Matematická vynaliezavosť. Výskumná práca "matematický dôvtip" Detský matematický dôvtip

Predslov k druhému vydaniu 3

Prvá kapitola
ZÁBAVNÉ VÝZVY

Oddiel I
1. Pozorní priekopníci 9 385
2. "Kamenný kvet" 10 385
3. Pohyblivá dáma 11 385
4. V troch ťahoch 11 386
5. Počítajte! 12 386
6. Cesta záhradníka 12 386
7. Musíte pochopiť 13 386
8. Bez váhania 13 386
9. Dolu - hore 13 387
10. Prechod cez rieku (starý problém) 14,387
11. Vlk, koza a kapusta 14 387
12. Vyvaľkajte čierne guličky 15 388
13. Oprava reťaze 15 388
14. Opravte chybu 16,390
15. Z troch - štyroch (vtip) 16 390
16. Tri a dva - osem (ďalší vtip) 16 390
17 Tri štvorce 16 390
18. Koľko dielov? 17 390
19. Skúste to! 17 391
20. Vlajkovanie 17 391
21. Zachovať paritu 18,391
22. "Magický" číselný trojuholník 18 391
23. Ako 12 dievčat hralo loptu 19 392
24. Štyri rovné čiary 20 392
25. Oddeľte kozy od kapusty 20,392
26. Dva vlaky 21.392
27. Pri prílive (vtip) 21 393
28. Vytočte číslo 22 393
29. Zlomený číselník 22 393
30. Úžasné hodiny (čínske puzzle) 23 393
31. Tri za sebou 24 395
32. Desať riadkov 24 395
33. Umiestnenie mincí 25 395
34. Od 1 do 19 26 395
35. Rýchlo, ale opatrne 26 396
36. Rakovina kučeravá 27 396
37. Náklady na knihu 27 396
38. Neposedná mucha 27 396
39. Menej ako 50 rokov 28 396
40. Dva vtipy 28 396
41. Koľko mám rokov? 29 396
42. Zhodnoťte „na prvý pohľad“ 29 397
43. Pridanie rýchlosti - 29 397
44. V ktorej ruke? (matematické zameranie) 31 397
45. Koľko ich je? 31 398
46. ​​Rovnaké číslice 31 398
47. Sto 31 398
48. Aritmetický súboj 32 398
49. Dvadsať 33 398
50. Koľko trás? 33 399
51. Zmeňte usporiadanie čísel 35 400
52. Rôzne akcie, rovnaký výsledok 35402
53. Deväťdesiatdeväť a sto 36 402
54. Odnímateľná šachovnica 36 402
55. Hľadanie mín 36 402
56. Zbierajte v skupinách po 2 38 402
57. Zbierajte v skupinách po 3 39 402
58. Hodiny sa zastavili na čísle 39 404
59. Štyri aritmetické operácie 39 404
60. Zmätený vodič 40 404
61. Pre vodný komplex Tsimlyansk 41 404
62. Donáška chleba na čas 41 405
63. V prímestskom vlaku 41 405
64. Od 1 do 1 000 000 000 41 405
65. Nočná mora futbalového fanúšika 42 406

Oddiel II
66. Hodiny 43 406
67. Schodisko 43 407
68. Puzzle 43 407
69. Zaujímavé zlomky 43 407
70. Aké je číslo? 44 407
71. Cesta školáka 44 407
72. Na štadióne 44 407
73. Vyhrali ste? 44 407
74. Budík 44 407
75. Namiesto malých akcií veľké 45 407
76. Mydlo 45 408
77. Aritmetické matice 45 408
78. Domino 46 409
79. Mišove mačiatka 48 409
80. Priemerná rýchlosť 48 409
81. Spiaci cestujúci 48 409
82. Aká je dĺžka vlaku? 48 409
83. Cyklista 48 409
84. Konkurencia 49 409
85. Kto má pravdu? 49 409
86. Na večeru - 3 opečené plátky 50 410

Kapitola druhá
DÔVERNÉ USTANOVENIA

87. Dômyselnosť kováča Hecho 51 410
88. Mačka a myši 53 410
89. Zápasy okolo mince 54 411
90. Los padol na sisku a červienku 54 411
91. Usporiadaj mince 55 411
92. Pass cestujúci1 55 412
93. Problém vyplývajúci z rozmaru troch dievčat 56 412
94. Ďalší vývojúlohy 57 413
95. Skákajúca dáma 57 415
96. Biela a čierna 57 415
97. Komplikovanie problému 58 415
98. Karty sú naskladané v číselnom poradí 58 415
99. Dve lokačné hádanky 59 417
100. Tajomná schránka 59 417
101. Odvážna „posádka“ 60 417
102. Žiarivky v TV miestnosti 61 419
103. Umiestnenie morčiat 62 421
104. Príprava na dovolenku 63 422
105. Posadzovanie dubov inak 65 423
106. geometrické hry 65 423
107. Párne a nepárne (puzzle) 68 424
108. Usporiadajte usporiadanie dám 69 424
109. Puzzle darček 69 425
110. Rytiersky ťah 70 425
111. Pohyblivá dáma (2 hlavolamy) 71,425
112. Pôvodné zoskupenie celých čísel od 1 do 15 72 426
113. Osem hviezd 73 426
114. Dva problémy s umiestnením písmen 73 427
115. Rozloženie farebných štvorcov 74 429
116. Posledný žetón 74 430
117. Krúžok kotúčov 75 431
118. Korčuliari na klzisku umelý ľad 76 431
119. Problém s vtipom 77 432
120. Stoštyridsaťpäť dverí (puzzle) 77 432
121. Ako bol väzeň prepustený? 79 432

Kapitola tretia
GEOMETRIA NA ZÁPASKÁCH

122. Päť hlavolamov 85 433
123. Osem hlavolamov 86 433
124. Z deviatich zápasov 86 433
125. Špirála 87 433
126. Vtip 87 433
127. Odstráňte dve zápalky 87 433
128 Fasáda „domu“ 87 433
129 Vtip 88 433
130 Trojuholníky 88 433
131 Koľko zápasov by sa malo odstrániť? 88 433
132 Vtip 88 433
133 Plot 88 433
134. Vtip 89 433
135. "Šípka" 89 433
136. Štvorce a kosoštvorce 89 433
137. Rôzne mnohouholníky na jednom obrázku 89 433
138 Plánovanie záhrady 89 433
139 Rovnaké diely 90 433
140. Parkety 91 433
141 Pomer plôch zachovaný 91 441
142. Nájdite obrys obrázku 91 441
143 Nájdite dôkaz 92 441
144. Zostrojte a dokážte 92 441

Kapitola štvrtá
SKÚŠAJTE SEDEM KRÁT, RAZ KRAJ RAZ

145. Rovnakým dielom 93 442
146. Sedem ruží na torte 95 443
147. Postavy, ktoré stratili tvar 95 445
148. Poraďte 96 445
149. Bezstratový! 96 445
150. Keď nacisti zasahovali do našej pôdy 97 447
151. Spomienky elektrikára 98 447
152. Všetko ide do práce 99 447
153. Puzzle 99 447
154. Rež podkovu 99 447
155. V každej časti - otvor 99 448
156. Z „džbánu“ – štvorca 100 448
157. Štvorec z písmena „E“ 100 448
158. Krásna premena 100 449
159. Obnova kobercov 101449
160. Drahá odmena 101 449
161. Pomôž chudobnému! 102 449
162. Darček pre babičku 103 451
163. Tesársky problém 104 451
164. A kožušník má geometriu! 104 452
165. Každý kôň, jedna stajňa 105 453
166. Viac! 105 453
167. Premena mnohouholníka na štvorec 106 453
168. Premena pravidelného šesťuholníka na rovnostranný trojuholník 107 453

Piata kapitola
ZRUČNOSŤ NÁJDE VYUŽITIE VŠADE

169. Kde je cieľ? 109 454
170. Päť minút na premýšľanie 110 455
171. Nepredvídané stretnutie 110 455
172. Cestovný trojuholník Ш 456
173. Skúste odvážiť 111 458
174. Prestup 112 458
175. Sedem trojuholníkov 112458
176. Obrazy umelca 112 458
177. Koľko váži fľaša? 113 459
178. Kocky 113 460
179. Zástrelná plechovka 114 461
180. Kde prišiel seržant? 114 461
181. Určte priemer guľatiny 115 461
182. Nečakaná obtiažnosť 115 461
183. Príbeh študenta technickej školy 116 461
184. Je možné získať 100 % úsporu? 116 463
185. Na jarných váhach 117 463
186. Dizajnérska vynaliezavosť 117 463
187. Mišov neúspech 117 465
188. Nájdite stred kruhu 119 465
189. Ktorá krabica je ťažšia? 119 466
190. Umenie tesárske 120 466
191. Geometria na lopte 120 466
192. Potrebná je veľká vynaliezavosť 121 467
193. Ťažké podmienky 121 468
194. Prefabrikované polygóny 122 468
195. Zaujímavá metóda skladania podobných obrazcov 125 469
196. Závesný mechanizmus na konštrukciu pravidelných mnohouholníkov 127 471

Kapitola šiesta
DOMINO A KOCKA

A. Domino
197. Koľko bodov? 132 471
198. Dva triky 133 471
199. Výhra v hre je zaručená 134 471
200. Rám 135 472
201. Rám v ráme 136 472
202. "Windows" 136 473
203. Čarovné štvorce dominových kostí 137 473
204. Magický štvorec s otvorom 141 473
205. Domino násobenie 141473
206. Uhádni plánované domino 142 473

B. Kocka
207. Aritmetický trik s hrať kocky 144 473
208. Uhádnutie súčtu bodov na skrytých tvárach 145 477
209. V akom poradí sú kocky? 145 478

Siedma kapitola
VLASTNOSTI DEVIATKY

210. Aké číslo je prečiarknuté? 149 478
211. Skrytý majetok 152 479
212. Niekoľko ďalších zábavných spôsobov, ako nájsť chýbajúce číslo 152 480
213. Na základe jednej číslice výsledku určte zvyšné tri 154 480
214. Tipovanie rozdielu 154 481
215. Určenie veku 154 481
216. Aké je tajomstvo? 154 482

Kapitola ôsma
S ALGEBROU A BEZ

217. Vzájomná výpomoc 159 482
218. Povaleč a čert 160 483
219. Chytré dieťa 161 483
220. Poľovníci 161.483
221. Prichádzajúce vlaky 162.484
222. Viera píše rukopis 162 484
223. Hubový príbeh 163 484
224. Kto sa vráti prvý? 164 484
225. Plavec a klobúk 164.486
226. Dve lode 165 486
227. Otestujte si svoju vynaliezavosť! 165 487
228. Rozpaky zabránili 166.488
229. Koľkokrát viac? 166 488
230. Motorová loď a hydroplán 167 488
231. Cyklisti v aréne 167 489
232. Rýchlosť obracačky Bykov 168 489
233. Jack London výlet 168,489
234. V dôsledku neúspešných analógií sú možné chyby169 490
235. Právny incident 170 491
236. Vo dvojici a trojici 171 491
237. Kto jazdil na koni? 171 491
238. Dvaja motorkári 171,492
239. V ktorom lietadle je Volodinov otec? 172 492
240. Roztrieštiť na kusy 173 493
241. Dve sviečky 173 493
242. Úžasný pohľad 173 493
243. Správny čas 174 493
244. Hodiny 174 494
245. Koľko je hodín? 174 495
246. O koľkej sa schôdza začala a skončila? 175 496
247. Seržant trénuje skautov 175 497
248. Podľa dvoch správ 176 498
249. Koľko nových staníc bolo vybudovaných? 176 498
250. Vyber štyri slová 177 498
251. Je takéto váženie prípustné? 177 499
252. Slon a komár 178 500
253. Päťmiestne číslo 179500
254. Vyrastieš do sto rokov bez staroby 179 500
255. Lukášov problém 181 501
256. Svojská prechádzka, ,181 502
257. Jedna vlastnosť jednoduchých zlomkov 182 504

Kapitola deviata
MATEMATIKA TAKMER BEZ VÝPOČTOV

V tmavej miestnosti
Jablká
Predpoveď počasia (vtip)
lesný deň
kto ma meno?
Súťaž v presnosti
Nákup
Cestujúci v jednom kupé
Finále sovietskeho armádneho šachového turnaja
nedeľu
Aké je meno vodiča?
kriminálna minulosť
Zberači bylín
Skryté rozdelenie
Šifrované akcie (číselné hádanky)
Aritmetické obklady
Motocyklista a jazdec
Peši aj autom
"Z opaku"
Odhaliť falošné mince
Logické kreslenie
traja múdri muži
Päť otázok pre študentov
Úvaha namiesto rovnice
Autor: zdravý rozum
Áno alebo nie?

Desiata kapitola
MATEMATICKÉ HRY A TOCKS

A. Hry
284. Jedenásť položiek 201
285. Vezmite si posledných 202 zápasov
286. Dokonca vyhrá 202
287. Jianshizi 202
288. Ako vyhrať? 204
289. Rozložte štvorec 205
290. Kto ako prvý povie „sto“? 206
291. Hranie štvorcov 206
292. Oya 209
293. "Matezatico" (talianska hra) 212
294. Hra magické štvorce 213
295. Priesečník čísel 215

B. Triky
296. Uhádnutie plánovaného počtu (7 trikov) 219
297. Uhádnite výsledok výpočtov bez toho, aby ste sa na niečo pýtali 224
298. Kto koľko bral, zistil som 226
299. Jeden, dva, tri pokusy a správne som uhádol 226 537
300. Kto vzal žuvačku a kto ceruzku? 227 537
301. Uhádni tri koncipované pojmy a sumu 227 537
302. Uhádni niekoľko počatých čísel 228 538
303. Koľko máš rokov? 229 538
304. Uhádni vek 229 538
305. Geometrické zameranie (záhadné zmiznutie) 230 538

Jedenásta kapitola
DELITEĽNOSŤ ČÍSEL

306. Číslo na hrobe 232 539
307. Darčeky na Nový rok 233 540
308. Môže existovať také číslo? 233 540
309. Košík vajec (zo starej francúzskej problémovej knihy) 233 540
310. Trojmiestne číslo 234 540
311. Štyri lode 234 540
312. Chyba pokladníka 234 540
313. Číselný hlavolam 234 541
314. Znak deliteľnosti 11 235 541
315. Kombinované znamienko deliteľnosti 7, 11 a 13 237 541
316. Zjednodušenie testu deliteľnosti 8 239 541
317. Úžasná pamäť 240 542
318. Kombinované znamienko deliteľnosti 3, 7 a 19. 242 543
319. Deliteľnosť dvojčlenky 242 543
320. Staré a nové o deliteľnosti 7,247,544
321. Rozšírenie znamienka na ďalšie čísla 251 -
322. Zovšeobecnený znak deliteľnosti 252 -
323. Zaujímavosť deliteľnosti 254 -

Kapitola dvanásta
KRÍŽOVÉ SÚČTY A KÚZELNÉ ŠTVORKY

A. Krížové sumy
324. Zaujímavé zoskupenia 256 545
325. "Hviezdička" 257 545
326. "Kryštál" 257 545
327. Výzdoba vitríny 258 545
328. Kto uspeje ako prvý? 258 545
329. "Planetárium" 259 545
330. „Ozdoba“ 259 545

B. Magické štvorce
331. Cudzinci z Číny a Indie 260 548
332. Ako si vyrobiť čarovný štvorec sám? 264 548
333. Na vstupe do bežných metód 266 549
334. Skúška vynaliezavosti 271 549
335. „Magická“ hra „15“ 271 551
336. Netradičný magický štvorec 272 553
337. Čo je v centrálnej bunke? 273 553
338. „Kúzelné“ diela 275 553
339. „Rakva“ matematických kuriozít 278 -
340. "Navyše" 280 -
341. "Pravidelné" magické štvorce štvrtého rádu 283 -
342. Výber čísel pre magický štvorec ľubovoľného rádu 287 -

