy x k+1 (k=1,2,3,... uchun) x formula bilan hisoblanadi k+2 \u003d x k + x k + 1) yoki X \u003d)