Zabawna logika w matematyce. Zabawna logika Pytania z logiki matematycznej

1. Nota wyjaśniająca
1.1 Trafność
1.2 Cel programu
1.3 Cele programu
1.4 Warunki realizacji programu, wiek dzieci, formy prowadzenia zajęć
1.5 Etapy realizacji programu
1.6 Treść programu
1.7 Oczekiwane rezultaty

2. Wsparcie metodologiczne
2.1 Perspektywiczny plan tematyczny koła ” Zabawna logika»

3. Program diagnostyczny dla logicznego myślenia starszych dzieci w wieku przedszkolnym.

5. Zasoby informacyjne

1. Nota wyjaśniająca.
Po co logika dla małego przedszkolaka?
Według L.A. Wengera „dla pięcioletnich dzieci same zewnętrzne właściwości rzeczy wyraźnie nie wystarczą. Są całkiem gotowi do stopniowego poznawania nie tylko zewnętrznych, ale także wewnętrznych, ukrytych właściwości i relacji, które leżą u podstaw naukowej wiedzy o świecie ... Wszystko to będzie korzystne rozwój mentalny dziecko tylko wtedy, gdy szkolenie ma na celu rozwijanie zdolności umysłowych, tych zdolności w zakresie percepcji, wyobraźni, wyobraźni, które opierają się na przyswajaniu próbek zewnętrznych właściwości rzeczy i ich odmian ... ”
Umiejętności i zdolności nabyte przez dziecko w okresie przedszkolnym będą stanowić podstawę do zdobywania wiedzy i rozwijania zdolności w starszym wieku - w szkole. A najważniejsza z tych umiejętności to umiejętność logicznego myślenia, umiejętność „działania w umyśle”. Dziecku, które nie opanowało metod logicznego myślenia, trudniej będzie rozwiązywać problemy, wykonywanie ćwiczeń będzie wymagało dużo czasu i wysiłku. W rezultacie może ucierpieć zdrowie dziecka, zainteresowanie nauką może słabnąć, a nawet zanikać.
Po opanowaniu operacji logicznych dziecko będzie bardziej uważne, nauczy się myśleć jasno i jasno oraz będzie w stanie skoncentrować się na istocie problemu we właściwym czasie. Będzie łatwiej się uczyć, co oznacza, że ​​proces uczenia się i sama życie szkolne przyniesie radość i satysfakcję.
Program ten pokazuje, jak poprzez specjalne gry i ćwiczenia można kształtować zdolność dzieci do samodzielnego nawiązywania logicznych relacji w otaczającej rzeczywistości.
Pracując z przedszkolakami nad rozwojem procesów poznawczych dochodzisz do wniosku, że jednym z niezbędnych warunków ich pomyślnego rozwoju i uczenia się jest konsekwencja, tj. system specjalnych gier i ćwiczeń o konsekwentnie rozwijanej i coraz bardziej złożonej treści, z zadaniami dydaktycznymi, działania w grze i zasady. Oddzielnie brane gry i ćwiczenia mogą być bardzo interesujące, ale stosując je poza systemem, nie można osiągnąć pożądanego efektu uczenia się i rozwoju.
1.1 Trafność
Aby pomyślnie opracować program szkolny, dziecko musi nie tylko dużo wiedzieć, ale także konsekwentnie i konsekwentnie myśleć, zgadywać, wykazywać napięcie psychiczne, myśleć logicznie.
Nauczanie rozwoju logicznego myślenia ma niemałe znaczenie dla przyszłego ucznia i jest bardzo aktualne dzisiaj.
Opanowując dowolną metodę zapamiętywania, dziecko uczy się wyznaczać cel i wykonywać określoną pracę z materiałem, aby go osiągnąć. Zaczyna rozumieć potrzebę powtarzania, porównywania, uogólniania, grupowania materiału w celu zapamiętania.
Nauczanie dzieci o klasyfikacji przyczynia się do skutecznego opanowania bardziej złożonego sposobu zapamiętywania – grupowania semantycznego, z którym dzieci spotykają się w szkole.
Wykorzystując możliwości rozwoju logicznego myślenia i pamięci przedszkolaków, można skuteczniej przygotowywać dzieci do rozwiązywania problemów, jakie stawia przed nami edukacja szkolna.
Rozwój logicznego myślenia obejmuje wykorzystanie gier dydaktycznych, pomysłowości, łamigłówek, rozwiązywania różnych gry logiczne i labirynty i jest bardzo interesujące dla dzieci. W tej aktywności u dzieci kształtowane są ważne cechy osobowości: rozwijana jest niezależność, zaradność, pomysłowość, wytrwałość i rozwijane są umiejętności konstruktywne. Dzieci uczą się planować swoje działania, myśleć o nich, zgadywać w poszukiwaniu wyniku, jednocześnie wykazując się kreatywnością.
Pracując z dziećmi można zauważyć, że wiele dzieci nie radzi sobie z pozornie prostymi, logicznymi zadaniami. Na przykład większość dzieci w starszym wieku przedszkolnym nie może poprawnie odpowiedzieć na pytanie, co więcej: owoce lub jabłka, nawet jeśli mają w rękach zdjęcie, na którym rysowane są owoce - wiele jabłek i kilka gruszek. Dzieci odpowiedzą, że gruszek jest więcej. W takich przypadkach opiera swoje odpowiedzi na tym, co widzi na własne oczy. Są „zawiedzione” wyobraźnią, a w wieku 5 dzieci nie mają jeszcze logicznego rozumowania. W starszym wieku wiek przedszkolny zaczynają pokazywać elementy logicznego myślenia, charakterystyczne dla uczniów i dorosłych, które należy rozwijać w celu określenia najbardziej optymalnych metod rozwoju logicznego myślenia.
Gry o treści logicznej pomagają rozwijać zainteresowanie poznawcze dzieci, przyczyniają się do badań i twórczych poszukiwań, chęci i umiejętności uczenia się. Gry dydaktyczne jako jedna z najbardziej naturalnych czynności dzieci i przyczyniają się do kształtowania i rozwoju przejawów intelektualnych i twórczych, wyrażania siebie i niezależności. Rozwój logicznego myślenia u dzieci poprzez gry dydaktyczne ma znaczenie dla powodzenia późniejszej nauki, dla prawidłowego ukształtowania osobowości ucznia oraz w dalszej edukacji pomoże skutecznie opanować podstawy matematyki i informatyki.
1.2 Cel programu: tworzenie warunków do maksymalnego rozwoju logicznego myślenia przedszkolaków w przygotowaniu do udanej nauki szkolnej.
1.3 Cele programu:

  • nauczyć dzieci podstawowych operacji logicznych: analiza, synteza, porównanie, negacja, klasyfikacja, systematyzacja, ograniczanie, uogólnianie, wnioskowanie
  • naucz dzieci nawigować w kosmosie
  • rozwijać u dzieci wyższe funkcje umysłowe, zdolność rozumowania, udowadniania
  • pielęgnować chęć pokonywania trudności, pewność siebie, chęć pomocy rówieśnikom

1.4 Warunki realizacji programu, wiek dzieci, formy prowadzenia zajęć
Termin realizacji programu – 1-2 lata
Program przeznaczony jest dla dzieci w wieku 5-7 lat.
Program przewiduje prowadzenie zajęć z kręgu w różnych formach:

  • Indywidualny niezależna praca dzieci.
  • Pracuj w parach.
  • Grupowe formy pracy.
  • Zróżnicowane.
  • Kontrola i kontrola z przodu.
  • Samoocena wykonanej pracy.
  • Gra dydaktyczna.
  • Konkurencja.
  • Konkursy.