TRINÁSTA KAPITOLA ZVEDAVÉ A VÁŽNE V ČÍSLACH
343. Desať číslic (postrehy) 298 554
344. Niekoľko ďalších zaujímavých postrehov 300 555
345. Dve zaujímavé skúsenosti 302 555
346. Kolotoč čísel 306 -
347. Okamžitý multiplikačný disk 309 -
348 Mentálna gymnastika 310 -
349. Vzory čísel 312 557
350 Jeden za všetkých a všetci za jedného 316 558
351. Číselné nálezy 319 559
352. Pozorovanie radu prirodzených čísel 326 560
353. Nepríjemný rozdiel 339 -
354. Symetrický súčet (neprerušený orech) 340 -

Kapitola štrnásta
ČÍSLA STARODÁVNE, ALE NAVŽDY MLADÉ

A. Počiatočné čísla
355. Prvočísla a zložené čísla 341 -
356. "Eratosthenove sito" 342 -
357. Nové „sito“ za základné čísla 344 563
358. Päťdesiat prvých prvočísel 345 -
359. Ďalší spôsob, ako získať prvočísla. 345-
360. Koľko prvočísel? 347

B. Fibonacciho čísla
361. Verejný súdny proces 347 -
362. Fibonacciho séria 351 -
363. Paradox 352 564
364. Vlastnosti čísel vo Fibonacciho rade 355 -

B. Kučeravé čísla
365. Vlastnosti zložených čísel 360 -
366. Pytagorejské čísla 369 -

15 KAPITOLA GEOMETRICKÝ ZÁMER V PRÁCI
367. Geometria výsevu 372 -
368. Racionalizácia pri ukladaní tehál na prepravu 375 -
369. Pracovné geometre 377

Rozpoznané dve kapitoly:

PREDSLOV K DRUHÉMU VYDANIU
Pri práci, učení, hre, akejkoľvek tvorivej činnosti potrebuje človek vynaliezavosť, vynaliezavosť, domýšľavosť, schopnosť uvažovať – to všetko našinec výstižne definuje jedným slovom „dôvtip“. Vynaliezavosť je možné vychovávať a rozvíjať systematickým a postupným cvičením, najmä riešením matematických úloh tak v školskom kurze, ako aj problémov vyplývajúcich z praxe pri pozorovaní sveta vecí a udalostí okolo nás.
„Matematika,“ povedal M. I. Kalinin na adresu stredoškolákov, „disciplínuje myseľ, privyká logickému mysleniu. Niet divu, že hovoria, že matematika je gymnastika mysle.
Každá rodina, v ktorej sa rodičia starajú o organizáciu duševný vývoj deti a dospievajúci pociťujú potrebu vybraného materiálu vyplniť ich voľný čas užitočnými, rozumnými a nudnými matematickými cvičeniami.
Práve pre tento druh mimoškolských aktivít, rozhovorov a zábavy vo voľnom večeri, v kruhu rodiny a s priateľmi alebo v škole na mimoškolských stretnutiach je určená „Matematická vynaliezavosť“ - zbierka matematických miniatúr: rôzne úlohy, matematické hry, vtipy a triky, ktoré si vyžadujú prácu mysle, rozvíjanie inteligencie a potrebnú logiku v uvažovaní.
V predrevolučných časoch boli zbierky E. I. Ignatieva „V ríši vynaliezavosti“ široko známe. Teraz sú pre nášho čitateľa zastarané, a preto nie sú znovu publikované. Napriek tomu sa v týchto zbierkach vyskytujú problémy, ktoré ešte nestratili svoju pedagogickú a výchovnú hodnotu. Niektoré z nich vstúpili do Mathematical Ingenuity nezmenené, iné so zmeneným alebo úplne novým obsahom.
Pre Mathematical Ingenuity som vybral a v prípade potreby aj spracoval problémy z tých, ktoré sú roztrúsené po stránkach rozsiahlej domácej i zahraničnej populárnej literatúry, snažiac sa však neopakovať problémy obsiahnuté v populárnych knihách Ya. I. Perelmana o zábavná matematika.
Tento druh „malých“ matematických problémov niekedy vzniká ako vedľajší produkt seriózneho výskumu vedca; veľa úloh vymýšľajú amatéri, ale aj učitelia ako špeciálne cvičenia pre „mentálnu gymnastiku“. Rovnako ako hádanky a príslovia si zvyčajne nezachovajú svoje autorstvo a stanú sa verejným majetkom.
„Matematický dôvtip“ je určený čitateľom so širokou škálou titulov. matematický tréning:
pre teenagera vo veku 10 - 11 rokov, ktorý robí prvé pokusy o nezávislé myslenie;
pre stredoškoláka, ktorý je zapálený pre matematiku,
a pre dospelého, ktorý si chce otestovať a precvičiť svoj odhad.
Systematizácia úloh podľa kapitol je samozrejme veľmi ľubovoľná; Každá kapitola má ľahké aj ťažké úlohy.
Kniha má pätnásť kapitol.
Prvá kapitola pozostáva z rôznych typov úvodných cvičení „zaujímavej“ povahy, založených na odhade alebo priamych fyzických akciách (experiment), niekedy na jednoduchých výpočtoch v rámci aritmetiky celých čísel (prvá časť kapitoly) a zlomkových čísel (druhá časť sekcia). Trochu narúšajúc klasifikačný súlad knihy som v prvej kapitole vyčlenil niektoré jednoduché problémy, ktoré tematicky patria do nasledujúcich kapitol. Deje sa tak v záujme tých čitateľov, pre ktorých je stále ťažké samostatne rozlíšiť realizovateľnú úlohu od nemožnej. Riešením rôznych typov úloh v prvej kapitole v rade si budú môcť vyskúšať svoje zručnosti a potom preniesť záujem o konkrétnu tému do zodpovedajúcich úloh nasledujúcich kapitol.
Na vyriešenie problémov druhej kapitoly musí vlastná matematická vynaliezavosť a vytrvalosť prekonať najrôznejšie prekážky a navrhnúť východisko z ťažkých situácií.
Tretia kapitola – „Geometria na zápalkách“ – obsahuje množstvo geometrických úloh – hlavolamov.
Kapitola „Sedemkrát skúšať, raz strihať“ pozostáva z úloh na vyrezávanie tvarov.
Obsah úloh kapitoly „Zručnosť nájde uplatnenie všade“ je spojený s praktickými činnosťami, s technikou.
Kapitola s názvom „Matematika takmer bez výpočtov“ obsahuje problémy, ktorých vyriešenie si vyžaduje reťaz dômyselného a jemného uvažovania.
Hry a triky sú zhromaždené v samostatnej kapitole a sú tiež umiestnené v celej knihe. Obsahujú matematický základ a nepochybne sú zaradené do „ríše vynaliezavosti“.
Tri kapitoly: „Krížové súčty a magické štvorce“, „Zvedavý a vážny v číslach“ a „Čísla staré, ale večne mladé“ sú venované niektorým kurióznym postrehom o číselných pomeroch, ktoré sa nahromadili v matematike od staroveku až po naše časy.
Záverečná kapitola- dve krátke eseje o pracovnej vynaliezavosti ľudí našej vlasti, robotníkov na poliach a továrňach.
Na rôznych miestach knihy sa čitateľovi ponúkajú drobné námety na samostatný výskum.
Na konci knihy sú riešenia problémov, no nemali by ste sa s nimi ponáhľať.
Akákoľvek úloha pre „vynaliezavosť“ je plná určitej „šmrnc“ a vo väčšine prípadov je tvrdým orieškom, ktorý nie je tak ľahké rozlúsknuť, no o to lákavejšie.
Ak sa vám nepodarí vyriešiť problém hneď, môžete ho dočasne preskočiť a prejsť na ďalší alebo na úlohy inej časti, inej kapitoly. Vráťte sa k zmeškanej úlohe neskôr.
Matematická vynaliezavosť nie je kniha na ľahké čítanie „na jeden šup“, ale na prácu možno na niekoľko rokov, kniha na pravidelnú duševnú gymnastiku v malých porciách, čitateľský spoločník pri jeho postupnom matematickom vývoji.
Všetok materiál knihy je podriadený výchovno-vzdelávaciemu cieľu: podnietiť čitateľa k samostatnému tvorivému mysleniu, ďalej zdokonaľovať svoje matematické vedomosti.
Druhé vydanie Mathematical Wits nie je stereotypným opakovaním prvého. V texte a riešeniach niektorých problémov boli vykonané požadované zmeny; samostatné úlohy sú nahradené novými – zmysluplnejšími; kniha je prepracovaná.
Veľké úsilie smerujúce k vylepšeniu knihy vynaložila redaktorka vydavateľstva M. M. Hot.
Čitatelia, ktorí riešili problémy sami, v niektorých prípadoch našli ďalšie alebo jednoduchšie riešenia a láskavo mi oznámili svoje výsledky. Autori najzaujímavejších riešení sú uvedení na príslušných miestach v knihe.
Dúfam, že od čitateľov „Smekalky“ dostanem spätnú väzbu a návrhy na ďalšie vylepšenie knihy, ako aj vlastné pôvodné úlohy a matematické materiály ľudového umenia.
Adresa: Moskva, B-64, ul. Chernyshevsky, 31, apt. 53, Boris Anastasievič Kordemskij.
B. Kordemský.

ÚLOHY

"Kniha je kniha a pohni svojim mozgom"
V. Majakovskij.

PRVÁ KAPITOLA. ZÁBAVNÉ VÝZVY

ODDIEL I
Otestujte a precvičte si svoju vynaliezavosť najskôr na takých problémoch, ktorých riešenie si vyžaduje len cieľavedomú vytrvalosť, trpezlivosť, vynaliezavosť a schopnosť sčítať, odčítať, násobiť a deliť celé čísla.

1. Pozorní priekopníci
Školáci – chlapec a dievča – práve urobili meteorologické merania.
Teraz odpočívajú na kopci a sledujú idúci nákladný vlak.
Lokomotíva na vzostupe šialene dymí a pofukuje. Pozdĺž plátna železnice fúka rovnomerne, bez nárazov.
- Akú rýchlosť vetra ukázali naše merania? spýtal sa chlapec.
- 7 metrov za sekundu.
- Dnes mi to na určenie rýchlosti vlaku stačí.
- No, áno, - pochybovalo dievča.
- A ty sa bližšie pozrieš na pohyb vlaku.
Dievča sa trochu zamyslelo a tiež si uvedomilo, o čo ide.
A videli presne to, čo náš umelec namaľoval (obr. 1). Aká bola rýchlosť vlaku?
Ryža. 1. Ako rýchlo ide vlak?

2. "Kamenný kvet"
Pamätáte si na talentovaného „remeselníka“ majstra Danila z rozprávky P. Bazhova „Kamenný kvet“?
Na Urale hovoria, že Danila ešte ako študentka vyrezala dva takéto kvety (obr. 2), ktorých listy, stonky a okvetné lístky boli oddelené a z výsledných častí kvetov bolo možné poskladať tanier v tvar kruhu.
Skús to! Kvety danilíny prekreslite na papier alebo kartón, vystrihnite okvetné lístky, stonky a listy a kruh prehnite.

3. Pohyblivá dáma
Na stôl položte striedavo 6 kociek - čierna, biela, ďalšia čierna, ďalšia biela atď. (obr. 3).
Ryža. 3. Biela dáma by mala byť vľavo, po ktorej nasledujú čierne.
Odísť vľavo alebo vpravo voľné miesto, postačujúce pre štyri dámy.
Je potrebné posunúť šachy tak, aby všetky biele boli vľavo a po nich všetky čierne. Zároveň musíte presunúť dve blízke dámy na prázdne miesto naraz bez toho, aby ste zmenili poradie, v ktorom ležia. Na vyriešenie problému stačí vykonať tri pohyby (tri ťahy) *).
Ak nemáte dámu, použite mince alebo nastrihané kúsky papiera či lepenky.
*) Téma tejto úlohy je ďalej rozpracovaná v úlohách 96 a 97 (s. 57 a 58).

4. V troch ťahoch
Dajte na stôl 3 kôpky zápaliek. Do jednej kôpky dajte 11 zápaliek a do druhej 7 a do tretej 6. Pri presúvaní zápaliek z ktorejkoľvek kôpky na inú musíte vyrovnať všetky tri kôpky tak, aby každá mala 8 zápaliek. Je to možné, keďže celkový počet zápasov - 24 - je bezo zvyšku deliteľný 3; v tomto prípade je potrebné dodržať nasledujúce pravidlo: na ľubovoľnú kôpku je dovolené pridať presne toľko zápaliek, koľko je v nej. Napríklad, ak je v kôpke 6 zápaliek, potom je možné k nej pridať iba 6, ak sú v kôpke 4 zápalky, potom k nej môžu byť pridané iba 4.
Úloha je vyriešená v 3 ťahoch.

5. Počítajte!
Skontrolujte svoje geometrické pozorovanie: spočítajte, koľko trojuholníkov je na obrázku znázornenom na obr. štyri.

6. Spôsob záhradníka
Na obr. 5 je pôdorys malého jabloňového sadu (body - jablone). Záhradník spracoval všetky jablone v rade.
Ryža. 5. Plán jabloňového sadu.
Vychádzal z cely označenej hviezdičkou a jednu po druhej prechádzal všetkými celami, v oboch boli jablone a
voľný, nikdy sa nevráti do prejdenej cely. Nešiel po uhlopriečkach a nebol na zatienených celách, keďže tam boli umiestnené rôzne budovy.
Po prehliadke skončil záhradník na tom istom námestí, z ktorého začal svoju cestu.
Nakreslite si záhradníkovu cestu do zošita.

7. Treba byť chytrý
V košíku je 5 jabĺk. Ako rozdeliť tieto jablká medzi päť dievčat tak, aby každé dostalo jedno jablko a jedno jablko zostalo v košíku?

8. Bez váhania
Povedzte mi, koľko mačiek je v miestnosti, ak jedna mačka sedí v každom zo štyroch rohov miestnosti, 3 mačky sedia oproti každej mačke a mačka sedí na chvoste každej mačky?

9. Dolu - hore
Chlapec pevne pritlačil okraj modrej ceruzky k okraju žltej ceruzky. Jeden centimeter (na dĺžku) otlačeného okraja modrej ceruzky, počítajúc od spodného konca, je zafarbený farbou. Chlapec drží žltú ceruzku nehybne a modrá ju stále pritláča k žltej, znižuje ju o 1 cm, potom ju vráti do predchádzajúcej polohy, znova ju zníži o 1 cm a znova sa vráti do predchádzajúcej polohy; 10-krát spustí a zdvihne modrú ceruzku 10-krát (20 pohybov).
Ak predpokladáme, že počas tejto doby farba nevyschne a nevybledne, koľko centimetrov dĺžky bude žltá ceruzka znečistená po dvadsiatom pohybe?
Poznámka. Tento problém vymyslel matematik Leonid Michajlovič Rybakov na ceste domov po úspešnom love na kačice. Čo ho podnietilo napísať úlohu, sa dočítate na strane 387 po vyriešení úlohy.

10. Prechod cez rieku (starý problém)
Malý vojenský oddiel sa priblížil k rieke, cez ktorú bolo potrebné prejsť. Most je rozbitý a rieka je hlboká. Ako byť? Zrazu dôstojník zbadá pri brehu dvoch chlapcov, ktorí sa zabávajú na člne. Ale loď je taká malá, že ju môže prejsť iba jeden vojak alebo dvaja chlapci – nič viac! Všetci vojaci však na tomto člne prešli cez rieku. Ako?
Vyriešte tento problém "v hlave" alebo prakticky - pomocou dám, zápaliek alebo niečoho podobného a posúvajte ich po stole pomyselnou riekou.

11. Vlk, koza a kapusta
Toto je tiež starý problém; nachádza v spisoch z 8. storočia. Má úžasný obsah.
Ryža. 6. Nebolo možné nechať vlka a kozu bez človeka ...
Istá osoba mala previezť na člne cez rieku vlka, kozu a kapustu. Do člna sa zmestil len jeden a s ním buď vlk, alebo koza, alebo kapusta. Ale ak necháte vlka s kozou bez človeka, potom vlk zožerie kozu, ak necháte kozu s kapustou, potom koza zožerie kapustu a v prítomnosti človeka „nikto nikoho nejedol“. Muž ešte prevážal svoj náklad cez rieku.
ako sa mu to podarilo?
V úzkom a veľmi dlhom žľabe je 8 guľôčok: štyri čierne vľavo a štyri biele o niečo väčšieho priemeru vpravo (obr. 7). V strednej časti žľabu je v stene malý výklenok, do ktorého sa zmestí len jedna guľa (akákoľvek). Dve gule môžu byť umiestnené vedľa seba cez žľab iba v mieste, kde sa nachádza výklenok. Ľavý koniec žľabu je uzavretý, zatiaľ čo pravý koniec má otvor, cez ktorý môže prejsť akákoľvek čierna guľa, ale nie biela. Ako vyvaliť všetky čierne gule zo žľabu? Nie je dovolené vyberať loptičky zo žľabu.

