Matematička domišljatost. Istraživački rad "matematička pamet" Dječja matematička pamet

Predgovor drugom izdanju 3

Prvo poglavlje
ZABAVNI IZAZOVI

odjeljak I
1. Observant pioniri 9.385
2. "Kameni cvijet" 10 385
3. Pokretne dame 11 385
4. U tri poteza 11.386
5. Brojite! 12 386
6. Put vrtlara 12.386
7. Morate razumjeti 13 386
8. Bez oklijevanja 13.386
9. Dolje - gore 13 387
10. Prijelaz preko rijeke (stari problem) 14.387
11. Vuk, koza i kupus 14.387
12. Razvaljajte crne kuglice 15 388
13. Popravak lanca 15 388
14. Popravi bug 16,390
15. Od tri - četiri (vic) 16.390
16. Tri i dva - osam (još jedna šala) 16.390
17 Tri kvadrata 16 390
18. Koliko dijelova? 17 390
19. Probajte! 17 391
20. Označavanje 17 391
21. Očuvati paritet 18.391
22. "Magični" brojčani trokut 18 391
23. Kako se 12 djevojaka igralo loptom 19 392
24. Četiri prave crte 20 392
25. Odvoji koze od kupusa 20.392
26. Dva vlaka 21.392
27. Na plimi (vic) 21.393
28. Birajte 22 393
29. Pokvaren brojčanik 22 393
30. Čudesni sat (kineska slagalica) 23.393
31. Tri u nizu 24 395
32. Deset redova 24 395
33. Nalazište novca 25 395
34. Od 1 do 19 26 395
35. Brzo ali pažljivo 26.396
36. Kudravi rak 27 396
37. Trošak knjige 27.396
38. Nemirna muha 27.396
39. Manje od 50 godina 28.396
40. Dvije šale 28 396
41. Koliko imam godina? 29 396
42. Ocijeni "na prvi pogled" 29 397
43. Dodavanje brzine - 29 397
44. U kojoj ruci? (matematički fokus) 31.397
45. Koliko ih ima? 31 398
46. ​​​​Iste brojke 31 398
47. Sto 31 398
48. Aritmetički dvoboj 32 398
49. Dvadeset 33 398
50. Koliko ruta? 33 399
51. Promijeni raspored brojeva 35 400
52. Različite akcije, isti rezultat 35402
53. Devedeset devet i sto 36.402
54. Demontažna šahovnica 36 402
55. Potraga za minama 36 402
56. Sakupite u grupe od 2 38 402
57. Sakupite u grupe od 3 39 402
58. Sat je stao 39 404
59. Četiri aritmetičke operacije 39 404
60. Zbunjeni vozač 40 404
61. Za hidroelektrični kompleks Tsimlyansk 41.404
62. Isporuka kruha na vrijeme 41 405
63. U prigradskom vlaku 41 405
64. Od 1 do 1.000.000.000 41.405
65. Noćna mora nogometnog navijača 42.406

Odjeljak II
66. Sati 43 406
67. Stubište 43 407
68. Slagalica 43 407
69. Zanimljivi razlomci 43 407
70. Koji je broj? 44 407
71. Put školarca 44 407
72. Na stadionu 44.407
73. Jeste li pobijedili? 44 407
74. Budilica 44 407
75. Umjesto malih dionica, velikih 45.407
76. Sapun 45 408
77. Aritmetičke matice 45 408
78. Domine 46 409
79. Mišini mačići 48 409
80. Prosječna brzina 48 409
81. Putnik koji spava 48 409
82. Kolika je duljina vlaka? 48 409
83. Biciklist 48 409
84. Natjecanje 49 409
85. Tko je u pravu? 49 409
86. Za večeru - 3 prepečene kriške 50 410

Drugo poglavlje
POVJERLJIVE ODREDBE

87. Pamet kovača Hechoa 51 410
88. Mačka i miševi 53 410
89. Šibice oko novčića 54 411
90. Ždrijeb je pao na sika i crvendaća 54 411
91. Rasporedi novčiće 55 411
92. Prolazi putnik1 55 412
93. Problem proizašao iz hira triju djevojaka 56 412
94. Daljnji razvoj zadaci 57 413
95. Dama skakanje 57 415
96. Bijelo i crno 57 415
97. Kompliciranje problema 58 415
98. Karte su složene brojčanim redom 58 415
99. Dvije lokacijske zagonetke 59 417
100. Tajanstvena kutija 59 417
101. Hrabri "garnizon" 60 417
102. Fluorescentne svjetiljke u TV sali 61 419
103. Postavljanje zamorčića 62.421
104. Priprava za blagdan 63 422
105. Drukčije sjedenje hrasta 65 423
106. geometrijske igre 65 423
107. Par i nepar (slagalica) 68 424
108. Rasporedi raspored dame 69 424
109. Slagalica na dar 69 425
110. Potez skakač 70 425
111. Pokretne dame (2 slagalice) 71.425
112. Izvorno grupiranje cijelih brojeva od 1 do 15 72 426
113. Osam zvijezda 73 426
114. Dva zadatka za raspored slova 73 427
115. Raspored šarenih kvadrata 74 429
116. Zadnji žeton 74 430
117. Prsten od diskova 75 431
118. Klizači na klizalištu umjetni led 76 431
119. Problem vica 77 432
120. Sto četrdeset i pet vrata (puzzle) 77 432
121. Kako je zarobljenik pušten? 79 432

Treće poglavlje
GEOMETRIJA NA ŠIBICAMA

122. Pet zagonetki 85 433
123. Još osam zagonetki 86 433
124. Iz devet utakmica 86 433
125. Spirala 87 433
126. Šala 87 433
127. Ukloni dvije šibice 87 433
128 Fasada "kuće" 87 433
129 vic 88 433
130 Trokuti 88 433
131 Koliko šibica treba ukloniti? 88 433
132 Šala 88 433
133 Ograda 88 433
134. Šala 89 433
135. "Strijela" 89 433
136. Kvadrati i karo 89 433
137. Različiti poligoni na jednoj slici 89 433
138 Planiranje vrta 89 433
139 Jednaki dijelovi 90 433
140. Parket 91 433
141 Održan omjer površine 91 441
142. Pronađite obris figure 91 441
143 Pronađite dokaz 92 441
144. Konstruiraj i dokaži 92 441

Četvrto poglavlje
SEDAM PUTA POKUŠAJ, JEDNOM REŽI

145. Na jednake dijelove 93 442
146. Sedam ruza na torti 95 443
147. Figure koje su izgubile oblik 95 445
148. Savjetovati 96 445
149. Bez gubitaka! 96 445
150. Kad su nacisti nasrnuli na našu zemlju 97.447
151. Memoari jednog električara 98 447
152. Sve ide na posao 99 447
153. Slagalica 99 447
154. Izreži potkovu 99 447
155. U svakom dijelu - rupa 99 448
156. Iz "vrča" - kvadrata 100 448
157. Kvadrat od slova "E" 100 448
158. Lijepa transformacija 100 449
159. Restauracija tepiha 101449
160. Skupa nagrada 101 449
161. Pomozite siromahu! 102 449
162. Poklon za baku 103 451
163. Stolarski problem 104 451
164. I krznar ima geometriju! 104 452
165. Svaki konj po jednu staju 105 453
166. Više! 105 453
167. Transformacija mnogokuta u kvadrat 106 453
168. Pretvorba pravilnog šesterokuta u jednakostranični trokut 107 453

Peto poglavlje
VJEŠTINA ĆE NAĆI UPORABU SVUDA

169. Gdje je cilj? 109 454
170. Pet minuta za razmišljanje 110 455
171. Nepredviđeni sastanak 110 455
172. Putni trokut Š 456
173. Pokušajte izvagati 111 458
174. Prijenos 112 458
175. Sedam trokuta 112458
176. Slike umjetnika 112 458
177. Koliko je teška boca? 113 459
178. Kocke 113 460
179. Limenka sačme 114 461
180. Gdje je došao narednik? 114 461
181. Odredi promjer trupca 115 461
182. Neočekivana poteškoća 115 461
183. Priča o učeniku tehničke škole 116 461
184. Je li moguće ostvariti 100% uštedu? 116 463
185. Na opružnim vagama 117 463
186. Genijalnost dizajna 117 463
187. Mišin neuspjeh 117 465
188. Nađi središte kruga 119 465
189. Koja je kutija teža? 119 466
190. Umijeće stolarije 120 466
191. Geometrija na lopti 120 466
192. Potrebna je velika domišljatost 121 467
193. Teški uvjeti 121 468
194. Montažni poligoni 122 468
195. Zanimljiva metoda sastavljanja sličnih figura 125 469
196. Zglobni mehanizam za konstruiranje pravilnih poligona 127 471