1.5 Etapy realizacji programu
Technologia działania jest budowana etapami:

  1. Diagnoza początkowego poziomu rozwoju procesów poznawczych i kontrola nad ich rozwojem.
  2. Planowanie środków, za pomocą których można rozwijać tę lub inną jakość (uwaga, pamięć, wyobraźnia, myślenie), biorąc pod uwagę indywidualność każdego dziecka i dostępną wiedzę
  3. Budowanie interdyscyplinarnej (integralnej) podstawy do szkolenia na kursie rozwijającym.
  4. Stopniowe komplikowanie materiału, stopniowy wzrost nakładu pracy, zwiększenie poziomu samodzielności dzieci.
  5. Zapoznanie z elementami teorii, nauczanie metod rozumowania, samoargumentacja wyboru.
  6. Integracja wiedzy i metod aktywność poznawcza, opanowując jej uogólnione techniki.
  7. Ocena wyników przebiegu rozwojowego według opracowanych kryteriów, które powinny obejmować dziecko (samoocena, samokontrola, wzajemna kontrola).

1. 6 Treść programu
Krótki opis sekcje i tematy zajęć (sekcje odpowiadają pewnej operacji logicznej, której dzieci będą uczyć się w klasie):

1. Analiza - synteza.
Celem jest nauczenie dzieci dzielenia całości na części, nawiązania między nimi połączenia; naucz się mentalnie łączyć części przedmiotu w jedną całość.
Gry i ćwiczenia: znajdowanie logicznej pary (kot - kotek, pies - ? (szczeniak)). Uzupełnienie obrazu (podnieś łatkę, narysuj kieszeń do sukienki). Szukaj przeciwieństw (lekki - ciężki, zimny - gorący). Pracuj z zagadkami o różnej złożoności. Układanie obrazków z liczenia patyków i kształtów geometrycznych.

2. Porównanie.
Celem jest nauczenie mentalnego ustalania podobieństw i różnic przedmiotów zgodnie z podstawowymi cechami; rozwijać uwagę, postrzeganie dzieci. Popraw orientację w przestrzeni.
Gry i ćwiczenia: konsolidacja pojęć: duży – mały, długi – krótki, niski – wysoki, wąski – szeroki, wyższy – niższy, dalej – bliżej itp. Operowanie pojęciami „same”, „większość”. Szukaj podobieństw i różnic na 2 podobnych obrazkach.

3. Ograniczenie.
Celem jest nauczenie wyróżniania jednego lub więcej obiektów z grupy zgodnie z określonymi cechami. Rozwijaj umiejętności obserwacji dzieci.
Gry i ćwiczenia: „zakreśl tylko czerwone flagi jedną kreską”, „znajdź wszystkie nieokrągłe obiekty” itp. Wykluczenie czwartego zbędnego.

4. Uogólnienie.
Celem jest nauczenie mentalnego łączenia przedmiotów w grupę zgodnie z ich właściwościami. Przyczynić się do wzbogacenia słownictwa, poszerzyć codzienną wiedzę dzieci.
Gry i ćwiczenia do operowania uogólniającymi pojęciami: meble, naczynia, transport, warzywa, owoce itp.

5. Systematyzacja.
Celem jest nauczenie rozpoznawania wzorców; poszerzyć słownictwo dzieci; naucz się odróżnić od obrazu, powtórz.
Gry i ćwiczenia: magiczne kwadraty (podnieś brakującą część, zdjęcie). Stworzenie opowieści na podstawie serii obrazów, ułożenie obrazów w logiczną sekwencję.

6. Klasyfikacja.
Celem jest nauczenie rozdzielania przedmiotów na grupy zgodnie z ich podstawowymi cechami. Konsolidacja uogólniających pojęć, swobodne działanie z nimi.

7. Wnioskowanie.
Celem jest nauczanie wyciągania wniosków za pomocą osądów. Przyczynić się do poszerzenia wiedzy o gospodarstwie domowym dzieci. Rozwijaj wyobraźnię.
Gry i ćwiczenia: szukaj zjawisk pozytywnych i negatywnych (na przykład, gdy pada deszcz, odżywia rośliny - to dobrze, ale złą rzeczą jest to, że w deszczu człowiek może zmoknąć, przeziębić się i zachorować) . Ocena poprawności niektórych osądów („Wiatr wieje, bo drzewa się kołyszą”. Prawda?). Rozwiązanie zadania logiczne.

1.7 Oczekiwane rezultaty
Planowane wyniki:
Dzieci powinny wiedzieć:

  • zasady konstruowania wzorców, własności liczb, przedmiotów, zjawisk, słów;
  • zasady budowy puzzli, krzyżówek, łańcuszków, labiryntów;
  • antonimy i synonimy;
  • nazwy kształtów geometrycznych i ich właściwości;
  • zasada programowania i sporządzania algorytmu działań.

Dzieci powinny być w stanie:

  • ustalać wzorce i wykonywać zadania według tego wzorca, klasyfikować i grupować obiekty, porównywać, znajdować wspólne i szczególne właściwości, uogólniać i abstrahować, analizować i oceniać ich działania;
  • poprzez rozumowanie, rozwiązywać logiczne, niestandardowe problemy, wykonywać twórcze poszukiwania, zadania werbalno-dydaktyczne, numeryczne, znajdować odpowiedź na zagadki matematyczne;
  • odpowiadać szybko i poprawnie podczas rozgrzewki na zadane pytania;
  • wykonywać zadania ćwiczące uwagę, percepcję, pamięć
  • wykonywać dyktanda graficzne, umieć nawigować w schematycznym przedstawieniu zadań graficznych;
  • umieć wyznaczać cel, planować etapy pracy, osiągać wyniki własnym wysiłkiem.

Sposób na sprawdzenie wyników pracy : zajęcia uogólniające po każdym odcinku i 2 diagnostyka (wstępna (wrzesień) i końcowa (maj)) poziomu opanowania operacji logicznego myślenia.

Słowa Sherlocka Holmesa: „Ile razy ci mówiłem, rzuć wszystko, co niemożliwe, to pozostanie odpowiedź, bez względu na to, jak niewiarygodna może się wydawać”, mogą posłużyć jako epigraf do tego rozdziału.

