Matematična iznajdljivost. Raziskovalno delo "matematika" Otroška matematika

Predgovor k drugi izdaji 3

Prvo poglavje
ZABAVNI IZZIVI

Razdelek I
1. Pionirji opazovalci 9.385
2. "Kamnita roža" 10 385
3. Premikanje dama 11 385
4. V treh potezah 11.386
5. Štej! 12 386
6. Pot vrtnarja 12 386
7. Morate razumeti 13 386
8. Brez obotavljanja 13.386
9. Dol - gor 13 387
10. Prečkanje reke (star problem) 14.387
11. Volk, koza in zelje 14.387
12. Razvaljajte črne kroglice 15 388
13. Popravilo verige 15 388
14. Popravi napako 16,390
15. Od treh - štirih (šala) 16.390
16. Tri in dva - osem (še ena šala) 16.390
17 Trije kvadrati 16 390
18. Koliko delov? 17 390
19. Poskusi! 17 391
20. Označevanje 17 391
21. Ohranite pariteto 18,391
22. "Magični" številski trikotnik 18 391
23. Kako se je 12 deklet igralo z žogo 19 392
24. Štiri ravne črte 20 392
25. Loči koze od zelja 20.392
26. Dva vlaka 21.392
27. Ob visoki plimi (šala) 21.393
28. Pokličite 22 393
29. Zlomljena številčnica 22 393
30. Neverjetna ura (kitajska uganka) 23.393
31. Trije v vrsto 24 395
32. Deset vrstic 24 395
33. Lokacija kovancev 25 395
34. Od 1 do 19 26 395
35. Hitro, a previdno 26.396
36. Kodrasti rak 27 396
37. Stroški knjige 27.396
38. Nemirna muha 27.396
39. Manj kot 50 let 28.396
40. Dve šali 28 396
41. Koliko sem star? 29 396
42. Oceni "na prvi pogled" 29 397
43. Dodajanje hitrosti - 29 397
44. V kateri roki? (matematični fokus) 31.397
45. Koliko jih je? 31 398
46. ​​​​Iste števke 31 398
47. Sto 31 398
48. Aritmetični dvoboj 32 398
49. Dvajset 33 398
50. Koliko poti? 33 399
51. Spremeni razporeditev števil 35 400
52. Različna dejanja, enak rezultat 35402
53. Devetindevetdeset sto 36.402
54. Snemljiva šahovnica 36 402
55. Iskanje min 36 402
56. Zberite v skupine po 2 38 402
57. Zberite v skupine po 3 39 402
58. Ura se je ustavila 39 404
59. Štiri aritmetične operacije 39 404
60. Zmedeni voznik 40 404
61. Za hidroelektrarni Tsimlyansk 41.404
62. Dostava kruha pravočasno 41 405
63. V primestnem vlaku 41 405
64. Od 1 do 1.000.000.000 41.405
65. Nočna mora nogometnega navijača 42.406

Razdelek II
66. Ure 43 406
67. Stopnišče 43 407
68. Uganka 43 407
69. Zanimivi ulomki 43 407
70. Kakšna je številka? 44 407
71. Pot šolarja 44 407
72. Na stadionu 44.407
73. Si zmagal? 44 407
74. Budilka 44 407
75. Namesto majhnih delnic veliki 45.407
76. Milo 45 408
77. Aritmetični orehi 45 408
78. Domine 46 409
79. Mišini mačji mladiči 48 409
80. Povprečna hitrost 48 409
81. Spalni potnik 48 409
82. Kakšna je dolžina vlaka? 48 409
83. Kolesar 48 409
84. Konkurenca 49 409
85. Kdo ima prav? 49 409
86. Za večerjo - 3 popečene rezine 50 410

Drugo poglavje
ZAUPNE DOLOČBE

87. Pamet kovača Hecho 51 410
88. Mačka in miši 53 410
89. Ujema okoli kovanca 54 411
90. Žreb je padel na siža in robina 54 411
91. Razporedi kovance 55 411
92. Prevozni potnik1 55 412
93. Problem, ki izhaja iz muhavosti treh deklet 56 412
94. Nadaljnji razvoj naloge 57 413
95. Skakanje dama 57 415
96. Belo in črno 57 415
97. Zapletanje problema 58 415
98. Karte so zložene v številčnem vrstnem redu 58 415
99. Dve lokacijski uganki 59 417
100. Skrivnostna škatla 59 417
101. Hrabri "garnizon" 60 417
102. Fluorescentne sijalke v TV sobi 61 419
103. Postavitev morskih prašičkov 62.421
104. Priprava na počitnice 63 422
105. Drugačna postavitev hrastovih dreves 65 423
106. geometrijske igre 65 423
107. Sodo in liho (uganka) 68 424
108. Uredi razporeditev damarjev 69 424
109. Puzzle darilo 69 425
110. Konjska poteza 70 425
111. Premikanje dama (2 uganki) 71.425
112. Prvotno združevanje celih števil od 1 do 15 72 426
113. Osem zvezd 73 426
114. Dva problema za postavitev črk 73 427
115. Postavitev pisanih kvadratkov 74 429
116. Zadnji žeton 74 430
117. Obroč diskov 75 431
118. Drsalci na drsališču umetni led 76 431
119. Problem šale 77 432
120. Sto petinštirideset vrat (uganka) 77 432
121. Kako je bil zapornik izpuščen? 79 432

Tretje poglavje
GEOMETRIJA NA VŽIGALICAH

122. Pet ugank 85 433
123. Še osem ugank 86 433
124. Iz devetih tekem 86 433
125. Spirala 87 433
126. Šala 87 433
127. Odstrani dve vžigalici 87 433
128 Fasada "hiše" 87 433
129 Šala 88 433
130 trikotnikov 88 433
131 Koliko vžigalic je treba odstraniti? 88 433
132 Šala 88 433
133 Ograja 88 433
134. Šala 89 433
135. "Puščica" 89 433
136. Kvadrati in karo 89 433
137. Različni mnogokotniki na eni sliki 89 433
138 Načrtovanje vrta 89 433
139 Enaki deli 90 433
140. Parket 91 433
141 Ohranjeno razmerje površin 91 441
142. Poišči obris figure 91 441
143 Poišči dokaz 92 441
144. Sestavi in ​​dokaži 92 441

Četrto poglavje
POSKUSI SEDEMKRAT, ENKRAT ODREŽI

145. V enakih delih 93 442
146. Sedem vrtnic na torti 95 443
147. Figure, ki so izgubile obliko 95 445
148. Svetujte 96 445
149. Brez izgube! 96 445
150. Ko so nacisti vdrli v našo zemljo 97 447
151. Spomini električarja 98 447
152. Vse gre v službo 99 447
153. Uganka 99 447
154. Izreži podkev 99 447
155. V vsakem delu - luknja 99 448
156. Iz "vrča" - kvadrat 100 448
157. Kvadrat iz črke "E" 100 448
158. Čudovita preobrazba 100 449
159. Restavriranje preprog 101449
160. Draga nagrada 101 449
161. Pomagaj revežu! 102 449
162. Darilo za babico 103 451
163. Mizarski problem 104 451
164. In krznar ima geometrijo! 104 452
165. Vsak konj, en hlev 105 453
166. Več! 105 453
167. Pretvorba mnogokotnika v kvadrat 106 453
168. Pretvorba pravilnega šestkotnika v enakostranični trikotnik 107 453

peto poglavje
SPRETNOST BO NAŠLA UPORABO POVSOD

169. Kje je tarča? 109 454
170. Pet minut za razmislek 110 455
171. Nepredvideno srečanje 110 455
172. Potovalni trikotnik Ш 456
173. Poskusite tehtati 111 458
174. Prenos 112 458
175. Sedem trikotnikov 112458
176. Slike umetnika 112 458
177. Koliko tehta steklenica? 113 459
178. Kocke 113 460
179. Pločevinka strel 114 461
180. Kam je prišel narednik? 114 461
181. Določite premer hloda 115 461
182. Nepričakovana težava 115 461
183. Zgodba dijaka tehnične šole 116 461
184. Ali je mogoče prihraniti 100 %? 116 463
185. Na vzmetnih tehtnicah 117 463
186. Oblikovalska iznajdljivost 117 463
187. Mišin neuspeh 117 465
188. Poišči središče kroga 119 465
189. Katera škatla je težja? 119 466
190. Umetnost mizarstva 120 466
191. Geometrija na krogli 120 466
192. Potrebna je velika iznajdljivost 121 467
193. Težke razmere 121 468
194. Montažni poligoni 122 468
195. Zanimiv način sestavljanja podobnih figur 125 469
196. Zgibni mehanizem za gradnjo pravilnih poligonov 127 471

Šesto poglavje
DOMINO IN KOCKA

A. Domino
197. Koliko točk? 132 471
198. Dva trika 133 471
199. Zmaga v igri je zagotovljena 134 471
200. Okvir 135 472
201. Okvir v okvirju 136 472
202. "Windows" 136 473
203. Magični kvadrati domin kosti 137 473
204. Magični kvadrat z luknjo 141 473
205. Domino množenje 141473
206. Ugani načrtovano domino 142 473

B. Kocka
207. Aritmetični trik z igranje kock 144 473
208. Ugibanje vsote točk na skritih obrazih 145 477
209. V kakšnem vrstnem redu so kocke? 145 478

Sedmo poglavje
LASTNOSTI DEVETE

210. Katero število je prečrtano? 149 478
211. Skrita lastnina 152 479
212. Še nekaj zabavnih načinov za iskanje manjkajoče številke 152.480
213. Na podlagi ene števke rezultata določi preostale tri 154 480
214. Ugibati razliko 154 481
215. Določitev starosti 154 481
216. Kaj je skrivnost? 154 482

Osmo poglavje
Z ALGEBRO IN BREZ nje

217. Medsebojna pomoč 159.482
218. Lenuh in hudič 160 483
219. Pameten otrok 161 483
220. Lovci 161.483
221. Prihajajoči vlaki 162.484
222. Faith tipka rokopis 162.484
223. Zgodba o gobah 163 484
224. Kdo se bo prvi vrnil? 164 484
225. Kopalka in klobuk 164.486
226. Dve ladji 165 486
227. Preizkusite svojo iznajdljivost! 165 487
228. Zadrega je preprečila 166.488
229. Kolikokrat več? 166 488
230. Motorna ladja in hidroplan 167.488
231. Kolesarji v areni 167.489
232. Hitrost obračalnika Bykova 168 489
233. Potovanje Jacka Londona 168.489
234. Zaradi neuspešnih analogij so možne napake169 490
235. Pravni incident 170 491
236. V parih in trojicah 171.491
237. Kdo je jahal konja? 171 491
238. Dva motorista 171.492
239. V katerem letalu je Volodinov oče? 172 492
240. Razbiti na koščke 173 493
241. Dve sveči 173 493
242. Neverjeten vpogled 173 493
243. Pravi čas 174 493
244. Ure 174 494
245. Koliko je ura? 174 495
246. Ob kateri uri se je sestanek začel in končal? 175 496
247. Narednik usposablja skavte 175.497
248. Po dveh poročilih 176 498
249. Koliko novih postaj je bilo zgrajenih? 176 498
250. Izberi štiri besede 177 498
251. Ali je takšno tehtanje dopustno? 177 499
252. Slon in komar 178 500
253. Petmestno število 179500
254. Zrasli boste do sto let brez starosti 179 500
255. Lukov problem 181 501
256. Nenavaden sprehod, .181 502
257. Ena lastnost preprostih ulomkov 182 504

Deveto poglavje
MATEMATIKA SKORAJ BREZ IZRAČUNAVANJA

V temni sobi
Jabolka
Vremenska napoved (šala)
gozdni dan
Kdo ima ime?
Tekmovanje v natančnosti
Nakup
Potniki v enem kupeju
Finale šahovskega turnirja Sovjetske vojske
nedelja
Kako je ime vozniku?
kriminalna zgodovina
Nabiralci zelišč
Skrita delitev
Šifrirana dejanja (številske uganke)
Aritmetično polaganje
Motorist in konj
Peš in z avtom
"Od nasprotnega"
Odkrijte ponarejene kovance
Logično žrebanje
trije modreci
Pet vprašanj za študente
Sklepanje namesto enačbe
Avtor: zdrava pamet
Ja ali ne?

deseto poglavje
MATEMATIČNE IGRE IN TOCKS

A. Igre
284. Enajst postavk 201
285. Vzemite zadnje 202 tekme
286. Tudi zmaga 202
287. Jianshizi 202
288. Kako zmagati? 204
289. Postavite kvadrat 205
290. Kdo bo prvi rekel "sto"? 206
291. Igranje kvadratov 206
292. Oja 209
293. "Matezatico" (italijanska igra) 212
294. Igra čarobnih kvadratov 213
295. Presek števil 215

B. Triki
296. Uganiti načrtovano število (7 trikov) 219
297. Ugani rezultat izračuna, ne da bi karkoli vprašal 224
298. Kdo je koliko vzel, sem izvedel 226
299. En, dva, trije poskusi in prav sem uganil 226 537
300. Kdo je vzel žvečilni gumi in kdo svinčnik? 227 537
301. Ugani tri mišljene člene in vsoto 227 537
302. Ugani več zamišljenih števil 228 538
303. Koliko si star? 229 538
304. Ugani starost 229 538
305. Geometrijsko žarišče (skrivnostno izginotje) 230 538

Enajsto poglavje
DELLJIVOST ŠTEVILA

306. Številka na grobu 232 539
307. Darila za novo leto 233 540
308. Ali lahko obstaja takšno število? 233 540
309. Košara jajc (iz stare francoske knjige problemov) 233 540
310. Trimestno število 234 540
311. Štiri ladje 234 540
312. Napaka blagajnika 234 540
313. Številska uganka 234 541
314. Znak deljivosti z 11 235 541
315. Kombinirani znak deljivosti s 7, 11 in 13 237 541
316. Poenostavitev testa deljivosti z 8 239 541
317. Neverjeten spomin 240 542
318. Kombinirano znamenje deljivosti s 3, 7 in 19. 242 543
319. Deljivost binoma 242 543
320. Staro in novo o deljivosti s 7,247,544
321. Razširitev znaka na druge številke 251 -
322. Posplošen znak deljivosti 252 -
323. Zanimivost deljivosti 254 -

Dvanajsto poglavje
KRIŽKE VŠTETICE IN MAGIČNI KVADRATI

A. Križne vsote
324. Zanimive skupine 256 545
325. "Zvezdica" 257 545
326. "Kristal" 257 545
327. Dekoracija vitrine 258 545
328. Kdo bo prvi uspel? 258 545
329. "Planetarium" 259 545
330. "Ornament" 259 545

B. Čarobni kvadrati
331. Tujci iz Kitajske in Indije 260 548
332. Kako narediti magični kvadrat sam? 264 548
333. Na vhodu v skupne metode 266 549
334. Izpit iznajdljivosti 271 549
335. "Čarobna" igra "15" 271 551
336. Netradicionalni magični kvadrat 272 553
337. Kaj je v osrednji celici? 273 553
338. "Magija" deluje 275 553
339. "Skrinjica" aritmetičnih zanimivosti 278 -
340. "Poleg" 280 -
341. "Navadni" magični kvadrati četrtega reda 283 -
342. Izbor številk za magični kvadrat poljubnega reda 287 -