Šesto poglavlje
DOMINO I KOCKA

A. Domino
197. Koliko bodova? 132 471
198. Dva trika 133 471
199. Pobjeda u igri je zajamčena 134 471
200. Okvir 135 472
201. Okvir unutar okvira 136 472
202. "Windows" 136 473
203. Magični kvadrati od kostiju domina 137 473
204. Magični kvadrat s rupom 141 473
205. Domino množenje 141473
206. Pogodi planirani domino 142 473

B. Kocka
207. Aritmetička varka sa igranje kockica 144 473
208. Pogađanje zbroja bodova na skrivenim licima 145 477
209. Kojim redom su kocke? 145 478

Sedmo poglavlje
SVOJSTVA DEVETICE

210. Koji je broj prekrižen? 149 478
211. Skriveno vlasništvo 152 479
212. Još nekoliko zabavnih načina da pronađete broj koji nedostaje 152,480
213. Na temelju jedne znamenke rezultata odredi preostale tri 154 480
214. Pogađanje razlike 154 481
215. Određivanje starosti 154 481. god
216. U čemu je tajna? 154 482

Osmo poglavlje
SA I BEZ ALGEBRE

217. Uzajamna pomoć 159.482
218. Ljekarica i vrag 160 483
219. Pametno dijete 161 483
220. Lovci 161.483
221. Nadolazeći vlakovi 162.484
222. Vjera tipka rukopis 162.484
223. Priča o gljivama 163 484
224. Tko će se prvi vratiti? 164 484
225. Plivačica i šešir 164.486
226. Dva broda 165 486
227. Testiraj svoju domišljatost! 165 487
228. Spriječena sramota 166.488
229. Koliko puta više? 166 488
230. Motorni brod i hidroplan 167.488
231. Biciklisti u areni 167.489
232. Brzina tokara Bykova 168 489
233. Jack London putovanje 168.489
234. Zbog neuspjelih analogija moguće su pogreške169 490
235. Pravni incident 170 491
236. U paru i trojcu 171.491
237. Tko je jahao konja? 171 491
238. Dva motociklista 171.492
239. U kojem je zrakoplovu Volodinov otac? 172 492
240. Razbiti u komade 173 493
241. Dvije svijeće 173 493
242. Nevjerojatan uvid 173 493
243. Pravo vrijeme 174 493
244. Sati 174 494
245. Koliko je sati? 174 495
246. U koliko sati je počeo i završio sastanak? 175 496
247. Narednik obučava izviđače 175.497
248. Prema dva izvještaja 176 498. god
249. Koliko je novih stanica izgrađeno? 176 498
250. Izaberi četiri riječi 177 498
251. Je li takvo vaganje dopušteno? 177 499
252. Slon i komarac 178 500
253. Peteroznamenkasti broj 179500
254. Do stotinu godina bez starosti ćeš rasti 179 500
255. Lukin problem 181 501
256. Neobičan hod, .181 502
257. Jedno svojstvo prostih razlomaka 182 504

Deveto poglavlje
MATEMATIKA SKORO BEZ KALKULACIJE

U mračnoj sobi
Jabuke
Vremenska prognoza (vic)
šumski dan
Tko ima ime?
Natjecanje u točnosti
Kupiti
Putnici u jednom odjeljku
Finale šahovskog turnira Sovjetske armije
nedjelja
Kako se zove vozač?
kriminalna povijest
Sakupljači bilja
Skrivena podjela
Šifrirane akcije (numeričke zagonetke)
Aritmetičko popločavanje
Motociklist i konjanik
Pješice i autom
"Iz suprotnog"
Otkrijte krivotvoreni novčić
Logičko crtanje
tri mudraca
Pet pitanja za učenike
Rasuđivanje umjesto jednadžbe
Po zdrav razum
Da ili ne?

Deseto poglavlje
MATEMATIČKE IGRE I TOCKS

A. Igre
284. Jedanaest stavki 201
285. Uzmi šibice zadnje 202
286. Čak pobjeđuje 202
287. Jianshizi 202
288. Kako pobijediti? 204
289. Iscrtajte kvadrat 205
290. Tko će prvi reći "sto"? 206
291. Igranje polja 206
292. Oya 209
293. "Matezatico" (talijanska igra) 212
294. Igra magičnih kvadrata 213
295. Sjecište brojeva 215

B. Trikovi
296. Pogađanje planiranog broja (7 štihova) 219
297. Pogodi rezultat izračuna bez pitanja 224
298. Tko je koliko uzeo, saznao sam 226
299. Jedan, dva, tri pokušaja i dobro sam pogodio 226 537
300. Tko je uzeo žvaku, a tko olovku? 227 537
301. Pogađanje tri zamišljena člana i zbroja 227 537
302. Pogodi nekoliko zamišljenih brojeva 228 538
303. Koliko imaš godina? 229 538
304. Pogodi godine 229 538
305. Geometrijski fokus (misteriozni nestanak) 230 538

Jedanaesto poglavlje
DJELJIVOST BROJEVA

306. Broj na grobu 232 539
307. Pokloni za Novu godinu 233 540
308. Može li postojati takav broj? 233 540
309. Košarica jaja (iz starog francuskog zadataka) 233 540
310. Troznamenkasti broj 234 540
311. Četiri broda 234 540
312. Pogreška blagajnika 234 540
313. Brojevna zagonetka 234 541
314. Znak djeljivosti sa 11 235 541
315. Kombinirani znak djeljivosti sa 7, 11 i 13 237 541
316. Pojednostavljenje testa djeljivosti s 8 239 541
317. Nevjerojatna memorija 240 542
318. Kombinirani znak djeljivosti s 3, 7 i 19. 242 543
319. Djeljivost binoma 242 543
320. Staro i novo o djeljivosti sa 7,247,544
321. Proširenje znaka na druge brojeve 251 -
322. Generalizirani znak djeljivosti 252 -
323. Zanimljivost djeljivosti 254 -

Dvanaesto poglavlje
UNAKRŽNI ZBIRI I MAGIČNI KVADRATI

A. Križni zbrojevi
324. Zanimljiva grupiranja 256 545
325. "Zvjezdica" 257 545
326. "Kristal" 257 545
327. Dekoracija vitrine 258 545
328. Tko će prvi uspjeti? 258 545
329. "Planetarium" 259 545
330. "Ornament" 259 545

B. Čarobni kvadrati
331. Vanzemaljci iz Kine i Indije 260 548
332. Kako sami napraviti magični kvadrat? 264 548
333. Na ulazu u uobičajene metode 266 549
334. Ispit domišljatosti 271 549
335. "Magična" igra od "15" 271 551
336. Netradicionalni magični kvadrat 272 553
337. Što se nalazi u središnjoj ćeliji? 273 553
338. "Magija" djeluje 275 553
339. "Kovčeg" aritmetičkih zanimljivosti 278 -
340. "Osim toga" 280 -
341. "Regularni" magični kvadrati četvrtog reda 283 -
342. Izbor brojeva za magični kvadrat bilo kojeg reda 287 -

TRINAESTO POGLAVLJE ZNATIŽELJI I OZBILJNI U BROJKAMA
343. Deset slika (zapažanja) 298 554
344. Još nekoliko zanimljivih zapažanja 300 555
345. Dva zanimljiva iskustva 302 555
346. Vrtuljak brojeva 306 -
347. Disk za trenutno množenje 309 -
348 Mentalna gimnastika 310 -
349. Obrasci brojeva 312 557
350 Jedan za sve i svi za jednog 316 558
351. Brojčani nalazi 319 559
352. Promatranje niza prirodnih brojeva 326 560
353. Dosadna razlika 339 -
354. Simetrični zbroj (nelomljena matica) 340 -

Četrnaesto poglavlje
BROJEVI DREVNI ALI ZAUVIJEK MLADI

A. Početni brojevi
355. Prosti i složeni brojevi 341 -
356. "Eratostenovo sito" 342 -
357. Novo "sito" za primarni brojevi 344 563
358. Pedeset prvi prosti brojevi 345 -
359. Još jedan način dobivanja prostih brojeva. 345-
360. Koliko prostih brojeva? 347