Jeśli rozwiązanie zagadki wymaga jedynie umiejętności logicznego myślenia i nie wymaga w ogóle wykonywania obliczeń arytmetycznych, to taka zagadka nazywana jest zwykle problemem logicznym. Problemy logiczne oczywiście należą do matematycznych, ponieważ logikę można uznać za bardzo ogólną, fundamentalną matematykę. Niemniej jednak wygodnie jest wyodrębniać i studiować zagadki logiczne oddzielnie od ich liczniejszych sióstr arytmetycznych. W tym rozdziale przedstawimy trzy powszechne typy problemów logicznych i spróbujemy wymyślić, jak do nich podejść.

Najczęstszy rodzaj problemu, który miłośnicy puzzli nazywają czasami „problemem Smitha-Jonesa-Robinsona” (przez analogię do starej układanki wymyślonej przez G. Dudeniego).

Składa się z serii paczek, zwykle zawierających pewne informacje o postaciach; Na podstawie tych założeń należy wyciągnąć pewne wnioski. Na przykład, oto jak wygląda najnowsza amerykańska wersja problemu Dudeneya:

1. Smith, Jones i Robinson pracują w tej samej załodze pociągu jako maszynista, konduktor i strażak. Ich zawody niekoniecznie są wymieniane w tej samej kolejności, co ich nazwiska. W pociągu obsługiwanym przez brygadę znajduje się trzech pasażerów o tych samych nazwiskach.

W przyszłości z szacunkiem będziemy nazywać każdego pasażera „panem” (panem).

2. Pan Robinson mieszka w Los Angeles.

3. Dyrygent mieszka w Omaha.

4. Pan Jones dawno zapomniał o całej algebrze, której uczył na studiach.

5. Pasażer - imiennik konduktora mieszka w Chicago.

6. Konduktor i jeden z pasażerów, znany specjalista w dziedzinie fizyki matematycznej, udają się do tego samego kościoła.

7. Smith zawsze bije palacza, gdy spotyka się na partyjkę bilarda.

Jak nazywa się kierowca?


Problemy te można by przełożyć na język logiki matematycznej, używając jej standardowej notacji, a rozwiązania można by szukać odpowiednimi metodami, ale takie podejście byłoby zbyt kłopotliwe. Z drugiej strony bez tego czy innego skrótu trudno jest zrozumieć logiczną strukturę problemu. Najwygodniej jest użyć tabeli, w której pustych komórkach wprowadzimy wszystkie możliwe kombinacje elementów rozważanych zestawów. W naszym przypadku są dwa takie zestawy, więc potrzebujemy dwóch tabel (ryc. 139).

Ryż. 139 Dwie tabele dla problemu Smitha, Jonesa i Robinsona.


W każdej komórce wpisujemy 1, jeśli odpowiednia kombinacja jest dopuszczalna, lub 0, jeśli kombinacja jest sprzeczna z warunkami problemu. Zobaczmy, jak to się robi. Warunek 7 oczywiście wyklucza możliwość, że Smith jest palantem, więc w polu w prawym górnym rogu lewego stołu wpisujemy 0. Warunek 2 mówi nam, że Robinson mieszka w Los Angeles, więc w lewym dolnym rogu stołu wprowadź 1, a 0 do wszystkich pozostałych komórek w dolnym wierszu i lewej kolumnie, aby pokazać, że pan Robinson nie mieszka w Omaha ani w Chicago, a pan Smith i pan Jones nie mieszkają w Los Angeles.

Teraz musimy trochę pomyśleć. Z warunków 3 i 6 wiemy, że fizyk matematyczny mieszka w Omaha, ale nie znamy jego nazwiska. Nie może być ani panem Robinsonem, ani panem Jonesem (w końcu zapomniał nawet elementarnej algebry).

Dlatego to musi być pan Smith. Zauważymy tę okoliczność, umieszczając 1 w środkowej komórce górnego rzędu prawej tabeli i 0 w pozostałych komórkach tego samego wiersza i pustych komórkach w środkowej kolumnie. Do trzeciej jednostki można teraz wejść tylko w jednej celi: to dowodzi, że pan Jones mieszka w Chicago. Z warunku 5 dowiadujemy się, że konduktor ma również nazwisko Jones i wpisujemy 1 w środkowej komórce lewej tabeli i 0 we wszystkich pozostałych komórkach środkowego wiersza i środkowej kolumny. Następnie nasze stoły przyjmują formę pokazaną na ryc. 140.



Ryż. 140 Stół jajka pokazane na ryc. 139, po wstępnym napełnieniu.


Teraz nietrudno kontynuować rozumowanie prowadzące do ostatecznej odpowiedzi. W kolumnie oznaczonej „Stoker” jednostkę można umieścić tylko w dolnej komórce. Od razu wynika z tego, że w lewym dolnym rogu powinno znajdować się 0. Tylko komórka w lewym górnym rogu tabeli pozostaje pusta, gdzie można wstawić tylko 1. Czyli nazwa sterownika to Kowalski.

Lewis Carroll lubił wymyślać tego rodzaju niezwykle złożone i pomysłowe problemy. Dziekan matematyki w Dortmouth College, John J. Kemeny, zaprogramował jeden z potwornych problemów Carrolla (z 13 zmiennymi i 12 warunkami, z których wynika, że ​​„żaden sędzia nie wącha tytoniu”) problemów Carrolla dla komputera IBM-704. Maszyna zakończyła rozwiązanie w około 4 minuty, chociaż wydrukowanie pełnej „tabeli prawdy” problemu (tablicy pokazującej, czy możliwe kombinacje wartości prawdy zmiennych problemu są prawdziwe czy fałszywe) zajęłoby 13 godzin!

Dla czytelników, którzy chcą spróbować szczęścia w trudniejszym problemie niż problem Smitha-Jonesa-Robinsona, oferujemy nową zagadkę. Jej autorem jest R. Smullyan z Uniwersytetu Princeton.

1. W 1918 r. pierwszy Wojna światowa. W dniu podpisania traktatu pokojowego trzy pary małżeńskie zebrały się, aby uczcić to wydarzenie przy świątecznym stole.

2. Każdy mąż był bratem jednej z żon, a każda żona była siostrą jednego z mężów, to znaczy wśród obecnych można było wskazać trzy spokrewnione pary „brata i siostry”.

3. Helen jest dokładnie 26 tygodni starsza od swojego męża, który urodził się w sierpniu.

4. Siostra pana White'a wyszła za szwagra Ellen i poślubiła go w swoje urodziny, w styczniu.

5. Margaret White jest niższa niż William Blake.

6. Siostra Artura jest ładniejsza niż Beatrice.

7. Jan ma 50 lat.

Jak nazywa się pani Brown?