13. Oprava reťaze
Viete, na čo myslel mladý majster (obr. 8)? Pred ním je 5 článkov reťaze, ktoré musia byť spojené do jednej reťaze bez použitia ďalších krúžkov. Ak napríklad odkujete krúžok 3 (jedna operácia) a zavesíte ho na krúžok 4 (ešte jedna operácia), potom odkujete krúžok 6 a zavesíte krúžok 7 atď., potom bude celkovo osem operácií a hlavný sa snaží vytvoriť reťaz pomocou iba šiestich operácií. Podarilo sa mu to. Ako konal?

14. Opravte chybu
Vezmite 12 zápaliek a položte z nich „rovnosť“ znázornenú na obr. 9.
Ryža. 9. Opravte chybu posunutím iba jednej zápalky.
Rovnosť, ako vidíte, je nesprávna, pretože sa ukázalo, že 6 - 4 = 9.
Presuňte jednu zhodu tak, aby ste dosiahli správnu rovnosť.

15. Z troch - štyroch (vtip)
Na stole sú 3 zápasy.
Bez pridania jednej zhody urobte tri až štyri. Zápasy nemôžete zlomiť.

16. Tri áno dva - osem (ďalší vtip)
Tu je ďalší podobný vtip. Môžete ho ponúknuť svojmu priateľovi.
Položte na stôl 3 zápalky a pozvite kamaráta, aby k nim pridal ďalšie 2, takže dostanete osem. Samozrejme, zápasy nemôžete zlomiť.

17. Tri štvorce
Z 8 paličiek (napríklad zápaliek), z ktorých štyri sú o polovicu dlhšie ako ostatné štyri, musíte urobiť 3 rovnaké štvorce.

18. V továrni závodu sú sústružené diely z olovených polotovarov. Z jedného polotovaru - detail. Hobliny, ktoré sú výsledkom obväzu šiestich častí, môžu byť: roztavené a pripravené na ďalší polotovar. Koľko dielov sa dá takto vyrobiť z 36 olovených polotovarov?

19. Skúste to!
V štvorcovej tanečnej sále umiestnite 10 stoličiek pozdĺž stien tak, aby na každej stene bol rovnaký počet stoličiek.

20. Usporiadanie vlajok
Komsomolci postavili malú medzikolchoznú vodnú elektráreň. V deň jej spustenia pionieri zdobia exteriér elektrárne zo všetkých štyroch strán girlandami, žiarovkami a vlajkami. Vlajok bolo málo, iba 12.
Priekopníci ich najskôr umiestnili po 4 na každú stranu, ako je znázornené na obrázku (obr. 10), potom si uvedomili, že na každú stranu môžu umiestniť rovnakých 12 vlajok 5 alebo dokonca 6. Druhý projekt sa im páčil viac a rozhodli sa začiarknite 5 políčok.
Ukážte na obrázku, ako priekopníci usporiadali 12 vlajok, 5 na každej zo štyroch strán, a ako im mohli usporiadať 6 vlajok.

21. Zachovať paritu
Vezmite 16 predmetov (papier, mince, slivky alebo dámu) a usporiadajte ich 4 do radu (obr. 11). Teraz odstráňte 6 kusov, ale tak, aby zostal párny počet položiek v každom horizontálnom a v každom zvislom rade. Odstránením rôznych 6 kusov môžete získať rôzne riešenia.

22. "Magický" číselný trojuholník
Na vrcholy trojuholníka som umiestnil čísla 1, 2 a 3 a vy umiestnite čísla 4, 5, 6, 7, 8, 9 na strany trojuholníka tak, aby súčet všetkých čísel pozdĺž každého strana trojuholníka je 17. Nie je to ťažké, ako som navrhol Aké čísla by mali byť umiestnené vo vrcholoch trojuholníka. 2
Oveľa dlhšie sa budete musieť motať, ak vám vopred nepoviem, ktoré čísla by sa mali umiestniť na vrcholy trojuholníka, a nenavrhnem umiestniť čísla znova
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
každý raz, po stranách a vo vrcholoch trojuholníka tak, aby súčet čísel na každej strane trojuholníka bol 20.
Keď získate požadované usporiadanie čísel, hľadajte ďalšie a ďalšie nové usporiadania. Podmienky úlohy môžu byť splnené pre širokú škálu usporiadaní čísel.

23. Ako 12 dievčat hralo loptu
Dvanásť dievčat sa postavilo do kruhu a začalo hrať loptičku. Každé dievča hodilo loptu svojmu susedovi naľavo. Keď lopta obišla celý kruh, vhadzovalo sa opačným smerom. Po chvíli jedno dievča povedalo:
- Radšej prehoďme loptu cez jedného človeka.
"Ale keďže je nás dvanásť, polovica dievčat sa hry nezúčastní," namietala Natasha živo.
- Potom prehodíme loptu cez dvoch! (Každý tretí chytí loptu.)
- Ešte horšie: budú hrať iba štyria... Ak chcete, aby hrali všetky dievčatá, musíte hodiť loptu cez štyri (piata chytí). Iná kombinácia neexistuje.
- A ak hodíte loptu cez šesť ľudí?
- Bude to rovnaká kombinácia, len lopta pôjde opačným smerom.
- A ak hráte v desiatich (každý jedenásty chytá loptu)? pýtali sa dievčatá.
Už sme to takto hrali...
Dievčatá začali kresliť schémy všetkých navrhovaných spôsobov hry a veľmi skoro sa presvedčili, že Natasha mala pravdu. Iba jedna schéma hry (okrem úvodnej) pokrývala všetkých účastníkov bez výnimky (obr. 13, a).
Ak by teraz hralo trinásť dievčat, loptička by sa dala hádzať cez jednu (obr. 13, b) a cez dve (obr. 13, c) a cez tri (obr. 13, d) a cez štyri ( Obr. 13, e) a zakaždým by sa hra týkala všetkých účastníkov. Zistite, či je s trinástimi hráčmi možné hodiť loptu cez päť ľudí?
Je možné prehodiť loptu cez šesť ľudí s trinástimi hráčmi? Zamyslite sa a nakreslite príslušné schémy, aby ste to objasnili.

24. Štyri rovné čiary
Vezmite list papiera a nakreslite cca Obr. 14. Má deväť hrotov tak, že sú usporiadané do tvaru štvorca, ako je znázornené na obr. 14. Teraz prečiarknite všetky bodky štyrmi rovnými čiarami bez toho, aby ste zdvihli ceruzku z papiera.

25. Oddeľte kozy od kapusty
Teraz vyriešte problém, ktorý je v istom zmysle opačný ako ten predchádzajúci. Tam sme body spojili rovnými čiarami a tu musíme nakresliť 3 rovné čiary, aby sme oddelili kozy od kapusty (obr. 15). V kresbe knihy by sa nemali kresliť rovné čiary.
Prekreslite si rozloženie kôz a kapusty do zošita a potom skúste problém vyriešiť. Vôbec nemôžete kresliť čiary, ale použite pletacie ihlice alebo tenké drôty.

26. Dva vlaky
Rýchlik odišiel z Moskvy do Leningradu a išiel bez medzipristátia rýchlosťou 60 kilometrov za hodinu. Ďalší vlak mu vyšiel v ústrety z Leningradu do Moskvy a tiež išiel nonstop rýchlosťou 40 kilometrov za hodinu.
Ako ďaleko budú tieto vlaky 1 hodinu, kým sa stretnú?

27. Pri prílive (vtip)
Neďaleko pobrežia je loď s povrazovým rebríkom spusteným po boku. Schody majú 10 schodov; vzdialenosť medzi schodíkmi je 30 cm Najnižší schodík sa dotýka hladiny vody. Oceán je dnes veľmi pokojný, ale príliv prichádza a dvíha sa
Boli tam dve čísla a voda na každú hodinu o 15 cm Po akom čase bude tretí stupeň povrazového rebríka pokrytý vodou?

28. Vytáčanie
a) Ciferník rozdeľte dvoma rovnými čiarami na tri časti tak, aby ste sčítaním čísel v každej časti dostali rovnaký počet.
b) Dá sa tento číselník rozdeliť na 6 častí tak, aby v každej časti boli súčty týchto dvoch čísel v každej zo šiestich častí rovnaké?

29. Zlomený ciferník
V múzeu som videl staré hodiny s rímskymi číslicami na ciferníku a namiesto známeho čísla štyri (IV) tam boli štyri paličky (IIII). Praskliny vytvorené na číselníku ho rozdelili na 4 časti, ako je znázornené na obr. 17. Súčty čísel v každej časti neboli rovnaké: v jednej - 21, v druhej - 20, v tretej - 20, vo štvrtej - 17.
Všimol som si, že pri trochu inom usporiadaní prasklín by bol súčet čísel v každej zo štyroch častí ciferníka 20. Pri novom usporiadaní prasklín nemusia prechádzať stredom ciferníka. Prekreslite si ciferník hodín do svojho zápisníka a nájdite toto nové miesto prasklín.
Ryža. 17. Praskliny rozdelili ciferník na 4 časti.

30. Úžasné hodiny (čínske puzzle)
Raz bol hodinár naliehavo požiadaný, aby prišiel do jedného domu.
- Som chorý, - odpovedal hodinár, - a nemôžem ísť. Ale ak je oprava jednoduchá, pošlem ti svojho učňa.
Ukázalo sa, že je potrebné vymeniť zlomené šípy za iné.
"Môj učeň to zvládne," povedal majster. - Skontroluje mechanizmus vašich hodiniek a vyberie preň nové ručičky.
Učeň robil svoju prácu veľmi usilovne, a keď dokončil skúmanie hodín, bola už tma. Keďže prácu považoval za dokončenú, narýchlo si nasadil zdvihnuté ručičky a nasadil si ich na hodinky: veľkú ručičku na číslo 12 a malú na číslo 6 (bolo presne 18:00).
Ale krátko po tom, čo sa učeň vrátil do drotárstva, aby informoval majstra, že práca je hotová, zazvonil telefón. Chlapec zdvihol telefón a počul nahnevaný hlas zákazníka:
- Zle ste opravili hodiny, nesprávne ukazujú čas.
Majstrov učeň, prekvapený touto správou, sa ponáhľal k zákazníkovi. Keď prišiel, hodiny, ktoré dal opraviť, ukazovali začiatok deviatej. Študent vytiahol vreckové hodinky a podal ich nahnevanému majiteľovi domu:
- Skontrolovať prosím. Vaše hodiny nikdy nie sú pozadu.
Ohromený zákazník bol nútený súhlasiť s tým, že jeho hodinky sú in tento moment naozaj ukazuje správny čas.
Nasledujúce ráno však zákazník zavolal znova a povedal, že ručičky hodín sa zjavne zbláznili a chodili po ciferníku, ako sa im zachcelo. Majstrovský učeň pribehol k zákazníkovi. Hodiny ukazovali začiatok ôsmej. Keď skontroloval čas na hodinkách, bol vážne nahnevaný:
- Ty sa mi smeješ! Vaše hodiny ukazujú presný čas!
Hodiny naozaj ukazovali presný čas. Rozhorčený učeník majstra chcel okamžite odísť, ale majster ho obmedzil. A po niekoľkých minútach našli príčinu takýchto neuveriteľných incidentov.
Neuhádli ste, čo sa tu deje?

31. Tri za sebou
Usporiadajte na stole 9 gombíkov do tvaru štvorca, 3 gombíky na každej strane a jeden do stredu (obr. 18). Všimnite si, že ak sú dve alebo viac tlačidiel pozdĺž akejkoľvek priamky, potom budeme takéto usporiadanie vždy nazývať „riadok“. Takže AB a CD sú riadky, z ktorých každý má 3 tlačidlá, a EF je riadok obsahujúci dve tlačidlá.
Ryža. 18. Koľko je tam riadkov?
Určte, koľko riadkov po 3 gombíkoch je na obrázku a koľko takýchto riadkov, z ktorých každý má len 2 gombíky.
Teraz odstráňte ľubovoľné 3 tlačidlá a zvyšných 6 usporiadajte do 3 radov tak, aby v každom rade boli 3 tlačidlá.

32. Desať riadkov
Je ľahké uhádnuť, ako usporiadať 16 dám v 10 radoch po 4 šachy v každom rade. Oveľa náročnejšie je usporiadať 9 kociek v 10 radoch tak, aby boli v každom rade 3 kociek.
Vyriešte oba problémy.

33. Umiestnenie mincí
Na hárok čistého papiera nakreslite obrázok znázornený na obr. 19, pričom zväčšíte jeho veľkosť 2-3 krát a pripravte 17 mincí nasledujúcej nominálnej hodnoty:
20 kopejok - 5 kusov,
15 kopejok - 3 kusy,
10 kopejok - 3 kusy,
5 kopejok - 6 kusov.
Ryža. 19. Usporiadajte mince na štvorce tohto obrázku.
Pripravené mince usporiadajte na štvorce nakreslenej postavy tak, aby súčet kopejok pozdĺž každej priamky znázornenej na obrázku bol 55.

34. Od 1 do 19
V devätnástich kruhoch obr. 20 je potrebné usporiadať 19 tak, aby súčet čísel v akýchkoľvek troch kruhoch ležiacich na tej istej priamke bol rovný 30.

35. Rýchlo, ale opatrne
Vyriešte nasledujúce 4 problémy „rýchlo“ – kto dá správnu odpoveď rýchlejšie:

Úloha 1. Na poludnie odchádza autobus s cestujúcimi z Moskvy do Tuly. O hodinu neskôr odchádza cyklista z Tuly do Moskvy a ide po tej istej diaľnici, ale, samozrejme, oveľa pomalšie ako autobus.
Keď sa stretnú cestujúci v autobuse a cyklista, ktorý z nich bude ďalej od Moskvy?
Úloha 2. Čo je drahšie: kilogram hrivien alebo pol kilogramu dvoch hrivien?
Úloha 3. O 6. hodine odbili nástenné hodiny 6 úderov. Z vreckových hodiniek som si všimol, že od prvého úderu po šiesty uplynul čas presne 30 sekúnd.
Ak hodinám trvalo 30 sekúnd, kým odbili 6-krát, ako dlho budú hodiny odbíjať na poludnie alebo o polnoci, keď hodiny odbijú 12-krát?
Úloha 4. Z jedného bodu vyleteli 3 lastovičky. Kedy budú v rovnakom lietadle?

Teraz s pokojným uvažovaním skontrolujte svoje rozhodnutia a pozrite sa na časť „Odpovede“.
- No, ako? Spadli ste do tých malých pascí, ktoré sú obsiahnuté v týchto jednoduchých úlohách?
Takéto úlohy sú príťažlivé, pretože zbystrujú pozornosť a učia byť opatrné v zvyčajnom myšlienkovom pochode.
všetky celé čísla od 1 do
Ryža. 20. Do krúžkov doplňte čísla od 1 do 19.

36. Rakovina kučeravá
Znázornená rakovina, znázornená na obr. 21, zložený zo 17 kusov.
Z kúskov tohto raka zložte naraz dve figúrky: kruh a vedľa neho štvorec.

37. Náklady na knihu
Za knihu zaplatili 1 rubeľ a ďalšiu polovicu ceny knihy. Koľko stojí kniha?

38. Nepokojná mucha
Na diaľnici Moskva - Simferopol začali dvaja športovci súčasne proti sebe tréningovú jazdu na bicykli.
V tom momente, keď medzi cyklistami zostávalo už len 300 km, sa mucha začala veľmi zaujímať o dojazd. Po vyletení z ramena jedného cyklistu pred ním sa rútila k druhému. Keď stretla druhého cyklistu a uistila sa, že je všetko v bezpečí, okamžite sa otočila. Mucha priletela k prvému pretekárovi a opäť sa otočila k druhému.
Letela teda medzi približujúcich sa cyklistov, až kým sa cyklisti nestretli. Potom sa mucha upokojila a sadla si na jednu z nich na nos.
Mucha preletela medzi cyklistov rýchlosťou 100 km za hodinu a cyklisti celý ten čas išli rýchlosťou 50 km za hodinu.
Koľko kilometrov preletela mucha?