B. Fibonaccijevi brojevi
361. Javno suđenje 347 -
362. Fibonaccijev niz 351 -
363. Paradoks 352 564
364. Svojstva brojeva u Fibonaccijevom nizu 355 -

B. Kovrčavi brojevi
365. Svojstva vitičastih brojeva 360 -
366. Pitagorini brojevi 369 -

PETNAESTO POGLAVLJE GEOMETRIJSKA NAMJERA U RADU
367. Geometrija sjetve 372 -
368. Racionalizacija u polaganju opeke za transport 375 -
369. Radni geometri 377

Prepoznata dva poglavlja:

PREDGOVOR DRUGOM IZDANJU
U radu, u učenju, u igri, u svakoj kreativnoj djelatnosti čovjeku su potrebni domišljatost, snalažljivost, nagađanje, sposobnost rasuđivanja – sve ono što naš narod prikladno definira jednom riječju „pamet“. Domišljatost se može odgajati i razvijati sustavnim i postupnim vježbama, posebice rješavanjem matematičkih zadataka kako u školskom tečaju, tako i problema proizašlih iz prakse vezanih uz promatranje svijeta stvari i događaja oko nas.
“Matematika,” rekao je M. I. Kalinin, obraćajući se srednjoškolcima, “disciplinira um, navikava na logično razmišljanje. Nije ni čudo što kažu da je matematika gimnastika uma.
Svaka obitelj u kojoj roditelji brinu o organizaciji mentalni razvoj djeca i adolescenti osjećaju potrebu za odabranim materijalom kako bi svoje slobodno vrijeme ispunili korisnim, razumnim i nedosadnim matematičkim vježbama.
Upravo za ovu vrstu izvannastavnih aktivnosti, razgovora i zabave u slobodnoj večeri, u krugu obitelji i s prijateljima, ili u školi na izvannastavnim susretima, namijenjena je “Matematička domišljatost” - zbirka matematičkih minijatura: razni zadaci, matematičke igre, šale i trikovi koji zahtijevaju rad uma, razvijanje inteligencije i potrebne logike u zaključivanju.
U predrevolucionarnim vremenima, zbirke E. I. Ignatieva "U carstvu domišljatosti" bile su nadaleko poznate. Sada su za našeg čitatelja zastarjeli i stoga se ne objavljuju ponovno. Ipak, u tim zbirkama ima problema koji još nisu izgubili svoju pedagošku i odgojnu vrijednost. Neki od njih ušli su u Matematičku domišljatost nepromijenjeni, drugi s promijenjenim ili potpuno novim sadržajem.
Za Matematičku domišljatost također sam odabrao i po potrebi obradio zadatke među onima koji su razasuti po stranicama opsežne domaće i strane popularne literature, nastojeći, međutim, ne ponavljati probleme koji se nalaze u popularnim knjigama Ya. I. Perelmana o zabavna matematika.
Ova vrsta matematičkih problema "malog oblika" ponekad nastaje kao nusprodukt ozbiljnog istraživanja znanstvenika; mnoge zadatke izmišljaju amateri, ali i učitelji, kao posebne vježbe za “mentalnu gimnastiku”. One, poput zagonetki i poslovica, obično ne zadržavaju svoje autorstvo i postaju javno vlasništvo.
"Matematičke pameti" namijenjene su čitateljima s različitim diplomama. matematička obuka:
za tinejdžera od 10 - 11 godina koji prvi put pokušava samostalno razmišljati;
za srednjoškolca koji voli matematiku,
i za odraslu osobu koja želi testirati i vježbati svoje pogađanje.
Sistematizacija zadataka po poglavljima, dakako, vrlo je proizvoljna; Svako poglavlje ima lake i teške zadatke.
Knjiga ima petnaest poglavlja.
Prvo poglavlje sastoji se od različitih vrsta početnih vježbi „zanimljive“ prirode, temeljenih na nagađanju ili izravnim fizičkim radnjama (pokus), ponekad na jednostavnim izračunima unutar aritmetike cijelih brojeva (prvi dio poglavlja) i razlomaka (drugi dio poglavlja). odjeljak). Donekle narušavajući klasifikacijski sklad knjige, u prvom poglavlju izdvojio sam neke od jednostavnih problema koji tematski pripadaju narednim poglavljima. To je učinjeno u interesu onih čitatelja kojima je još uvijek teško samostalno razlikovati izvediv zadatak od nemogućeg. Rješavajući različite tipove zadataka u prvom poglavlju u nizu, moći će se okušati, a potom interes za pojedinu temu prenijeti na odgovarajuće zadatke sljedećih poglavlja.
Da bi se riješili problemi iz drugog poglavlja, vlastita matematička domišljatost i ustrajnost moraju svladati sve moguće prepreke i predložiti izlaz iz teških situacija.
Treće poglavlje - "Geometrija na šibicama" - sadrži niz geometrijskih problema - zagonetki.
Poglavlje "Sedam puta probaj, jednom reži" sastoji se od zadataka za rezanje oblika.
Sadržaj zadataka poglavlja "Vještina će svugdje naći primjenu" povezan je s praktičnim aktivnostima, s tehnologijom.
Poglavlje pod naslovom "Matematika gotovo bez kalkulacija" sadrži probleme za čije je rješavanje potreban lanac vještog i suptilnog razmišljanja.
Igre i trikovi sakupljeni su u zasebnom poglavlju, a također su smješteni kroz cijelu knjigu. Oni sadrže matematičku osnovu i nedvojbeno se ubrajaju u "carstvo domišljatosti".
Tri poglavlja: "Unakrsni zbrojevi i magični kvadrati", "Znatiželjni i ozbiljni u brojevima" i "Brojevi drevni, ali vječno mladi", posvećena su nekim zanimljivim zapažanjima o numeričkim omjerima koji su se nakupili u matematici od davnih vremena do našeg vremena.
Završno poglavlje- dva kratka eseja o radnoj domišljatosti ljudi naše domovine, radnika u poljima i tvornicama.
Na raznim mjestima u knjizi čitatelju se nude male teme za samostalno istraživanje.
Na kraju knjige nalaze se rješenja problema, ali ne treba žuriti s njihovim proučavanjem.
Svaki zadatak za "domišljatost" prepun je nekog "žela" iu većini slučajeva tvrd je orah, koji nije lako slomiti, ali je utoliko primamljiviji.
Ako ne uspijete riješiti problem odmah, možete ga privremeno preskočiti i prijeći na sljedeći ili na zadatke drugog dijela, drugog poglavlja. Kasnije se vratite propuštenom zadatku.
"Matematička domišljatost" nije knjiga za lagano čitanje "u jednom dahu", već za možda višegodišnji rad, knjiga za redovitu mentalnu gimnastiku u malim porcijama, čitateljev suputnik u njegovom postupnom matematičkom razvoju.
Sav materijal knjige podređen je edukativnom i obrazovnom cilju: potaknuti čitatelja na samostalno kreativno razmišljanje, dodatno unaprijediti svoje matematičko znanje.
Drugo izdanje Matematičkih pameti nije stereotipno ponavljanje prvoga. Izvršene su potrebne izmjene u tekstu i rješenjima nekih zadataka; odvojeni zadaci zamijenjeni su novima - smislenijima; knjiga je redizajnirana.
Velike napore u cilju poboljšanja knjige uložio je urednik izdavačke kuće M. M. Hot.
Rješavajući probleme sami, čitatelji su u nekim slučajevima nalazili dodatna ili jednostavnija rješenja i ljubazno mi priopćili svoje rezultate. Autori najzanimljivijih rješenja navedeni su na odgovarajućim mjestima u knjizi.
Nadam se da ću od čitatelja "Smekalke" dobiti povratne informacije i sugestije o daljnjem poboljšanju knjige, kao i vlastitih izvornih problema i matematičkih materijala narodne umjetnosti.
Adresa: Moskva, B-64, ul. Chernyshevsky, 31, apt. 53, Boris Anastasijevič Kordemski.
B. Kordemskog.

ZADACI

"Knjiga je knjiga, i pokreni mozak"
V. Majakovskog.