Nie mniej powszechny jest inny rodzaj problemów logicznych, które przez analogię do poniższego dobrze znanego przykładu można nazwać problemami typu „problem kolorowych kapsli”. Trzy osoby (nazwijmy je A, B oraz Z) opaskę na oczy i powiedzieć, że każdy z nich miał na sobie czerwoną lub zieloną czapkę. Następnie odwiązuje się im oczy i prosi o podniesienie ręki, jeśli widzą czerwoną czapkę, i opuszczenie pokoju, jeśli są pewni, że wiedzą, jaki kolor ma czapka na głowie. Wszystkie trzy czapki okazały się czerwone, więc wszyscy trzej podnieśli ręce. Minęło kilka minut i Z, który jest bardziej inteligentny niż ALE oraz W, opuścić pokój. Jak Z był w stanie określić, jakiego koloru jest na nim kapelusz?

[Problem mędrców w zielonych czapkach jest tak sformułowany w tekście, że nie może mieć rozwiązania. Jest to szczególnie widoczne, gdy liczba mędrców jest duża. Jak długo zajmie pierwszemu mądremu człowiekowi odgadnięcie prawdziwej sytuacji?

Pod koniec lat czterdziestych problem ten był intensywnie dyskutowany w Moskwie w szkolnych kołach matematycznych i wymyślono jego nową wersję, w której wprowadzono czas dyskretny. Zadanie wyglądało tak.

W starożytności w jednym mieście mieszkali mędrcy. Każdy z nich miał żonę. Rano przychodzili na rynek i poznawali tam wszystkie plotki z miasta. Sami byli plotkarzami. Wielką przyjemność sprawiło im poznanie niewierności którejkolwiek z żon – dowiedzieli się o tym od razu. Jednak ściśle przestrzegano jednej niewypowiedzianej zasady: nigdy nie powiedziano mężowi o swojej żonie, ponieważ każdy z nich, dowiedziawszy się o własnej hańbie, wygnałby żonę z domu. Tak żyli, ciesząc się intymnymi rozmowami i pozostając całkowicie nieświadomymi własnych spraw.

Ale pewnego dnia do miasta dotarła prawdziwa plotka. Przyszedł na bazar i publicznie oświadczył: „Ale nie wszyscy mędrcy mają wierne żony!” Wydawałoby się, że plotka nie mówiła nic nowego - a więc wszyscy to wiedzieli, każdy mędrzec wiedział (tylko ze złośliwością myślał nie o sobie, ale o drugim), więc żaden z mieszkańców nie zwrócił uwagi na słowa plotki . Ale mędrcy myśleli - dlatego są mędrcami - i n-ty dzień po przybyciu plotki n mędrców wyrzucono n niewierne żony (jeśli były n).

Nie jest trudno przywrócić rozumowanie mędrców. Trudniej odpowiedzieć na pytanie: jakie informacje dodał plotkarz do tego, co było znane mędrcom nawet bez niego?

Problem ten był wielokrotnie spotykany w literaturze].

C zadaje sobie pytanie, czy jego czapka może być zielona. Jeśli tak było, to ALE od razu rozpoznałby, że ma na sobie czerwoną czapkę, bo tylko czerwona czapka na głowie mogła zrobić W podnieś rękę. Ale wtedy ALE wyjdzie z pokoju. W zacząłby rozumować dokładnie w ten sam sposób i również opuściłby pokój. Ponieważ ani jedno, ani drugie nie wyszło, Z doszedł do wniosku, że jego własna czapka powinna być czerwona.

Problem ten można uogólnić na przypadek, gdy jest dowolna liczba osób i wszyscy noszą czerwone czapki. Załóżmy, że w problemie pojawił się czwarty aktor D, jeszcze bardziej wnikliwe niż PŁYTA CD mógłby rozumować tak: „Gdyby moja czapka była zielona, ​​to A, B oraz Z znaleźliby się w dokładnie takiej samej sytuacji, jaka została przed chwilą opisana, iw ciągu kilku minut najbardziej spostrzegawczy z trójki z pewnością opuściliby pokój.

Ale minęło już pięć minut i żadna z nich nie wychodzi, dlatego moja czapka jest czerwona.

Gdyby był piąty członek, który byłby nawet mądrzejszy niż D, mógł dojść do wniosku, że ma na sobie czerwoną czapkę po odczekaniu dziesięciu minut. Oczywiście nasze rozumowanie traci swoją zdolność przekonywania z powodu założeń o różnym stopniu pomysłowości. A, B, C... i raczej niejasne rozważania na temat tego, jak długo najbardziej spostrzegawcza osoba powinna poczekać, zanim będzie mogła śmiało nazwać kolor swojej czapki.

Niektóre inne problemy z „kolorową nasadką” zawierają mniej niepewności. Taki jest na przykład następujący problem, również wymyślony przez Smullyana. Każdy z trzech A, B oraz Z- biegle posługuje się logiką, to znaczy umie natychmiast wydobyć wszystkie konsekwencje z danego zbioru przesłanek i wie, że reszta też ma tę umiejętność.

Bierzemy cztery czerwone i cztery zielone znaczki, zawiązujemy oczy naszym „logikom” i przyklejamy po dwa znaczki na każdym z czoła. Następnie zdejmujemy bandaże z ich oczu i po kolei pytamy A, B oraz Z to samo pytanie: „Czy wiesz, jakiego koloru są znaczki na twoim czole?” Każdy z nich odpowiada przecząco. Następnie pytamy ponownie ALE i znowu otrzymujemy negatywną odpowiedź. Ale kiedy zadamy to samo pytanie po raz drugi W, odpowiada twierdząco.

Jakiego koloru jest znak na czole W?


Trzecim rodzajem popularnych łamigłówek logicznych są problemy z kłamcami i tymi, którzy zawsze mówią prawdę. W wersja klasyczna zadania rozmawiamy o podróżniku, który znalazł się w kraju zamieszkałym przez dwa plemiona. Członkowie jednego plemienia zawsze kłamią, członkowie innego zawsze mówią prawdę. Podróżnik spotyka dwóch tubylców. – Czy zawsze mówisz prawdę? – pyta wysoki tubylec. Odpowiada: „Tarabar”. „Powiedział, że tak”, wyjaśnia mniejszy tubylec, który zna angielski, „ale jest okropnym kłamcą”. Do jakiego plemienia należy każdy z tubylców?


Systematyczne podejście do rozwiązywania polegałoby na wypisaniu wszystkich czterech możliwości: AI, IL, LI, LL (mam na myśli "prawda", L - "fałsz") - i wykluczenie tych, które są sprzeczne z danymi problemu. Odpowiedź można uzyskać znacznie szybciej, jeśli zauważymy, że wysoki tubylec musi odpowiedzieć twierdząco, czy kłamie, czy mówi prawdę. Ponieważ mniejszy tubylec mówił prawdę, musi należeć do plemienia prawdomównych, a jego wysoki przyjaciel do plemienia kłamców.