39. O menej ako 50 rokov neskôr
Bude v tomto storočí taký rok, že ak sa napíše číslicami a papier sa obráti hore nohami, potom číslo vytvorené na otočenom papieri bude vyjadrovať ten istý rok?

40. Dva vtipy
Prvý vtip. Otec zavolal svojej dcére, požiadal ju, aby mu kúpila nejaké veci, ktoré potreboval na odchod, a povedal, že peniaze má v obálke na stole. Dievča, ktoré krátko pozrelo na obálku, videlo na nej napísané číslo 98, vybralo peniaze a bez počítania ich vložilo.
tašku, pokrčil obálku a zahodil ju.
V obchode si kúpila veci za 90 rubľov, a keď sa chcela vyplatiť, ukázalo sa, že nielenže jej nezostalo osem rubľov, ako očakávala, ale dokonca jej štyri ruble chýbali.
Doma o tom povedala otcovi a spýtala sa, či sa nepomýlil, keď počítal peniaze. Otec odpovedal, že peniaze spočítal správne, no ona sama sa pomýlila a so smiechom ju na chybu upozornila. Aká bola chyba dievčaťa?

Druhý vtip. Pripravte si 8 papierikov s číslami 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 a 9 a usporiadajte ich do dvoch stĺpcov ako na obr. 22.
Presunutím iba dvoch kusov papiera zabezpečte, aby súčty čísel v oboch stĺpcoch boli rovnaké.
Ryža. 22. Vyrovnajte nerovnaké sumy.

41. Koľko mám rokov?
Keď mal môj otec 31 rokov, mal som 8 rokov a teraz je môj otec dvakrát starší ako ja. Koľko mám teraz rokov?

42. Ohodnoťte „na prvý pohľad“
Máte dva stĺpce čísel:
123456789 1
12345678 21
1234567 321
123456 4321
12345 54321
1234 654321
123 7654321
12 87654321
1 987654321
Pozrime sa bližšie: čísla druhého stĺpca sú tvorené rovnakými číslami ako čísla prvého stĺpca, ale s opačným poradím ich usporiadania. (Pre prehľadnosť boli nuly v ľavom stĺpci vynechané.)
Ktorý stĺpec po sčítaní poskytne lepší výsledok?
Najprv porovnajte tieto sumy „na prvý pohľad“, teda zatiaľ bez sčítania, skúste určiť, či by mali byť rovnaké, alebo by mala byť jedna väčšia ako druhá, a potom skontrolujte sčítaním.

43. Pridanie rýchlosti
Osem šesťciferných výrazov (...) je vybraných tak, aby ste ich rozumným zoskupením „v duchu“ našli súčet za 8 sekúnd. Zvládnete túto rýchlosť?
V sekcii "Odpovede" sú pokyny, ale ... budete ich hľadať dlhšie.
A ukážte svojim priateľom dva triky, ktoré môžete vtipne nazvať aj „pridávanie rýchlosti“.

Prvé zameranie. Povedzte: „Bez toho, aby ste mi to ukazovali, napíšte do stĺpca toľko viacciferných čísel, koľko chcete. Potom prídem], veľmi rýchlo napíšem rovnaký počet čísel a všetky ich okamžite spočítam.
Povedzme, že priatelia napísali:
7621
3057
2794
4518
A vy priraďujete také čísla, z ktorých každé dopĺňa až 9999 po jednom všetky napísané čísla. Tieto čísla budú:
5481
7205
6942
2378
Naozaj: (...)
Teraz nie je ťažké zistiť, ako rýchlo vypočítať celú sumu: (...)
Je potrebné vziať 9999 4-krát, to znamená 9999X4, a takéto násobenie sa rýchlo vykoná v mysli. Vynásobte 10 000 4 a odpočítajte ďalšie 4 jednotky. Ukázalo sa:
10 000 X 4 – 4 = 40 000 – 4 = 39 996.
To je celé tajomstvo triku!

Druhé zameranie. Napíšte jedno pod druhé ľubovoľné 2 čísla ľubovoľnej veľkosti. Doplním tretie a obratom zľava doprava napíšem súčet všetkých troch čísel.
Povedzme, že ste napísali:
72 603 294
51 273 081
Pridelím napríklad toto číslo: 48 726 918 a obratom Vám poviem sumu.
Aké číslo by sa malo pripísať a ako rýchlo nájsť sumu v tomto prípade, zistite to sami!

44. V ktorej ruke? (matematický trik)
Dajte priateľovi dve mince: jednu s párnym počtom kopejok a druhú s nepárnym počtom (napríklad dve kopejky a tri kopejky). Nechajte ho bez toho, aby vám to ukázal, vziať jednu z týchto mincí (akúkoľvek) do pravej ruky a druhú do ľavej. Môžete ľahko uhádnuť, ktorú ruku má akú mincu.
Vyzvite ho, aby strojnásobil počet kopejok obsiahnutých v minci držanej v pravej ruke a zdvojnásobil počet kopejok obsiahnutých v minci, ktorú drží v ľavej ruke. Nechajte ho sčítať výsledky a povie vám len výslednú sumu.
Ak je menovaná suma párna, potom sú v pravej ruke 2 kopejky, ak je nepárne, potom 2 kopejky v ľavej ruke.
Vysvetlite, prečo to vždy takto funguje, a vymyslite spôsoby, ako tento trik spestriť.

45. Koľko ich je?
Chlapec má toľko sestier ako bratov a jeho sestra má o polovicu menej sestier ako bratov.
Koľko bratov a sestier je v tejto rodine?

46. ​​Rovnaké čísla
Pomocou jediného sčítania napíšte číslo 28 s piatimi dvojkami a číslo 1000 s ôsmimi osmičkami.

47. Sto
Pomocou ľubovoľných aritmetických operácií vytvorte číslo 100 buď z piatich jednotiek, alebo z piatich pätiek, a z piatich pätiek možno 100 urobiť dvoma spôsobmi.

48. Aritmetický súboj
Kedysi bol taký zvyk v matematickom krúžku našej školy. Každému novému členovi krúžku ponúkol predseda krúžku jednoduchú úlohu – akýsi matematický oriešok. Ak problém vyriešite, okamžite sa stanete členom kruhu a ak sa s orechom nevyrovnáte, môžete kruh navštíviť ako audítor.
Pamätám si, ako raz náš predseda navrhol jednému nováčikovi Vityovi nasledujúcu úlohu: (...)

49. Dvadsať
Zo štyroch nepárnych čísel je ľahké vytvoriť súčet rovný 10, a to:
1 + 1+3 + 5=10,
alebo takto:
1 + 1 + 1+7 = 10.
Možné je aj tretie riešenie:
1 + 3 + 3 + 3= 10.
Iné riešenia neexistujú (zmeny v poradí termínov samozrejme nevytvárajú nové riešenia).
Nasledujúci problém má oveľa viac rôznych riešení:
Zložte číslo 20 tak, že sčítate presne osem nepárnych čísel, medzi ktorými môžu byť aj rovnaké výrazy.
Nájdite všetky rôzne riešenia tohto problému a určte, koľko z nich bude takých súčtov, ktoré obsahujú najväčší počet nerovnakých výrazov?
Malá rada. Ak si náhodne vyberiete čísla, stále prídete na niekoľko riešení, ale náhodné pokusy vám nedajú istotu, že ste vyčerpali všetky riešenia. Ak však do „metódy skúšok“ zavediete nejaký poriadok, systém, neunikne vám ani jedno z možných riešení.

50. Koľko trás?
Z listu od školákov: „Počas štúdia na matematickom krúžku sme si nakreslili plán šestnástich štvrtí nášho mesta. Na priloženej schéme plánu (obr. 23) sú všetky štvrtiny konvenčne znázornené ako identické štvorce.
Zaujíma nás nasledujúca otázka:
Koľko rôznych trás sa dá naplánovať z bodu A do bodu C, ak sa budeme pohybovať po uliciach nášho
Ryža. 23. Koľko trás vedie z L na S?
mesta len dopredu a doprava, doprava a dopredu? Trasy sa môžu zhodovať vo svojich samostatných častiach (pozri bodkované čiary na pláne).
Máme dojem, že to nie je ľahká úloha. Vyriešili sme to správne, ak sme napočítali 70 rôznych trás?“
Aká by mala byť odpoveď na tento list?

52. Rôzne akcie, jeden výsledok
Ak sa medzi dvoma dvojkami znamienko sčítania nahradí znamienkom násobenia, výsledok sa nezmení. Skutočne: 2+ 2 = 2X2. Ľahko sa vyberá a 3 čísla s rovnakou vlastnosťou, a to: 1+2 + 3 = = 1X2X3. Existujú aj 4 jednociferné čísla, ktoré po sčítaní alebo vynásobení dávajú rovnaký výsledok.
Kto zistí tieto čísla rýchlejšie? pripravený? Pokračujte v súťaži! Nájdite 5 a potom 6, potom 7 atď., jednociferné čísla, ktoré majú rovnakú vlastnosť. Majte na pamäti, že počnúc skupinou 5 čísel môžu byť odpovede rôzne.

53. Deväťdesiatdeväť a sto
Koľko znamienok plus (+) musíte vložiť medzi číslice 987654321, aby ste získali 99?
Možné sú dve riešenia. Nájsť aspoň jedno z nich nie je jednoduché, ale získate skúsenosti, ktoré vám pomôžu rýchlo umiestniť znamienka plus medzi sedem čísel 1 2 3 4 5 6 7 tak, aby súčet bol 100. (Usporiadanie čísel nie je povolené zmeniť). Školáčka z Kemerova tvrdí, že aj tu sú možné dve riešenia.

54. Odnímateľná šachovnica
Veselý šachista rozrezal svoju kartónovú šachovnicu na 14 dielikov, ako je znázornené na obr. 25. Ukázalo sa, že skladacia šachovnica. Súdruhom, ktorí k nemu prišli hrať šach, ponúkol najskôr hádanku: z týchto 14 častí vyrobiť šachovnicu. Vystrihnite rovnaké figúrky z kockovaného papiera a presvedčte sa sami, či je ťažké alebo ľahké z nich vyrobiť šachovnicu.

60. Zmätený vodič
Čo si pomyslel vodič, keď sa pozrel na tachometer svojho auta (obr. 29)? Počítadlo ukazovalo číslo 15951. Vodič si všimol, že počet kilometrov, ktoré auto prešlo, bolo vyjadrené ako symetrické číslo, teda číslo, ktoré sa čítalo rovnako zľava doprava aj sprava doľava:
15951.
- Zaujímavé! .. - zamrmlal vodič. - Teraz, pravdepodobne nie skoro, sa na pulte objaví ďalšie číslo, ktoré má rovnakú funkciu.
Presne o 2 hodiny však počítadlo ukázalo nové číslo, ktoré sa tiež čítalo rovnako v oboch smeroch.
Zistite, ako rýchlo šofér jazdil počas týchto 2 hodín?

61. Pre vodný komplex Tsimlyansk
Na plnení urgentnej zákazky na výrobu meracích prístrojov pre vodný komplex Tsimlyansk sa podieľal kvalitný tím tvorený majstrom - starým skúseným robotníkom - a 9 mladými robotníkmi, ktorí práve ukončili odbornú školu.
Počas dňa každý z mladých pracovníkov namontoval 15 zariadení a majster - o 9 zariadení viac, ako je priemer každého z 10 členov tímu.
Koľko meracích prístrojov nainštaloval tím za jeden pracovný deň?

62. Dodávka chleba včas
Po spustení dodávky obilia do štátu sa predstavenstvo JZD rozhodlo dodať do mesta vlak s obilím presne do 11. hodiny dopoludnia. Ak autá jazdia rýchlosťou 30 km/h, kolóna dorazí do mesta o 10:00 a ak rýchlosťou 20 km/h, tak o 12:00.
Ako ďaleko od JZD do mesta a akou rýchlosťou by ste mali jazdiť, aby ste prišli práve včas?

63. V prímestskom vlaku
V električke cestovali dve kamarátky školáčky z mesta na dačo.
- Všimol som si, - povedal jeden z jej priateľov, - že spiatočné prímestské vlaky stretávame každých 5 minút. Čo myslíte, koľko prímestských vlakov príde do mesta za hodinu, ak sú rýchlosti vlakov v oboch smeroch rovnaké?
- Samozrejme, 12, keďže 60:5 = 12, - povedal druhý kamarát.
Školáčka, ktorá otázku položila, ale nesúhlasila s rozhodnutím svojej kamarátky a venovala jej svoje myšlienky.
Čo si o tom myslíš?

65. Nočná mora futbalového fanúšika
„Fanúšik“, rozrušený porážkou „svojho“ tímu, nepokojne spal. Sníval o veľkej štvorcovej izbe bez nábytku. Brankár trénoval v pokoji. Kopol futbalovou loptou o stenu a potom ju chytil.
Zrazu sa brankár začal zmenšovať, zmenšovať a nakoniec sa zmenil na malú celuloidovú loptičku zo „stolnotenisu“ a z futbalovej lopty sa stala liatinová. Lopta divoko vírila po hladkej podlahe miestnosti a snažila sa rozdrviť malú celuloidovú guľu. Úbohá lopta sa v zúfalstve rútila zo strany na stranu, vyčerpaná a nedokázala sa odraziť.
Mohol by sa bez toho, aby opustil parket, stále niekde skrývať pred prenasledovaním liatinovej gule?
Ryža. 30. Lopta sa snažila rozdrviť loptu.
Na vyriešenie problémov druhej časti je potrebná znalosť operácií s jednoduchými a desatinnými zlomkami.
Čitateľ, ktorý ešte neštudoval zlomky, môže úlohy v tejto časti dočasne preskočiť a prejsť na nasledujúce kapitoly.

66. Hodiny
Cestou po našej skvelej a úžasnej vlasti som sa ocitol na miestach, kde je rozdiel teplôt vzduchu medzi dňom a nocou taký veľký, že keď som trávil dni a noci pod holým nebom, začalo to ovplyvňovať chod hodín. Všimol som si, že zmeny teploty počas dňa posunuli hodiny dopredu o 1 minútu a v noci zaostali o 1 minútu.
1. mája ráno ešte hodiny ukazovali správny čas. K akému dátumu budú mať náskok 5 minút?

67. Schodisko
Dom má 6 poschodí. Povedzte mi, koľkokrát je cesta po schodoch na šieste poschodie dlhšia ako cesta po tých istých schodoch do tretieho poschodia, ak majú rozpätia medzi poschodiami rovnaký počet schodov?

68. Hádanka
Aké znamienko treba umiestniť medzi čísla 2 a 3 napísané vedľa seba, aby sme dostali číslo väčšie ako dva, ale menšie ako tri?
69. Zaujímavé zlomky
Ak sa k čitateľovi a menovateľovi pridá menovateľ 1/3, zlomok sa zdvojnásobí.
Nájdite zlomok, ktorý by pripočítaním menovateľa k jeho čitateľovi a menovateľovi vzrástol: a) trikrát, b) štyrikrát.
(Algebrickí ľudia môžu zovšeobecniť problém a vyriešiť ho pomocou rovnice.)

70; Aké číslo?
2:30. čo je to za číslo?

71. Spôsob školáka
Borya odvádza každé ráno celkom dobrú prácu. dlhá cesta do školy.
Vo vzdialenosti od domu ku škole je budova MTS s elektrickými hodinami na fasáde a vo vzdialenosti od celej cesty je železničná stanica. Keď prešiel MTS, na hodinách bolo zvyčajne 7:30 a keď dorazil na stanicu, hodiny ukazovali 25 minút do 8:00.
Kedy odišiel Borya z domu a kedy prišiel do školy?

72. Na štadióne
12 vlajok je umiestnených pozdĺž bežiaceho pásu v rovnakej vzdialenosti od seba. Začnite pri prvej vlajke. Pretekár bol pri ôsmej vlajke 8 sekúnd po začiatku behu. Po koľkých sekundách pri konštantnej rýchlosti bude pri dvanástej vlajke? Nedostaňte sa do problémov!