POGLAVLJE PRVO. ZABAVNI IZAZOVI

ODJELJAK I
Testirajte i vježbajte svoju domišljatost isprva na takvim zadacima, čije rješavanje zahtijeva samo svrsishodnu upornost, strpljenje, dosjetljivost i sposobnost zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja cijelih brojeva.

1. Pažljivi pioniri
Školarci - dječak i djevojčica - upravo su obavili meteorološka mjerenja.
Sada se odmaraju na brežuljku i gledaju kako prolazi teretni vlak.
Lokomotiva na usponu bjesomučno dimi i puše. Duž platna željeznička pruga ravnomjerno, bez naleta vjetar puše.
- Koju su brzinu vjetra pokazala naša mjerenja? - upita dječak.
- 7 metara u sekundi.
- Danas mi je ovo dovoljno da odredim koliko brzo ide vlak.
- Pa da, - sumnjala je djevojka.
- A ti malo bolje pogledaj kretanje vlaka.
Djevojka je malo razmislila i također shvatila u čemu je stvar.
I vidjeli su upravo ono što je naš umjetnik naslikao (slika 1). Kolika je bila brzina vlaka?
Riža. 1. Koliko je brz vlak?

2. "Kameni cvijet"
Sjećate li se talentiranog "obrtnika" majstora Danila iz bajke P. Bazhova "Kameni cvijet"?
Na Uralu kažu da je Danila, još kao student, isklesao dva takva cvijeta (sl. 2), čiji su listovi, stabljike i latice bili odvojeni, a od dobivenih dijelova cvjetova bilo je moguće saviti tanjur u oblik kruga.
Probaj! Precrtajte cvjetove daniline na papir ili karton, izrežite latice, stabljike i listove i presavijte krug.

3. Pokretne dame
Postavite 6 dama na stol u nizu naizmjenično - crni, bijeli, još jedan crni, još jedan bijeli, itd. (slika 3).
Riža. 3. Bijele dame trebaju biti s lijeve strane, a zatim crne.
Lijevo ili desno ostaviti slobodno mjesto, dovoljno za četiri dame.
Potrebno je pomaknuti dame tako da sve bijele budu s lijeve strane, a iza njih sve crne. U isto vrijeme, trebate premjestiti dva obližnja dama na prazno mjesto odjednom, bez promjene redoslijeda u kojem leže. Za rješavanje problema dovoljno je napraviti tri pokreta (tri poteza) *).
Ako nemate dame, koristite kovanice ili izrežite komade papira ili kartona.
*) Tema ovog zadatka dalje se razvija u zadacima 96 i 97 (str. 57 i 58).

4. U tri poteza
Stavite 3 hrpe šibica na stol. Na jednu hrpu stavite 11 šibica, na drugu 7, na treću 6. Kada prebacujete šibice s bilo koje hrpe na drugu, potrebno je sve tri hrpe izjednačiti tako da svaka ima po 8 šibica. To je moguće jer je ukupan broj podudaranja - 24 - djeljiv s 3 bez ostatka; u ovom slučaju potrebno je pridržavati se sljedećeg pravila: na hrpu je dopušteno dodati točno onoliko šibica koliko u njoj ima. Na primjer, ako ima 6 šibica u hrpi, tada joj se može dodati samo 6, ako ima 4 šibice u hrpi, tada joj se mogu dodati samo 4.
Zadatak se rješava u 3 poteza.

5. Brojite!
Provjerite svoje geometrijsko opažanje: izbrojite koliko je trokuta na slici prikazanoj na sl. četiri.

6. Put vrtlara
Na sl. 5 je nacrt manjeg nasada jabuka (točke - stabla jabuke). Vrtlar je obradio sva stabla jabuka redom.
Riža. 5. Plan voćnjaka jabuka.
Počeo je od ćelije označene zvjezdicom i prošao jednu po jednu kroz sve ćelije, obje zauzete stablima jabuka i
slobodan, nikada se ne vraća u pređenu ćeliju. Nije hodao po dijagonalama i nije bio na zasjenjenim ćelijama, jer su tamo bile postavljene razne zgrade.
Završivši obilazak, vrtlar je završio na istom trgu s kojeg je i započeo svoje putovanje.
Nacrtaj vrtlarov put u svoju bilježnicu.

7. Treba biti pametan
U košari je 5 jabuka. Kako te jabuke podijeliti na pet djevojčica tako da svaka dobije po jednu jabuku, a da jedna jabuka ostane u košari?

8. Bez oklijevanja
Recite mi, koliko je mačaka u sobi, ako jedna mačka sjedi u svakom od četiri kuta sobe, 3 mačke sjede nasuprot svake mačke, a mačka sjedi na repu svake mačke?

9. Dolje - gore
Dječak je čvrsto pritisnuo rub plave olovke uz rub žute olovke. Jedan centimetar (po dužini) utisnutog ruba plave olovke, računajući od donjeg kraja, obojan je bojom. Dječak drži žutu olovku nepomično, a plavu, nastavljajući je pritiskati na žutu, spušta je za 1 cm, zatim je vraća u prijašnji položaj, ponovno spušta za 1 cm i opet se vraća u prethodni položaj; 10 puta spušta i 10 puta podiže plavu olovku (20 pokreta).
Ako pretpostavimo da se tijekom tog vremena boja ne osuši i ne iscrpi, koliko će centimetara duljine žuta olovka biti zaprljana nakon dvadesetog pokreta?
Bilješka. Ovaj problem izmislio je matematičar Leonid Mihajlovič Ribakov na putu kući nakon uspješnog lova na patke. Što ga je potaknulo da napiše zadatak, pročitat ćete na 387. stranici nakon što riješite zadatak.

10. Prelazak rijeke (stari problem)
Mali vojni odred približio se rijeci kroz koju je trebalo prijeći. Most je slomljen, a rijeka duboka. Kako biti? Odjednom, časnik primijeti dva dječaka u blizini obale kako se zabavljaju u čamcu. Ali čamac je toliko malen da njime može prijeći samo jedan vojnik ili samo dva dječaka – ne više! Međutim, svi su vojnici prešli rijeku na ovom brodu. Kako?
Riješite ovaj problem "u glavi" ili praktično - pomoću dama, šibica ili nečeg sličnog i pomičući ih po stolu kroz zamišljenu rijeku.

11. Vuk, koza i kupus
Ovo je također stari problem; nalazimo u spisima 8. stoljeća. Ima nevjerojatan sadržaj.
Riža. 6. Nije bilo moguće ostaviti vuka i kozu bez čovjeka ...
Određena osoba trebala je u čamcu preko rijeke prevesti vuka, kozu i kupus. U čamac je mogao stati samo jedan čovjek, a s njim ili vuk, ili koza, ili kupus. Ali ako ostaviš vuka s kozom bez čovjeka, onda će vuk pojesti kozu, ako ostaviš kozu s kupusom, onda će i koza pojesti kupus, a u prisustvu čovjeka "nitko nikoga nije pojeo". Čovjek je ipak prevezao svoj teret preko rijeke.
Kako mu je to uspjelo?
U uskom i vrlo dugom žlijebu nalazi se 8 kuglica: četiri crne s lijeve i četiri bijele nešto većeg promjera s desne strane (slika 7). U središnjem dijelu korita u zidu je mala niša u koju stane samo jedna kugla (bilo koja). Dvije kugle mogu se nalaziti jedna pored druge preko žlijeba samo na mjestu gdje se nalazi niša. Lijevi kraj žlijeba je zatvoren, dok desni kraj ima rupu kroz koju može proći bilo koja crna kuglica, ali ne i bijela. Kako izbaciti sve crne kuglice iz žlijeba? Nije dopušteno vaditi kuglice iz padobrana.

13. Popravak lanca
Znate li o čemu je razmišljao mladi majstor (slika 8)? Ispred njega je 5 karika lanca, koje je potrebno povezati u jedan lanac bez upotrebe dodatnih prstenova. Ako, na primjer, otkujete prsten 3 (jedna operacija) i zakačite ga na prsten 4 (još jedna operacija), zatim otkujete prsten 6 i zakačite prsten 7, itd., tada će biti ukupno osam operacija, a glavni nastoji iskovati lanac uz pomoć samo šest operacija. Uspio je. Kako je postupio?

14. Ispravite grešku
Uzmite 12 šibica i od njih složite "jednakost" prikazanu na sl. 9.
Riža. 9. Ispravite grešku pomicanjem samo jedne šibice.
Jednakost, kao što vidite, nije točna, jer ispada da je 6 - 4 = 9.
Pomaknite jednu šibicu tako da dobijete točnu jednakost.