TRINAJSTO POGLAVJE RADOVEDNI IN RESNI V ŠTEVILKAH
343. Deset številk (opombe) 298 554
344. Še nekaj zanimivih opažanj 300 555
345. Dve zanimivi izkušnji 302 555
346. Številčni vrtiljak 306 -
347. Disk za takojšnje množenje 309 -
348 Mentalna gimnastika 310 -
349. Vzorci števil 312 557
350 Eden za vse in vsi za enega 316 558
351. Številčne najdbe 319 559
352. Opazovanje niza naravnih števil 326 560
353. Nadležna razlika 339 -
354. Simetrična vsota (nezlomljen oreh) 340 -

Štirinajsto poglavje
ŠTEVILKE STARODAVNE, A VEČNO MLADE

A. Začetne številke
355. Praštevila in sestavljena števila 341 -
356. "Eratostenovo sito" 342 -
357. Novo "sito" za praštevila 344 563
358. Prvih petdeset praštevil 345 -
359. Drug način za pridobivanje praštevil. 345-
360. Koliko praštevil? 347

B. Fibonaccijeva števila
361. Javna obravnava 347 -
362. Fibonaccijeva serija 351 -
363. Paradoks 352 564
364. Lastnosti števil v Fibonaccijevem nizu 355 -

B. Zavite številke
365. Lastnosti kodrastih števil 360 -
366. Pitagorejska števila 369 -

PETNAJSTO POGLAVJE GEOMETRIJSKA NAMERA PRI DELU
367. Geometrija setve 372 -
368. Racionalizacija pri polaganju Opeke za transport 375 -
369. Delovni geometri 377

Priznana dva poglavja:

PREDGOVOR K DRUGI IZDAJI
Pri delu, pri učenju, igri, pri kakršni koli ustvarjalni dejavnosti človek potrebuje iznajdljivost, iznajdljivost, domnevo, sposobnost sklepanja – vse to, kar naše ljudstvo primerno opredeljuje z eno besedo »bistrost«. Iznajdljivost lahko vzgajamo in razvijamo s sistematičnimi in postopnimi vajami, predvsem z reševanjem matematičnih nalog tako v šolskem tečaju kot problemov, ki izhajajo iz prakse, povezane z opazovanjem sveta stvari in dogajanja okoli nas.
»Matematika,« je dejal M. I. Kalinin, ko je nagovarjal srednješolce, »disciplinira um, navaja na logično razmišljanje. Ni čudno, da pravijo, da je matematika gimnastika uma.
Vsaka družina, v kateri starši skrbijo za organizacijo duševni razvoj otroci in mladostniki čutijo potrebo po izbranem gradivu, da bi svoj prosti čas zapolnili s koristnimi, razumnimi in ne dolgočasnimi matematičnimi vajami.
Prav tovrstnim obšolskim dejavnostim, pogovorom in zabavi ob prostem večeru, v družinskem krogu in s prijatelji ali v šoli na obšolskih srečanjih je namenjena »Matematična iznajdljivost« - zbirka matematičnih miniatur: različne naloge, matematične igre, šale in triki, ki zahtevajo delo uma, razvijanje inteligence in potrebno logiko pri sklepanju.
V predrevolucionarnih časih so bile znane zbirke E. I. Ignatieva "V kraljestvu iznajdljivosti". Zdaj so za našega bralca zastareli in zato niso ponovno objavljeni. Kljub temu so v teh zbirkah problemi, ki še niso izgubili pedagoške in vzgojne vrednosti. Nekatere so v Mathematical Ingenuity vstopile nespremenjene, druge s spremenjeno ali povsem novo vsebino.
Za matematično iznajdljivost sem izbral in po potrebi obdelal probleme tudi med tistimi, ki so raztreseni po straneh obsežne domače in tuje poljudne literature, pri čemer se trudim, da ne ponavljam problemov, ki so vključeni v priljubljene knjige Ya. I. Perelmana o zabavna matematika.
Tovrstni matematični problemi v "majhni obliki" včasih nastanejo kot stranski produkt znanstvenikovega resnega raziskovanja; številne naloge si izmislijo amaterji, pa tudi učitelji, kot posebne vaje za »mentalno gimnastiko«. Tako kot uganke in pregovori običajno ne ohranijo avtorstva in postanejo javna last.
"Matematične pameti" so namenjene bralcem z najrazličnejšimi diplomami. matematično usposabljanje:
za najstnika, starega 10 - 11 let, ki prvič poskuša samostojno razmišljati;
za srednješolca, ki ga navdušuje matematika,
in za odraslo osebo, ki želi preizkusiti in uveljaviti svoje ugibanje.
Sistematizacija nalog po poglavjih je seveda zelo poljubna; Vsako poglavje vsebuje lahke in težke naloge.
Knjiga ima petnajst poglavij.
Prvo poglavje sestavljajo različne vrste začetnih vaj »zanimive« narave, ki temeljijo na ugibanju ali neposrednih fizičnih dejanjih (eksperiment), včasih na preprostih izračunih znotraj aritmetike celih števil (prvi del poglavja) in ulomkov (drugi del poglavja). razdelek). Nekoliko kršil klasifikacijsko harmonijo knjige, sem v prvem poglavju izpostavil nekaj preprostih problemov, ki tematsko sodijo v naslednja poglavja. To se naredi v interesu tistih bralcev, ki še vedno težko neodvisno ločijo izvedljivo nalogo od nemogoče. Z reševanjem različnih vrst nalog v prvem poglavju zapored se bodo lahko preizkusili, nato pa zanimanje za posamezno temo prenesli na ustrezne naloge naslednjih poglavij.
Za rešitev problemov drugega poglavja mora lastna matematična iznajdljivost in vztrajnost premagati najrazličnejše ovire in predlagati izhod iz težkih situacij.
Tretje poglavje - "Geometrija na vžigalicah" - vsebuje številne geometrijske probleme - uganke.
V poglavju »Sedemkrat poskusi, enkrat odreži« so naloge za izrezovanje oblik.
Vsebina nalog poglavja "Veščina bo našla uporabo povsod" je povezana s praktičnimi dejavnostmi, s tehnologijo.
Poglavje z naslovom »Matematika skoraj brez izračunov« vsebuje probleme, ki zahtevajo verigo spretnega in pretanjenega sklepanja.
Igre in triki so zbrani v ločenem poglavju in prav tako postavljeni po celotni knjigi. Vsebujejo matematično podlago in nedvomno sodijo v »kraljestvo iznajdljivosti«.
Tri poglavja: »Križne vsote in magični kvadrati«, »Radovedna in resna v številih« in »Števila starodavna, a večno mlada« so posvečena nekaterim radovednim opažanjem o številskih razmerjih, ki so se v matematiki nabrala od pradavnine do danes.
Zadnje poglavje- dva kratka eseja o delovni iznajdljivosti ljudi naše domovine, delavcev na poljih in v tovarnah.
Na različnih mestih v knjigi se bralcu ponujajo drobne teme za samostojno raziskovanje.
Na koncu knjige so rešitve problemov, vendar ne bi smeli hiteti, da bi jih pogledali.
Vsaka naloga za "iznajdljivost" je prežeta z nekaj "popestritve" in je v večini primerov trd oreh, ki ga ni tako lahko streti, a še toliko bolj mamljivo.
Če težave ne rešite takoj, jo lahko začasno preskočite in preidete na naslednjo ali na naloge drugega razdelka, drugega poglavja. Pozneje se vrnite na zamujeno nalogo.
Matematična iznajdljivost ni knjiga za enostavno branje »v enem dahu«, ampak za morda večletno delo, knjiga za redno miselno telovadbo v majhnih porcijah, bralčev spremljevalec v njegovem postopnem matematičnem razvoju.
Vse gradivo knjige je podrejeno izobraževalnemu in izobraževalnemu cilju: spodbuditi bralca k samostojnemu ustvarjalnemu razmišljanju, še izboljšati svoje matematično znanje.
Druga izdaja Matematičnih pameti ni stereotipna ponovitev prve. Izvedene so potrebne spremembe besedila in rešitev nekaterih nalog; ločene naloge nadomestijo nove - bolj smiselne; knjiga je preoblikovana.
Veliko truda za izboljšavo knjige je vložil urednik založbe M. M. Hot.
Bralci so ob samostojnem reševanju problemov v nekaterih primerih našli dodatne ali enostavnejše rešitve in mi svoje rezultate prijazno sporočili. Avtorji najbolj zanimivih rešitev so navedeni na ustreznih mestih v knjigi.
Upam, da bom prejel povratne informacije in predloge bralcev "Smekalke" o nadaljnji izboljšavi knjige, pa tudi lastnih izvirnih problemov in matematičnih gradiv ljudske umetnosti.
Naslov: Moskva, B-64, ul. Chernyshevsky, 31, apt. 53, Boris Anastasijevič Kordemski.
B. Kordemskega.

NALOGE

"Knjiga je knjiga in premakni svoje možgane"
V. Majakovskega.

PRVO POGLAVJE. ZABAVNI IZZIVI

ODDELEK I
Preizkusite in vadite svojo iznajdljivost sprva na takšnih nalogah, katerih rešitev zahteva le namensko vztrajnost, potrpežljivost, iznajdljivost in sposobnost seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja celih števil.

1. Pionirji opazovalci
Šolarja - deček in deklica - sta pravkar opravila meteorološke meritve.
Zdaj počivata na hribu in opazujeta mimo vozeči tovorni vlak.
Lokomotiva na vzponu se mrzlično kadi in sopiha. Po platnu železnica enakomerno, brez sunkov veter piha.
- Kakšno hitrost vetra so pokazale naše meritve? je vprašal deček.
- 7 metrov na sekundo.
- Danes je to dovolj, da ugotovim, kako hitro vozi vlak.
- No, ja, - je dvomila deklica.
- In pobližje si oglejte gibanje vlaka.
Deklica je malo pomislila in tudi ugotovila, kaj je narobe.
In videli so točno to, kar je naslikal naš umetnik (slika 1). Kakšna je bila hitrost vlaka?
riž. 1. Kako hiter je vlak?

2. "Kamnita roža"
Se spomnite nadarjenega "obrtnika" mojstra Danila iz pravljice P. Bazhova "Kamniti cvet"?
Na Uralu pravijo, da je Danila še kot študentka izrezljala dve taki roži (slika 2), katerih listi, stebla in cvetni listi so bili ločeni, iz oblikovanih delov rož pa je bilo mogoče zložiti ploščo v obliko kroga.
Poskusi! Na papir ali karton prerišite cvetove daniline, izrežite cvetne liste, stebla in liste ter zložite krog.

3. Premikanje dama
Na mizo v vrsto izmenično postavite 6 damajev - črne, bele, še eno črno, še eno belo itd. (slika 3).
riž. 3. Bela dama naj bodo na levi, za njimi - črna.
Levi ali desni dopust prosto mesto, kar zadostuje za štiri dame.
Dama je treba premakniti tako, da so vsi beli na levi, za njimi pa vsi črni. Istočasno morate premakniti dva bližnja dama na prazno mesto hkrati, ne da bi spremenili vrstni red, v katerem ležijo. Za rešitev problema je dovolj, da naredite tri gibe (tri poteze) *).
Če nimate dama, uporabite kovance ali narežite koščke papirja ali kartona.
*) Tematika te naloge je nadalje razvita v nalogah 96 in 97 (str. 57 in 58).

4. V treh potezah
Na mizo položite 3 kupčke vžigalic. V en kupček položite 11 vžigalic, v drugega 7 in v tretjega 6. Ko prestavljate vžigalice s katerega koli kupčka na drugega, morate vse tri kupčke izenačiti tako, da ima vsak po 8 vžigalic. To je mogoče, saj je skupno število ujemanj - 24 - deljivo s 3 brez ostanka; v tem primeru je treba upoštevati naslednje pravilo: na kupček je dovoljeno dodati točno toliko vžigalic, kolikor jih je v njem. Na primer, če je v kupčku 6 vžigalic, potem se mu lahko doda samo 6, če so v kupčku 4 vžigalice, se mu lahko dodajo le 4.
Problem je rešen v 3 potezah.

5. Štej!
Preverite svoje geometrijsko opazovanje: preštejte, koliko trikotnikov je na sliki, prikazani na sl. štiri.

6. Pot vrtnarja
Na sl. 5 je načrt manjšega nasada jablan (točke - jablane). Vrtnar je obdelal vse jablane po vrsti.
riž. 5. Načrt nasada jablan.
Začel je iz celice, označene z zvezdico, in se sprehodil eno za drugo skozi vse celice, tako zasedene z jablanami kot
svoboden, nikoli se ne vrne v prehojeno celico. Ni hodil po diagonalah in ni bil na zasenčenih celicah, saj so bile tam postavljene različne zgradbe.
Po končanem ogledu je vrtnar končal na istem trgu, s katerega je začel svojo pot.
V zvezek nariši vrtnarjevo pot.

7. Morate biti pametni
V košari je 5 jabolk. Kako ta jabolka razdeliti med pet deklet, da bo vsako dekle dobilo eno jabolko in da bo eno jabolko ostalo v košari?

8. Brez obotavljanja
Povejte mi, koliko mačk je v sobi, če v vsakem od štirih vogalov sobe sedi ena mačka, nasproti vsake mačke sedijo 3 mačke in na repu vsake mačke sedi mačka?

9. Dol - gor
Deček je močno pritisnil rob modrega svinčnika ob rob rumenega svinčnika. En centimeter (po dolžini) stisnjenega roba modrega svinčnika, šteto od spodnjega konca, obarvamo z barvo. Fant drži rumeni svinčnik nepremično, modri pa ga še naprej pritiska na rumenega, ga spusti za 1 cm, nato ga vrne v prejšnji položaj, spet spusti za 1 cm in se spet vrne v prejšnji položaj; 10-krat spusti in 10-krat dvigne modri svinčnik (20 gibov).
Če predpostavimo, da se v tem času barva ne izsuši in ne zmanjka, koliko centimetrov v dolžino bo rumeni svinčnik umazan po dvajsetem gibu?
Opomba. To težavo si je izmislil matematik Leonid Mihajlovič Ribakov na poti domov po uspešnem lovu na raco. Kaj ga je spodbudilo k pisanju naloge, boste prebrali na strani 387, ko boste rešili nalogo.

10. Prečkanje reke (star problem)
Majhen vojaški oddelek se je približal reki, skozi katero je bilo treba prečkati. Most je polomljen in reka je globoka. Kako biti? Nenadoma častnik ob obali opazi dva fanta, ki se zabavata v čolnu. A čoln je tako majhen, da ga lahko prečka samo en vojak ali samo dva fanta – ne več! Vendar so vsi vojaki prečkali reko na tem čolnu. kako
Rešite ta problem "v glavi" ali praktično - s pomočjo dame, vžigalic ali česa podobnega in jih premikajte po mizi skozi namišljeno reko.

11. Volk, koza in zelje
Tudi to je stara težava; najdemo v spisih 8. stoletja. Ima čudovito vsebino.
riž. 6. Nemogoče je bilo zapustiti volka in kozo brez človeka ...
Neka oseba naj bi v čolnu čez reko prepeljala volka, kozo in zelje. V čoln je lahko stal samo en človek in z njim bodisi volk, bodisi koza ali zelje. Če pa pustiš volka s kozo brez človeka, potem bo volk pojedel kozo, če pustiš kozo z zeljem, bo koza pojedla zelje, v prisotnosti človeka pa »nihče nikogar ni pojedel«. Moški je svoj tovor vseeno prepeljal čez reko.
Kako mu je to uspelo?
V ozkem in zelo dolgem žlebu je 8 žogic: štiri črne na levi in ​​štiri bele malo večjega premera na desni (slika 7). V srednjem delu korita je v steni manjša niša, v katero lahko gre samo ena krogla (katera koli). Dve krogli sta lahko nameščeni ena poleg druge čez žleb samo na mestu, kjer se nahaja niša. Levi konec žleba je zaprt, na desnem koncu pa je luknja, skozi katero lahko gre katera koli črna krogla, bela pa ne. Kako odkotaliti vse črne krogle iz žleba? Žogic ni dovoljeno jemati iz žleba.