Najsłynniejszy problem tego typu, powikłany wprowadzeniem wag prawdopodobieństwa i niezbyt jasnego sformułowania, można znaleźć dość nieoczekiwanie w połowie szóstego rozdziału książki angielskiego astronoma A. Eddingtona New Pathways in Science. "Jeśli A, B, C oraz D powiedz prawdę raz na trzy (niezależnie) i ALE stwierdza, że W zaprzecza Z mówi jakby D kłamca, jakie jest prawdopodobieństwo, że D powiedział prawdę?"

Odpowiedź Eddingtona, 25/71, spotkała się z gradem protestów czytelników i dała początek śmiesznemu i zagmatwanemu sporu, który nigdy nie został ostatecznie rozwiązany. Angielski astronom G. Dingle, autor recenzji książki Eddingtona opublikowanej w czasopiśmie Nature (marzec 1935), uważał, że problem w ogóle nie zasługuje na uwagę jako bezsensowny i wskazuje jedynie, że Eddington nie przemyślał dostatecznie podstawowych idei teorii prawdopodobieństwa. Amerykański fizyk T. Stern (Nature, czerwiec 1935) sprzeciwił się temu, stwierdzając, że jego zdaniem problem nie jest bynajmniej bez znaczenia, ale nie ma wystarczających danych, aby go rozwiązać.

W odpowiedzi Dingle zauważył (Nature, wrzesień 1935), że jeśli przyjmie się punkt widzenia Sterna, to jest wystarczająco dużo danych do podjęcia decyzji, a odpowiedź będzie wynosić 1/3. Tutaj Eddington wkroczył do walki, publikując (gazeta matematyczna, październik 1935) artykuł wyjaśniający szczegółowo, w jaki sposób uzyskał odpowiedź. Spór zakończył się dwoma kolejnymi artykułami, które ukazały się w tym samym czasopiśmie, autor jednego z nich bronił Eddingtona, a drugi przedstawił inny punkt widzenia niż wszystkie poprzednie.

Trudność polega głównie na zrozumieniu sformułowania Eddingtona. Jeśli W, wyrażając swoje zaprzeczenie, mówi prawdę, to czy możemy rozsądnie założyć, że Z powiedział to D mów prawdę? Eddington uważał, że nie ma wystarczających podstaw do takiego założenia. Podobnie, jeśli ALE kłamstwa, czy możemy być pewni, że? W oraz Z czy w ogóle coś powiedzieli? Na szczęście możemy obejść wszystkie te trudności językowe, przyjmując następujące założenia (Eddington ich nie poczynił):

1. Żaden z czterech nie milczał.

2. Oświadczenia A, B oraz Z(każdy z nich osobno) albo potwierdzić lub zaprzeczyć następującemu oświadczeniu.

3. Fałszywe stwierdzenie zbiega się z jego negacją, a fałszywe zaprzeczenie z twierdzeniem.

Wszystkie cztery leżą niezależnie od siebie z prawdopodobieństwem 1/3, czyli średnio każde dwa z ich trzech twierdzeń są fałszywe. Jeśli prawdziwe stwierdzenie jest oznaczone literą I i false - litera L, to dla A, B, C oraz D otrzymujemy stół składający się z osiemdziesięciu jeden różnych kombinacji. Z tej liczby należy wykluczyć te kombinacje, które są niemożliwe ze względu na warunki problemu.

Liczba prawidłowych kombinacji kończących się literą I(tj. prawdziwe - prawdziwe - stwierdzenie D), należy podzielić przez łączną liczbę wszystkich poprawnych kombinacji, które dadzą odpowiedź.

Należy doprecyzować sformułowanie problemu podróżnika i dwóch tubylców. Podróżnik zdał sobie sprawę, że słowo „bełkot” w języku tubylców oznacza „tak” lub „nie”, ale nie mógł odgadnąć, co dokładnie. Zaalarmowałoby to kilka e-maili, z których jeden podaję poniżej.

Wysoki tubylec najwyraźniej nie rozumiał ani słowa z tego, co powiedział do niego podróżnik (po angielsku), i nie mógł odpowiedzieć tak lub nie po angielsku. Dlatego jego „bełkot” oznacza coś w rodzaju: „Nie rozumiem” lub „Witamy w Bongo-Bongo”. W konsekwencji, mały tubylec skłamał, kiedy powiedział, że jego przyjaciel odpowiedział „tak”, a ponieważ mały był kłamcą, kłamał również, gdy nazwał wysokiego tubylca kłamcą. Dlatego wysoki tubylec powinien być uważany za prawdomównego.

Więc kobieca logika zadała cios mojej męskiej próżności. Czy to nie rani trochę dumy twojego autora?


Odpowiedzi

Pierwszy problem logiczny najlepiej rozwiązać za pomocą trzech tabel: jednej dla kombinacji imion i nazwisk żon, drugiej dla imion i nazwisk mężów, a trzeciej dla więzy rodzinne.

Ponieważ pani White ma na imię Margaret (warunek 5), pozostają nam tylko dwie możliwości dla imion pozostałych dwóch żon: a) Helen Blake i Beatrice Brown, lub b) Helen Brown i Beatrice Blake.

Załóżmy, że ma miejsce druga z możliwości. Siostra White'a musi być Helen lub Beatrice. Ale Beatrice nie może być siostrą Wyne'a, ponieważ wtedy Blake byłby bratem Helen, a dwaj szwagierowie Blake'a byliby White (brat jego żony) i Brown (mąż jego siostry); Beatrice Blake nie jest żoną żadnego z nich, co jest sprzeczne z warunkiem 4. Dlatego siostrą White'a musi być Helen. Z tego z kolei wnioskujemy, że siostra Browna nazywa się Beatrice, a siostra Blake'a to Margaret.

Z warunku 6 wynika, że ​​pan White ma na imię Artur (Brown nie może być Arturem, bo takie połączenie oznaczałoby, że Beatrice jest piękniejsza od siebie, a Blake nie może być Arturem, skoro z warunku 5 znamy jego imię: William). Więc pan Brown może być tylko Johnem. Niestety z warunku 7 widzimy, że Jan urodził się w 1868 (50 lat przed podpisaniem traktatu pokojowego). Ale rok 1868 to rok przestępny, więc Helena musi być o jeden dzień starsza od męża niż 26 tygodni określone w warunku 3. (Z warunku 4 wiemy, że urodziła się w styczniu, a z warunku 3, że jej mąż urodził się w sierpniu). Mogłaby być dokładnie o 26 tygodni starsza od męża, gdyby jej urodziny wypadały 31 stycznia, a jego 1 sierpnia, a między tymi datami nie było 29 lutego!) Tak więc drugą z możliwości, z którą zaczęliśmy, powinna być odrzucone, co pozwala nam wymienić żony: Margaret White, Helen Blake i Beatrice Brown. Nie ma tu sprzeczności, ponieważ nie znamy roku urodzin Blake'a. Z uwarunkowań problemu można wywnioskować, że Margaret jest siostrą Browna, Beatrice jest siostrą Blake'a, a Helen jest siostrą White'a, ale kwestia imion White i Brown pozostaje nierozwiązana.