73. Vyhrali ste?
Ostap sa vracal domov z Kyjeva. Prvú polovicu cesty cestoval vlakom 15-krát rýchlejšie, ako keby išiel pešo. Druhú polovicu cesty však musel jazdiť na voloch – 2x pomalšie, ako keby išiel pešo.
Získal Ostap nejaký čas v porovnaní s chôdzou?

74. Budík
Budík mešká o 4 minúty. za hodinu; Pred 3,5 hodinami bol doručený presne. Teraz hodiny ukazujú presný čas presne 12.
Za koľko minút budík ukáže aj 12?

75. Namiesto malých akcií veľké
V továrňach na výrobu strojov je veľmi vzrušujúca profesia; Volá sa pisár. Rysovač označí na obrobku tie čiary, pozdĺž ktorých by sa mal tento obrobok spracovať, aby mu dodal potrebný tvar.
Pisár musí riešiť zaujímavé a niekedy zložité geometrické úlohy, vykonávať aritmetické výpočty atď.
Bolo potrebné nejako rozdeliť 7 rovnakých obdĺžnikových dosiek v rovnakých podieloch medzi 12 častí. Týchto 7 platní priniesli pisateľovi a požiadali ho, aby, ak je to možné, platne označil tak, aby sa ani jeden nemusel rozdrviť na veľmi malé kúsky. To znamená, že najjednoduchšie riešenie - rozrezanie každého záznamu na 12 rovnakých častí - nebolo dobré, pretože to viedlo k mnohým malým častiam. Ako byť?
Je možné tieto záznamy rozdeliť na väčšie časti? Škálovač sa zamyslel, urobil niekoľko aritmetických výpočtov so zlomkami a napriek tomu našiel najhospodárnejší spôsob, ako tieto dosky rozdeliť.
Následne ľahko rozdrvil 5 tanierov, aby ich rovnomerne rozdelil medzi šesť dielov, 13 tanierov na 12 dielov, 13 tanierov na 36 dielov, 26 na 21 dielov atď.
Ako to sypač urobil?

76. Mydlo
Na jednu misku s váhou sa položí mydlo a na druhú ďalší kg tej istej tyčinky. Váhy v rovnováhe.
Koľko váži tyčinka?

79. Mišove mačiatka
Ak Miška niekde uvidí opustené mačiatko, určite si ho vyzdvihne a prinesie domov. Vždy vychoval niekoľko mačiatok a nerád hovoril presne koľko, aby sa mu nevysmiali.
Niekedy sa ho pýtajú:
- Koľko mačiatok máte teraz?
"Trochu," odpovedá. - Tri štvrtiny ich počtu a dokonca tri štvrtiny jedného mačiatka.
Súdruhovia si mysleli, že len žartuje. Misha sa ich medzitým spýtala na problém, ktorý vôbec nebolo ťažké vyriešiť. Skúste!

80. Stredná rýchlosť
Polovicu cesty išiel kôň naprázdno rýchlosťou 12 km/h. Zvyšok cesty išla s vozíkom rýchlosťou 4 km/h.
Aká je priemerná rýchlosť, teda akou konštantnou rýchlosťou by sa kôň musel pohybovať, aby spotreboval rovnaký čas na celú cestu?

81. Spiaci cestujúci
Keď cestujúci precestoval polovicu celej cesty, ľahol si do postele a spal, kým už nezostávalo nič iné – aby prekonal polovicu vzdialenosti, ktorú prekonal so spánkom. Koľko z celej cesty precestoval v spánku?

82. Aká je dĺžka vlaku?
Dva vlaky idú proti sebe po paralelných koľajach; jeden pri rýchlosti 36 km/h, druhý pri rýchlosti 45 km/h. Cestujúci sediaci v druhom vlaku si všimol, že prvý vlak okolo neho prešiel na 6 sekúnd. Aká je dĺžka prvého vlaku?

83. Cyklista
Keď cyklista prešiel 2/3 cesty, pneumatika praskla.
Na zvyšku cesty strávil pešo dvakrát toľko času ako na bicykli.
Koľkokrát išiel cyklista rýchlejšie ako išiel?

84. Konkurencia
Turners Volodya A. a Kostya B. - študenti odbornej školy kovorobotníkov, ktorí dostali od majstra rovnaké oblečenie na výrobu série dielov, chceli dokončiť svoje úlohy v rovnakom čase av predstihu.
Po nejakom čase sa však ukázalo, že Kosťa urobil len polovicu toho, čo Voloďovi zostávalo urobiť, a Voloďovi zostávala urobiť len polovica toho, čo už urobil.
Koľkokrát by teraz Kosťa musel zvýšiť svoj denný výkon v porovnaní s Voloďom, aby zároveň dokončil svoju úlohu?

Kapitola druhá
DÔVERNÉ USTANOVENIA

87. Dômysel kováča Hecho
Keď sme minulé leto cestovali po Gruzínsku, občas sme sa zabávali vymýšľaním najrôznejších nevšedných príbehov inšpirovaných nejakou starodávnou pamiatkou.
Raz sme prišli do osamelého starodávna veža. Vyšetril ju, posadil sa, aby si oddýchol. A bol medzi nami študent matematiky; okamžite prišiel so zaujímavým problémom:
„Pred 300 rokmi tu žil zlý a arogantný princ. Princ mal dcéru-nevestu, menom Darijan. Princ sľúbil svoju Darijan za manželku bohatému susedovi a ona sa zaľúbila do jednoduchého chlapíka, kováča Khecho. Darijan a Khecho sa pokúsili utiecť do hôr zo zajatia, ale ich služobníci Knyazevs ich chytili.
Princ sa rozzúril a na druhý deň sa rozhodol oboch popraviť, no na noc ich prikázal zavrieť do tejto vysokej, ponurej, opustenej, nedokončenej veže a s nimi aj slúžku Darijan, dospievajúce dievča, ktoré im pomohlo utiecť. .
Vo veži Hecho nebol bezradný, poobzeral sa, vyliezol po schodoch do hornej časti veže, pozrel sa von oknom - nedá sa skočiť, zlomíš sa. Potom si Hecho pri okne všimol staviteľmi zabudnuté lano, prehodené cez hrdzavý kváder, vystužené vyššie.
okno. Na konce povrazu boli priviazané prázdne koše a na každý koniec košík. Hecho pripomenul, že pomocou týchto košov murári dvíhali tehly a spúšťali drvený kameň, a ak hmotnosť bremena v jednom koši prevyšovala hmotnosť bremena v druhom asi o 5-6 kg (moderne povedané), potom kôš spadol pomerne hladko na zem; ďalší kôš v tom čase stúpal k oknu.
Hecho okom určil, že Darijan váži asi 50 kg, slúžka nie viac ako 40 kg. Hecho poznal svoju váhu - asi 90 kg. Okrem toho našiel vo veži reťaz s hmotnosťou 30 kg. Keďže do každého koša sa zmestil človek a reťaz, prípadne aj 2 ľudia, podarilo sa všetkým trom zostúpiť na zem a zostúpili tak, že hmotnosť spúšťacieho koša s človekom nikdy nepresiahla váhu stúpacieho koša o viac ako 10 kg.
Ako sa dostali z veže?

88. Mačka a myši
Purrova mačka práve "pomohla" svojmu mladému majiteľovi vyriešiť problémy. Teraz sladko spí a vo sne sa vidí obklopený trinástimi myšami. Dvanásť myší je sivých a jedna biela. A mačka počuje, ktosi hovorí známym hlasom: „Pur, musíš zjesť každú trinástu myš a počítať ju do kruhu stále rovnakým smerom, aby sa zjedla posledná biela myš.
Ale s akou myšou začať, aby sa problém správne vyriešil?
Pomoc Purr.

89. Zápasy okolo mince
Nahraďme mačku mincou a myši zápalkami. Je potrebné odstrániť všetky zápalky, okrem tej, ktorá je otočená k minci (obr. 35), pričom treba dodržať nasledujúcu podmienku: najprv odstráňte jednu zápalku a potom pohybom doprava v kruhu odstráňte každú trinástu zápalku.
Zamyslite sa nad tým, ktorú zhodu musíte odstrániť ako prvú.

90. Los padol na siskinu a červienku
Na konci letného táborového obdobia sa pionieri rozhodli vypustiť operených obyvateľov polí a hájov, ktoré ulovili mladí vtáčnici. Celkovo bolo 20 vtákov, každý v samostatnej klietke. Vedúci navrhol nasledovné:
- Všetky klietky s vtákmi umiestnite do jedného radu a počnúc zľava doprava otvorte každú piatu klietku. Po dosiahnutí konca riadku preneste skóre na začiatok riadku, ale otvorené bunkyďalej nepočítajte a tak pokračujte, kým sa neotvoria všetky bunky, okrem niektorých z posledných dvoch. Vtáky v týchto klietkach si môžete vziať so sebou do mesta.
Ponuka bola prijatá.
Väčšine chlapov bolo jedno, ktoré dva vtáky si zobrať so sebou (keby ich nemohli vziať všetky), ale Tanya a Alik chceli, aby los padol na šišku a červienku. Keď pomohli usporiadať bunky do radu, spomenuli si na problém mačiek a myší (problém 88). Rýchlo prišli na to, kam umiestniť klietky so šiškou a červienka, aby tieto konkrétne klietky zostali neotvorené, a nasadili ich...
Sami však ľahko určíte, kam Tanya a Alik dali klietky so šiškou a červienky.

91. Rozložené mince
Pripravte si 7 zápaliek a 6 mincí. Usporiadajte zápalky na stôl s hviezdičkou, ako je znázornené na obr. 36. Začnite od ktorejkoľvek zápalky, pohybom ručičky hodín spočítajte tretinu a priložte k jej hlave mincu. Potom znova spočítajte tretiu zápalku rovnakým smerom, počnúc od akejkoľvek zápalky, proti ktorej ešte nie je minca, a tiež položte mincu blízko hlavy.
Týmto spôsobom sa pokúste usporiadať všetkých 6 mincí v blízkosti hlavičiek šiestich zápaliek. Pri počítaní zápaliek by sa nemali preskakovať tie, v blízkosti ktorých už bola minca umiestnená;
je potrebné začať odpočítavanie zápalkou, ktorá nemá v blízkosti mincu; Nedávajte dve mince na jedno miesto.
Aké pravidlo by ste mali dodržiavať, aby ste problém určite vyriešili?

92. Preskočte spolujazdca!
V medzistanici jednokoľajnej železnice zastavil vlak zložený z parnej lokomotívy a piatich vagónov, ktorý priviezol tím robotníkov na výstavbu novej vetvy. Na tejto zastávke bola zatiaľ len malá úvrať, do ktorej sa v prípade potreby sotva zmestil parný rušeň s dvoma vozňami.
Ryža. 37. Ako preskočiť cestujúceho?
Čoskoro po vlaku so stavebným tímom sa k tej istej polostanici blížil osobný vlak.
Ako preskočiť cestujúceho?

93. Problém, ktorý vznikol z rozmaru troch dievčat
Téma tohto problému má úctyhodný recept. Kráčali tri dievčatá, každé so svojím otcom. Všetci šiesti sa priblížili k malej rieke a chceli prejsť z jednej strany na druhú. K dispozícii mali iba jednu loď bez veslára, ktorá chovala iba dvoch ľudí. Prechod by, samozrejme, nebolo ťažké uskutočniť, keby dievčatá z rozmaru alebo zo žartu nevyhlásili, že žiadna z nich nebude súhlasiť s tým, že sa bude voziť na člne, ani nebude s jedným na brehu. alebo dvaja otcovia iných ľudí bez svojho otca. Dievčatá boli malé, ale nie veľmi malé, aby každá z nich mohla riadiť loď sama.
Teda nečakane dodatočné podmienky prechody, no pre zábavu sa cestovatelia rozhodli, že ich skúsia absolvovať. Ako konali?

94. Ďalší vývoj problému
Vtipná spoločnosť bezpečne prešiel na opačný breh rieky a usadil sa, aby si oddýchol. Vyvstala otázka: bolo by možné za rovnakých podmienok zorganizovať kríženie štyroch párov? Čoskoro sa ukázalo, že ak sa zachovajú podmienky, ktoré dievčatá navrhli (pozri predchádzajúci problém), kríženie štyroch párov by sa mohlo uskutočniť iba vtedy, ak by existovala loď, ktorá by mohla zdvihnúť troch ľudí, a to iba v 5 krokoch.
Ako?
Keď sme tému problému rozvinuli ešte ďalej, naši cestovatelia zistili, že aj na lodi, do ktorej sa zmestia len dvaja ľudia, je možné prejsť štyri dievčatá s ich oteckami z jedného brehu na druhý, ak je v strede ostrovček. rieka, kde si môžete urobiť prechodnú zastávku a vystúpiť. V tomto prípade je pre konečný prejazd požadovaných aspoň 12 preplavení za rovnakých podmienok, to znamená, že ani jedno dievča nebude v člne, na ostrove alebo na brehu s cudzím otcom bez toho, aby jej otec.
Nájdite aj vy toto riešenie.

95. Skákajúca dáma
Položte 3 biele kocky na polia 1, 2, 3 (obr. 38) a 3 čierne kocky na polia 5, 6, 7. Pomocou voľného poľa 4 presuňte biele kocky na miesto čiernych a čierne jedných na miesto bielych; zároveň dodržujte nasledujúce pravidlo: dámu je možné presunúť na susedné voľné pole; je tiež dovolené preskočiť susednú šachovnicu, ak je za ňou voľné pole. Biela a čierna dáma sa môžu pohybovať smerom k sebe. Pohyby v opačnom smere nie sú povolené. Úloha je vyriešená v 15 ťahoch.

96. Biela a čierna
Vezmite štyri biele a štyri čierne šachy (alebo 4 medené a 4 strieborné mince) a položte ich na stôl v rade a striedajte farby: biela, čierna, biela, čierna atď. Vľavo alebo vpravo ponechajte také voľné miesto, do ktorého sa zmestia maximálne 2 šachy (mince). Pomocou voľného miesta môžete vždy miešať iba dve susedné dámy (mince) bez toho, aby ste zmenili ich vzájomnú polohu.
Stačí urobiť 4 také pohyby párov kociek tak, aby všetky čierne kocky boli v rade a potom všetky biele kocky.
Skontrolovať to!

97. Komplikovanie úlohy
S nárastom počtu pôvodne odobratých dám (mincí) sa úloha stáva zložitejšou.
Ak teda umiestnite 5 bielych a 5 čiernych kociek do radu, pričom ich farbu budete striedať, bude to trvať 5 ťahov, kým zoradíte čiernu kocku s čiernou a bielu s bielou.
V prípade šiestich párov dám bude potrebných 6 ťahov; v prípade siedmich párov - 7 ťahov atď. Nájdite riešenia úlohy pre päť, šesť a sedem párov dám.
Pamätajte, že počas počiatočného rozloženia dám by ste mali nechať voľné miesto na ľavej (alebo pravej strane) nie viac ako na dve šachy a vždy posunúť 2 šachy bez toho, aby ste zmenili ich vzájomnú polohu.

98. Karty sa ukladajú v číselnom poradí
Z kartónu vystrihnite 10 kariet 4X0 si a očíslujte ich číslami od 1 do 10. Po zložení kariet ich vezmite do ruky. Začnite hornou kartou, položte prvú kartu na stôl, druhú pod spodnú časť kôpky, tretiu kartu na stôl a štvrtú pod spodnú časť kôpky. Robte to stále, kým nevyložíte všetky karty na stôl.
Môžeme s istotou povedať, že karty nebudú v číselnom poradí.
Zamyslite sa nad poradím, v akom musíte na začiatku vložiť karty do hromady, aby boli pri zadanom rozložení usporiadané v poradí čísel od 1 do 10.

99. Dve lokačné hádanky
Prvá hádanka. Dvanásť kociek (mince, papieriky a pod.) sa dá jednoducho rozložiť na stôl do štvorcového rámu so 4 šachovnicami na každej strane. Ale skúste umiestniť tieto kocky tak, aby ich bolo 5 pozdĺž každej strany štvorca.
Druhá hádanka. Na stôl rozmiestnite 12 kociek tak, aby 3 rady boli vytvorené vodorovne a 3 rady zvislo, a aby každý z týchto radov obsahoval 4 kocky.