15. Od tri - četiri (šala)
Na stolu su 3 utakmice.
Bez dodavanja jedne šibice, napravite tri do četiri. Ne možete lomiti šibice.

16. Tri da dva - osam (još jedna šala)
Evo još jedne slične šale. Možete ga ponuditi svom prijatelju.
Stavite 3 šibice na stol i pozovite prijatelja da im doda još 2 tako da dobijete osam. Naravno, ne možete lomiti šibice.

17. Tri kvadrata
Od 8 štapića (npr. šibica), od kojih su četiri upola kraće od ostala četiri, trebate napraviti 3 jednaka kvadrata.

18. U tokarnici tvornice dijelovi se tokare iz olovnih sirovina. Od jedne praznine - detalj. Strugotine nastale obradom šest dijelova mogu se: rastopiti i pripremiti za drugi proizvod. Koliko se dijelova može izraditi na ovaj način od 36 olovnih pločica?

19. Probajte!
U četvrtastoj plesnoj dvorani postavite 10 stolica duž zidova tako da na svakom zidu bude jednak broj stolica.

20. Aranžiranje zastava
Komsomolci su izgradili malu međukolhoznu hidroelektranu. Do dana lansiranja, pioniri ukrašavaju vanjski dio elektrane sa sve četiri strane vijencima, žaruljama i zastavicama. Zastava je bilo malo, samo 12.
Pioniri su ih prvo postavili po 4 sa svake strane, kao što je prikazano na dijagramu (Sl. 10), a zatim su shvatili da mogu postaviti istih 12 zastava sa svake strane po 5 ili čak 6. Više im se svidio drugi projekt, pa su odlučili stavite 5 potvrdnih okvira.
Pokažite na dijagramu kako su pioniri rasporedili 12 zastava, po 5 na svaku od četiri strane, i kako su mogli rasporediti njih 6 zastava.

21. Očuvati paritet
Uzmite 16 predmeta (papira, kovanica, šljiva ili cekera) i posložite ih 4 u nizu (slika 11). Sada uklonite 6 komada, ali tako da u svakom vodoravnom iu svakom okomitom redu ostane paran broj predmeta. Uklanjanjem različitih 6 komada, možete dobiti različita rješenja.

22. "Magični" trokut s brojevima
Na vrhove trokuta stavio sam brojeve 1, 2 i 3, a vi ćete na stranice trokuta staviti brojeve 4, 5, 6, 7, 8, 9 tako da zbroj svih brojeva duž svake stranice trokuta je 17. Ovo nije teško, jer sam predložio Koje brojeve treba staviti na vrhove trokuta. 2
Još ćete se morati petljati ako vam unaprijed ne kažem koje brojeve treba staviti na vrhove trokuta i predložim ponovno postavljanje brojeva
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
svaki jednom, duž stranica i na vrhovima trokuta tako da zbroj brojeva na svakoj stranici trokuta bude 20.
Kada dobijete željeni raspored brojeva, tražite sve nove i nove rasporede. Uvjeti problema mogu biti ispunjeni za široku lepezu rasporeda brojeva.

23. Kako se 12 djevojčica igralo loptom
Dvanaest djevojčica stalo je u krug i počelo se igrati loptom. Svaka je djevojčica bacila loptu svom susjedu s lijeve strane. Kada je lopta obišla cijeli krug, bačena je u suprotnom smjeru. Nakon nekog vremena jedna djevojka reče:
- Bolje da bacimo loptu kroz jednu osobu.
“Ali budući da nas ima dvanaest, pola djevojaka neće sudjelovati u igri”, živo se usprotivila Natasha.
- Onda ćemo baciti loptu kroz dva! (Svaki treći hvata loptu.)
- Još gore: igrat će samo četiri... Ako hoćeš da igraju sve cure, trebaš baciti loptu kroz četiri (peta hvata). Nema druge kombinacije.
- A ako baciš loptu kroz šest ljudi?
- Bit će ista kombinacija, samo će lopta ići u suprotnom smjeru.
- A ako igrate u deset (svaki jedanaesti uhvati loptu)? - upitale su djevojke.
Ovako smo već igrali...
Djevojčice su počele crtati dijagrame svih predloženih načina igre i vrlo brzo su se uvjerile da je Natasha bila u pravu. Samo jedna shema igre (osim početne) obuhvatila je sve sudionike bez iznimke (slika 13, a).
Sada, ako je igralo trinaest djevojaka, lopta se može baciti kroz jednu (slika 13, b), i kroz dvije (slika 13, c), i kroz tri (slika 13, d), i kroz četiri ( Slika 13, e), i svaki put bi igra obuhvatila sve sudionike. Saznajte je li moguće s trinaest igrača loptu probaciti kroz petero?
Je li moguće ubaciti loptu kroz šest ljudi s trinaest igrača? Razmislite i nacrtajte odgovarajuće dijagrame radi jasnoće.

24. Četiri ravne crte
Uzmite list papira i nacrtajte sl. 14. Ima devet vrhova tako da su raspoređeni u obliku kvadrata, kao što je prikazano na sl. 14. Sada prekrižite sve točkice s četiri ravne crte, ne dižući olovku s papira.

25. Jaretine odvojiti od kupusa
Sada riješite problem koji je na neki način suprotan prethodnom. Tamo smo točke spojili ravnim linijama, a ovdje trebamo povući 3 ravne linije kako bismo odvojili koze od kupusa (slika 15). Na crtežu knjige ne smiju biti povučene ravne linije.
Precrtaj raspored koza i kupusa u svoju bilježnicu i zatim pokušaj riješiti zadatak. Uopće ne možete crtati linije, već koristiti igle za pletenje ili tanke žice.

26. Dva vlaka
Brzi vlak krenuo je iz Moskve za Lenjingrad i vozio je bez stajanja brzinom od 60 kilometara na sat. U susret mu je izašao drugi vlak iz Lenjingrada za Moskvu i također išao bez prestanka brzinom od 40 kilometara na sat.
Koliko će ti vlakovi biti udaljeni 1 sat prije susreta?

27. Na plimi (vic)
Nedaleko od obale nalazi se brod s ljestvama od užeta koje su porinute uz bok. Stepenice imaju 10 stepenica; razmak između stepenica je 30 cm.. Najniža stepenica dodiruje površinu vode. Ocean je danas vrlo miran, ali plima dolazi i podiže se
Bila su dva broja, a voda za svaki sat po 15 cm. Nakon koliko će vremena treća stepenica ljestava od užeta biti prekrivena vodom?

28. Biraj
a) Brojčanik sata podijelite s dvije ravne crte na tri dijela tako da zbrajanjem brojeva u svakom dijelu dobijete isti iznos.
b) Može li se ovaj brojčanik podijeliti na 6 dijelova tako da u svakom dijelu zbroji ova dva broja u svakom od šest dijelova budu međusobno jednaki?

29. Slomljen brojčanik
U muzeju sam vidio stari sat s rimskim brojevima na brojčaniku, a umjesto poznatog broja četiri (IV) bila su četiri štapića (IIII). Pukotine nastale na brojčaniku podijelile su ga na 4 dijela, kao što je prikazano na sl. 17. Zbrojevi brojeva u svakom dijelu nisu bili isti: u jednom - 21, u drugom - 20, u trećem - 20, u četvrtom - 17.
Primijetio sam da bi s nešto drugačijim rasporedom pukotina zbroj brojeva u svakom od četiri dijela brojčanika bio 20. S novim rasporedom pukotina one možda neće prolaziti kroz središte brojčanika. Ponovno nacrtajte brojčanik sata u svojoj bilježnici i pronađite ovo novo mjesto pukotina.
Riža. 17. Pukotine su podijelile brojčanik na 4 dijela.