W problemie ze znaczkami W istnieją trzy możliwości. Jego stemple mogą być: 1) obie czerwone; 2) oba zielone; 3) jeden jest zielony, a drugi czerwony. Załóżmy, że oba znaczki są czerwone.

Po tym, jak wszyscy trzej odpowiedzieli raz, ALE może rozumować w ten sposób: „Znaki na moim czole nie mogą być jednocześnie czerwone (ponieważ wtedy Z zobaczyłby cztery czerwone pieczątki i od razu rozpoznałby, że ma na czole dwie zielone pieczątki, a gdyby Z oba znaczki były zielone, więc W, widząc cztery zielone pieczątki, zorientowałby się, że ma na czole dwie czerwone pieczątki). Dlatego mam na czole jeden zielony i jeden czerwony znak.”

Ale kiedy ALE zapytał po raz drugi, nie wiedział, jakiego koloru jest jego marka. To pozwoliło W odrzucić możliwość, że oba jego znaczki są czerwone. Kłóć się dokładnie w taki sam sposób, jak A, B wykluczył przypadek, gdy oba jego znaczki będą zielone. Pozostała mu więc tylko jedna możliwość: jeden znaczek jest zielony, drugi czerwony.

Kilku czytelników szybko zauważyło, że problem można rozwiązać bardzo szybko, bez konieczności analizowania pytań i odpowiedzi. Oto, co napisał o tym jeden z czytelników: „Uwarunkowania problemu są całkowicie symetryczne względem czerwonego i zielonego znaku.

Dlatego poprzez dystrybucję znaczków między A, B oraz Z jeśli wszystkie warunki problemu są spełnione i zamieniając czerwone znaki na zielone i odwrotnie, zielone na czerwone, otrzymamy inny rozkład, dla którego wszystkie warunki również będą spełnione. Wynika z tego, że jeśli rozwiązanie jest unikalne, to musi być niezmienne (nie powinno się zmieniać) przy wymianie zielonych etykiet na czerwone, a czerwonych na zielone. Takim rozwiązaniem może być tylko takie rozmieszczenie znaczków, w których B będzie miał jeden znaczek zielony i jeden czerwony.

Jak ujął to W. Manheimer, Dziekan Wydziału Matematyki Brooklyn College, to eleganckie rozwiązanie wynika z tego, że nie A, B oraz Z(jak podano w stanie problemu) i Raymond Smullyan!


W zagadnieniu Eddingtona prawdopodobieństwo, że… D mówi prawdę, to 13/41. Wszystkie kombinacje prawdy i fałszu, które zawierają nieparzystą liczbę razy fałsz (lub prawda), należy odrzucić jako sprzeczne z warunkami problemu. W rezultacie liczba możliwych kombinacji zmniejsza się z 81 do 41, z których tylko 13 kończy się prawdziwym stwierdzeniem. D. Ponieważ A, B oraz Z powiedz prawdę w przypadkach, które odpowiadają dokładnie tej samej liczbie prawidłowych kombinacji, prawdopodobieństwo mówienia prawdy jest takie samo dla wszystkich czterech.

Korzystanie z symbolu równoważności

co oznacza, że ​​połączone nim zdania są albo prawdziwe, albo oba fałszywe (wtedy zdanie fałszywe jest prawdziwe, w przeciwnym razie jest fałszywe), a symbol negacji ~, problem Eddingtona w rachunku zdań można zapisać w następujący sposób:

lub po kilku uproszczeniach takich jak:

Tabela prawdy tego wyrażenia potwierdza otrzymaną już odpowiedź.

Uwagi:

To frustrujące- zdenerwowany, zrób coś bezcelowego, beznadziejnego, skazanego na porażkę (angielski).

Zobacz rozdział dotyczący Raymonda Smullyana w książce M. Gardner„Podróż w czasie” (M.: Mir, 1990).

Eddington A. Nowe ścieżki w nauce. - Cambridge: 1935; Michigan: 1959.

Wstęp

Logika jest Bogiem myślicieli.

L. Feuchtwanger

Umiejętność prawidłowego rozumowania jest niezbędna w każdej dziedzinie ludzkiej działalności: nauce i technologii, sprawiedliwości i dyplomacji, planowaniu gospodarczym i sprawach wojskowych. I ta umiejętność wraca do starożytność, logika, czyli nauka, której formy rozumowania są poprawne, powstała dopiero nieco ponad dwa tysiące lat temu. Został opracowany w VI wieku. PNE. w dziełach wielkiego starożytnego greckiego filozofa Arystotelesa, jego uczniów i naśladowców.

W pewnym momencie matematycy zadali pytanie: „Czym tak naprawdę jest matematyka, aktywność matematyczna?” Prosta odpowiedź jest taka, że ​​matematycy udowadniają twierdzenia, czyli dowiadują się pewnych prawd na temat prawdziwy świat i „idealny świat matematyczny”. Próba odpowiedzi na pytanie, czym jest twierdzenie matematyczne, prawda matematyczna, a co twierdzenie matematyczne prawdziwe lub dowodliwe, to także sieć punktu wyjścia logiki matematycznej. W szkole musimy nauczyć się analizować, porównywać, podkreślać najważniejsze, uogólniać i systematyzować, udowadniać i odrzucać, definiować i wyjaśniać pojęcia, stawiać i rozwiązywać problemy. Opanowanie tych metod oznacza umiejętność myślenia. W nauce trzeba wyprowadzać różne formuły, wzorce liczbowe, reguły i dowodzić twierdzeń za pomocą rozumowania. Na przykład w 1781 roku odkryto planetę Uran. Obserwacje wykazały, że ruch tej planety różni się od ruchu teoretycznie obliczonego. Francuski naukowiec Le Verrier (1811-1877), logicznie rozumując i wykonując dość złożone obliczenia, określił wpływ innej planety na Urana i wskazał jej położenie. W 1846 roku astronom Galle potwierdził istnienie planety, którą nazwano Neptunem. Posłużyli się przy tym logiką rozumowania matematycznego i obliczeń.

Drugim punktem wyjścia naszych rozważań jest ustalenie, co to znaczy, że funkcja matematyczna jest obliczalna i może być obliczona przy użyciu jakiegoś algorytmu, reguły formalnej, ściśle opisanej procedury. Te dwa oryginalne sformułowania mają wiele wspólnego, łączy je naturalnie ogólna nazwa „logika matematyczna”, gdzie logika matematyczna rozumiana jest przede wszystkim jako logika rozumowania matematycznego i działań matematycznych.