100. Tajomná schránka
Misha strávil leto v Arteku a svojej mladšej sestre Irochke priniesol ako darček krásnu krabičku zdobenú 36 mušľami. Na vrchnáku krabičky sú vypálené čiary tak, že veko rozdeľujú na 8 sekcií.
Irochka ešte nechodí do školy, ale vie napočítať do 10. Na Miškinom darčeku sa jej najviac páčilo, že na vrchnáku škatuľky bolo na každej strane presne 10 mušlí (obr. 40). Pri počítaní škrupín pozdĺž strany Irochka berie do úvahy všetky škrupiny umiestnené v časti susediacej s touto stranou. Mušle umiestnené v rohových častiach, Irochka počíta na oboch stranách.
Raz mama, utierajúc škatuľku handričkou, omylom rozdrvila 4 mušle. Teraz už nie je na každej strane veka 10 škrupín. Aká nepríjemnosť! Ira bude pochádzať z MATERSKÁ ŠKOLA a veľmi rozrušený.
Ryža. 40. Pozdĺž každej strany veka krabice - 10 škrupín.
Ryža. 39. Ako dať týchto dám 5 na každú stranu?
- Problém nie je veľký, - upokojil Mišo matku.
Opatrne odlepil časť škrupín zo zvyšných 32 a tak zručne ich nalepil späť na veko škatuľky, že na každej strane bolo opäť 10 škrupín.
Prešlo niekoľko dní. Opäť problémy. Krabička spadla, rozbilo sa ďalších 6 nábojov; ostalo ich len 26. Ale aj tentoraz Miška vymyslela, ako na vrchnák usporiadať zvyšných 26 mušlí, aby Irochka mala stále 10 mušlí na každej strane. Je pravda, že zostávajúce škrupiny v druhom prípade nemohli byť rozmiestnené na veku škatule tak symetricky, ako boli usporiadané doteraz, ale Irochka tomu nevenoval pozornosť.
Nájdite obe Mishinine riešenia.

101. Odvážna "posádka"
Snehová pevnosť je chránená odvážnou „posádkou“. Chlapci odrazili 5 útokov, ale nevzdali sa. Na začiatku hry tvorilo „posádku“ 40 ľudí. "Veliteľ" snehovej pevnosti spočiatku umiestnil sily podľa schémy znázornenej v štvorcovom poli vpravo (v centrálnom štvorci - celkový počet "posádky").
„Nepriateľ“ videl, že každú zo 4 strán pevnosti bránilo 11 ľudí. Podľa podmienok hry počas prvého, druhého, tretieho a štvrtého útoku „posádka“ „stratila“ zakaždým 4 ľudí. Pri poslednom, piatom, útoku „nepriateľ“ zneškodnil svojimi snehovými guľami ďalších dvoch ľudí. Napriek stratám však po každom útoku obe strany snehovej pevnosti naďalej bránilo 11 ľudí.
Ako „veliteľ“ snehovej pevnosti umiestnil sily svojej posádky po každom útoku?

104. Príprava na dovolenku
Geometrický význam predchádzajúcich piatich úloh spočíval v usporiadaní predmetov pozdĺž štyroch rovných čiar (strany obdĺžnika alebo štvorca) tak, aby počet predmetov pozdĺž každej priamky zostal rovnaký, keď sa ich celkový počet zmenil.
Toto usporiadanie bolo dosiahnuté vďaka tomu, že všetky objekty nachádzajúce sa na rohoch boli považované za patriace každej zo strán rohu, rovnako ako priesečník dvoch čiar patrí každej z nich.
Ak predpokladáme, že každý z predmetov umiestnených po stranách obrazca zaberá určitý bod na zodpovedajúcej strane, potom si všetky predmety nachádzajúce sa v rohoch treba predstaviť sústredené v jednom bode (v hornej časti rohu).
Odmietnime teraz možnosť čo i len pomyselnej akumulácie objektov v jednom geometrickom bode.
Budeme predpokladať, že každý jednotlivý objekt (kamienok, žiarovka, strom atď.) spomedzi tých, ktoré sa nachádzajú v určitej rovine, zaberá samostatný bod tejto roviny a neobmedzíme sa na požiadavku umiestniť tieto objekty len pozdĺž štyroch rovné čiary.
linky. Ak sa tieto podmienky doplnia požiadavkou, aby bolo riešenie v určitom zmysle symetrické, potom problémy s umiestňovaním objektov pozdĺž priamych línií získajú ďalší geometrický význam. Riešenie takýchto úloh zvyčajne vedie ku konštrukcii nejakého geometrického útvaru.
Napríklad, ako by ste mohli krásne usporiadať 10 žiaroviek v 5 radoch po 4 žiarovky v každom rade pri vytváraní slávnostného osvetlenia?
Odpoveď na túto otázku dáva päťcípa hviezda znázornená na obr. 44.
Precvičte si riešenie podobných problémov; snažte sa dosiahnuť symetriu v požadovanom mieste.
Úloha 1. Ako usporiadať 12 žiaroviek v 6 radoch po 4 žiarovky v každom rade? (Tento problém má dve riešenia.)
Úloha 2. Zasaďte 13 ozdobných kríkov do 12 radov po 3 kríky v každom rade.
Úloha 3. Na trojuholníkovom stanovišti (obr. 45) záhradník vypestoval 16 ruží usporiadaných v 12 rovných radoch po 4 ruže v každom rade. Potom pripravil záhon a presadil tam všetkých 16 ruží v 15 radoch po 4 ruže? ako sa mu to podarilo?
Úloha 4. Usporiadajte 25 stromov do 12 radov po 5 stromov v každom rade.
Ryža. 44. 5 riadkov po 4.
Ryža. 45. Ako urobiť 15 riadkov po 4.

105. Sedenie dubov inak
Krásne vysadených 27 dubových stromov podľa znázornenej schémy
na obr. 46, v 9 radoch so 6 dubmi v každom rade, ale arborista by takéto rozloženie nepochybne odmietol. Dub potrebuje slnko iba zhora a po stranách, aby bola zeleň.
Miluje, ako sa hovorí, vyrastať v kožuchu, ale bez klobúka, a potom 3 duby odskočili niekde nabok a vystrčili sami!
Skúste zasadiť týchto 27 dubov iným spôsobom, tiež v 9 radoch a tiež 6 dubov v každom rade, ale tak, aby boli všetky stromy usporiadané do troch skupín a nie z vlastnej skupiny; uložiť a
žiadny z nich neodrazil symetriu v usporiadaní.

109. Puzzle darček
Existuje taká hračka: krabica; otvoríte ho a vo vnútri je stále krabica; otvoríte, vo vnútri je opäť krabica.
Vyrobte si takúto hračku zo štyroch krabíc. Do najmenšej vnútornej škatuľky vložte 4 cukríky, do dvoch ďalších 4 cukríky a do najväčšej 9 cukríkov.
Do štyroch škatúľ sa teda umiestni 21 cukríkov (obr. 53).
Darujte túto bonboniéru svojmu priateľovi k narodeninám s podmienkou, že nezje bonbóny, kým „výročie“ neprerozdelí 21 bonbónov tak, aby každá krabička obsahovala párny počet párov bonbónov a ešte jeden.
Samozrejme, predtým, ako urobíte tento darček, musíte túto hádanku „prehryznúť“. Majte na pamäti, že tu nepomôžu žiadne pravidlá aritmetiky, musíte byť len bystrý a mať trochu dôvtipu.

110. Rytiersky ťah
Na vyriešenie tejto zábavnej šachovej hádanky nemusíte vedieť hrať šach. Stačí vedieť, ako sa figúrka rytiera pohybuje na šachovnici. Čierni pešiaci sú umiestnení na šachovnici (pozri schému na obr. 54). Umiestnite bieleho rytiera na ľubovoľné voľné pole, ktoré chcete šachovnica takým spôsobom, aby tento jazdec mohol odstrániť všetkých čiernych pešiakov z hracej plochy a zároveň vykonať čo najmenší počet ťahov jazdca.

113. Osem hviezd
V jednej z bielych buniek na obr. 57 Dal som hviezdičku.
Umiestnite ďalších 7 hviezd do bielych políčok tak, aby žiadne 2 hviezdy (z ôsmich) neboli na rovnakej vodorovnej, zvislej alebo akejkoľvek uhlopriečke.
Na vyriešenie problému je to, samozrejme, potrebné pokusmi, takže ďalším záujmom problému je aj zavedenie známeho systému do procesu potrebných testov.

114. Dva problémy s umiestnením písmen
Prvá úloha. Do štvorca rozdeleného na 16 rovnakých štvorcov usporiadajte 4 písmená tak, aby v každom vodorovnom rade, v každom zvislom rade a v každej z dvoch uhlopriečok veľkého štvorca bolo len jedno písmeno. Aký veľký je počet riešení tohto problému v prípade, keď sú umiestnené písmená rovnaké a v prípade, keď sú odlišné?
Druhá úloha. V štvorci rozdelenom na 16 rovnakých štvorcov usporiadajte 4-krát každé zo štyroch písmen a, b, c a d tak, aby v žiadnom vodorovnom rade, v každom zvislom rade a v každej z dvoch uhlopriečok veľkého písmena neboli žiadne rovnaké písmená. námestie. Aký veľký je počet riešení tohto problému?

115. Rozloženie farebných štvorcov
Pripravte si 16 rovnako veľkých štvorcov, ale štyroch rôznych farieb, povedzme biely, čierny, červený a zelený – 4 štvorce z každej farby. Máte štyri sady viacfarebných štvorcov. Na každé políčko prvej sady napíšte číslo 1, na každé políčko druhej sady - 2, na štvorce tretej sady - 3 a na štvorce štvrtej - 4.
Týchto 16 viacfarebných štvorcov je potrebné usporiadať tiež do tvaru štvorca a to tak, aby v každom vodorovnom rade, v každom zvislom rade a v každej z dvoch uhlopriečok boli štvorce s číslami 1, 2 , 3 a 4 v ľubovoľnom poradí a navyše bez výnimky rôznych farieb.
Problém pripúšťa množstvo riešení. Zamyslite sa nad systémom získavania požadovaných miest.

119. Problém s vtipom
Kolja Siničkin, študent 4. ročníka strednej školy, sa usilovne snaží presunúť šachového rytiera z ľavého dolného rohu šachovnice (z poľa a\) do pravého horného rohu (na pole h8), aby rytier navštívil každý štvorec dosky raz. Kým sa mu to nepodarí. Snaží sa však vyriešiť neriešiteľný problém?
Pochopte to teoreticky a vysvetlite Kolju Sinichkinovi, o čo tu ide.

120. Stoštyridsaťpäť dverí (puzzle)
Stredovekí feudáli niekedy premenili pivnice svojich hradov na väznice - labyrinty s najrôznejšími trikmi a tajomstvami: s posuvnými celami, tajnými chodbami, rôznymi pascami.
Pozeráte sa na taký starý hrad a mimovoľne je tu túžba snívať.
Predstavte si, že v jednej z týchto pivníc, ktorej plán je znázornený na obrázku 62, je zhodený muž z tých, ktorí bojovali proti feudálnemu pánovi. Predstavte si také tajomstvo pri výstavbe tohto suterénu. Zo 145 dverí je len 9 zamknutých (na obr. 62 sú označené hrubými pruhmi) a všetky ostatné sú otvorené dokorán. Zdá sa také ľahké prejsť k dverám, ktoré vedú von, a pokúsiť sa ich otvoriť. Nebolo to tam. Zamknuté dvere nie je možné otvoriť, ale samé sa otvoria, ak sú presne deviate v rade, teda ak 8 otvorené dvere. V tomto prípade musia byť všetky zamknuté dvere žalára otvorené a prejsť; každý z nich sa otvorí aj sám, ak predtým prešlo presne osem otvorených dverí. Oprava chyby a prechod cez 2 - 3 ďalšie dvere v susedstve, aby sa počet prejdených dverí zvýšil na osem, tiež zlyhá: akonáhle prejde niektorou komorou, všetky dvere, ktoré boli v nej predtým otvorené, sa pevne zatvoria a zamknú - už druhýkrát komorou neprejdete. Feudáli to tak zariadili naschvál.
Väzeň o tomto tajomstve žalára vedel a na stene svojej cely (na pláne označenej hviezdičkou) našiel klincom poškrabaný presný plán žalára. Dlho si lámal hlavu nad tým, ako naplánovať správnu trasu, aby každé zamknuté dvere boli skutočne deviate. Nakoniec tento problém vyriešil a dostal sa na slobodu.
Aké riešenie našiel väzeň?

121. Ako bol väzeň prepustený?
Tí, ktorí chcú, môžu premýšľať o tejto verzii predchádzajúceho problému.
Predstavte si, že kazemata, v ktorej väzeň chradne, pozostáva zo 49 ciel.
V siedmich komorách, označených na pláne kobky (obr. 63) písmenami A, B, C, D, E, F a G, sú po jedny dvere, ktoré sa dajú otvoriť len kľúčom, a kľúč od dverí cely A je v komore a, kľúč od dverí cely B sa nachádza v cele b, kľúče od dverí cely C, D, E, F a G sa nachádzajú v celách c, d, e f, resp.
Ostatné dvierka sa otvárajú jednoduchým zatlačením na kľučku, no na každých dverách je kľučka len na jednej strane a dvere sa po jej prejdení automaticky zabuchnú. Na druhej strane dverí nie je žiadna kľučka.
Mapa kobky ukazuje, akým spôsobom môžete prejsť cez každé dvere, ktoré sa otvárajú bez kľúča, ale nie je známe, v akom poradí by sa mali zamknuté dvere otvárať. Tými istými dverami je dovolené prejsť ľubovoľný počet krát, samozrejme, pri dodržaní podmienok, za ktorých sa otvárajú.
Väzeň je v cele O. Ukážte mu cestu vedúcu k východu na slobodu.

ŠIESTA KAPITOLA
DOMINO A KOCKA
A. Domino
197. Koľko bodov?
198. Dva triky
199. Výhra v hre je zaručená
200. Rám
201. Rám v rámci
202. "Windows"
203. Čarovné štvorce dominových kostí
204. Čarovný štvorec s dierkou
205. Násobenie dominou
206. Uhádni zamýšľanú dominovú kosť
B. Kocka
207. Aritmetický trik s kockami
208. Uhádnutie súčtu bodov na skrytých tvárach
209. V akom poradí sú kocky?

SIEDMA KAPITOLA
VLASTNOSTI DEVIATKY
210. Aké číslo je prečiarknuté?
211. Skrytý majetok
212. Niekoľko ďalších zábavných spôsobov, ako nájsť chýbajúce číslo
213. Podľa jednej číslice výsledku určte zvyšné tri
214. Hádanie rozdielu
215. Určenie veku
216. Aké je tajomstvo?

ÔSMA KAPITOLA
S ALGEBROU A BEZ
217. Vzájomná pomoc
218. Lenivec a čert
219. Chytré dieťa
220. Poľovníci
221. Prichádzajúce vlaky
222. Viera píše rukopis
223. Hubový príbeh
224. Kto sa vráti prvý?
225. Plavec a klobúk
226. Dve lode
227. Otestujte si svoju vynaliezavosť!
228. Rozpaky odvrátené
229. Koľkokrát viac?
230. Motorová loď a hydroplán
231. Cyklisti v aréne
232. Rýchlosť obracačky Bykov
233. Výlet Jacka Londona
234. Chyby sú možné kvôli neúspešným analógiám
235. Právny incident
236. Vo dvojici a trojici
237. Kto jazdil na koni?
238. Dvaja motorkári
239. V ktorom lietadle je Volodinov otec?
240. Polámať na kúsky
241. Dve sviečky
242. Úžasný postreh
243. "Správny čas"
244. Hodiny
245. Koľko je hodín?
246. O koľkej sa schôdza začala a skončila?
247. Seržant trénuje skautov
248. Podľa dvoch správ
249. Koľko nových staníc bolo vybudovaných?
250. Vyber štyri slová
251. Je takéto váženie prípustné?
252. Slon a komár
253. Päťmiestne číslo
254. Vyrastieš do sto rokov bez staroby
255. Lukášov problém
256. Zvláštna prechádzka
257. Jedna vlastnosť jednoduchých zlomkov

DEVIATA KAPITOLA
MATEMATIKA TAKMER BEZ VÝPOČTOV
258. V tmavej miestnosti
259. Jablká
260. Predpoveď počasia (vtip).
261. Deň lesa
262. Kto má aké meno?
263. Súťaž v streľbe
264. Kúpa
265. Cestujúci jedného kupé
266. Finále sovietskeho armádneho šachového turnaja
267. Nedeľa
268. Ako sa volá vodič?
269. História uhlia
270. Zberači byliniek
271. Skryté delenie
272. Šifrované akcie (číselné hádanky)
273. Aritmetická mozaika
274. Motocyklista a jazdec
275. Peši a autom
276. "Naopak"
277. Odhaliť falošnú mincu
278. Logická remíza
279. Traja mudrci
280. Päť otázok pre školákov
281. Úvaha namiesto rovnice
282. Zdravý rozum
283. Áno alebo nie?