30. Nevjerojatan sat (kineska zagonetka)
Jednom su urara hitno pozvali da uđe u jednu kuću.
- Bolestan sam - odgovori urar - i ne mogu ići. Ali ako je popravak jednostavan, poslat ću vam svog učenika.
Ispostavilo se da je potrebno zamijeniti slomljene strijele s drugima.
"Moj učenik može ovo riješiti", rekao je majstor. - On će provjeriti mehanizam vašeg sata i odabrati mu nove kazaljke.
Šegrt je vrlo marljivo radio svoj posao, i kad je završio s pregledom sata, već je pao mrak. Smatrajući posao obavljenim, žurno je navukao podignute kazaljke i stavio ih na svoj sat: veliku kazaljku na brojku 12, a malu na brojku 6 (bilo je točno 18 sati).
Ali ubrzo nakon što se šegrt vratio u radionicu kako bi obavijestio predradnika da je posao obavljen, zazvonio je telefon. Dječak je podigao slušalicu i čuo ljutiti glas mušterije:
- Loše ste popravili sat, netočno pokazuje vrijeme.
Majstorov šegrt, iznenađen ovom porukom, požurio je do kupca. Kad je stigao, sat koji je popravio pokazivao je početak devetog. Student je izvadio svoj džepni sat i pružio ga ljutitom vlasniku kuće:
- Racun molim. Vaš sat nikada ne kasni.
Zaprepašteni kupac bio je prisiljen pristati da je njegov sat unutra ovaj trenutak stvarno pokazuje točno vrijeme.
Ali sljedećeg jutra kupac je ponovno nazvao i rekao da su kazaljke na satu, očito, poludjele i šetale po brojčaniku kako im je volja. Majstorov šegrt je otrčao do kupca. Sat je pokazivao početak osmog. Provjeravajući vrijeme na satu, ozbiljno se naljutio:
- Smiješ mi se! Vaš sat pokazuje točno vrijeme!
Sat je stvarno pokazivao točno vrijeme. Ogorčeni učiteljev učenik htio je odmah otići, ali ga je učitelj obuzdao. I nakon nekoliko minuta otkrili su uzrok ovakvih nevjerojatnih incidenata.
Niste pogodili što se ovdje događa?

31. Tri u nizu
Rasporedite 9 gumba na stolu u obliku kvadrata, 3 gumba sa svake strane i jedan u sredini (sl. 18). Imajte na umu da ako postoje dva ili više gumba duž bilo koje ravne linije, tada ćemo takav raspored uvijek zvati "red". Dakle, AB i CD su redovi od kojih svaki ima 3 gumba, a EF je red koji sadrži dva gumba.
Riža. 18. Koliko ima redova?
Odredi koliko je redova od po 3 gumba na slici i koliko je takvih redova od kojih svaki ima samo 2 gumba.
Sada uklonite sva 3 gumba i rasporedite preostalih 6 u 3 reda tako da u svakom redu budu 3 gumba.

32. Deset redova
Lako je pogoditi kako rasporediti 16 dama u 10 redova po 4 dama u svakom redu. Mnogo je teže rasporediti 9 dama u 10 redova tako da u svakom redu budu po 3 dama.
Riješite oba problema.

33. Položaj novčića
Na listu praznog papira nacrtajte lik prikazan na sl. 19, povećavajući njegovu veličinu 2-3 puta, i pripremite 17 kovanica sljedeće denominacije:
20 kopejki - 5 komada,
15 kopejki - 3 komada,
10 kopejki - 3 komada,
5 kopecks - 6 komada.
Riža. 19. Rasporedite novčiće na kvadrate ove figure.
Rasporedite pripremljene novčiće na kvadrate nacrtane figure tako da zbroj kopejki duž svake ravne crte prikazane na slici bude 55.

34. Od 1 do 19
U devetnaest krugova sl. 20 je potreban za slaganje 19 tako da zbroj brojeva u bilo koja tri kruga koji leže na istoj ravnoj liniji bude jednak 30.

35. Brzo, ali pažljivo
Riješite sljedeća 4 zadatka “na brzinu” – tko će brže dati točan odgovor:

Zadatak 1. U podne autobus s putnicima kreće iz Moskve za Tulu. Sat vremena kasnije, biciklist kreće iz Tule za Moskvu i vozi istom autocestom, ali, naravno, puno sporije od autobusa.
Kad se sretnu putnici autobusa i biciklist, tko će od njih biti dalje od Moskve?
Problem 2. Što je skuplje: kilogram grivni ili pola kilograma dvije grivne?
Zadatak 3. U 6 sati zidni je sat otkucao 6 udaraca. Na džepnom sam satu primijetio da je vrijeme proteklo od prvog udarca do šestog točno 30 sekundi.
Ako je satu trebalo 30 sekundi da otkuca 6 puta, koliko dugo će sat nastaviti otkucavati podne ili ponoć, kada sat otkuca 12 puta?
Zadatak 4. Iz jedne točke izletjele su 3 laste. Kada će biti u istom avionu?

Sada s mirnim rasuđivanjem provjerite svoje odluke i pogledajte odjeljak "Odgovori".
- Pa kako? Jeste li upali u one male zamke koje su sadržane u ovim jednostavnim zadacima?
Takvi su zadaci privlačni jer izoštravaju pažnju i uče da budete oprezni u uobičajenom toku misli.
svi cijeli brojevi od 1 do
Riža. 20. Popuni kružiće brojevima od 1 do 19.

36. Kovrčavi rak
Figurirani rak, prikazan na Sl. 21, sastavljen od 17 komada.
Presavijte dvije figure odjednom od dijelova ovog raka: krug i kvadrat pored njega.

37. Trošak knjige
Za knjigu su platili 1 rublju i još polovicu cijene knjige. Koliko košta knjiga?

38. Nemirna muha
Na autocesti Moskva - Simferopolj dvojica sportaša istovremeno su krenula u vožnju biciklom za trening jedan prema drugom.
U tom trenutku, kada je između biciklista ostalo samo 300 km, muhu je počela jako zanimati kilometraža. Sletjevši s ramena jednog biciklista i ispred njega, pojurila je prema drugom. Susrevši drugog biciklista i uvjerivši se da je sve sigurno, odmah se vratila. Muha je doletjela do prvog sportaša i ponovno se okrenula prema drugom.
Tako je letjela između biciklista koji su joj se približavali sve dok se biciklisti nisu sreli. Tada se muha smirila i sjela jednom od njih na nos.
Muha je letjela između biciklista brzinom od 100 km na sat, a biciklisti su sve to vrijeme vozili brzinom od 50 km na sat.
Koliko je kilometara preletjela muha?

39. Manje od 50 godina kasnije
Hoće li u ovom stoljeću biti takva godina da ako je napisana brojevima, a papir je okrenut naopako, onda će broj koji se formira na okrenutom papiru izražavati istu godinu?

40. Dvije šale
Prva šala. Tata je nazvao kćer, zamolio je da kupi neke stvari koje su mu potrebne za odlazak i rekao da je novac u koverti na njegovom stolu. Djevojka je, bacivši kratak pogled na kovertu, vidjela da je na njoj ispisan broj 98, izvadila novac i ne brojeći ga stavila
vrećicu, a omotnicu zgužvao i bacio.
U dućanu je kupila stvari za 90 rubalja, a kada se htjela razdužiti, pokazalo se da ne samo da joj nije ostalo osam rubalja, koliko je očekivala, nego su joj falile čak četiri rublje.
Kod kuće je to ispričala ocu i pitala ga je li pogriješio kad je brojao novac. Otac je odgovorio da je dobro prebrojao novac, ali je ona sama pogriješila i smijući se ukazala joj na grešku. Koja je bila greška djevojke?

Druga šala. Pripremite 8 papirića s brojevima 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 i 9 i rasporedite ih u dva stupca kao na sl. 22.
Pomicanjem samo dva papirića osigurajte da su zbrojevi brojeva u oba stupca jednaki.
Riža. 22. Izjednačite nejednake količine.

41. Koliko imam godina?
Kad je moj otac imao 31 godinu, ja sam imao 8 godina, a sada je moj otac dvostruko stariji od mene. koliko sad imam godina

42. Ocijenite "na prvi pogled"
Imate dva stupca brojeva:
123456789 1
12345678 21
1234567 321
123456 4321
12345 54321
1234 654321
123 7654321
12 87654321
1 987654321
Pogledajte malo bolje: brojevi drugog stupca formirani su od istih brojeva kao i brojevi prvog stupca, ali s obrnutim redoslijedom njihovog rasporeda. (Radi jasnoće, nule u lijevom stupcu su izostavljene.)
Koji će stupac, kada se zbroji, dati veći rezultat?
Najprije te zbrojeve usporedite "na prvi pogled", odnosno bez zbrajanja pokušajte utvrditi trebaju li biti isti ili bi jedan trebao biti veći od drugoga, a zatim provjerite zbrajanjem.