13. Popravilo verige
Ali veste, o čem je razmišljal mladi gospodar (slika 8)? Pred njim je 5 členov verige, ki jih je treba povezati v eno verigo brez uporabe dodatnih obročev. Če na primer odkovate prstan 3 (ena operacija) in ga pritrdite na obroč 4 (še ena operacija), nato odkovate obroč 6 in pritrdite obroč 7 itd., potem bo skupaj osem operacij in glavni poskuša skovati verigo s pomočjo samo šestih operacij. Uspelo mu je. Kako je ravnal?

14. Odpravite napako
Vzemite 12 vžigalic in iz njih položite "enakost", prikazano na sl. 9.
riž. 9. Popravi napako tako, da prestavi samo eno vžigalico.
Enakost, kot lahko vidite, ni pravilna, saj se izkaže, da je 6 - 4 = 9.
Premaknite eno vžigalico, da dobite pravilno enakost.

15. Od treh - štiri (šala)
Na mizi so 3 tekme.
Ne da bi dodali eno samo vžigalico, naredite tri do štiri. Vžigalic ne smeš zlomiti.

16. Tri da dva - osem (še ena šala)
Tukaj je še ena podobna šala. Lahko ga ponudite svojemu prijatelju.
Na mizo položite 3 vžigalice in povabite prijatelja, naj jim doda še 2, tako da dobite osem. Vžigalic seveda ne moreš pokvariti.

17. Trije kvadrati
Iz 8 palic (na primer vžigalic), od katerih so štiri polovice daljše od ostalih štirih, morate sestaviti 3 enake kvadrate.

18. V obratu za struženje tovarne se deli stružijo iz svinčenih surovcev. Iz ene praznine - detajl. Ostružke, ki nastanejo pri obdelavi šestih delov, je mogoče: stopiti in pripraviti za drug surovec. Koliko delov lahko na ta način izdelamo iz 36 svinčenih surovcev?

19. Poskusi!
V kvadratni plesni dvorani postavite 10 stolov ob stene, tako da je na vsaki steni enako število stolov.

20. Razporejanje zastavic
Komsomolci so zgradili majhno medkolhozno hidroelektrarno. Do dneva zagona pionirji zunanjost elektrarne na vseh štirih straneh okrasijo z girlandami, žarnicami in zastavicami. Zastav je bilo malo, samo 12.
Pionirji so jih najprej postavili po 4 na vsako stran, kot je prikazano na diagramu (slika 10), nato so ugotovili, da bi lahko na vsako stran postavili istih 12 zastav po 5 ali celo 6. Drugi projekt jim je bil bolj všeč in odločili so se postavite 5 potrditvenih polj.
Na diagramu pokaži, kako so pionirji razporedili 12 zastav, po 5 na vsako od štirih strani, in kako so lahko razporedili 6 zastav.

21. Ohranite pariteto
Vzemite 16 predmetov (papir, kovanci, slive ali dama) in jih razporedite po 4 v vrsto (slika 11). Sedaj odstranite 6 kosov, vendar tako, da v vsaki vodoravni in navpični vrsti ostane sodo število elementov. Z odstranitvijo različnih 6 kosov lahko dobite različne rešitve.

22. "Magični" številčni trikotnik
Na oglišča trikotnika sem postavil števila 1, 2 in 3, vi pa na stranice trikotnika postavite števila 4, 5, 6, 7, 8, 9, tako da bo vsota vseh števil vzdolž vsake stranice trikotnika je 17. To ni težko, saj sem predlagal, katera števila naj bodo postavljena na oglišča trikotnika. 2
Veliko dlje se boste morali kobacati, če vam vnaprej ne povem, katera števila naj bodo postavljena na ogliščih trikotnika, in predlagam, da številke znova postavite
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
vsako po enkrat, vzdolž stranic in na ogliščih trikotnika, tako da je vsota števil na vsaki strani trikotnika 20.
Ko dobite želeno razporeditev številk, poiščite vedno več novih razporeditev. Pogoji problema so lahko izpolnjeni za najrazličnejše razporeditve števil.

23. Kako se je 12 deklet igralo z žogo
Dvanajst deklet se je postavilo v krog in se začelo igrati z žogo. Vsaka deklica je vrgla žogo svoji sosedi na levi. Ko je žoga obšla cel krog, jo je vrglo v nasprotno smer. Čez nekaj časa je ena deklica rekla:
- Bolje, da vržemo žogo skozi eno osebo.
»Ampak ker nas je dvanajst, polovica deklet ne bo sodelovala v igri,« je živo ugovarjala Nataša.
- Potem bomo žogo vrgli skozi dva! (Vsak tretji ujame žogo.)
- Še huje: samo štirje bodo igrali ... Če želite, da igrajo vsa dekleta, morate vreči žogo skozi štiri (peta ujame). Druge kombinacije ni.
- In če vržeš žogo skozi šest ljudi?
- To bo enaka kombinacija, le žogica bo šla v nasprotno smer.
- In če igrate v desetih (vsak enajsti ujame žogo)? so vprašale dekleta.
Tako smo se že igrali...
Dekleta so začela risati diagrame vseh predlaganih načinov igranja in zelo kmalu so se prepričala, da ima Natasha prav. Samo ena shema igre (razen začetne) je zajela vse udeležence brez izjeme (slika 13, a).
Zdaj, če bi igralo trinajst deklet, bi lahko žogo vrgli skozi eno (slika 13, b), skozi dve (slika 13, c) in skozi tri (slika 13, d) in skozi štiri ( Slika 13, e) in vsakič, ko bi igra zajela vse udeležence. Ugotovite, ali je mogoče s trinajstimi igralci žogo vreči skozi pet ljudi?
Ali je možno vreči žogo skozi šest ljudi s trinajstimi igralci? Razmislite in narišite ustrezne diagrame za jasnost.

24. Štiri ravne črte
Vzemite list papirja in narišite približno sl. 14. Ima devet točk, tako da so razporejene v obliki kvadrata, kot je prikazano na sl. 14. Zdaj prečrtajte vse pike s štirimi ravnimi črtami, ne da bi dvignili svinčnik s papirja.

25. Kozličke ločimo od zelja
Zdaj rešite problem, ki je v nekem smislu nasproten prejšnjemu. Tam smo točke povezali z ravnimi črtami, tukaj pa moramo narisati 3 ravne črte, da ločimo koze od zelja (slika 15). Na risbi knjige ne sme biti narisanih ravnih črt.
V zvezek preriši postavitev koz in zelja in nato poskusi rešiti nalogo. Sploh ne morete risati črt, ampak uporabite pletilne igle ali tanke žice.

26. Dva vlaka
Hitri vlak je iz Moskve odpeljal proti Leningradu in brez postanka vozil s hitrostjo 60 kilometrov na uro. Iz Leningrada v Moskvo mu je nasproti prišel še en vlak in prav tako peljal brez postanka s hitrostjo 40 kilometrov na uro.
Kako daleč bodo ti vlaki 1 uro preden se srečajo?

27. Ob plimi (šala)
Nedaleč od obale je ladja z vrvno lestvijo, spuščeno ob boku. Stopnice imajo 10 stopnic; razdalja med stopnicama je 30 cm, najnižja stopnica se dotika vodne površine. Ocean je danes zelo miren, vendar plima prihaja in se dviguje
Bili sta dve številki in voda za vsako uro za 15 cm. Po kolikšnem času bo tretja stopnica vrvne lestve prekrita z vodo?

28. Številčnica
a) Številčnico ure razdeli z dvema ravnima črtama na tri dele tako, da s seštevanjem številk v vsakem delu dobiš enako količino.
b) Ali lahko to številčnico razdelimo na 6 delov, tako da bi bili v vsakem delu vsoti teh dveh števil v vsakem od šestih delov enaki?

29. Zlomljena številčnica
V muzeju sem videl staro uro z rimskimi številkami na številčnici, namesto znane številke štiri (IV) so bile štiri palčke (IIII). Razpoke, ki so nastale na številčnici, so jo razdelile na 4 dele, kot je prikazano na sl. 17. Vsote števil v vsakem delu niso bile enake: v enem - 21, v drugem - 20, v tretjem - 20, v četrtem - 17.
Opazil sem, da bi bila z nekoliko drugačno razporeditvijo razpok vsota števil v vsakem od štirih delov številčnice 20. Pri novi razporeditvi razpok morda ne gredo skozi sredino številčnice. Ponovno narišite številčnico ure v svoj zvezek in poiščite to novo mesto razpok.
riž. 17. Razpoke so razdelile številčnico na 4 dele.

30. Neverjetna ura (kitajska uganka)
Nekoč so urarja nujno prosili, naj pride v eno hišo.
- Bolan sem, - je odgovoril urar, - in ne morem iti. Če pa bo popravilo preprosto, ti bom poslal svojega vajenca.
Izkazalo se je, da je treba zlomljene puščice zamenjati z drugimi.
»Moj vajenec lahko to reši,« je rekel mojster. - Preveril bo mehanizem vaše ure in ji izbral nove kazalce.
Vajenec je zelo pridno opravljal svoje delo in ko je končal s pregledovanjem ure, je bila že tema. Glede na delo opravljeno si je naglo nadel pobrane kazalce in jih položil na uro: velik kazalec na številko 12, mali pa na številko 6 (ura je bila točno 18. ura).
Toda kmalu po tem, ko se je vajenec vrnil v ličarsko sobo, da bi delovodjo obvestil, da je delo opravljeno, je zazvonil telefon. Fant je dvignil telefon in zaslišal jezen glas stranke:
- Uro ste slabo popravili, narobe kaže čas.
Mojstrov vajenec, presenečen nad tem sporočilom, je pohitel k stranki. Ko je prišel, je ura, ki jo je popravil, kazala začetek devetega. Študent je vzel žepno uro in jo izročil jeznemu lastniku hiše:
- Preverite, prosim. Vaša ura nikoli ne zaostaja.
Osupli kupec se je bil prisiljen strinjati, da je njegova ura v ta trenutek res kaže pravi čas.
Toda naslednje jutro je stranka ponovno poklicala in povedala, da so urini kazalci očitno ponoreli in se sprehajali po številčnici, kot so želeli. Mojstrov vajenec je stekel do stranke. Ura je kazala začetek osmega. Ko je preverjal čas na uri, je bil resno jezen:
- Smejiš se mi! Vaša ura kaže točen čas!
Ura je res kazala točen čas. Ogorčeni učiteljev učenec je hotel takoj oditi, a ga je mojster zadržal. In po nekaj minutah so našli vzrok za tako neverjetne incidente.
Ali niste uganili, kaj se tukaj dogaja?

31. Trije v vrsto
Na mizo postavite 9 gumbov v obliki kvadrata, 3 gumbe na vsaki strani in enega v sredini (slika 18). Upoštevajte, da če sta vzdolž katere koli ravne črte dva ali več gumbov, bomo takšno razporeditev vedno imenovali "vrstica". Torej, AB in CD sta vrstici, od katerih ima vsaka 3 gumbe, EF pa je vrstica, ki vsebuje dva gumba.
riž. 18. Koliko vrstic je tam?
Ugotovite, koliko vrst s po 3 gumbi je na sliki in koliko je takšnih vrst, od katerih ima vsaka samo 2 gumba.
Zdaj odstranite morebitne 3 gumbe in razporedite preostalih 6 v 3 vrstice, tako da so v vsaki vrsti 3 gumbi.

32. Deset vrstic
Zlahka je uganiti, kako razporediti 16 dama v 10 vrstic po 4 dama v vsaki vrsti. Veliko težje je razporediti 9 damov v 10 vrst tako, da so v vsaki vrsti 3 dama.
Rešite oba problema.

33. Lokacija kovancev
Na prazen list papirja narišite sliko, prikazano na sl. 19, hkrati pa povečajte njegovo velikost za 2-3 krat in pripravite 17 kovancev naslednje vrednosti:
20 kopecks - 5 kosov,
15 kopecks - 3 kosi,
10 kopecks - 3 kosi,
5 kopecks - 6 kosov.
riž. 19. Razporedite kovance na polja te figure.
Pripravljene kovance razporedite po kvadratih narisane figure tako, da je vsota kopejk vzdolž vsake ravne črte, prikazane na sliki, 55.

34. Od 1 do 19
V devetnajstih krogih sl. 20 je potrebno za razporeditev 19 tako, da je vsota števil v poljubnih treh krogih, ki ležijo na isti ravni črti, enaka 30.

35. Hitro, a previdno
Reši naslednje 4 naloge "na hitrost" - kdo bo hitreje dal pravilen odgovor:

Problem 1. Opoldne avtobus s potniki odpelje iz Moskve proti Tuli. Uro kasneje se kolesar odpravi iz Tule proti Moskvi in ​​se pelje po isti avtocesti, vendar seveda veliko počasneje kot avtobus.
Ko se potniki avtobusa in kolesar srečajo, kateri od njih bo dlje od Moskve?
Problem 2. Kaj je dražje: kilogram grivn ali pol kilograma dveh grivn?
Naloga 3. Ob 6. uri je stenska ura odbila 6 udarcev. Na žepni uri sem opazil, da je čas od prvega do šestega udarca točno 30 sekund.
Če je ura potrebovala 30 sekund, da je odbila 6-krat, koliko časa bo ura še opoldne ali ob polnoči, ko ura odbije 12-krat?
Naloga 4. Iz ene točke so priletele 3 lastovke. Kdaj bosta na istem letalu?

Sedaj pa z mirnim sklepanjem preverite svoje odločitve in si oglejte razdelek »Odgovori«.
- No, kako? Ste se ujeli v te majhne pasti, ki jih vsebujejo te preproste naloge?
Takšne naloge so privlačne, ker izostrijo pozornost in učijo biti previdni v običajnem toku misli.
vsa cela števila od 1 do
riž. 20. V krogce vpiši številke od 1 do 19.

36. Kodrasti rak
Figuriran rak, prikazan na sl. 21, sestavljen iz 17 kosov.
Iz kosov tega raka zložite dve figuri hkrati: krog in kvadrat poleg njega.

37. Stroški knjige
Za knjigo so plačali 1 rubelj in še polovico cene knjige. Koliko stane knjiga?

38. Nemirna muha
Na avtocesti Moskva - Simferopol sta dva športnika istočasno začela vožnjo s kolesom za trening drug proti drugemu.
V tistem trenutku, ko je med kolesarji ostalo le še 300 km, je muho začela zelo zanimati kilometrina. Ko je zletela z rame enega kolesarja in ga prehitela, je planila proti drugemu. Ko je srečala drugega kolesarja in se prepričala, da je vse varno, se je takoj obrnila nazaj. Muha je priletela do prvega športnika in se spet obrnila k drugemu.
Tako je letela med bližajočimi se kolesarji, dokler se kolesarji niso srečali. Potem se je muha umirila in se usedla enemu izmed njih na nos.
Muha je letela med kolesarji s hitrostjo 100 km na uro, kolesarji pa so ves ta čas potovali s hitrostjo 50 km na uro.
Koliko kilometrov je preletela muha?