DESIATA KAPITOLA
MATEMATICKÉ HRY A TOCKS
A. Hry
284. Jedenásť položiek
285. Zápasy berte ako posledné
286. Dokonca vyhráva
287. Jianshizi
288. Ako vyhrať?
289. Rozlož štvorec
290. Kto ako prvý povie „sto“?
291. Hranie štvorcov
292. Owa
293. "Matematika" (talianska hra)
294. Hra magické štvorce
295. Priesečník čísel
B. Triky
296. Uhádnutie plánovaného počtu (7 trikov)
297. Uhádnite výsledok výpočtov bez toho, aby ste sa na niečo pýtali
298. Kto koľko zobral a zistil
299. Jeden, dva, tri pokusy... a hádal som správne
300. Kto vzal žuvačku a kto ceruzku?
301. Hádanie troch koncipovaných pojmov a súčtu
302. Uhádni pár vymyslených čísel
303. Koľko máš rokov?
304. Uhádni vek
305. Geometrický trik (záhadné zmiznutie)

JEDENÁSTA KAPITOLA
DELITEĽNOSŤ ČÍSEL
306. Číslo na hrobe
307. Darčeky na Nový rok
308. Môže existovať také číslo?
309. Košík vajec (zo starej francúzskej knihy problémov)
310. Trojmiestne číslo
311. Štyri lode
312. Chyba pokladníka
313. Číselná hádanka
314. Znak deliteľnosti 11
315. Kombinovaný znak deliteľnosti 7, 11 a 13
316. Zjednodušenie kritéria deliteľnosti 8
317. Úžasná pamäť
318. Kombinované znamienko deliteľnosti 3, 7 a 19
319. Deliteľnosť dvojčlenu
320. Staré a nové o deliteľnosti 7
321. Rozšírenie znamienka na ďalšie čísla
322. Zovšeobecnený test deliteľnosti
323. Zvedavosť deliteľnosti

DVANÁSTA KAPITOLA
KRÍŽOVÉ SÚČTY A KÚZELNÉ ŠTVORKY
A. Krížové sumy
324. Zaujímavé zoskupenia
325. "Hviezdička"
326. "Kryštál"
327. Výzdoba vitríny
328. Kto uspeje ako prvý?
329. Planetárium
330. "Ornament"
B. Magické štvorce
331. Cudzinci z Číny a Indie
332. Ako si vyrobiť čarovný štvorec sám?
333. O prístupoch k bežným metódam
334. Skúška vynaliezavosti
335. "Magická" hra "15"
336. Netradičný magický štvorec
337. Čo je v centrálnej bunke?
338. „Mágia“ funguje
339. „Rakva“ aritmetických kuriozít
B. Prvky teórie magických štvorcov
340. "Pridaním"
341. „Pravidelné“ magické štvorce štvrtého rádu
342. Výber čísel pre magické štvorce ľubovoľného poradia

KAPITOLA TRINÁSŤ.
ZVEDAVÉ A VÁŽNE V ČÍSLACH
343. Desať číslic (pozorovanie).
344. Niekoľko ďalších zaujímavých postrehov
345. Dve zaujímavé skúsenosti
346. Číselný kolotoč
347. Disk okamžitého násobenia
348. Duševná gymnastika
349. Vzory čísel
350. Jeden za všetkých a všetci za jedného
351. Číselné nálezy
352. Pozorovanie radu prirodzených čísel
353. Nepríjemný rozdiel
354. Symetrický súčet (neprerušený orech)

KAPITOLA ŠTRNÁSŤ
ČÍSLA STARODÁVNE, ALE NAVŽDY MLADÉ
A. Počiatočné čísla
355. Prvočísla a zložené čísla
356. "Eratosthenovo sito"
357. Nové „sito“ na prvočísla
358. Päťdesiat prvých prvočísel
359. Ďalší spôsob, ako získať prvočísla
360. Koľko prvočísel?
B. Fibonacciho čísla
361. Verejný súdny proces
362. Fibonacciho rad
363. Paradox
364. Vlastnosti čísel vo Fibonacciho rade
B. Kučeravé čísla
365. Vlastnosti zložených čísel
366. Pytagorove čísla

KAPITOLA Pätnásta
GEOMETRICKÁ INTELIGENTNOSŤ V PRÁCI
367. Geometria výsevu
368. Racionalizácia pri ukladaní tehál na prepravu
369. Pracovníci geometra

Mestský rozpočet vzdelávacia inštitúcia

Stredná škola v Saranpaul

Výskumná práca matematiky

Pripravené:

Žiak 3. ročníka Frolov Nikolay,

vedúci:

Arteeva Antonina Andreevna,

učiteľka na základnej škole.

Saranpaul, 2017

Stránka

Úvod

Hodnota inteligentných úloh

Leonardo Fibonacci- matematik, ktorý svojou vynaliezavosťou prispel k riešeniu úloh

Klasifikácia úloh do "vynaliezavosti"

Logické úlohy

Krížové úlohy

Úlohy pre transfúzie

Rozprávkové úlohy

Úlohy pre vynaliezavosť, pre vynaliezavosť

Číselné rady, hádanky

Záver

Bibliografia

Úvod

Tvorivá činnosť je najsilnejším impulzom vo vývoji dieťaťa. Potenciálny génius žije v každom človeku, ale nie vždy človek cíti prítomnosť génia. S rozvojom tvorivých schopností je potrebné začať čo najskôr.

Akákoľvek matematická úloha pre vynaliezavosť, bez ohľadu na to, pre aký vek je určená, so sebou nesie určitú duševnú záťaž, ktorá sa najčastejšie skrýva zábavnou zápletkou, externými údajmi, stavom problému atď.. V úlohách rôzneho stupňa zložitosti, zábava priťahuje pozornosť detí, aktivuje myslenie, spôsobuje neustály záujem o nadchádzajúce hľadanie riešenia. Charakter materiálu určuje jeho účel: rozvíjať u detí všeobecné duševné a matematické schopnosti, zaujať ich o predmet matematika, zabaviť, čo, samozrejme, nie je to hlavné.Rozvoj vynaliezavosti, vynaliezavosti, iniciatívy sa uskutočňuje v aktívnej duševnej činnosti založenej na priamom záujme.

Zábavný matematický materiál je daný hernými prvkami obsiahnutými v každej úlohe, logickým cvičením, zábavou, či už ide o šach alebo najzákladnejšiu hádanku. Napríklad v otázke: „Ako zložiť štvorec na stole dvoma palicami? - nezvyčajnosť jeho inscenácie vás núti zamyslieť sa pri hľadaní odpovede, zapojiť sa do hry fantázie.

Rôznorodosť zábavného materiálu - hry, problémy, hádanky - dáva dôvod na ich klasifikáciu, aj keď je dosť ťažké rozdeliť do skupín taký rôznorodý materiál, ktorý vytvorili matematici.

Môže sa klasifikovať podľa rôznych kritérií: podľa obsahu a významu, povahy duševných operácií, ako aj znaku všeobecnosti, zameranie na rozvoj určitých zručností. Základom prideľovania takýchto skupín je povaha a účel materiálu určitého typu.

Účel: Študovať metódy na riešenie problémov s vynaliezavosťou.

Úlohy:

1. Preštudovať si tému „Riešenie problémov s vynaliezavosťou“, typy úloh pre vynaliezavosť a metódy ich riešenia.

2. Vyriešte niekoľko typov úloh pre vynaliezavosť, nezávisle zostavte algoritmus na riešenie takýchto problémov.

Hodnota inteligentných úloh

Tvorivá činnosť študentov v procese štúdia matematiky spočíva predovšetkým v riešení úloh. Schopnosť riešiť problémy je jedným z kritérií úrovne matematický rozvojštudentov, charakterizuje predovšetkým schopnosť študentov aplikovať svoje teoretické poznatky v konkrétnej situácii.

Pri riešení tradičných školských problémov sa využívajú určité vedomosti, zručnosti a schopnosti na ich riešenie v úzkom okruhu problematiky programového materiálu. V čom známymi spôsobmi riešenia obmedzuje tvorivé hľadanie študentov.

Úlohu vynaliezavosti, na rozdiel od tej tradičnej, nemožno priamo riešiť podľa žiadneho zákona. Úlohy pre vynaliezavosť sú tie, na ktoré v kurze matematiky nie je všeobecné pravidlá a ustanovenia definujúce presný program ich riešenia. Preto je potrebné nájsť riešenie, ktoré si vyžaduje kreatívne myslenie a prispieva k jeho rozvoju.

Riešenie problémov s vynaliezavosťou vyvoláva napätie z hľadania a radosť z objavovania - najdôležitejšie faktory rozvoja, tvorivého úspechu.

Hodnota úloh pre vynaliezavosť je veľmi vysoká - schopnosť študentov riešiť neštandardné úlohy ukazuje:

1. ​ Schopnosť myslieť originálnym spôsobom a má tiež veľký význam pri formovaní a rozvoji ich tvorivých schopností;

2. ​ Schopnosť zovšeobecňovať matematický materiál, izolovať to hlavné, odvrátiť pozornosť od nepodstatného, ​​vidieť všeobecné v navonok odlišnom;

3. ​ Schopnosť ovládať číselné a symbolické symboly;

4. ​ Schopnosť „konzistentného, ​​logického uvažovania“, spojená s potrebou dôkazov, odôvodnení, záverov;

5. ​ Schopnosť zredukovať proces uvažovania, myslieť v zložených štruktúrach;

6. ​ Schopnosť reverzibilnosti myšlienkového procesu (k prechodu od priameho k spätnému mysleniu);

7. ​ Flexibilita myslenia, schopnosť prejsť z jednej mentálnej operácie do druhej, oslobodenie od obmedzujúceho vplyvu vzorov a šablón. Táto vlastnosť myslenia je dôležitá v tvorivá práca matematici;

8. ​ Schopnosť rozvíjať matematickú pamäť... je pamäť na zovšeobecnenie, logika;

9. Schopnosť priestorových zobrazení.

Dokonca aj K.D.Ushinsky napísal, že "... učenie, bez akéhokoľvek záujmu a brané len z donútenia... zabíja túžbu študenta po učení, bez ktorého ďaleko nezájde."

Záujem je silným motivátorom činnosti, pod jeho vplyvom prebiehajú všetky duševné procesy obzvlášť intenzívne a činnosť sa stáva vzrušujúcou a produktívnou. Jej podstata spočíva v túžbe študenta hlbšie a dôkladnejšie preniknúť do poznanej oblasti, v neustálom nutkaní venovať sa predmetu svojho záujmu.

Z histórie vzhľadu úloh pre vynaliezavosť

Nie je prekvapujúce, že úlohy pre vynaliezavosť sa stali zábavou „pre všetky časy a národy“.Prvá učebnica matematiky, ktorá sa k nám dostala, alebo skôr jej​ šťava dlhá 5 metrov, vo svete známa ako „Londýnsky papyrus“, alebo „Ahmesov papyrus“, obsahuje 84 spolu s riešením úlohy. Vyučovanie sa podľa neho viedlo v škole štátnych pisárov. Už starí Egypťania pochopili, aká dôležitá je úloha v procese učenia​ hodnota hrá prvok zábavy, a medzi tie zahrnuté v "papi​ Rus Ahmes "takých úloh bolo veľa. Takže po tisícročia z jednej zbierky​ prezývka zábavných problémov matematiky v inom sa potuluje „problémom se​ moje mačky“ z tohto papyrusu. Napriek existencii trinásťzväzkových „Počiatkov“ Euklida (3. storočie pred n. l.), ktoré sa na viac ako dve tisícročia stali vzorom vedeckej prísnosti, zábavný prvok z matematiky nevymizol v starovekom Grécku a najvýraznejšie je zastúpený v r. „Aritmetika“ od Diofanta Alexandrijského (pravdepodobne 3. storočie). Najhlbšiu stopu pri riešení problémov s vynaliezavosťou zanechali v stredoveku Taliani Leonardo (Fibonacci) z Pisy (XIII. storočie) a Niccolò Tartaglia (XVI. storočie).

Od 17. storočia začali vznikať zbierky matematickej zábavy, podobné tým moderným. Medzi nimi „Príjemné a zábavné úlohy uvažované v číslach“ od matematika a básnika Gasparda Claude Bache sieur de Meziriac a „Matematická a fyzikálna zábava“ od ďalšieho francúzskeho matematika a spisovateľa Jacquesa Ozanama.

V 19. storočí Edouard Lucas, francúzsky matematik a teoretik čísel, vydal štvorzväzkové dielo o zábavnej matematike, ktoré sa stalo klasikou. Na prelome XIX a XX storočia. Veľkým vkladom do pokladnice zábavnej matematiky boli vynikajúci vynálezcovia hier a hlavolamov – talentovaný Američan-samouk Sam Loyd a Angličan Henry Ernest Dudeney. Zábavná matematika druhej polovice 20. storočia nemožno si predstaviť bez celej série nádherných kníh, ktoré napísal slávny americký matematik Martin Gardner. Práve jeho rôznorodé matematické eseje, harmonicky spájajúce vedeckú hĺbku a schopnosť pobaviť, priviedli milióny ľudí na celom svete (vrátane mňa) do exaktných vied a, samozrejme, aj do zábavnej matematiky.

V Rusku sú také zbierky problémov ako „Aritmetika“ od L. F. Magnitského, „V ríši vynaliezavosti“ od E. I. Ignatieva, „Živá matematika“, „Zábavná aritmetika“, „Zábavná algebra“ a „Zábavná geometria“ od Ya. I. Perelman a „Matematická vynaliezavosť“ od B. A. Kordemského

Leonardo Fibonacci - matematik, ktorý svojou vynaliezavosťou prispel k riešeniu úloh.

Leonardo Fibonacci sa narodil a žil v Taliansku v meste Pisa v 12.-13. Jeho otec bol obchodník, a preto mladý Leonardo veľa cestoval. Na východe sa zoznámil s arabskou číselnou sústavou; následne to analyzoval, opísal a predstavil európskej spoločnosti vo svojej slávnej knihe „Liber Abaci » (« účtovná kniha "). Pripomeňme, že v Európe sa v tom čase používali rímske číslice, ktoré boli strašne nepohodlné pracovať tak pri zložitých matematických a fyzikálnych výpočtoch, ako aj pri práci s a účtovníctvo.

Leonardo Fibonacci zaviedol do Európy arabské číslice , ktorý používa takmer celý západný svet dodnes.Prechod z rímskeho systému na arabský spôsobil revolúciu v matematike a iných vedách s tým úzko súvisí.

Je ťažké si predstaviť, aký by bol svet, keby vtedy, v 13. storočí, Fibonacci nevydal svoju knihu a nepredložil Európanom arabské číslice. Je zaujímavé, že bez váhania používame arabské číslice, pričom ich považujeme za samozrejmosť. Ale nebyť Leonarda Fibonacciho, ktovie, ako by sa beh dejín vyvíjal. No predsa prezentáciatraktát Arabské čísla výrazne zmenili stredovekú matematiku k lepšiemu; posunul ju a s ňou aj ďalšie vedy ako fyzika, mechanika, elektronika atď. Všimnite si, že práve tieto vedy vedú pokrok vpred. To je dôvod, prečo v mnohých ohľadoch priebeh dejín,o rozvoj európskej civilizácie a vedy vôbec sa zaslúžil Leonard Fibonacci .

Séria Fibonacciho čísel

Druhou vynikajúcou zásluhou Leonarda Fibonacciho jerad Fibonacciho čísel . Verí sa, že táto séria bola známa na východe, ale bol to Leonardo Fibonacci, ktorý publikoval túto sériu čísel v spomínanej knihe „Liber Abaci“ (urobil to, aby demonštroval reprodukciu populácie králikov).