Wybrałem ten konkretny temat, ponieważ opanowanie elementów logiki matematycznej pomoże mi w przyszłym zawodzie ekonomicznym. W końcu marketer analizuje trendyrynek,ceny, obroty i metody marketingowe, zbiera dane o organizacjach konkurencyjnych,wydaje rekomendacje. Aby to zrobić, musisz skorzystać ze znajomości logiki.

Cel: studiować i wykorzystywać możliwości logiki matematycznej w rozwiązywaniu problemów z różnych dziedzin i działalności człowieka.

Zadania:

1. Analizować literaturę dotyczącą istoty i genezy logiki matematycznej.

2. Studiuj elementy logiki matematycznej.

3. Wybierać i rozwiązywać zadania z elementami logiki matematycznej.

Metody: analiza literatury, koncepcje, metoda analogii w rozwiązywaniu problemów, samoobserwacja.

  1. Z historii powstania logiki matematycznej

Logika matematyczna jest ściśle związana z logiką i to jej zawdzięcza swój początek. Podstawy logiki, nauki o prawach i formach ludzkiego myślenia, położył największy starożytny filozof grecki Arystoteles (384-322 p.n.e.), który w swoich traktatach gruntownie studiował terminologię logiki, szczegółowo analizował teorię wnioskowania a dowody, opisując szereg operacji logicznych, formułowały podstawowe prawa myślenia, w tym prawa sprzeczności i wykluczenia trzeciego. Wkład Arystotelesa w logikę jest bardzo duży, nie bez powodu jego drugą nazwą jest logika Arystotelesa. Nawet sam Arystoteles zauważył, że między nauką, którą stworzył, a matematyką (wówczas nazywano ją arytmetyką) jest wiele wspólnego. Próbował połączyć te dwie nauki, a mianowicie sprowadzić refleksję, a raczej wnioskowanie, do kalkulacji na podstawie pozycji wyjściowych. W jednym ze swoich traktatów Arystoteles zbliżył się do jednego z działów logiki matematycznej - teorii dowodów.

W przyszłości wielu filozofów i matematyków opracowało pewne zapisy logiki, a czasem nawet zarysowało kontury współczesnego rachunku zdań, ale najbliższy tworzeniu logiki matematycznej przyszedł w drugiej połowie XVII wieku wybitny niemiecki naukowiec Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), który wskazał sposoby tłumaczenia logiki „ze sfery werbalnej, pełnej niepewności, do sfery matematyki, gdzie relacje między przedmiotami lub zdaniami są określane z doskonałą precyzją”. Leibniz miał nawet nadzieję, że w przyszłości filozofowie, zamiast bezowocnie się kłócić, wezmą papier i zorientują się, który z nich miał rację. Równolegle Leibniz poruszał w swoich pracach także system liczb binarnych. Należy zauważyć, że pomysł wykorzystania dwóch znaków do kodowania informacji jest bardzo stary. Australijscy aborygeni liczeni w dwójkach, niektóre plemiona łowców-zbieraczy z Nowej Gwinei i Ameryki Południowej również używały binarnego systemu liczenia. W niektórych plemionach afrykańskich wiadomości są przekazywane za pomocą bębnów w postaci kombinacji dźwięcznych i przytłumionych uderzeń. Znanym przykładem kodowania dwuznakowego jest alfabet Morse'a, w którym litery alfabetu są reprezentowane przez pewne kombinacje kropek i kresek. Po Leibnizie wielu wybitnych naukowców prowadziło badania w tej dziedzinie, ale prawdziwy sukces odniósł tutaj angielski samouk George Boole (1815-1864), jego determinacja nie znała granic.

Sytuacja finansowa Rodzice George'a (którego ojciec był szewcem) pozwolili mu tylko ukończyć szkołę Szkoła Podstawowa dla biednych. Po pewnym czasie Buhl, zmieniając kilka zawodów, otworzył małą szkołę, w której sam się uczył. Poświęcił dużo czasu na samokształcenie i wkrótce zainteresował się ideami logiki symbolicznej. W 1847 r. Boole opublikował artykuł „Matematyczna analiza logiki, czyli doświadczenie rachunku wnioskowań dedukcyjnych”, a w 1854 r. ukazała się jego główna praca „Badanie praw myślenia, na których opierają się matematyczne teorie logiki i prawdopodobieństwa”. . Boole wynalazł rodzaj algebry - system notacji i reguł stosowanych do wszelkiego rodzaju obiektów, od liczb i liter po zdania. Używając tego systemu, mógł kodować zdania (wypowiedzi, które musiały zostać udowodnione jako prawdziwe lub fałszywe) za pomocą symboli swojego języka, a następnie manipulować nimi w taki sam sposób, w jaki manipuluje się liczbami w matematyce. Podstawowe operacje algebry Boole'a to koniunkcja (AND), alternatywa (OR) i negacja (NOT). Po pewnym czasie stało się jasne, że system Boole'a dobrze nadaje się do opisu elektrycznych obwodów przełączających. Prąd w obwodzie może płynąć lub nie, podobnie jak stwierdzenie może być prawdziwe lub fałszywe. A kilkadziesiąt lat później, już w XX wieku, naukowcy połączyli aparat matematyczny stworzony przez George'a Boole'a z binarnym systemem liczbowym, kładąc w ten sposób podwaliny pod rozwój cyfrowego komputera elektronicznego. Poszczególne zapisy dzieła Boole'a były do ​​pewnego stopnia poruszane zarówno przed nim, jak i po nim przez innych matematyków i logików. Jednak dzisiaj w tej dziedzinie to dzieła George'a Boole'a są uważane za klasykę matematyczną, a on sam jest słusznie uważany za twórcę logiki matematycznej, a tym bardziej jej najważniejszych działów - algebry logiki (algebry Boole'a). i algebra zdań.

Wielki wkład w rozwój logiki wnieśli także rosyjscy naukowcy P.S. Poretsky (1846-1907), I.I. Żegalkin (1869-1947).

W XX wieku ogromną rolę w rozwoju logiki matematycznej odegrali

D. Hilbert (1862-1943), który zaproponował program formalizacji matematyki związany z rozwojem podstaw samej matematyki. Wreszcie w ostatnich dziesięcioleciach XX wieku szybki rozwój logiki matematycznej był spowodowany rozwojem teorii algorytmów i języków algorytmicznych, teorii automatów, teorii grafów (S.K. Kleene, A. Church, A.A. Markov, P.S. Novikov i wiele innych).