39. Manj kot 50 let kasneje
Ali bo v tem stoletju takšno leto, da bo, če bo napisano s številkami in papir obrnjen na glavo, številka, ki bo nastala na obrnjenem papirju, izražala isto leto?

40. Dve šali
Prva šala. Oče je poklical hčerko, jo prosil, naj kupi nekaj stvari, ki jih potrebuje za odhod, in rekel, da je denar v kuverti na njegovi mizi. Deklica je na kratko pogledala na ovojnico in videla napisano številko 98, vzela denar in ga, ne da bi ga preštela, dala
vrečko, kuverto pa zmečkal in odvrgel.
V trgovini je kupila stvari za 90 rubljev, in ko je želela odplačati, se je izkazalo, da ne le da nima osem rubljev, kot je pričakovala, ampak ji manjkajo celo štirje rublji.
Doma je o tem povedala očetu in ga vprašala, ali se je zmotil, ko je štel denar. Oče je odgovoril, da je denar pravilno preštel, sama pa se je zmotila in jo v smehu opozorila na napako. Kaj je bila deklicina napaka?

Druga šala. Pripravite 8 listov papirja s številkami 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 in 9 in jih razporedite v dva stolpca, kot je prikazano na sl. 22.
Tako, da premaknete samo dva lista papirja, zagotovite, da sta vsoti števil v obeh stolpcih enaki.
riž. 22. Izenačite neenake količine.

41. Koliko sem star?
Ko je bil oče star 31 let, sem bila jaz stara 8 let, zdaj pa je oče dvakrat starejši od mene. koliko sem zdaj stara?

42. Ocenite "na prvi pogled"
Imate dva stolpca številk:
123456789 1
12345678 21
1234567 321
123456 4321
12345 54321
1234 654321
123 7654321
12 87654321
1 987654321
Poglejte podrobneje: številke drugega stolpca so sestavljene iz istih števil kot številke prvega stolpca, vendar v nasprotnem vrstnem redu njihove razporeditve. (Zaradi jasnosti so bile ničle v levem stolpcu izpuščene.)
Kateri stolpec, če ga seštejemo, bo dal večji rezultat?
Te vsote najprej primerjajte »na hitro«, torej brez seštevanja, poskusite ugotoviti, ali naj bosta enaki ali mora biti ena večja od druge, nato pa preverite s seštevanjem.

43. Dodajanje hitrosti
Osem šestmestnih izrazov (...) je izbranih tako, da lahko z njihovim razumnim združevanjem »v mislih« poiščete vsoto v 8 sekundah. Lahko prenesete to hitrost?
V rubriki "Odgovori" so navodila, ampak ... jih boste iskali dlje.
Prijateljem pa pokažite dva trika, ki ju lahko v šali imenujete tudi "seštevanje hitrosti."

Prvi fokus. Recite: »Ne da bi mi pokazali, v stolpec napišite poljubno število večmestnih števil. Potem pridem], zelo hitro bom napisal enako število številk in vse v trenutku seštel.«
Recimo prijatelji so napisali:
7621
3057
2794
4518
In dodelite takšne številke, od katerih vsaka do 9999 eno za drugo dopolnjuje vse zapisane številke. Te številke bodo:
5481
7205
6942
2378
Res: (...)
Zdaj ni težko ugotoviti, kako hitro izračunati celoten znesek: (...)
Treba je vzeti 9999 4-krat, to je 9999X4, in takšno množenje se hitro izvede v mislih. Pomnožite 10.000 s 4 in odštejte dodatne 4 enote. Izkazalo se je:
10.000 X 4 - 4 = 40.000 - 4 = 39.996.
To je vsa skrivnost trika!

Drugi fokus. Napišite eno pod drugo poljubni 2 poljubno veliki številki. Dodal bom še tretjega in takoj od leve proti desni zapisal vsoto vseh treh števil.
Recimo, da ste napisali:
72 603 294
51 273 081
Dodelil bom na primer naslednjo številko: 48 726 918 in vam takoj povedal znesek.
Kakšno število je treba pripisati in kako hitro najti vsoto v tem primeru, ugotovite sami!

44. V kateri roki? (matematični trik)
Prijatelju dajte dva kovanca: enega s sodim številom kopejk in drugega z lihim številom (na primer dve kopejki in tri kopejke). Naj, ne da bi vam pokazal, vzame enega od teh kovancev (poljubnega) v desno roko, drugega pa v levo. Z lahkoto lahko uganete, katero roko ima kateri kovanec.
Povabite ga, naj potroji število kopejk, ki jih vsebuje kovanec, ki ga drži v desni roki, in podvoji število kopejk, ki jih vsebuje kovanec, ki ga drži v levi roki. Naj sešteje rezultate in vam pove samo dobljeni znesek.
Če je navedeni znesek sod, sta v desni roki 2 kopejki, če je liho, pa 2 kopejki v levi roki.
Pojasnite, zakaj se vedno izide tako, in razmislite o načinih, kako ta trik popestriti.

45. Koliko jih je?
Fant ima toliko sester kot bratov, njegova sestra pa pol manj sester kot bratov.
Koliko bratov in sester je v tej družini?

46. ​​​​Enake številke
Samo s seštevanjem zapiši število 28 s petimi dvojkami, število 1000 pa z osmimi osmicami.

47. Sto
S poljubnimi aritmetičnimi operacijami iz petih enic ali petih petic sestavi število 100, iz petih petic pa lahko 100 sestavimo na dva načina.

48. Aritmetični dvoboj
Včasih je bil tak običaj v matematičnem krožku naše šole. Vsakemu novemu članu krožka je vodja krožka ponudil preprosto nalogo – nekakšen matematični oreh. Če rešite problem, takoj postanete član krožka, in če se ne spopadete z orehom, potem lahko obiščete krog kot revizor.
Spominjam se, da je nekoč naš predsednik nekemu novincu Viti predlagal naslednjo nalogo: (...)

49. Dvajset
Iz štirih lihih števil je enostavno sestaviti vsoto 10, in sicer:
1 + 1+3 + 5=10,
ali takole:
1 + 1 + 1+7 = 10.
Možna je tudi tretja rešitev:
1 + 3 + 3 + 3= 10.
Drugih rešitev ni (spremembe v vrstnem redu terminov seveda ne tvorijo novih rešitev).
Naslednji problem ima veliko več različnih rešitev:
Sestavite število 20 tako, da seštejete natanko osem lihih števil, med katerimi so dovoljeni tudi enaki členi.
Poiščite vse različne rešitve tega problema in ugotovite, koliko med njimi bo takih vsot, ki vsebujejo največje število neenakih členov?
Majhen nasvet. Če naključno izbirate številke, boste še vedno našli več rešitev, vendar vam naključni poskusi ne bodo dali prepričanja, da ste izčrpali vse rešitve. Če pa v »metodo poskusov« vnesete nek red, sistem, potem vam nobena od možnih rešitev ne uide.

50. Koliko poti?
Iz pisma šolarjev: »Med študijem v matematičnem krožku smo narisali načrt šestnajstih četrti našega mesta. V priloženi shemi načrta (slika 23) so vse četrti pogojno upodobljene kot enaki kvadrati.
Zanima nas naslednje vprašanje:
Koliko različnih poti lahko načrtujemo od točke A do točke C, če se premikamo po naših ulicah
riž. 23. Koliko poti vodi od L do S?
mesta samo naprej in desno, desno in naprej? Poti se lahko v ločenih delih ujemajo (glej črtkane črte na načrtu).
Imamo vtis, da to ni lahka naloga. Ali smo pravilno rešili, če smo prešteli 70 različnih poti?«
Kakšen bi moral biti odgovor na to pismo?

52. Različne akcije, en rezultat
Če med dvema dvojkama znak seštevka zamenjamo z znakom množenja, se rezultat ne spremeni. Res: 2+ 2 = 2X2. Enostavno ga je izbrati in 3 števila z enako lastnostjo, in sicer: 1+2 + 3 = = 1X2X3. Obstajajo tudi 4 enomestna števila, ki, če jih seštejemo ali pomnožimo, dajo enak rezultat.
Kdo bo hitreje pobral te številke? pripravljena Nadaljujte s konkurenco! Poiščite 5, nato 6, nato 7 in tako naprej enomestna števila, ki imajo enako lastnost. Ne pozabite, da so lahko odgovori drugačni, če začnete s skupino 5 številk.

53. Devetindevetdeset in sto
Koliko znakov plus (+) morate postaviti med števke 987654321, da seštejete 99?
Možni sta dve rešitvi. Najti vsaj enega od njih ni lahko, vendar boste pridobili izkušnje, ki vam bodo pomagale hitro postaviti znake plus med sedmimi številkami 1 2 3 4 5 6 7 tako, da bo skupno 100. (Razporeditev številk ni dovoljena spremeniti). Šolarka iz Kemerova trdi, da sta tudi tu možni dve rešitvi.

54. Snemljiva šahovnica
Veseli šahist je svojo kartonasto šahovnico razrezal na 14 kosov, kot je prikazano na sl. 25. Izkazalo se je zložljiva šahovnica. Tovarišem, ki so prihajali k njemu igrat šah, je najprej ponudil uganko: iz teh 14 delov narediti šahovnico. Enake figure izrežite iz karirastega papirja in se prepričajte, ali je iz njih težko ali enostavno sestaviti šahovnico.

60. Zmedeni voznik
Kaj si je mislil voznik, ko je pogledal na merilnik hitrosti svojega avtomobila (slika 29)? Števec je pokazal številko 15951. Voznik je opazil, da je število prevoženih kilometrov z avtomobilom izraženo kot simetrično število, torej takšno, ki se bere enako od leve proti desni in od desne proti levi:
15951.
- Zanimivo! .. - je zamrmral voznik. - Zdaj, verjetno ne kmalu, se bo na števcu pojavila druga številka, ki ima enako funkcijo.
Vendar je točno 2 uri kasneje števec pokazal novo številko, ki se je tudi v obe smeri odčitala enako.
Ugotovite, kako hitro je voznik vozil v teh 2 urah?

61. Za hidroelektrarni Tsimlyansk
Pri izpolnjevanju nujnega naročila za izdelavo merilnih instrumentov za hidroelektrarni Tsimlyansk je sodelovala ekipa odlične kakovosti, ki jo sestavljajo delovodja - star, izkušen delavec - in 9 mladih delavcev, ki so pravkar končali poklicno šolo.
Čez dan je vsak od mladih delavcev montiral 15 naprav, delovodja pa 9 naprav več od povprečja vsakega od 10 članov ekipe.
Koliko merilnih instrumentov je ekipa namestila v enem delovnem dnevu?

62. Dostava kruha pravočasno
Ob začetku dostave žita državi se je odbor kolektivne kmetije odločil, da bo vlak z žitom dostavil v mesto točno do 11. ure zjutraj. Če avtomobili vozijo s hitrostjo 30 km / h, bo konvoj prispel v mesto ob 10. uri, če pa s hitrostjo 20 km / h, potem ob 12. uri.
Kako daleč od kolektivne kmetije do mesta in s kakšno hitrostjo bi morali voziti, da bi prispeli ravno pravi čas?

63. V primestnem vlaku
V vagonu električnega vlaka sta dve prijateljici šolarki potovali iz mesta na dačo.
- Opazil sem, - je rekel eden od njenih prijateljev, - da vsakih 5 minut srečamo povratne primestne vlake. Kaj misliš, koliko primestnih vlakov pripelje v mesto v eni uri, če sta hitrosti vlakov v obe smeri enaki?
- Seveda, 12, saj je 60:5 = 12, - je rekel drugi prijatelj.
Toda učenka, ki je postavila vprašanje, se s prijateljičino odločitvijo ni strinjala in ji je zaupala svoje misli.
Kaj mislis o tem?

65. Nočna mora nogometnih navijačev
"Navijač", razburjen zaradi poraza "svoje" ekipe, je nemirno spal. Sanjal je o veliki kvadratni sobi brez pohištva. Vratar je treniral v sobi. Nogometno žogo je brcnil ob steno in jo nato ujel.
Nenadoma se je vratar začel manjšati, krčiti in se nazadnje spremenil v majhno celuloidno žogico iz "namiznega tenisa", nogometna žoga pa se je izkazala za litoželezno žogico. Žoga se je divje vrtela po gladkih tleh sobe in poskušala zdrobiti majhno celuloidno kroglo. Uboga žoga je v obupu hitela z ene strani na drugo, izčrpana in nezmožna odskočiti.
Ali bi se lahko, ne da bi zapustil tla, še vedno nekje skril pred preganjanjem žoge iz litega železa?
riž. 30. Žoga je poskušala zmečkati žogo.
Za reševanje problemov drugega razdelka je potrebno poznavanje operacij na preprostih in decimalnih ulomkih.
Bralec, ki še ni študiral ulomkov, lahko začasno preskoči naloge v tem delu in preide na naslednja poglavja.

66. Ura
Med potovanjem po naši veliki in čudoviti domovini sem se znašel v krajih, kjer je razlika v temperaturah zraka med dnevom in nočjo tako velika, da je to, ko sem bil dan in noč na prostem, začelo vplivati ​​na potek ure. Opazil sem, da so podnevi zaradi temperaturnih sprememb ura šla za 1 minuto naprej, ponoči pa za 1 minuto zaostajala.
1. maja zjutraj je ura še vedno kazala točen čas. Do katerega datuma bodo 5 minut naprej?

67. Stopnišče
Hiša ima 6 nadstropij. Povejte mi, kolikokrat je pot po stopnicah v šesto nadstropje daljša od poti po enakih stopnicah v tretje nadstropje, če imajo razponi med nadstropji enako število stopnic?

68. Uganka
Kakšen znak je treba postaviti med številki 2 in 3, ki sta napisani eno poleg druge, da dobimo število, ki je večje od dve, a manjše od tri?
69. Zanimivi ulomki
Če števcu in imenovalcu prištejemo imenovalec 1/3, se ulomek podvoji.
Poišči ulomek, ki bi se, če bi števcu in imenovalcu prišteli imenovalec, povečal: a) trikrat, b) štirikrat.
(Algebrski ljudje lahko posplošijo problem in ga rešijo z enačbo.)

70; Katero število?
02:30. Kakšna je ta številka?

71. Pot šolarja
Borya vsako jutro zelo dobro opravi svoje delo. dolga pot v šolo.
Na razdalji od hiše do šole je stavba MTS z električno uro na fasadi, na razdalji od celotne poti pa je železniška postaja. Ko je šel mimo MTS, je bila na uri običajno 7.30, ko je prišel na postajo, pa je ura kazala 25 minut do 8.00.
Kdaj je Borya zapustil hišo in ob kateri uri je prišel v šolo?

72. Na stadionu
12 zastavic je nameščenih vzdolž tekalne steze na enaki medsebojni razdalji. Začnite pri prvi zastavici. Atlet je bil na osmi zastavici 8 sekund po začetku vožnje. Po koliko sekundah pri konstantni hitrosti bo pri dvanajsti zastavici? Ne zabredite v težave!

73. Si zmagal?
Ostap se je vračal domov iz Kijeva. Prvo polovico poti je prevozil z vlakom 15-krat hitreje, kot če bi šel peš. Je pa moral drugo polovico poti voziti na volih - 2x počasneje, kot če bi šel peš.
Ali je Ostap pridobil kaj časa v primerjavi s hojo?