Neskôr sa to ukázalotáto postupnosť čísel je dôležitá nielen v matematike, ekonómii, a finančníctvo, ale aj v botanike, zoológii, fyziológii, medicíne, umení, ako aj vo filozofii, estetike a mnoho ďalších. pretože civilizácie, táto séria čísel sa stala známou od Leonarda Fibonacciho, bol prezývaný, “Séria Fibonacci » alebo "Fibonacciho čísla ».

Vzorec a príklad radu Fibonacciho čísel

Vo Fibonacciho sekvenciikaždý prvok, počnúc tretím, je súčtom predchádzajúcich dvoch prvkov , napriek tomu, že séria začína číslami 0 a 1. Získa sa súčet: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 …

Fibonacci je legendárna postava v matematike, ekonómii a financiách ; vyhlásil arabské číslice a predstavil magický rad čísel.

Problém vymyslel taliansky vedec Fibonacci, ktorý žil v 13. storočí.
„Niekto kúpil pár králikov a umiestnil ich do výbehu oploteného zo všetkých strán. Koľko králikov bude za rok, ak predpokladáme, že každý mesiac sa páru narodí nový pár králikov ako potomstvo, ktoré tiež začína rodiť potomstvo od druhého mesiaca života?

odpoveď: 377 párov V prvom mesiaci králikov už budú 2 páry: 1 počiatočný pár, ktorý porodil, a 1 narodený pár. V druhom mesiaci králikov budú 3 páry: 1 počiatočný, opäť rodiaci, 1 rastúci a 1 narodený. V treťom mesiaci - 5 párov: 2 páry, ktoré porodili, 1 rastúci a 2 narodené. Vo štvrtom mesiaci - 8 párov: 3 páry, ktoré porodili, 2 rastúce páry, 3 narodené páry. Pokračujúc v úvahách po mesiacoch je možné stanoviť vzťah medzi počtom králikov v aktuálnom mesiaci a v predchádzajúcich dvoch. Ak označíme počet párov cez N a cez m - poradové číslo mesiaca, potom N m = N m-1 + N m-2 . Pomocou tohto výrazu sa počet králikov vypočíta podľa mesiacov v roku: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,55, 89, 144, 233, 377.

Klasifikácia úloh pre vynaliezavosť

Pri takýchto problémoch sa od riešiteľa vyžaduje obmedzený počet vážení, aby lokalizoval predmet, ktorý sa líši od iných predmetov hmotnosťou. Aj v tejto časti sa zvažujú transfúzne úlohy, pri ktorých je potrebné získať určité množstvo tekutiny pomocou nádob daného objemu.

Nájdenie prebytku

Vyžaduje schopnosť kombinovať skupiny objektov podľa určitých vlastností.

Textové úlohy pre výpočty

Jednoduché životné procesy, schopnosť aplikovať matematické poznatky v živote.

Úlohy na hľadanie logických chýb, úlohy s chytákom

Rozvíjajú cennú a veľmi potrebnú vlastnosť úspešného človeka – kritické myslenie. Naučiť sa analyzovať stav. Niekedy je odpoveď v samotnom probléme.

Priradenie k vlastnostiam čísel a operácie s nimi

Vlastnosť párnych a nepárnych čísel, správne umiestnenie zátvoriek, umiestnenie číslic v čísle, ktoré spĺňa určité podmienky. Deliteľnosť čísel. Operácie s číslami.

Kryptomeny

Matematický rébus, v ktorom je zašifrovaný príklad na vykonanie jednej z aritmetických operácií. V tomto prípade sú rovnaké čísla zašifrované rovnakým písmenom a rôzne čísla zodpovedajú rôznym písmenám.

Úlohy na logiku a uvažovanie

Úlohy, ktoré priamo nesúvisia s výpočtami, ale aktívne rozvíjajú myslenie.

O čase

Vypočítajte si dátum pomocou tipov, zapamätajte si, ako fungujú hodiny, alebo určte vek niekoho len pomocou tipov.

Na postupnosti čísel

V týchto úlohách je potrebné rozlúštiť princíp, ktorým je nastavená určitá postupnosť, a pokračovať v nej.

Problémy so zápasmi

Pri manipulácii so zápalkami je potrebné dosiahnuť požadovaný výsledok. Väčšina týchto úloh patrí medzi tie „neštandardné“, vyžadujúce zručnosť „zhodnotiť situáciu z pohľadu, ktorý je pre väčšinu neočakávaný, alebo vidieť v stave možnosť využitia nie očividných údajov“.

hádanky

Hra, v ktorej sú slová, frázy alebo celé výroky šifrované pomocou kresieb kombinovaných s písmenami a znakmi.

šach

Každá etapa kurzu spravidla obsahuje niekoľko lekcií (minimálne 2) šachu. Základné postavy. Učíme sa budovať efektívne stratégie, myslieť, robiť informované a racionálne rozhodnutia

Logické úlohy

Pri riešení logických úloh pre individuálnu korešpondenciu je vhodné zapisovať údaje do tabuľky, kde na priesečník riadka a stĺpca vložíme znamienko „+“ alebo znamienko „-“.

1. Piati spolužiaci - Irena, Timur, Camilla, Eldar a Zalim sa stali víťazmi olympiád pre školákov z fyziky, matematiky, informatiky, literatúry a geografie. To je známe

Víťaz olympiády v informatike učí Irenu a Timura pracovať na počítači;

Camilla a Eldar sa začali zaujímať aj o informatiku;

Timur sa vždy bál fyziky;

Camilla, Timur a víťaz literárnej olympiády chodia plávať;

Timur a Kamilla zablahoželali víťazovi matematickej olympiády;

Irena ľutuje, že na literatúru jej zostáva málo času.

Ktorú olympiádu vyhral každý z týchto chlapcov?

1 spôsob riešenia pomocou tabuľky

I T C E Z

F M I L G

odpoveď: Irena je víťazkou olympiády v matematike. Timur - v geografii.

Camille - vo fyzike Eldar - v literatúre. Zalim - v informatike

2. Tri dievčatá - Rosa, Margarita a Anyuta predstavili na súťaži košíky ruží, margarétok a macešek, ktoré vypestovali. Dievča, ktoré pestovalo sedmokrásky, upozornilo Rosu na skutočnosť, že žiadne z mien dievčat sa nezhoduje s menami ich obľúbených kvetov. Aké kvety vypestovalo každé z dievčat?

Riešenie: uvažovaním

a) Anya nepestovala macešky. b) Margarita nepestovala sedmokrásky c) Ruža nepestovala ruže. Rose mohla pestovať buď ruže alebo macešky. Z ruže nerástli ruže. Záver: Rose vyrástla macešky. Margarita pestovala ruže. Anya pestovala sedmokrásky.

3. Štyria priatelia - Zhenya, Kostya, Dima a Vadim - vyrobili dekorácie na dovolenku. Niekto vyrobil zlaté papierové girlandy, niekto červené gule, niekto vyrobil strieborné papierové girlandy a niekto vyrobil zlaté papierové sušienky. Kostya a Dima pracovali s papierom rovnakej farby, Zhenya a Kostya vyrábali rovnaké hračky. Kto vyrábal ozdoby?

odpoveď:

4. Masha, Lida, Zhenya a Katya hrajú na rôzne nástroje - gombíková harmonika, klavír, gitara, husle, ale každá na jednom. Hovoria aj cudzími jazykmi - anglicky, francúzsky, nemecky, španielsky, ale každý hrá na rovnaký nástroj a akým cudzím jazykom hovorí?

Krížové úlohy

V úlohách na prejazdy je potrebné uviesť postupnosť úkonov, pri ktorých sa požadovaný prejazd vykonáva a sú splnené všetky podmienky úlohy.

Vlk, koza a kapusta. Na brehu rieky stojí sedliak s člnom a vedľa neho vlk, koza a kapusta. Sedliak sa musí prekrížiť a preniesť vlka, kozu a kapustu na druhú stranu. Do člna sa však dáva okrem sedliaka buď len vlk, alebo len koza, alebo len kapusta. Nemôžete nechať vlka s kozou alebo kozu s kapustou bez dozoru - vlk môže jesť kozu a koza môže jesť kapustu. Ako sa má roľník správať?

Odpoveď: Roľník môže postupovať podľa jedného z dvoch algoritmov:

Odpoveď: Nech sú M1 a M2 chlapci, C1 a C2 sú vojaci. Algoritmus kríženia môže byť nasledujúci:

1. M1 a M2 –>
2. M1<–
3. Cl ->
4. M2<–
5. M1 a M2 –>
6. M1<–
7. C2 ->
8. M2<–

Úlohy pre transfúzie

Títoúlohy sú praktické. Riešenie takýchto problémov rozvíja logické myslenie, núti vás premýšľať, pristupovať k riešeniu problému z rôznych uhlov pohľadu, vybrať si najjednoduchší a najjednoduchší spôsob z rôznych riešení. Na to je potrebné pomocou nádob známych nádob odmerať určité množstvo kvapaliny. Najjednoduchším spôsobom riešenia problémov tejto triedy je vymenovať možné možnosti.A je potrebné uviesť postupnosť činností, pri ktorých sa vykonáva požadovaná transfúzia a sú splnené všetky podmienky.

1. Ako s dvoma vedrami s objemom 3 a 5 litrov načerpať z kohútika 7 litrov vody?

odpoveď:

2. Zlá macocha poslala svoju nevlastnú dcéru k prameňu po vodu a povedala: „V našich vedrách je 5 a 9 litrov vody. Vezmite ich a prineste presne 3 litre vody.“ Ako by mala postupovať nevlastná dcéra, aby splnila túto úlohu?

odpoveď:

Pri problémoch s transfúziou, o ktorých sa hovorilo vyššie, boli podané dve nádoby a voda bola vyliata z vodovodného kohútika.Sú tam náročnejšie úlohy, nie dve plavidlá, ale tri a viac. Voda sa NEBERIE z kohútika. Pri takýchto problémoch je voda už v niektorej nádobe, napríklad v tej najväčšej. A budeme nalievať vodu v malých nádobách. Voda sa nedá vyliať. Ak je potrebné nádobu vyprázdniť, potom sa prebytočná voda naleje do inej nádoby. Väčšinou je väčšia nádoba zásobárňou, z ktorej sa berie voda a prebytočná sa do nej leje.

Rozprávkové úlohy

Riešenie takýchto úloh oživuje matematiku. Túžba pomôcť hrdinovi v problémoch stimuluje duševnú aktivitu, v budúcnosti spôsobuje túžbu čítať dielo. Sympatie pri takýchto úlohách sú na strane kladného hrdinu. Dobro víťazí, zlo je potrestané, negatívne vlastnosti sú zosmiešňované.

na jednom z nich stretneš svoju smrť,

nič sa ti nestane,

tretia cesta vás dovedie k Vasilise Krásnej.

Majte na pamäti, že všetky tri nápisy vytvoril Koshchei Nesmrteľný. Ivan hodil loptu na zem. Zvalil sa, Ivan ho nasledoval. Ako dlho, ako krátko išiel Ivan, ale prišiel k obrovskému kameňu. Na kameni je napísané:

"Ak pôjdeš doľava, stretneš svoju smrť",

"Ak pôjdeš doprava, zachrániš Vasilisu Krásnu zo zajatia", "Ak pôjdeš rovno, niečo sa ti stane."

Riešenie: Tretí údaj je nesprávny – Ivanovi sa cestou nič nestane. Nesprávny je aj druhý zápis, t.j. na ceste doprava Ivan Vasilisu Krásnu nezachráni. Takže na zostávajúcej ceste (ceste doľava) Ivan zachráni Vasilisu Krásnu.

2. Šesť lupičov okradlo kráľa Dadona. Korisť sa ukázala ako bohatá – menej ako sto rovnakých zliatkov. Lupiči si korisť začali deliť rovným dielom, no jeden zliatok sa ukázal byť nadbytočný. Lupiči sa pobili a jeden z nich bol v boji zabitý. Zvyšok opäť začal deliť zlato a opäť sa jeden kus ukázal ako nadbytočný. A opäť jeden z lupičov zomrel v boji. A tak ďalej: zakaždým bol jeden ingot nadbytočný a jeden z lupičov zomrel v boji. Nakoniec zostal jeden lupič, ktorý na následky zranení zomrel. Koľko ingotov tam bolo?

Riešenie:ak by na začiatku bolo o jeden takt menej, potom by došlo k rozdeleniu. Číslo, ktoré je menšie ako 100 a je deliteľné 2, 3, 4, 5, 6 - 60. Celkový počet zliatkov je teda 60+1=61.

Úlohy pre vynaliezavosť

1. Dve matky, dve dcéry a stará mama s vnučkou. Koľko?

2. Byt mal 3 izby. Vyrobené dva z jedného. Koľko izieb je v byte?

3. Ako usporiadať 8 stoličiek k štyrom stenám miestnosti tak, aby každá stena mala 3 stoličky?

Úlohy pre vynaliezavosť

Koľko hodín je spolu deň a noc?

Na stole bolo jablko. Bola rozdelená na 4 časti. Koľko jabĺk je na stole?

Úlohy na zmenu postavenej postavy

2. Z tyčiniek vytvorte rovnakú figúrku ako na obrázku. Odstráňte 2 tyčinky a vytvorte 6 štvorcov.

Číselný rad

1,2,3,4,5,6…

1,4,16…

45,39,33,27…

0,3,8,15,24…

112,56,28,14…

hádanky

Nahraďte hviezdičky číslami tak, aby boli splnené rovnosti vo všetkých riadkoch a každé číslo v poslednom riadku sa rovnalo súčtu čísel v stĺpci, pod ktorým sa nachádza. Riešenie:

11x10=110

6* : *7 = *

68:17 = 4

** +** =20

10+10= 20

* 2 -* = *

12- 4 = 8

*** +**=1**

101 +41+142

Problémy s geometrickým obsahom (unikátne postavy)

Existuje známe podobenstvo: niekto dal milión rubľov každému, kto vytiahne ďalšiu postavu. No pri kreslení bola stanovená jedna podmienka. Požadovalo sa, aby bol tento obrazec nakreslený jedným súvislým ťahom, to znamená bez toho, aby sa pero alebo ceruzka sňali z papiera a bez zdvojenia jedinej čiary, inými slovami, nebolo možné prejsť čiaru nakreslenú druhýkrát.

Záver

V matematike existujú rôzne typy úloh pre vynaliezavosť:

Na váženie a transfúziu,

logické úlohy,

transfúzne úlohy,

krížové úlohy,

Problémy s geometrickým obsahom,

Rébusy, číselný rad.

Metódy riešenia takýchto problémov spočívajú v logickej analýze podmienok, voľbe vhodných matematických zákonov a optimálnom riešení.

Neexistuje univerzálny spôsob, ako vyriešiť všetky druhy problémov s vynaliezavosťou, každý problém sa rieši vlastným spôsobom.

Úlohy pre vynaliezavosť pomáhajú naučiť sa samostatne myslieť, rozvíjať logiku, záujem o matematiku. S ich pomocou môžete pocítiť prepojenie matematiky s problémami reálneho života.

Úlohy, ktoré stoja pred autorom práce, sú vyriešené, a to:

Preštudovať si tému „Riešenie problémov s vynaliezavosťou“, typy úloh pre vynaliezavosť a metódy ich riešenia;

Vyriešte niekoľko typov úloh pre vynaliezavosť, nezávisle zostavte algoritmus na riešenie takýchto problémov.

Bibliografia

1. T.D. Gavrilova: "Zábavná matematika." Vydavateľstvo "Uchitel" 2008

2. NAPR. Kozlová: "Rozprávky a rady". Vydavateľstvo Miros 1995

3. B. A. Kordemsky: „Matematická vynaliezavosť“ Vydavateľstvo „Štátne vydavateľstvo technickej a teoretickej literatúry“ 1958

4. Ya. I. Perelman: „Zábavná algebra“. Vydavateľstvo "Storočie" 1994

5.R.M.Smullyan "Ako sa volá táto kniha?". Vydavateľstvo "Dom Meshcheryakova"

2007

7. http://matematika.gyn

8.www.smekalka.pp