W połowie XX wieku rozwój technologii komputerowej doprowadził do pojawienia się elementy logiczne, bloków logicznych i urządzeń techniki komputerowej, co wiązało się z dodatkowym rozwojem takich obszarów logiki jak problemy syntezy logicznej, projektowania logicznego i modelowania logicznego urządzeń logicznych i techniki komputerowej. W latach 80. rozpoczęto badania w zakresie sztuczna inteligencja oparte na językach i systemach programowania logicznego. Rozpoczęto również tworzenie systemów ekspertowych z wykorzystaniem i rozwojem automatycznego dowodu twierdzeń oraz metod programowania opartego na dowodach do weryfikacji algorytmów i programów komputerowych. Zmiany w edukacji rozpoczęły się również w latach 80. XX wieku. Pojawienie się komputerów osobistych w szkołach średnich doprowadziło do powstania podręczników informatyki z badaniem elementów logiki matematycznej w celu wyjaśnienia logicznych zasad pracy obwody logiczne i urządzeń obliczeniowych, a także zasady programowania logicznego komputerów piątej generacji oraz opracowanie podręczników informatyki z nauką języka rachunku predykatów do projektowania baz wiedzy.

  1. Podstawy teorii mnogości

Pojęcie zbioru jest jednym z tych podstawowych pojęć matematyki, które trudno precyzyjnie zdefiniować za pomocą pojęć elementarnych. Dlatego ograniczamy się do opisowego wyjaśnienia pojęcia zbioru.

wiele nazwany zbiorem pewnych dość odrębnych obiektów, traktowanych jako jedna całość. Twórca teorii mnogości, Georg Cantor, podał następującą definicję zbioru - "zbiór to dużo, o czym myślimy jako całość".

Poszczególne obiekty, które tworzą zestaw, nazywają się elementy zestawu.

Zestawy są zwykle oznaczane dużymi literami alfabetu łacińskiego, a elementy tych zestawów są oznaczane małymi literami alfabetu łacińskiego. Zestawy pisane są w nawiasach klamrowych ( ).

Zwyczajowo używa się następującej notacji:

    a∈ X - "element a należy do zbioru X";

    a∉ X - "element a nie należy do zbioru X";

    ∀ - kwantyfikator arbitralności, ogólności, oznaczający „dowolny”, „cokolwiek”, „dla wszystkich”;

    ∃ - kwantyfikator istnienia:∃ tak∈ B - "jest (jest) element y ze zbioru B";

    ∃! - kwantyfikator istnienia i niepowtarzalności:∃ !b∈ C - "jest unikalny element b ze zbioru C";

    : - „takie, że; posiadanie nieruchomości”;

    → - symbol konsekwencji oznacza „ogon”;

    ⇔ - kwantyfikator równoważności, równoważność - "jeśli i tylko wtedy".

Zestawy są skończony i nieskończony . Zestawy nazywają się finał , jeśli liczba jego elementów jest skończona, tj. jeśli istnieje liczba naturalna n, która jest liczbą elementów zbioru. A=(a 1 , za 2 , za 3 , ..., za n ). Zestaw nazywa się nieskończony jeśli zawiera nieskończoną liczbę elementów. B=(b 1 ,b 2 ,b 3 , ...). Na przykład zestaw liter alfabetu rosyjskiego jest zbiorem skończonym. Zbiór liczb naturalnych jest zbiorem nieskończonym.

Liczbę elementów w zbiorze skończonym M nazywamy mocą zbioru M i oznaczamy |M|. pusty zestaw - zestaw, który nie zawiera żadnych elementów -∅ . Te dwa zestawy nazywają się równy , jeśli składają się z tych samych elementów, tj. to ten sam zestaw. Zbiory nie są równe X ≠ Y, jeśli X ma elementy, które nie należą do Y, lub Y ma elementy, które nie należą do X. Symbol równości zestawu ma następujące właściwości:

    X=X; - refleksyjność

    jeśli X=Y, Y=X - symetria

    jeśli X=Y,Y=Z, to X=Z jest przechodnie.

Zgodnie z tą definicją równości zbiorów, naturalnie otrzymujemy, że wszystkie puste zbiory są sobie równe, czyli to samo, że istnieje tylko jeden pusty zbiór.

Podzbiory. Relacja inkluzji.

Zbiór X jest podzbiorem zbioru Y, jeśli dowolny element zbioru X∈ i zbiór Y. Oznaczony przez X⊆ Tak.

Jeśli konieczne jest podkreślenie, że Y zawiera inne elementy oprócz elementów z X, stosuje się symbol ścisłego włączenia.⊂ :X ⊂ Y. Związek między symbolami⊂ oraz ⊆ jest dany przez:

X ⊂ Tak ⇔ X ⊆ Y i X≠Y

Zwracamy uwagę na niektóre właściwości podzbioru, które wynikają z definicji:

    X⊆ X (zwrotność);

    → X⊆ Z (przechodniość);

Oryginalny zbiór A w odniesieniu do jego podzbiorów nazywa się kompletny zestaw i jest oznaczony przez I.

Dowolny podzbiór A i zbiór A nazywamy zbiorem właściwym A.

Zbiór składający się ze wszystkich podzbiorów danego zbioru X oraz zbioru pustego∅ , nazywa się boolean X i jest oznaczony przez β(X). Potęga Boole'a |β(X)|=2 n.

Zestaw policzalny- jest to zbiór A, którego wszystkie elementy można ponumerować w sekwencji (m.b. nieskończony) i 1, 2, 3, ..., n , ... tak, że w tym przypadku każdy element otrzymuje tylko jedną liczbę n i każda liczba naturalna n jest podana jako liczba do jednego i tylko jednego elementu naszego zbioru.

Zbiór równoważny zbiorowi liczb naturalnych nazywamy zbiorem przeliczalnym.

Przykład. Zbiór kwadratów liczb całkowitych 1, 4, 9, ..., n 2 reprezentuje tylko podzbiór zbioru liczb naturalnych N. Zbiór ten jest policzalny, ponieważ odpowiada jeden do jednego z szeregiem naturalnym przez przypisanie każdemu elementowi liczby liczby szeregu naturalnego, kwadratu co to jest.

Istnieją 2 główne sposoby definiowania zestawów.

    wyliczenie (X=(a,b), Y=(1), Z=(1,2,...,8), M=(m 1 ,m 2 ,m 3 ,..,m n });

    opis - wskazuje charakterystyczne właściwości, które posiadają wszystkie elementy zestawu.

Zestaw jest całkowicie zdefiniowany przez jego elementy.

Wyliczenie może określać tylko skończone zbiory (na przykład zbiór miesięcy w roku). Zbiory nieskończone można zdefiniować tylko przez opisanie właściwości jego elementów (na przykład zbiór liczb wymiernych można zdefiniować opisując Q=(n/m, m, n∈ Z, m≠0).

Sposoby określenia zestawu według opisu:

a) określając procedurę generowaniaze wskazaniem zbioru (zestawów), przez który przechodzi parametr (parametry) tej procedury - rekurencyjny, indukcyjny.

X=(x: x 1 =1, x 2 =1, x k+2 =x k +x k+1 , k=1,2,3,...) - wiele liczb Fibonciciego.

(wiele elementów x, takie, że x 1 \u003d 1, x 2 =1 i dowolne x k+1 (dla k=1,2,3,...) oblicza się ze wzoru x k+2 \u003d x k + x k + 1) lub X \u003d)

Podobne posty