74. Budilka
Budilka zaostaja 4 minute. v uri; Pred 3,5 urami je bilo točno dostavljeno. Sedaj je ura, ki kaže točen čas, točno 12.
Čez koliko minut bo tudi budilka kazala 12?

75. Namesto majhnih deležev, veliki
V strojnih tovarnah je zelo razburljiv poklic; Imenuje se pisar. Pisalnik na obdelovancu označi tiste črte, po katerih je treba ta obdelovanec obdelati, da mu damo potrebno obliko.
Pisar mora reševati zanimive in včasih težke geometrijske probleme, izvajati aritmetične izračune itd.
Treba je bilo nekako porazdeliti 7 enakih pravokotnih plošč v enakih deležih med 12 delov. Teh 7 zapisov so prinesli pisarju in ga prosili, naj, če je mogoče, označi zapise, da nobenega od njih ne bi bilo treba zdrobiti na zelo majhne koščke. To pomeni, da najenostavnejša rešitev - razrezati vsak zapis na 12 enakih delov - ni bila dobra, saj je tako nastalo veliko majhnih delov. Kako biti?
Ali je mogoče te zapise razdeliti na večje dele? Skaler se je zamislil, naredil nekaj aritmetičnih izračunov z ulomki in kljub temu našel najbolj ekonomičen način za razdelitev teh plošč.
Nato je z lahkoto zdrobil 5 plošč, da jih je v enakih deležih razdelil na šest delov, 13 plošč za 12 delov, 13 plošč za 36 delov, 26 za 21 itd.
Kako je trosilniku uspelo?

76. Košček mila
Na eno tehtnico položimo kos mila, na drugo pa še kg istega kosca mila. Tehtnice v ravnovesju.
Koliko tehta palica?

79. Mišine mačje mladiče
Če Miša kje vidi zapuščenega mucka, ga bo zagotovo pobral in prinesel domov. Vedno je vzgojil več mačjih mladičev in ni rad povedal natančno, koliko, da se mu ne bi smejali.
Včasih ga vprašajo:
- Koliko mačjih mladičev imate zdaj?
"Malo," odgovori. - Tri četrtine njihovega števila in celo tri četrtine enega mladiča.
Tovariši so mislili, da se samo šali. Medtem jima je Miša postavil problem, ki ga sploh ni bilo težko rešiti. Poskusite!

80. Srednja hitrost
Polovico poti je konj hodil prazen s hitrostjo 12 km/h. Preostanek poti je prehodila z vozičkom in naredila 4 km/h.
Kakšna je povprečna hitrost oziroma s kakšno konstantno hitrostjo bi se moral konj gibati, da bi porabil enako količino časa za celotno pot?

81. Spalni potnik
Ko je potnik prevozil polovico celotne poti, se je ulegel v posteljo in spal, dokler ni ostalo nič več – prevoziti polovico poti, ki jo je prevozil v spanju. Kolikšen del celotne poti je preživel prespal?

82. Kakšna je dolžina vlaka?
Dva vlaka vozita drug proti drugemu po vzporednih tirih; ena s hitrostjo 36 km/h, druga s hitrostjo 45 km/h. Potnik, ki je sedel na drugem vlaku, je opazil, da je prvi vlak peljal mimo njega za 6 sekund. Kolikšna je dolžina prvega vlaka?

83. Kolesar
Ko je kolesar prevozil 2/3 poti, je počila guma.
Na preostalem delu poti je porabil dvakrat več časa peš kot za vožnjo s kolesom.
Kolikokrat je kolesar vozil hitreje kot je hodil?

84. Konkurenca
Strugarja Volodya A. in Kostya B. - študenta poklicne šole kovinarjev, ki sta od mojstra prejela enako obleko za izdelavo serije delov, sta želela opraviti svoje naloge hkrati in pred rokom.
Čez nekaj časa pa se je izkazalo, da je Kostja naredil le polovico tega, kar je Volodja še opravil, Volodja pa je imel le še polovico tega, kar je že naredil.
Za kolikokrat bi moral Kostja zdaj povečati svojo dnevno proizvodnjo v primerjavi z Volodjo, da bi istočasno dokončal svojo nalogo?

Drugo poglavje
ZAUPNE DOLOČBE

87. Pamet kovača Hecha
Ko smo lani poleti potovali po Gruziji, smo se včasih zabavali z izmišljevanjem najrazličnejših nenavadnih zgodb, ki jih je navdihnil kakšen starodavni spomenik.
Nekoč smo prišli do osamljenega starodavni stolp. Pregledal jo je, se usedel k počitku. In med nami je bil študent matematike; takoj je prišel do zanimive težave:
»Pred 300 leti je tukaj živel zloben in aroganten princ. Princ je imel hčer nevesto po imenu Darijana. Princ je svojo Darijano obljubil za ženo bogati sosedi, ta pa se je zaljubila v preprostega fanta, kovača Khecha. Darijan in Khecho sta poskušala pobegniti v gore iz ujetništva, vendar so ju njuni služabniki Knyazevi ujeli.
Princ se je razjezil in se naslednji dan odločil oba usmrtiti, vendar ju je za čez noč ukazal zapreti v ta visok, mračni, zapuščen, nedokončan stolp, z njima pa tudi služkinjo Darijano, najstnico, ki jima je pomagala pobegniti. .
V stolpu Hecho ni bil izgubljen, pogledal je naokoli, se povzpel po stopnicah do zgornjega dela stolpa, pogledal skozi okno - nemogoče je skočiti, zlomil se boš. Nato je Hecho pri oknu opazil vrv, ki so jo pozabili gradbeniki, vrženo čez zarjavel blok, ojačan višje.
okno. Na konce vrvi so privezali prazne košare, na vsak konec pa po en koš. Hecho je spomnil, da so s pomočjo teh košar zidarji dvigovali opeko in spuščali drobljen kamen, in če je teža tovora v eni košari presegala težo tovora v drugi za približno 5-6 kg (prevedeno v sodobne mere), , potem je košara precej gladko padla na tla; druga košara se je takrat dvigovala k oknu.
Hečo je na oko ugotovil, da ima Darijan okoli 50 kg, služkinja ne več kot 40 kg. Hecho je poznal svojo težo - približno 90 kg. Poleg tega je v stolpu našel verigo, težko 30 kg. Ker sta v vsako košaro lahko stala oseba in veriga ali celo 2 osebi, so se vsi trije uspeli spustiti na tla, in to tako, da teža spuščajoče se košare z osebo nikoli ni presegla teže košare. dvig košare za več kot 10 kg.
Kako so prišli iz stolpa?

88. Mačka in miši
Maček Purr je svojemu mlademu lastniku pravkar "pomagal" rešiti težave. Zdaj sladko spi in v sanjah se vidi obkroženega s trinajstimi mišmi. Dvanajst miši je sivih in ena bela. In mačka sliši, nekdo reče z znanim glasom: "Purr, pojesti moraš vsako trinajsto miško, ki jo šteješ v krogu ves čas v isto smer, tako da bo zadnja bela miška pojedena."
Toda s katero miško začeti, da bi pravilno rešili težavo?
Pomagaj Purr.

89. Vžigalice okoli kovanca
Mačko nadomestimo s kovancem, miši pa z vžigalicami. Odstraniti je treba vse vžigalice, razen tiste, ki je obrnjena proti kovancu (sl. 35), pri čemer upoštevajte naslednje pogoje: najprej odstranite eno vžigalico, nato pa s premikanjem v desno v krogu odstranite vsako trinajsto vžigalico.
Razmislite, katero ujemanje morate najprej odstraniti.

90. Žreb je padel na siskina in robina
Ob koncu poletnega taborjenja so se pionirji odločili, da bodo pernate prebivalce polj in gozdičkov, ki so jih ujeli mladi ptičarji, izpustili. Skupaj je bilo 20 ptic, vsaka v svoji kletki. Vodja je predlagal naslednje:
- Vse kletke s pticami postavite v eno vrsto in od leve proti desni odprite vsako peto kletko. Ko dosežete konec vrstice, prenesite rezultat na začetek vrstice, vendar odprte celice ne štejemo več in tako nadaljujemo, dokler niso odprte vse celice, razen nekaterih zadnjih dveh. Ptice v teh kletkah lahko vzamete s seboj v mesto.
Ponudba je bila sprejeta.
Večini otrok je bilo vseeno, kateri dve ptici vzeti s seboj (če že ni bilo mogoče vseh vzeti), Tanya in Alik pa sta želela, da bi žreb zagotovo padel na siža in robina. Ko so celice pomagali razporediti v vrsto, so se spomnili na problem mačke in miši (naloga 88). Hitro so ugotovili, kam naj postavijo kletke s sižkom in robinom, da bi prav te kletke ostale neodprte, in jih postavili na ...
Vendar pa lahko sami zlahka ugotovite, kam sta Tanya in Alik postavila kletke s siskinom in robinom.

91. Razpršite kovance
Pripravite 7 vžigalic in 6 kovancev. Razporedite vžigalice na mizi z zvezdico, kot je prikazano na sl. 36. Začenši s katero koli tekmo, odštejte tretjino s premikanjem urinega kazalca in položite kovanec blizu njegove glave. Nato ponovno preštejte tretjo vžigalico v isti smeri, začenši od katere koli vžigalice, proti kateri še ni kovanca, in prav tako postavite kovanec blizu glave.
Na ta način poskusite razporediti vseh 6 kovancev blizu glav šestih vžigalic. Pri štetju vžigalic ne smemo preskočiti tistih, v bližini katerih je že postavljen kovanec;
odštevanje je treba začeti z vžigalico, v bližini katere ni kovanca; Ne postavljajte dveh kovancev na eno mesto.
Katero pravilo je treba upoštevati, da bi zagotovo rešili težavo?

92. Preskoči potnika!
Na polpostaji enotirne železnice se je ustavil vlak, sestavljen iz parne lokomotive in petih vagonov, ki je pripeljal ekipo delavcev za gradnjo novega kraka. Doslej je bila na tem postajališču le manjša slepa ulica, v katero bi, če bi bilo treba, komajda pristala parna lokomotiva z dvema vagonoma.
riž. 37. Kako preskočiti sopotnika?
Kmalu za vlakom z gradbeno ekipo se je na isti polpostaji pripeljal potniški vlak.
Kako preskočiti potnika?

93. Problem, ki je nastal zaradi muhavosti treh deklet
Tema tega problema ima spoštljiv recept. Sprehajale so se tri deklice, vsaka s svojim očetom. Vseh šest se je približalo reki in želelo prestopiti z ene strani na drugo. Na razpolago jim je bil samo en čoln brez veslača, ki je prevažal samo dve osebi. Prečkanja seveda ne bi bilo težko izpeljati, če dekleta ne bi bodisi iz muhe bodisi iz potegavščine izjavila, da nobena od njih ne bi pristala na vožnjo s čolnom ali na obali z enim. ali dva očeta drugih ljudi brez svojega očeta. Deklice so bile majhne, ​​a ne zelo majhne, ​​da bi lahko vsaka sama vozila čoln.
Tako, nepričakovano dodatni pogoji prehodov, vendar so se popotniki zaradi zabave odločili, da jih poskusijo dokončati. Kako so ravnali?

94. Nadaljnji razvoj problema
Smešna družba varno prečkal nasprotni breg reke in sedel počivat. Postavilo se je vprašanje: ali bi bilo mogoče pod enakimi pogoji organizirati prehod štirih parov? Kmalu je postalo jasno, da če se ohranijo pogoji, ki so jih postavile dekleta (glej prejšnji problem), se lahko prečkanje štirih parov izvede le, če obstaja čoln, ki lahko dvigne tri ljudi, in to v samo 5 etapah.
kako
Če tematiko problema razvijamo še dlje, so naši popotniki ugotovili, da je mogoče tudi na čolnu, ki sprejme samo dve osebi, z enega brega na drugega prepluti štiri punčke z očki, če je sredi otoka. reka, kjer lahko naredite vmesni postanek in se izkrcate. V tem primeru je za končno prečkanje potrebnih najmanj 12 prečkanj, pod enakim pogojem, da nobena punčka ne bo v čolnu, ali na otoku ali na obali s tujim očkom brez njen oče.
Poiščite tudi to rešitev.

95. Skakanje dama
Postavite 3 bele dame na polja 1, 2, 3 (slika 38) in 3 črne dame na polja 5, 6, 7. S prostim poljem 4 premaknite bele dame na mesto črnih in črne. enih na mesto belih; hkrati se držite naslednjega pravila: dama lahko premaknete na sosednje prosto polje; dovoljeno je tudi preskočiti sosednje polje, če je za njim prosto polje. Bela in črna dama se lahko premikajo drug proti drugemu. Premiki v nasprotni smeri niso dovoljeni. Problem je rešen v 15 potezah.

96. Bela in črna
Vzemite štiri bele in štiri črne dame (ali 4 bakrene in 4 srebrniki) in jih postavite na mizo v vrsto, izmenjujoče barve: bela, črna, bela, črna itd. Na levi ali desni strani pustite toliko prostega prostora, da lahko spravite največ 2 dama (kovanca). Z uporabo prostega prostora lahko vsakič pomešate samo dva sosednja dama (kovanca), ne da bi spremenili njun relativni položaj.
Dovolj je, da naredite 4 takšne premike parov dama, da so vsi črni dami v vrsti, sledijo pa jim vsi beli dami.
Preverite!

97. Zaplet naloge
S povečanjem števila prvotno vzetih damov (kovancev) postane naloga bolj zapletena.
Torej, če postavite 5 belih in 5 črnih dam v vrsto in izmenjujete njihovo barvo, bo potrebnih 5 potez, da črne dame razporedite s črnimi in bele dame z belimi.
V primeru šestih parov dama bo potrebnih 6 potez; v primeru sedmih parov - 7 potez itd. Poiščite rešitve problema za pet, šest in sedem parov dame.
Ne pozabite, da morate pri začetni postavitvi dama na levi (ali desni) pustiti prosti prostor za največ dva dama in vsakič premakniti 2 dama, ne da bi spremenili njun relativni položaj.

98. Karte so zložene po številčnem vrstnem redu
Iz kartona izrežite 10 kart velikosti 4X0 si in jih oštevilčite s številkami od 1 do 10. Ko karte zložite, jih vzemite v roke. Začnite z zgornjo karto, postavite prvo karto na mizo, drugo pod dno kupa, tretjo karto na mizo, četrto pod dno kupa. To počnite ves čas, dokler ne položite vseh kart na mizo.
Z gotovostjo lahko rečemo, da karte ne bodo v številčnem vrstnem redu.
Razmislite o zaporedju, v katerem morate na začetku zložiti karte na kup, tako da bodo z določeno postavitvijo razporejene po vrstnem redu številk od 1 do 10.

99. Dve lokacijski uganki
Prva uganka. Dvanajst damov (kovanci, lističi itd.) je enostavno razporediti na mizo v obliki kvadratnega okvirja s 4 dami ob vsaki strani. Toda poskusite te dame postaviti tako, da jih bo 5 na vsaki strani kvadrata.
Druga uganka. Na mizo razporedite 12 dam, tako da so 3 vrste oblikovane vodoravno in 3 vrste navpično ter tako, da vsaka od teh vrst vsebuje 4 dame.