43. Dodavanje brzine
Osam šesteroznamenkastih pojmova (...) odabrano je tako da, razumnim grupiranjem, možete “u mislima” pronaći zbroj za 8 sekundi. Možete li podnijeti ovu brzinu?
U rubrici "Odgovori" ima uputa, ali ... duže ćete ih tražiti.
I pokažite svojim prijateljima dva trika, koja u šali možete nazvati i "zbrajanje brzine".

Prvi fokus. Recite: “Bez da mi pokazujete, napišite koliko god želite višeznamenkastih brojeva u stupac. Onda ću doći], vrlo brzo ću napisati isti broj brojeva i odmah ih sve zbrojiti.”
Recimo prijatelji su napisali:
7621
3057
2794
4518
I dodijelite takve brojeve, od kojih svaki nadopunjuje do 9999 jedan po jedan sve napisane brojeve. Ovi brojevi će biti:
5481
7205
6942
2378
Stvarno: (...)
Sada nije teško shvatiti kako brzo izračunati cijeli iznos: (...)
Potrebno je uzeti 9999 4 puta, odnosno 9999X4, a takvo množenje se brzo obavi u umu. Pomnožite 10 000 s 4 i oduzmite dodatne 4 jedinice. Ispada:
10 000 X 4 - 4 = 40 000 - 4 = 39 996.
To je cijela tajna trika!

Drugi fokus. Napišite jedan ispod drugog bilo koja 2 broja bilo koje veličine. Dodat ću trećinu i odmah, slijeva nadesno, ispisati zbroj sva tri broja.
Recimo da ste napisali:
72 603 294
51 273 081
Dodijelit ću vam npr. sljedeći broj: 48 726 918 i odmah vam reći iznos.
Koji broj treba pripisati i kako brzo pronaći zbroj u ovom slučaju, shvatite sami!

44. U kojoj ruci? (matematički trik)
Dajte prijatelju dva novčića: jedan s parnim brojem kopejki, a drugi s neparnim brojem (na primjer, dvije kopejke i tri kopejke). Neka, ne pokazujući vam, uzme jedan od ovih novčića (bilo koji) u desnu ruku, a drugi u lijevu. Lako možete pogoditi u kojoj ruci ima koji novčić.
Pozovite ga da utrostruči broj kopejki u novčiću koji drži u desnoj ruci i udvostruči broj kopejki u novčiću koji drži u lijevoj ruci. Neka zbroji rezultate i kaže vam samo dobiveni iznos.
Ako je navedeni iznos paran, tada su 2 kopejke u desnoj ruci, ako je neparan, onda su 2 kopejke u lijevoj ruci.
Objasnite zašto uvijek ispadne ovako i razmislite o načinima na koje možete diversificirati ovaj trik.

45. Koliko ih ima?
Dječak ima sestara koliko i braće, a njegova sestra ima upola manje sestara nego braće.
Koliko braće i sestara ima ova obitelj?

46. ​​​​Isti brojevi
Samo zbrajanjem broj 28 napiši s pet dvojki, a broj 1000 s osam osmica.

47. Stotinu
Bilo kojom aritmetičkom operacijom od pet jedinica ili od pet petica sastavite broj 100, a od pet petica 100 možete sastaviti na dva načina.

48. Aritmetički dvoboj
Jedno vrijeme postojao je takav običaj u matematičkom krugu naše škole. Svakom novom članu kružoka voditelj kružoka ponudio je jednostavan zadatak - svojevrsni matematički orah. Ako riješite problem, odmah postajete član kruga, a ako se ne nosite s maticom, možete posjetiti krug kao revizor.
Sjećam se da je jednom naš predsjednik jednom pridošlici Viti predložio sljedeći zadatak: (...)

49. Dvadeset
Od četiri neparna broja lako je sastaviti zbroj jednak 10, naime:
1 + 1+3 + 5=10,
ili ovako:
1 + 1 + 1+7 = 10.
Moguće je i treće rješenje:
1 + 3 + 3 + 3= 10.
Drugih rješenja nema (promjene u redoslijedu termina, naravno, ne tvore nova rješenja).
Sljedeći problem ima puno više različitih rješenja:
Sastavi broj 20 tako da zbrojiš točno osam neparnih brojeva među kojima je također dopušteno da budu isti članovi.
Pronaći sva različita rješenja ovog problema i odrediti koliko će među njima biti takvih zbrojeva koji sadrže najveći broj nejednakih članova?
Mali savjet. Ako nasumično odaberete brojeve, svejedno ćete doći do nekoliko rješenja, ali nasumični pokušaji neće vam dati povjerenje da ste iscrpili sva rješenja. Ako, međutim, uvedete neki red, sustav u “metodu suđenja”, tada vam niti jedno od mogućih rješenja neće promaći.

50. Koliko ruta?
Iz pisma učenika: „Dok smo učili u matematičkom krugu, nacrtali smo plan šesnaest četvrti našeg grada. Na priloženoj shemi plana (sl. 23) sve četvrtine su konvencionalno prikazane kao identični kvadrati.
Zanima nas sljedeće pitanje:
Koliko se različitih ruta može planirati od točke A do točke C ako se krećemo našim ulicama
Riža. 23. Koliko ruta vodi od L do S?
gradovi samo naprijed i desno, desno i naprijed? Rute se mogu podudarati u svojim odvojenim dijelovima (vidi isprekidane linije na dijagramu plana).
Dojma smo da to nije lak zadatak. Jesmo li ga točno riješili ako smo izbrojali 70 različitih ruta?”
Što bi trebao biti odgovor na ovo pismo?

52. Različite akcije, jedan rezultat
Ako se između dvije dvojke znak zbrajanja zamijeni znakom množenja, tada se rezultat neće promijeniti. Zaista: 2+ 2 = 2X2. Lako se bere i 3 broja s istim svojstvom, naime: 1+2 + 3 = = 1X2X3. Postoje i 4 jednoznamenkasta broja koji, kada se međusobno zbroje ili pomnože, daju isti rezultat.
Tko će brže pokupiti ove brojeve? Spreman? Nastavite s natjecanjem! Pronađite 5, pa 6, pa 7 i tako dalje jednoznamenkaste brojeve koji imaju isto svojstvo. Imajte na umu da, počevši od skupine od 5 brojeva, odgovori mogu biti različiti.

53. Devedeset devet i sto
Koliko znakova plusa (+) trebate staviti između znamenki od 987654321 da biste dobili 99?
Moguća su dva rješenja. Pronaći barem jedan od njih nije lako, ali steći ćete iskustvo koje će vam pomoći da brzo postavite znak plus između sedam brojeva 1 2 3 4 5 6 7 tako da zbroj bude 100. (Položaj brojeva nije dopušteno mijenjati). Učenica iz Kemerova tvrdi da su i tu moguća dva rješenja.

54. Demontažna šahovska ploča
Veseli šahist razrezao je svoju kartonsku šahovsku ploču na 14 dijelova, kao što je prikazano na sl. 25. Ispalo je sklopiva šahovska ploča. Drugovima koji su dolazili k njemu igrati šah, prvo je ponudio zagonetku: od tih 14 dijelova napraviti šahovsku ploču. Iz kariranog papira izrežite iste figure i uvjerite se je li od njih teško ili lako napraviti šahovnicu.

60. Zbunjeni vozač
Što je vozač pomislio kad je pogledao na brzinomjer svog automobila (slika 29)? Brojač je pokazao broj 15951. Vozač je uočio da je broj prijeđenih kilometara automobila izražen simetričnim brojem, odnosno da se isti čita slijeva na desno i zdesna nalijevo:
15951.
- Zanimljivo! .. - promrmljao je vozač. - Sad će se, vjerojatno ne skoro, na šalteru pojaviti još jedan broj, koji ima isto obilježje.
Međutim, točno 2 sata kasnije brojač je pokazao novi broj, koji se također očitao jednako u oba smjera.
Odredite koliko je brzo vozač vozio tijekom ta 2 sata?

61. Za hidroelektranu Tsimlyansk
U ispunjavanju hitne narudžbe za proizvodnju mjernih instrumenata za hidroelektranu Tsimlyansk sudjelovao je tim izvrsne kvalitete koji se sastojao od predradnika - starog, iskusnog radnika - i 9 mladih radnika koji su upravo završili strukovnu školu.
Tijekom dana svaki od mladih radnika montirao je 15 uređaja, a predradnik 9 uređaja više od prosjeka svakog od 10 članova tima.
Koliko je mjernih instrumenata ekipa postavila u jednom radnom danu?