100. Skrivnostna škatla
Miša je preživel poletje v Arteku in svoji mlajši sestri Iročki v dar prinesel čudovito škatlo, okrašeno s 36 školjkami. Na pokrovu škatle so vžgane črte tako, da delijo pokrov na 8 delov.
Iročka še ne hodi v šolo, zna pa šteti do 10. Pri Mišinem darilu ji je bilo najbolj všeč to, da je bilo ob vsaki strani pokrova škatle natanko 10 školjk (slika 40). Pri štetju školjk ob strani Irochka upošteva vse školjke, ki se nahajajo v odseku, ki meji na to stran. Školjke, ki se nahajajo v kotnih odsekih, Irochka šteje na obeh straneh.
Nekoč je mama, ko je škatlo brisala s krpo, po nesreči zdrobila 4 školjke. Zdaj ni več 10 školjk na vsaki strani pokrova. Kakšna nadloga! Ira bo prišla od vrtec in zelo razburjen.
riž. 40. Ob vsaki strani pokrova škatle - 10 školjk.
riž. 39. Kako postaviti te dame po 5 na vsako stran?
- Težave niso velike, - je Miša pomiril svojo mamo.
Iz preostalih 32 je previdno odluščil del školjk in jih tako spretno nalepil nazaj na pokrov škatle, da je bilo ob vsaki strani spet po 10 školjk.
Minilo je nekaj dni. Spet težave. Škatla je padla, razbilo se je še 6 granat; ostalo jih je samo še 26. Toda tudi tokrat se je Miša domislil, kako na pokrov položiti preostalih 26 školjk, tako da bo imela Iročka ob vsaki strani še vedno po 10 školjk. Res je, da preostalih školjk v slednjem primeru ni bilo mogoče porazdeliti po pokrovu škatle tako simetrično, kot so bile razporejene prej, vendar Iročka na to ni bila pozorna.
Poiščite obe Mishini rešitvi.

101. Pogumni "garnizon"
Snežno trdnjavo varuje pogumen "garnizon". Fantje so odbili 5 napadov, vendar niso odnehali. Na začetku igre je "garnizon" sestavljalo 40 ljudi. "Poveljnik" snežne trdnjave je sprva postavil sile po shemi, prikazani v kvadratnem polju na desni (v osrednjem kvadratu - skupno število "garnizija").
"Sovražnik" je videl, da vsako od 4 strani trdnjave brani 11 ljudi. Po pogojih igre je med prvim, drugim, tretjim in četrtim napadom "garnizon" vsakič "izgubil" 4 ljudi. V zadnjem, petem, jurišu je »sovražnik« s snežnimi kepami onesposobil še dva človeka. Pa vendar je kljub izgubam po vsakem napadu obe strani snežne trdnjave še naprej branilo 11 ljudi.
Kako je "komandant" snežne trdnjave razporedil sile svojega garnizona po vsakem napadu?

104. Priprava na praznik
Geometrični pomen prejšnjih petih nalog je bil razporediti predmete vzdolž štirih ravnih črt (stranic pravokotnika ali kvadrata) tako, da je število predmetov vzdolž vsake ravnine ostalo enako, ko se je njihovo skupno število spremenilo.
Ta razporeditev je bila dosežena zaradi dejstva, da so vsi predmeti, ki se nahajajo na vogalih, veljali, kot da pripadajo vsaki od strani vogala, tako kot točka presečišča dveh črt pripada vsaki od njih.
Če predpostavimo, da vsak od predmetov, postavljenih na straneh figure, zavzema določeno točko na ustrezni strani, potem si je treba vse predmete, ki se nahajajo na vogalih, predstavljati koncentrirane na eni točki (na vrhu vogala).
Zavrnimo zdaj možnost celo namišljenega kopičenja objektov v eni geometrijski točki.
Predpostavili bomo, da vsak posamezen predmet (kamenček, žarnica, drevo itd.) izmed tistih, ki se nahajajo na določeni ravnini, zavzema ločeno točko te ravnine in se ne bomo omejili na zahtevo, da te predmete postavimo le vzdolž štirih ravne črte.
vrstice. Če te pogoje dopolnimo z zahtevo, da je rešitev v nekem smislu simetrična, bodo problemi postavitve predmetov vzdolž ravnih črt pridobili dodatno geometrijsko zanimivost. Rešitev takšnih problemov običajno vodi do konstrukcije neke geometrijske figure.
Kako bi lahko na primer lepo razporedili 10 žarnic v 5 vrst po 4 žarnice v vsaki vrsti pri izdelavi praznične osvetlitve?
Odgovor na to vprašanje daje petokraka zvezda, prikazana na sl. 44.
Vadite reševanje podobnih problemov; poskusite doseči simetrijo na želenem mestu.
Problem 1. Kako razporediti 12 žarnic v 6 vrst po 4 žarnice v vsaki vrsti? (Ta problem ima dve rešitvi.)
Naloga 2. Posadite 13 okrasnih grmov v 12 vrst po 3 grme v vsako vrsto.
Naloga 3. Na trikotnem rastišču (slika 45) je vrtnar vzgojil 16 vrtnic, razporejenih v 12 ravnih vrstah po 4 vrtnice v vsaki vrsti. Potem je pripravil gredico in tja presadil vseh 16 vrtnic v 15 vrstah po 4 vrtnice? Kako mu je to uspelo?
Naloga 4. Razporedi 25 dreves v 12 vrst po 5 dreves v vsaki vrsti.
riž. 44. 5 vrstic po 4.
riž. 45. Kako narediti 15 vrstic po 4.

105. Drugačna postavitev hrastovih dreves
Lepo posajenih 27 hrastov po prikazani shemi
na sl. 46, v 9 vrstah s po 6 hrasti v vsaki vrsti, vendar bi arborist takšno postavitev nedvomno zavrnil. Hrast potrebuje sonce samo od zgoraj in ob straneh, tako da je zelenje.
Rad, kot pravijo, raste v krznenem plašču, vendar brez klobuka, potem pa so 3 hrasti skočili nekje vstran in štrlijo sami!
Poskusi posaditi teh 27 hrastov drugače, prav tako v 9 vrstah in prav tako po 6 hrastov v vsaki vrsti, vendar tako, da bodo vsa drevesa razvrščena v tri skupine in ne iz svoje skupine; shrani in
nobeden od njih ni odbil simetrije v aranžmaju.

109. Puzzle darilo
Obstaja taka igrača: škatla; odpreš, notri pa je še vedno škatla; odpreš, je notri spet škatla.
Naredite takšno igračo iz štirih škatel. V najmanjšo notranjo škatlo dajte 4 bonbone, v vsako od naslednjih dveh po 4 bonbone in v največjo 9 bonbonov.
Tako bo v štiri škatle zloženih 21 bonbonov (slika 53).
Podarite to škatlo bonbonov svojemu prijatelju na njegov rojstni dan pod pogojem, da ne bo jedel bonbonov, dokler "obletnica" ne razdeli 21 bonbonov tako, da bo vsaka škatla vsebovala sodo število parov bonbonov in enega več.
Seveda, preden naredite to darilo, morate sami "pregrizniti" to sestavljanko. Upoštevajte, da tu ne bodo pomagala nobena aritmetična pravila, morate biti samo pametni in imeti malo pameti.

110. Konjska poteza
Za rešitev te zabavne šahovske uganke vam ni treba znati igrati šaha. Dovolj je vedeti, kako se konjeva figura premika na plošči. Črni kmeti so postavljeni na šahovnico (glej diagram na sliki 54). Postavite belega viteza na poljubno prosto polje šahovnica na tak način, da bi lahko ta konj odstranil vse črne kmete s plošče, pri tem pa naredil najmanjše možno število potez s konjem.

113. Osem zvezd
V eni od belih celic na sl. 57 Postavil sem zvezdico.
V bele celice postavite še 7 zvezdic, tako da nobeni 2 zvezdici (od osmih) ne bosta na isti vodoravni ali navpični strani ali kateri koli diagonali.
Problem je seveda treba rešiti s poskusi, zato je dodatna zanimivost problema tudi vpeljati znani sistem v proces potrebnih testov.

114. Dva problema za postavitev črk
Prva naloga. V kvadrat, razdeljen na 16 enakih kvadratov, razporedite 4 črke tako, da je v vsaki vodoravni vrsti, v vsaki navpični vrsti in v vsaki od dveh diagonal velikega kvadrata le ena črka. Kako veliko je število rešitev te naloge v primeru, ko so postavljene črke enake, in v primeru, ko so različne?
Druga naloga. V kvadrat, razdeljen na 16 enakih kvadratov, razporedite 4-krat vsako od štirih črk a, b, c in d tako, da ni enakih črk v vsaki vodoravni vrsti, v vsaki navpični vrsti in v vsaki od dveh diagonal velikega kvadrat. Kako veliko je število rešitev tega problema?

115. Postavitev pisanih kvadratov
Pripravite si 16 kvadratov enake velikosti, vendar štirih različnih barv, recimo bele, črne, rdeče in zelene – po 4 kvadrate vsake barve. Imate štiri nize večbarvnih kvadratov. Na vsako polje prvega niza napišite številko 1, na vsako polje drugega niza - 2, na polja tretjega niza - 3 in na polja četrtega niza - 4.
Teh 16 raznobarvnih kvadratov je treba razporediti tudi v obliki kvadrata, in sicer tako, da so v vsaki vodoravni vrsti, v vsaki navpični vrsti in v vsaki od dveh diagonal kvadratki s številkami 1, 2, 3 in 4 v poljubnem vrstnem redu in poleg tega brez izjeme različnih barv.
Problem dopušča veliko rešitev. Razmislite o sistemu za pridobivanje zahtevanih lokacij.

119. Problem šale
Kolya Sinichkin, dijak 4. razreda srednje šole, se pridno trudi premakniti šahovskega viteza iz spodnjega levega kota šahovnice (iz polja a \) v zgornji desni kot (na polje h8), tako da vitez obišče vsako kvadrat plošče enkrat. Dokler mu ne uspe. Toda ali poskuša rešiti nerešljiv problem?
Razumite to teoretično in razložite Kolji Siničkinu, kaj je tukaj.

120. Sto petinštirideset vrat (uganka)
Srednjeveški fevdalci so kleti svojih gradov včasih spremenili v zapore - labirinte z najrazličnejšimi zvijačami in skrivnostmi: z drsnimi stenami celic, skrivnimi prehodi, raznimi pastmi.
Pogledaš tako star grad in nehote se pojavi želja po sanjah.
Predstavljajte si, da je v eno od teh kleti, katere načrt je prikazan na sliki 62, človek vržen iz tistih, ki so se borili proti fevdalcu. Predstavljajte si takšno skrivnost pri gradnji te kleti. Od 145 vrat jih je le 9 zaklenjenih (na sliki 62 so označena s krepkimi črtami), vsa ostala pa so na stežaj odprta. Zdi se tako enostavno stopiti do vrat, ki vodijo ven, in jih poskušati odpreti. Ni ga bilo. Nemogoče je odpreti zaklenjena vrata, vendar se bodo odprla sama, če so ravno deveta po vrsti, torej če 8 odprta vrata. V tem primeru je treba odpreti in prestopiti vsa zaklenjena vrata ječe; vsaka od njih se tudi sama odpre, če je bilo prej mimo natanko osem odprtih vrat. Popravljanje napake in prehod skozi 2-3 dodatna vrata v soseščini, da bi število prehojenih vrat dosegli osem, prav tako ne bo uspelo: takoj ko gre mimo katere koli komore, so vsa vrata, ki so bila prej odprta v njej, tesno zaprta in zaklenjena - drugič ne boš šel skozi komoro. Fevdalci so tako namenoma uredili.
Jetnik je vedel za to skrivnost ječe in je na steni svoje celice (na načrtu označena z zvezdico) našel z žebljem porisan natančen načrt ječe. Dolgo se je ubadal s tem, kako začrtati pravo pot, da bi bila vsaka zaklenjena vrata res deveta. Končno je rešil ta problem in odšel na prostost.
Kakšno rešitev je našel zapornik?

121. Kako je bil zapornik izpuščen?
Tisti, ki želijo, lahko razmišljajo o tej različici prejšnjega problema.
Predstavljajte si, da je kazamat, v katerem je zapornik, sestavljen iz 49 celic.
V sedmih prostorih, ki so na načrtu ječe (sl. 63) označeni s črkami A, B, C, D, E, F in G, so po ena vrata, ki jih je mogoče odpreti le s ključem, in ključ do vrata komore A so v komori a, ključ do vrat celice B se nahaja v celici b, ključi do vrat celic C, D, E, F in G se nahajajo v celicah c, d, e, f in g.
Ostala vrata se odprejo z enostavnim pritiskom na kljuko, vendar je ročaj le na eni strani vsakih vrat in se vrata, ko jih preidemo, samodejno zaloputnejo. Na drugi strani vrat ni kljuke.
Zemljevid ječe prikazuje, v katero smer lahko greste skozi posamezna vrata, ki se odprejo brez ključa, toda v kakšnem vrstnem redu je treba odpreti zaklenjena vrata, ni znano. Skozi ista vrata je dovoljeno iti poljubno številokrat, seveda ob upoštevanju pogojev, pod katerimi se odpirajo.
Jetnik je v celici O. Pokaži mu pot, ki vodi do izhoda na prostost.

ŠESTO POGLAVJE
DOMINO IN KOCKA
A. Domino
197. Koliko točk?
198. Dva trika
199. Zmaga v igri je zagotovljena
200. Okvir
201. Okvir v okvirju
202. "Windows"
203. Magični kvadrati domin kosti
204. Magični kvadrat z luknjo
205. Domino množenje
206. Ugani predvideno domino kost
B. Kocka
207. Aritmetični trik s kockami
208. Ugibanje vsote točk na skritih obrazih
209. V kakšnem vrstnem redu so kocke?

SEDMO POGLAVJE
LASTNOSTI DEVETE
210. Katero število je prečrtano?
211. Skrita lastnina
212. Še nekaj zabavnih načinov za iskanje manjkajoče številke
213. Z eno števko rezultata določi preostale tri
214. Ugibati razliko
215. Določitev starosti
216. Kaj je skrivnost?

OSMO POGLAVJE
Z ALGEBRO IN BREZ nje
217. Medsebojna pomoč
218. Lenuh in hudič
219. Pameten otrok
220. Lovci
221. Prihajajoči vlaki
222. Vera tipka rokopis
223. Zgodba o gobah
224. Kdo se bo prvi vrnil?
225. Plavalec in klobuk
226. Dve ladji
227. Preizkusite svojo iznajdljivost!
228. Preprečena zadrega
229. Kolikokrat več?
230. Motorna ladja in hidroplan
231. Kolesarji v areni
232. Hitrost obračalnika Bykova
233. Potovanje Jacka Londona
234. Možne so napake zaradi neuspešnih analogij
235. Pravni incident
236. V parih in trojicah
237. Kdo je jahal konja?
238. Dva motorista
239. V katerem letalu je Volodinov oče?
240. Razlomite na koščke
241. Dve sveči
242. Neverjeten vpogled
243. "Pravi čas"
244. Ura
245. Koliko je ura?
246. Ob kateri uri se je sestanek začel in končal?
247. Narednik usposablja tabornike
248. Po dveh poročilih
249. Koliko novih postaj je bilo zgrajenih?
250. Izberite štiri besede
251. Ali je takšno tehtanje dopustno?
252. Slon in komar
253. Petmestno število
254. Zrasteš do sto let brez starosti
255. Luke's Problem
256. Svojevrstna hoja
257. Ena lastnost preprostih ulomkov

DEVETO POGLAVJE
MATEMATIKA SKORAJ BREZ IZRAČUNAVANJA
258. V temni sobi
259. Jabolka
260. Vremenska napoved (šala).
261. Gozdni dan
262. Kdo ima kakšno ime?
263. Tekmovanje v streljanju
264. Nakup
265. Potniki enega oddelka
266. Finale šahovskega turnirja Sovjetske vojske
267. Nedelja
268. Kako je ime vozniku?
269. Zgodovina premoga
270. Nabiralci zelišč
271. Skrita delitev
272. Šifrirana dejanja (številske uganke)
273. Aritmetični mozaik
274. Motorist in kolesar
275. Peš in z avtom
276. "Nasprotno"
277. Odkrijte ponarejene kovance
278. Logično žrebanje
279. Trije modreci
280. Pet vprašanj za šolarje
281. Sklepanje namesto enačbe
282. Zdrav razum
283. Da ali ne?

DESETO POGLAVJE
MATEMATIČNE IGRE IN TOCKS
A. Igre
284. Enajst predmetov
285. Vžigalice vzemite zadnje
286. Tudi zmaga
287. Jianshizi
288. Kako zmagati?
289. Postavite kvadrat
290. Kdo bo prvi rekel "sto"?
291. Igranje kvadratov
292. Owa
293. "Matematika" (italijanska igra)
294. Igra čarobnih kvadratov
295. Presek števil
B. Triki
296. Uganiti načrtovano število (7 trikov)
297. Ugani rezultat izračunov, ne da bi karkoli vprašal
298. Kdo je koliko vzel in izvedel
299. En, dva, trije poskusi ... in prav sem uganil
300. Kdo je vzel žvečilni gumi in kdo svinčnik?
301. Ugibanje treh mišljenih členov in vsote
302. Ugani nekaj zamišljenih številk
303. Koliko si star?
304. Ugani starost
305. Geometrijski trik (skrivnostno izginotje)

ENAJSTO POGLAVJE
DELLJIVOST ŠTEVILA
306. Številka na grobu
307. Darila za novo leto
308. Ali lahko obstaja takšno število?
309. Košara jajc (iz stare francoske knjige)
310. Trimestno število
311. Štiri ladje
312. Napaka blagajnika
313. Številska uganka
314. Znak deljivosti z 11
315. Kombinirani znak deljivosti s 7, 11 in 13
316. Poenostavitev kriterija deljivosti z 8
317. Neverjeten spomin
318. Kombinirani znak deljivosti s 3, 7 in 19
319. Deljivost binoma
320. Staro in novo o deljivosti s 7
321. Razširitev funkcije na druge številke
322. Posplošen preizkus deljivosti
323. Zanimivost deljivosti

DVANAJSTO POGLAVJE
KRIŽKE VŠTETICE IN MAGIČNI KVADRATI
A. Križne vsote
324. Zanimive skupine
325. "Zvezdica"
326. "Kristal"
327. Dekoracija vitrine
328. Kdo bo prvi uspel?
329. Planetarij
330. "Ornament"
B. Čarobni kvadrati
331. Tujci iz Kitajske in Indije
332. Kako narediti magični kvadrat sam?
333. O pristopih k skupnim metodam
334. Izpit iznajdljivosti
335. "Čarobna" igra "15"
336. Netradicionalni magični kvadrat
337. Kaj je v osrednji celici?
338. "Magija" deluje
339. "Skrinjica" aritmetičnih zanimivosti
B. Elementi teorije magičnih kvadratov
340. "Z dodatkom"
341. "Navadni" magični kvadrati četrtega reda
342. Izbor števil za magične kvadrate poljubnega reda

TRINAJSTO POGLAVJE.
RADOVEDNI IN RESNI V ŠTEVILKAH
343. Deset figur (opazanje).
344. Še nekaj zanimivih opažanj
345. Dve zanimivi izkušnji
346. Številčni vrtiljak
347. Disk takojšnjega množenja
348. Mentalna gimnastika
349. Vzorci števil
350. Eden za vse in vsi za enega
351. Številčne najdbe
352. Opazovanje niza naravnih števil
353. Nadležna razlika
354. Simetrična vsota (nezlomljen oreh)

ŠTIRINAJSTO POGLAVJE
ŠTEVILKE STARODAVNE, A VEČNO MLADE
A. Začetne številke
355. Praštevila in sestavljena števila
356. "Eratostenovo sito"
357. Novo "sito" za praštevila
358. Prvih petdeset praštevil
359. Drug način za pridobivanje praštevil
360. Koliko praštevil?
B. Fibonaccijeva števila
361. Javno sojenje
362. Fibonaccijeva vrsta
363. Paradoks
364. Lastnosti števil v Fibonaccijevem nizu
B. Zavite številke
365. Lastnosti kodrastih števil
366. Pitagorova števila

PETNAJSTO POGLAVJE
GEOMETRIJSKA INTELIGENCA PRI DELU
367. Geometrija setve
368. Racionalizacija pri polaganju opeke za transport
369. Geometer delavci

Občinski proračun izobraževalna ustanova

Srednja šola Saranpaul

Raziskovalno delo matematika

Pripravil:

Učenec 3. razreda Frolov Nikolaj,

Nadzornik:

Arteeva Antonina Andreevna,

učiteljica osnovne šole.

Saranpaul, 2017

Stran

Uvod

Vrednost pametnih nalog

Leonardo Fibonacci- matematik, ki je z iznajdljivostjo prispeval k reševanju problemov

Razvrstitev nalog v "iznajdljivost"

Logične naloge

Prečkanje nalog

Naloge za transfuzijo

Pravljične naloge

Naloge za iznajdljivost, za iznajdljivost

Številske serije, uganke

Zaključek

Bibliografija

Uvod

Ustvarjalna dejavnost je najmočnejši impulz v razvoju otroka. Potencialni genij živi v vsakem človeku, vendar človek ne čuti vedno prisotnosti genija. Ustvarjalne sposobnosti je treba začeti razvijati čim prej.

Vsaka matematična naloga za iznajdljivost, ne glede na to, kateri starosti je namenjena, nosi določeno duševno obremenitev, ki je najpogosteje prikrita z zabavnim zapletom, zunanjimi podatki, stanjem problema itd. Pri nalogah različnih stopenj kompleksnosti zabavno pritegne pozornost otrok, aktivira misel, povzroči stalno zanimanje za prihajajoče iskanje rešitve. Narava gradiva določa njegov namen: razvijati splošne miselne in matematične sposobnosti otrok, jih zanimati za predmet matematike, zabavati, kar pa seveda ni glavno.Razvoj iznajdljivosti, iznajdljivosti, pobude se izvaja v aktivni duševni dejavnosti, ki temelji na neposrednem interesu.

Zabavno matematično gradivo dajejo igralni elementi, ki jih vsebuje vsaka naloga, logična vaja, zabava, pa naj gre za šah ali najelementarnejšo uganko. Na primer, v vprašanju: "Kako zložiti kvadrat na mizi z dvema palicama?" - nenavadnost njegove produkcije vas spodbudi k razmišljanju v iskanju odgovora, vključite se v igro domišljije.

Raznolikost zabavnega gradiva - igre, naloge, uganke - daje osnovo za njihovo razvrstitev, čeprav je tako raznoliko gradivo, ki so ga ustvarili matematiki, precej težko razdeliti v skupine.

Razvrstimo ga lahko po različnih merilih: glede na vsebino in pomen, naravo miselnih operacij, pa tudi znak splošnosti, osredotočenost na razvoj določenih veščin. Osnova za dodelitev takih skupin je narava in namen materiala določene vrste.

Namen: Preučiti metode za reševanje problemov z iznajdljivostjo.

Naloge:

1. Preučiti temo "Reševanje problemov z iznajdljivostjo", vrste nalog za iznajdljivost in metode za njihovo reševanje.

2. Rešite več vrst nalog za iznajdljivost, samostojno sestavite algoritem za reševanje takšnih problemov.

Vrednost pametnih nalog

Ustvarjalna dejavnost študentov v procesu učenja matematike je najprej reševanje problemov. Sposobnost reševanja problemov je eno od meril za raven matematični razvojštudentov, označuje predvsem sposobnost študentov, da uporabijo svoje teoretično znanje v določeni situaciji.

Pri reševanju tradicionalnih šolskih problemov se uporabljajo določena znanja, spretnosti in sposobnosti za njihovo reševanje v ozkem krogu vprašanj programskega gradiva. pri čemer znane načine rešitev omejuje ustvarjalno iskanje študentov.

Naloge iznajdljivosti, za razliko od tradicionalne, ni mogoče neposredno rešiti po nobenem zakonu. Naloge za iznajdljivost so tiste, za katere pri pouku matematike ni splošna pravila in določbe, ki določajo natančen program njihove rešitve. Posledično je treba najti rešitev, ki zahteva kreativno razmišljanje in prispeva k njegovemu razvoju.

Reševanje problemov z iznajdljivostjo poraja napetost iskanja in veselje do odkrivanja – najpomembnejša dejavnika razvoja, ustvarjalnega dosežka.

Vrednost nalog za iznajdljivost je zelo visoka - sposobnost učencev za reševanje nestandardnih nalog kaže:

1. ​ Sposobnost izvirnega razmišljanja, prav tako pa je zelo pomembna pri oblikovanju in razvoju njihovih ustvarjalnih sposobnosti;

2. ​ Sposobnost posploševanja matematičnega materiala, izolacije glavne stvari, odvračanja pozornosti od nepomembnega, videnja splošnega v navzven drugačnem;

3. ​ Sposobnost upravljanja s številskimi in simbolnimi simboli;

4. ​ Sposobnost "doslednega, logičnega sklepanja", povezana s potrebo po dokazih, utemeljitvah, sklepih;

5. ​ Sposobnost zmanjšanja procesa sklepanja, razmišljanja v zloženih strukturah;

6. ​ Sposobnost reverzibilnosti miselnega procesa (do prehoda iz neposredne v obratno misel);

7. ​ Fleksibilnost mišljenja, sposobnost preklopa iz ene miselne operacije v drugo, osvoboditev omejujočega vpliva vzorcev in šablon. Ta lastnost razmišljanja je pomembna pri ustvarjalno delo matematiki;

8. ​ Sposobnost razvijanja matematičnega spomina... je spomin za posploševanje, logika;

9. Sposobnost prostorskih predstav.

Celo K.D.Ushinsky je zapisal, da "... učenje, brez kakršnega koli zanimanja in vzeto le s silo prisile ... ubija študentovo željo po učenju, brez katerega ne bo prišel daleč."

Zanimanje je močan motivator dejavnosti, pod njegovim vplivom se vsi duševni procesi odvijajo še posebej intenzivno, dejavnost pa postane vznemirljiva in produktivna. Njegovo bistvo je v učenčevi želji, da bi globlje in temeljiteje prodrl v področje spoznavanja, v nenehni želji po ukvarjanju s predmetom, ki ga zanima.

Iz zgodovine pojava nalog za iznajdljivost

Ni presenetljivo, da so naloge za iznajdljivost postale zabava "za vse čase in narode".Prvi učbenik matematike, ki je prišel do nas, ali bolje rečeno, njegov​ 5 metrov dolg sok, v svetu znan kot "londonski papirus" ali "Ahmesov papirus", vsebuje 84 skupaj z rešitvijo problema. Po njegovih besedah ​​je pouk potekal v šoli državnih pisarjev. Že stari Egipčani so razumeli, kako pomembna je vloga v procesu učenja​ vrednost igra element zabave, med tistimi, ki so vključeni v "papi​ Rus Ahmes "bilo je veliko takih nalog. Torej, tisočletja, iz ene zbirke​ nick zabavnih problemov matematike v drugo roma "problem se​ moje mačke" iz tega papirusa. Kljub obstoju Evklidovih »Začetkov« v trinajstih zvezkih (3. stoletje pr. n. št.), ki so za več kot dve tisočletji postali model znanstvene strogosti, zabavni element v matematiki ni izginil v stari Grčiji in je najbolj jasno predstavljen v »Aritmetika« Diofanta Aleksandrijskega (verjetno 3. stoletje). V srednjem veku sta Italijana Leonardo (Fibonacci) iz Pise (XIII. stoletje) in Niccolò Tartaglia (XVI. stoletje) pustila najgloblji pečat pri reševanju problemov z iznajdljivostjo.

Zbirke matematične zabave, podobne sodobnim, so se začele pojavljati od 17. stoletja. Med njimi »Prijetno in zabavne naloge obravnavano v številkah« matematika in pesnika Gasparda Claude Bache sieur de Meziriac in »Matematične in fizikalne zabave« drugega francoskega matematika in pisatelja Jacquesa Ozanama.

V 19. stoletju Edouard Lucas, francoski matematik in teoretik števil, je objavil štiridelno delo o zabavni matematiki, ki je postalo klasika. Na prelomu XIX in XX stoletja. Velik prispevek v zakladnico zabavne matematike sta prispevala izjemna izumitelja iger in ugank - nadarjeni Američan Samouk Sam Loyd in Anglež Henry Ernest Dudeney. Zabavna matematika druga polovica XX stoletja. ni mogoče zamisliti brez cele vrste čudovitih knjig, ki jih je napisal slavni ameriški matematik Martin Gardner. Njegovi raznoliki matematični eseji, ki harmonično združujejo znanstveno globino in sposobnost zabave, so milijone ljudi po vsem svetu (vključno z mano) uvedli v eksaktne znanosti in seveda v zabavno matematiko.

V Rusiji so bile izdane zbirke problemov, kot so »Aritmetika« L. F. Magnitskega, »V kraljestvu iznajdljivosti« E. I. Ignatieva, »Živa matematika«, »Zabavna aritmetika«, »Zabavna algebra« in »Zabavna geometrija« Ja. I. Perelmana in "Matematična iznajdljivost" B. A. Kordemskega

Leonardo Fibonacci - matematik, ki je z iznajdljivostjo prispeval k reševanju problemov.

Leonardo Fibonacci je bil rojen in živel v Italiji v mestu Pisa v 12.-13. Njegov oče je bil trgovec, zato je mladi Leonardo veliko potoval. Na vzhodu se je seznanil z arabskim številskim sistemom; nato jo je analiziral, opisal in predstavil evropski družbi v svoji slavni knjigi "Liber Abaci » (« Knjiga računov "). Spomnimo se, da so v Evropi takrat uporabljali rimske številke, ki so bile zelo neprijetne za delovanje tako v zapletenih matematičnih in fizičnih izračunih kot pri delu z in računovodstvo.

Leonardo Fibonacci je Evropi predstavil arabske številke , ki ga do danes uporablja skoraj ves zahodni svet.Prehod iz rimskega sistema v arabski sistem je revolucioniral matematiko in druge vede z njim tesno povezana.

Težko si je predstavljati, kakšen bi bil svet, če takrat, v 13. stoletju, Fibonacci ne bi izdal svoje knjige in Evropejcem predstavil arabskih številk. Zanimivo je, da arabske številke uporabljamo brez zadržkov in jih jemljemo za samoumevne. A če ne bi bilo Leonarda Fibonaccija, kdo ve, kako bi se razvijala zgodovina. Konec koncev, predstavitevrazprava Arabska števila je bistveno spremenila srednjeveško matematiko na bolje; jo je napredoval, z njo pa tudi druge vede, kot so fizika, mehanika, elektronika itd. Upoštevajte, da prav te znanosti vodijo napredek. Zato je v mnogih pogledih potek zgodovine,za razvoj evropske civilizacije in znanosti nasploh je zaslužen Leonard Fibonacci .

Niz Fibonaccijevih števil

Druga izjemna zasluga Leonarda Fibonaccija jeserija fibonaccijevih števil . Menijo, da je bila ta vrsta znana na Vzhodu, vendar je Leonardo Fibonacci objavil to vrsto števil v prej omenjeni knjigi "Liber Abaci" (to je storil, da bi prikazal razmnoževanje populacije zajcev).

Kasneje se je izkazalo, dato zaporedje številk je pomembno ne le pri matematiki, ekonomiji, in financah, pa tudi v botaniki, zoologiji, fiziologiji, medicini, umetnosti, pa tudi v filozofiji, estetiki in še marsičem. Ker civilizacije je ta serija števil postala znana po Leonardu Fibonacciju, dobil je vzdevek, “Fibonaccijeva serija» ali "Fibonaccijeva števila ».

Formula in primer niza Fibonaccijevih števil

V Fibonaccijevem zaporedju,vsak element, začenši s tretjim, je vsota prejšnjih dveh elementov , kljub dejstvu, da se serija začne s številkama 0 in 1. Dobimo vsoto: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 …

Fibonacci je legendarna osebnost v matematiki, ekonomiji in financah ; razglasil je arabske številke in predstavil magično vrsto števil.

Težavo si je izmislil italijanski znanstvenik Fibonacci, ki je živel v 13. stoletju.
»Nekdo je kupil par zajcev in jih namestil v ogrado, ograjeno z vseh strani. Koliko kuncev bo v enem letu, če predpostavimo, da par vsak mesec skoti nov par kuncev kot potomce, ki prav tako začnejo nositi potomce od drugega meseca življenja?

odgovor: 377 parov V prvem mesecu bosta že 2 para zajčkov: 1 začetni par, ki je skotil, in 1 skoten par. V drugem mesecu bodo kunci imeli 3 pare: 1 začetni, ponovno rojeni, 1 rastoči in 1 rojen. V tretjem mesecu - 5 parov: 2 para, ki sta skotila, 1 par v odraščanju in 2 para. V četrtem mesecu - 8 parov: 3 pari, ki so skotili, 2 odraščajoča para, 3 skoteni pari. Z nadaljevanjem obravnave po mesecih je mogoče ugotoviti razmerje med številom kuncev v tekočem mesecu in v prejšnjih dveh. Če število parov označimo z N in z m - zaporedno številko meseca, potem N m = N m-1 + N m-2 . S tem izrazom se število zajcev izračuna po mesecih v letu: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,55, 89, 144, 233, 377.

Razvrstitev nalog za iznajdljivost

Pri takih problemih potrebuje reševalec omejeno število tehtanj, da lokalizira predmet, ki se po teži razlikuje od drugih predmetov. Tudi v tem razdelku so obravnavane naloge transfuzije, pri katerih je potrebno pridobiti določeno količino tekočine z uporabo posod z določeno prostornino.

Iskanje presežka

Potrebna je sposobnost združevanja skupin predmetov glede na določene značilnosti.

Besedilne naloge za izračune

Preprosti življenjski procesi, sposobnost uporabe matematičnega znanja v življenju.

Naloge za iskanje logičnih napak, naloge z ulovom

Razvijajo dragoceno in zelo potrebno lastnost uspešnega človeka – kritično mišljenje. Naučiti se analizirati stanje. Včasih je odgovor v sami težavi.

Določanje lastnosti števil in operacije z njimi

Lastnost sodih in lihih števil, pravilna postavitev oklepajev, postavitev števk v številu, ki izpolnjuje določene pogoje. Deljivost števil. Operacije s številkami.

Kriptovalute

Matematični rebus, v katerem je primer šifriran za izvedbo ene od aritmetičnih operacij. V tem primeru so iste številke šifrirane z isto črko, različne številke pa ustrezajo različnim črkam.

Naloge za logiko in sklepanje

Naloge, ki niso neposredno povezane z izračuni, ampak aktivno razvijajo mišljenje.

O času

Z namigi izračunajte datum, zapomnite si, kako deluje ura, ali samo z namigi določite starost nekoga.

Na zaporedje številk

Pri teh nalogah je treba razvozlati princip, po katerem je postavljeno določeno zaporedje, in ga nadaljevati.

Težave z vžigalicami

Pri manipulaciji s tekmami je treba doseči želeni rezultat. Večina teh nalog je razvrščenih kot "nestandardne", ki zahtevajo veščino "oceniti situacijo z vidika, ki je za večino nepričakovan, ali videti v pogoju možnost uporabe neočitnih podatkov."

Rebusi

Igra, v kateri so besede, fraze ali celotne izjave šifrirane z uporabo risb v kombinaciji s črkami in znaki.

Šah

Vsaka stopnja tečaja praviloma vključuje več lekcij (najmanj 2) šaha. Osnovne figure. Naučimo se graditi učinkovite strategije, razmišljati, sprejemati informirane in racionalne odločitve

Logične naloge

Pri reševanju logičnih problemov za korespondenco ena na ena je priročno zapisati podatke v tabelo, kjer na presečišču vrstice in stolpca postavimo znak "+" ali znak "-".

1. Pet sošolcev - Irena, Timur, Camilla, Eldar in Zalim so postali zmagovalci olimpijad za šolarje iz fizike, matematike, računalništva, literature in geografije. Znano je, da

Zmagovalec olimpijade iz informatike Ireno in Timurja uči dela na računalniku;

Camilla in Eldar sta se začela zanimati tudi za računalništvo;

Timur se je vedno bal fizike;

Camilla, Timur in zmagovalec književne olimpijade gredo kopat;

Timur in Kamilla sta čestitala zmagovalcu matematične olimpijade;

Ireni je žal, da ji za literaturo ostane malo časa.

Katero olimpijado je zmagal vsak od teh fantov?

1 način reševanja z uporabo tabele

I T C E Z

F M I L G

Odgovor: Irena je zmagovalka olimpijade iz matematike. Timur - v geografiji.

Camille - v fiziki Eldar - v literaturi. Zalim - v informatiki

2. Tri dekleta - Rosa, Margarita in Anyuta so na tekmovanju predstavile košare vrtnic, marjetic in mačeh, ki so jih vzgojile. Deklica, ki je vzgajala marjetice, je Roso opozorila na dejstvo, da se ime nobene deklice ne ujema z imenom njihovih najljubših rož. Katere rože je gojilo vsako od deklet?

Rešitev: s sklepanjem

a) Anya ni gojila mačeh. b) Margariti niso rasle marjetice c) Vrtnici niso rasle vrtnice. Rose lahko gojijo vrtnice ali mačehe. Vrtnici niso rasle vrtnice. Zaključek: Rose je zrasla mačehe. Margarita je gojila vrtnice. Anya je gojila marjetice.

3. Štirje prijatelji - Zhenya, Kostya, Dima in Vadim - so naredili okraske za praznik. Nekdo je naredil zlate papirnate girlande, nekdo rdeče krogle, nekdo srebrne papirnate girlande, nekdo pa zlate papirnate ocvirke. Kostya in Dima sta delala s papirjem iste barve, Zhenya in Kostya sta naredila enake igrače. Kdo je naredil okraske?

odgovor:

4. Masha, Lida, Zhenya in Katya igrajo različne instrumente - harmoniko, klavir, kitaro, violino, vendar vsaka na enega. Govorita tudi tuje jezike - angleško, francosko, nemško, špansko, vendar vsak igra na isti inštrument in kateri tuji jezik govori?

Prečkanje nalog

V nalogah za prehode je treba navesti zaporedje dejanj, v katerih se izvede zahtevano križišče in so izpolnjeni vsi pogoji naloge.

Volk, koza in zelje. Na bregu reke stoji kmet s čolnom, ob njem pa volk, koza in zelje. Kmet se mora prekrižati in prepeljati volka, kozo in zelje na drugo stran. V čoln pa je poleg kmeta ali samo volk, ali samo koza ali samo zelje. Volka s kozo ali koze z zeljem ne morete pustiti brez nadzora - volk lahko poje kozo, koza pa lahko poje zelje. Kako naj se obnaša kmet?

Odgovor: Kmet lahko sledi enemu od dveh algoritmov:

Odgovor: Naj bosta M1 in M2 fanta, C1 in C2 pa vojaka. Algoritem križanja je lahko naslednji:

1. M1 in M2 –>
2. M1<–
3. C1 ->
4. M2<–
5. M1 in M2 –>
6. M1<–
7. C2 ->
8. M2<–

Naloge za transfuzijo

tenaloge so praktične. Rešitev takšnih problemov razvija logično razmišljanje, vas prisili, da razmišljate, pristopite k rešitvi problema z različnih zornih kotov, izberete najpreprostejši, najlažji način iz različnih rešitev. Da bi to naredili, je treba z uporabo posod znanih posod izmeriti določeno količino tekočine. Najenostavnejša tehnika za reševanje problemov tega razreda je naštevanje možnih možnosti.In potrebno je navesti zaporedje dejanj, v katerih se izvaja zahtevana transfuzija in so izpolnjeni vsi pogoji.

1. Kako z dvema vedroma s prostornino 3 in 5 litrov črpati 7 litrov vode iz vodovodne pipe?

odgovor:

2. Hudobna mačeha je poslala pastorko k izviru po vodo in rekla: »V naših vedrih je 5 in 9 litrov vode. Vzemi jih in prinesi točno 3 litre vode.” Kako naj ravna pastorka, da bo izpolnila to nalogo?

odgovor:

Pri obravnavanih težavah s transfuzijo sta bili dani dve posodi in voda je bila natočena iz vodovodne pipe.Obstajajo težje naloge, ne dve plovili, ampak tri ali več. Voda se NE jemlje iz pipe. Pri takih težavah je voda že v kakšni posodi, na primer v največji. In vodo bomo nalili v majhne posode. Vode ni mogoče izliti. Če je treba posodo izprazniti, se odvečna voda prelije v drugo posodo. Običajno je večja posoda shramba, iz katere jemljemo vodo in vanjo zlijemo višek.

Pravljične naloge

Rešitev tovrstnih problemov poživi matematiko. Želja pomagati junaku v težavah spodbuja duševno aktivnost, v prihodnosti povzroči željo po branju dela. Simpatija je pri takih nalogah na strani pozitivnega junaka. Dobro zmaga, zlo je kaznovano, negativne lastnosti so zasmehovane.

na enem od njih boš srečal svojo smrt,

nič se ti ne bo zgodilo,

tretja cesta vas bo pripeljala do Vasilise Lepe.

Ne pozabite, da je vse tri napise naredil Koščej Nesmrtni. Ivan je žogo vrgel na tla. Kotalil se je, Ivan mu je sledil. Kako dolgo, kako kratko je hodil Ivan, pa je prišel do ogromnega kamna. Na kamnu piše:

"Če greš na levo, boš srečal svojo smrt",

"Če greš na desno, boš rešil Vasiliso Lepo iz ujetništva", "Če greš naravnost, se ti bo nekaj zgodilo."

Rešitev: Tretji vnos je napačen - Ivanu se na poti ne bo zgodilo nič. Tudi drugi vnos je napačen, tj. na poti na desno Ivan ne bo rešil Vasilise Lepe. Torej, na preostali cesti (cesta na levo), bo Ivan rešil Vasiliso Lepo.

2. Šest roparjev je oropalo kralja Dadona. Izkazalo se je, da je bil plen bogat - manj kot sto enakih ingotov. Roparji so začeli enakomerno deliti plen, vendar se je en ingot izkazal za odveč. Roparja sta se sprla in eden od njiju je bil v pretepu ubit. Ostali so spet začeli deliti zlato in spet se je en kos izkazal za odveč. In spet je eden od roparjev umrl v boju. In tako naprej: vsakič je bil en ingot odveč in je eden od roparjev umrl v boju. Na koncu je ostal en ropar, ki je zaradi ran umrl. Koliko ingotov je bilo?

rešitev:če bi bil na začetku en takt manj, bi prišlo do delitve. Število, ki je manjše od 100 in je deljivo z 2, 3, 4, 5, 6 - 60. Torej je skupno število ingotov 60+1=61.

Naloge za iznajdljivost

1. Dve mami, dve hčerki in babica z vnukinjo. Koliko?

2. Stanovanje je imelo 3 sobe. Iz enega naredil dva. Koliko sob je v stanovanju?

3. Kako razporediti 8 stolov ob štirih stenah sobe, tako da bo vsaka stena imela 3 stole?

Naloge za iznajdljivost

Koliko ur sta dan in noč skupaj?

Na mizi je bilo jabolko. Razdeljen je bil na 4 dele. Koliko jabolk je na mizi?

Naloge za spreminjanje sestavljene figure

2. Iz palčk sestavi enako figuro kot na sliki. Odstranite 2 palčki, da naredite 6 kvadratov.

Serije številk

1,2,3,4,5,6…

1,4,16…

45,39,33,27…

0,3,8,15,24…

112,56,28,14…

Rebusi

Zamenjajte zvezdice s številkami, tako da so enakosti izpolnjene v vseh vrsticah in je vsako število v zadnji vrstici enako vsoti števil v stolpcu, pod katerim se nahaja. rešitev:

11x10=110

6* : *7 = *

68:17 = 4

** +** =20

10+10= 20

* 2 -* = *

12- 4 = 8

*** +**=1**

101 +41+142

Težave z geometrijsko vsebino (unikurzalni liki)

Znana je prispodoba: nekdo je dal milijon rubljev vsakemu, ki nariše naslednjo številko. Toda pri risanju je bil postavljen en pogoj. Zahtevano je bilo, da je bila ta figura narisana z eno neprekinjeno potezo, to je, ne da bi vzeli pero ali svinčnik s papirja in ne da bi podvojili eno črto, z drugimi besedami, nemogoče je bilo preiti drugič narisano črto.

Zaključek

V matematiki obstajajo različne vrste nalog za iznajdljivost:

Za tehtanje in transfuzijo,

logične naloge,

transfuzijska opravila,

križanje nalog,

Težave z geometrijsko vsebino,

Rebusi, številske serije.

Metode reševanja tovrstnih problemov so v logični analizi pogojev, izbiri ustreznih matematičnih zakonov in optimalni rešitvi.

Univerzalnega načina za reševanje vseh vrst problemov z iznajdljivostjo ni, vsak problem se rešuje na svoj način.

Naloge za iznajdljivost pomagajo naučiti samostojno razmišljati, razvijati logiko, zanimanje za matematiko. Z njihovo pomočjo lahko začutiš povezavo matematike s problemi resničnega življenja.

Naloge, s katerimi se sooča avtor dela, so rešene, in sicer:

Preučiti temo "Reševanje problemov z iznajdljivostjo", vrste nalog za iznajdljivost in metode za njihovo reševanje;

Rešite več vrst nalog za iznajdljivost, samostojno sestavite algoritem za reševanje takšnih problemov.

Bibliografija

1. T.D. Gavrilova: "Zabavna matematika." Založba "Uchitel" 2008

2. Npr. Kozlova: "Zgodbe in namigi". Založba Miros 1995

3. B. A. Kordemsky: "Matematična iznajdljivost", Založba "Državna založba tehnične in teoretične literature", 1958

4. Ya. I. Perelman: "Zabavna algebra". Založba "Century" 1994

5.R.M.Smullyan "Kako se imenuje ta knjiga?". Založba "Dom Meshcheryakova"

2007

7. http://matematika.gyn

8.www.smekalka.pp