62. Isporuka kruha na vrijeme
Počevši s isporukom žita državi, odbor kolektivne farme odlučio je isporučiti vlak sa žitom u grad točno do 11 sati ujutro. Ako automobili voze brzinom od 30 km/h, kolona će u grad stići u 10 sati, a ako brzinom od 20 km/h, onda u 12 sati.
Koliko daleko od kolektivne farme do grada i kojom brzinom treba voziti da stignete točno na vrijeme?

63. U prigradskom vlaku
U vagonu električnog vlaka dvije prijateljice učenice putovale su iz grada u vikendicu.
- Primjećujem - rekla je jedna od njezinih prijateljica - da svakih 5 minuta susrećemo povratne prigradske vlakove. Što mislite koliko prigradskih vlakova stiže u grad u jednom satu ako su brzine vlakova u oba smjera iste?
- Naravno, 12, jer je 60:5 = 12, - rekao je drugi prijatelj.
No, učenica koja je postavila pitanje nije se složila s odlukom svoje prijateljice te joj je iznijela svoje mišljenje.
Što misliš o ovome?

65. Noćna mora nogometnih navijača
“Navijač”, uznemiren porazom “svoje” momčadi, nemirno je spavao. Sanjao je veliku četvrtastu sobu bez namještaja. Vratar je trenirao u sobi. Nogometnom loptom je udario u zid i zatim je uhvatio.
Odjednom se vratar počeo smanjivati, smanjivati ​​i na kraju se pretvorio u malu celuloidnu lopticu iz "stolnoteniske", a nogometna je ispala lopta od lijevanog željeza. Lopta se mahnito kovitlala po glatkom podu sobe, pokušavajući zdrobiti malu celuloidnu lopticu. Jadna je lopta u očaju jurila s jedne strane na drugu, iscrpljena i nesposobna odskočiti.
Može li se, ne napuštajući pod, još uvijek negdje sakriti od progona kugle od lijevanog željeza?
Riža. 30. Lopta je pokušala zgnječiti loptu.
Za rješavanje zadataka drugog odjeljka potrebno je poznavanje operacija s jednostavnim i decimalnim razlomcima.
Čitatelj koji još nije učio razlomke može privremeno preskočiti probleme u ovom odjeljku i prijeći na sljedeća poglavlja.

66. Sat
Putujući našom velikom i divnom domovinom, našao sam se na takvim mjestima gdje je razlika u temperaturama zraka danju i noću tolika da kad sam dane i noći provodio na otvorenom, to je počelo utjecati na hod sata. Primijetio sam da promjene temperature tijekom dana tjeraju sat unaprijed za 1 minutu, a tijekom noći zaostaju za 1 minutu.
Ujutro 1. svibnja sat je još uvijek pokazivao točno vrijeme. Do kojeg datuma će biti 5 minuta ispred?

67. Stubište
Kuća ima 6 etaža. Recite mi koliko je puta put uz stepenice do šestog kata duži od puta uz te iste stepenice do trećeg kata, ako rasponi između katova imaju isti broj stepenica?

68. Slagalica
Koji znak treba staviti između brojeva 2 i 3 napisanih jedan do drugoga da dobijemo broj veći od dva, ali manji od tri?
69. Zanimljivi razlomci
Ako se nazivnik 1/3 doda brojniku i nazivniku, razlomak će se udvostručiti.
Odredi razlomak koji bi se zbrajanjem nazivnika njegovom brojniku i nazivniku povećao: a) tri puta, b) četiri puta.
(Algebarski ljudi mogu generalizirati problem i riješiti ga jednadžbom.)

70; Koji broj?
Dva i pol. Koji je ovo broj?

71. Put školarca
Borya radi prilično dobar posao svako jutro. dug put u školu.
Na udaljenosti od kuće do škole nalazi se zgrada MTS-a s električnim satom na fasadi, a na udaljenosti od cijele staze je željeznička stanica. Kad bi prošao kraj MTS-a, na satu je obično bilo 7:30, a kad bi stigao na stanicu, sat je pokazivao 25 ​​minuta do 8:00.
Kada je Borya napustio kuću i u koje vrijeme je došao u školu?

72. Na stadionu
12 zastavica postavljeno je duž trake za trčanje na jednakoj udaljenosti jedna od druge. Počnite od prve zastave. Sportaš je bio na osmoj zastavici 8 sekundi nakon početka vožnje. Nakon koliko će sekundi pri konstantnoj brzini biti na dvanaestoj zastavici? Ne upadajte u nevolje!

73. Jeste li pobijedili?
Ostap se vraćao kući iz Kijeva. Prvu polovicu puta prešao je vlakom 15 puta brže nego da je išao pješice. Međutim, drugu polovicu puta morao je voziti na volovima - 2 puta sporije nego da je išao pješice.
Je li Ostap dobio na vremenu u usporedbi s hodanjem?

74. Budilica
Budilica kasni 4 minute. u satu; Prije 3,5 sata je isporučeno točno. Sada je sat koji pokazuje točno vrijeme točno 12.
Za koliko minuta će i budilica pokazivati ​​12?

75. Umjesto malih dionica, velike
U tvornicama za izgradnju strojeva postoji vrlo uzbudljiva profesija; Zove se pisar. Pisac označava na izratku one linije duž kojih ovaj izradak treba obraditi da bi mu se dao potreban oblik.
Pisar mora rješavati zanimljive i ponekad teške geometrijske probleme, izvoditi aritmetičke izračune itd.
Bilo je potrebno nekako raspodijeliti 7 identičnih pravokutnih ploča u jednakim dijelovima između 12 dijelova. Donijeli su tih 7 zapisa pisaru i zamolili ga, ako je moguće, da označi zapise tako da nijedan od njih ne bude smrvljen u vrlo male komadiće. To znači da najjednostavnije rješenje - rezanje svakog zapisa na 12 jednakih dijelova - nije bilo dobro jer je rezultiralo mnogo malih dijelova. Kako biti?
Je li moguće te zapise podijeliti na veće dijelove? Skaler se zamislio, napravio neke aritmetičke izračune s razlomcima i ipak pronašao najekonomičniji način da podijeli te ploče.
Nakon toga je lako zdrobio 5 ploča kako bi ih rasporedio u jednakim dijelovima na šest dijelova, 13 ploča za 12 dijelova, 13 ploča za 36 dijelova, 26 za 21, itd.
Kako je to posipač uspio?

76. Sapun
Na jednu vagu stavi se komad sapuna, a na drugu kg istog komada. Vaga u ravnoteži.
Koliko je šipka teška?

79. Mišini mačići
Ako Misha negdje vidi napuštenog mačića, sigurno će ga pokupiti i donijeti kući. Uvijek je odgajao nekoliko mačića, a nije volio reći koliko, da mu se ne bi smijali.
Ponekad ga pitaju:
- Koliko mačića sada imaš?
"Malo", odgovara on. - Tri četvrtine njihovog broja, pa čak i tri četvrtine jednog mačića.
Drugovi su mislili da se samo šali. U međuvremenu im je Misha postavio problem koji uopće nije bio težak za riješiti. Probati!

80. Srednja brzina
Pola puta konj je hodao prazan brzinom od 12 km/h. Ostatak puta prešla je s kolicima, krećući se brzinom od 4 km/h.
Kolika je prosječna brzina, odnosno kojom konstantnom brzinom bi se konj morao kretati da bi za cijelo putovanje iskoristio isto vrijeme?

81. Putnik koji spava
Kad je putnik prevalio polovicu cijelog puta, legao je i spavao sve dok mu više nije preostalo - da prijeđe pola udaljenosti koju je prevalio spavajući. Koliki je dio cijelog puta prošao spavajući?

82. Kolika je duljina vlaka?
Dva vlaka idu jedan prema drugome usporednim kolosijecima; jedan brzinom od 36 km/h, drugi brzinom od 45 km/h. Putnik koji je sjedio u drugom vlaku primijetio je da je prvi vlak prošao pokraj njega na 6 sekundi. Kolika je duljina prvog vlaka?

83. Biciklist
Kad je biciklist prešao 2/3 puta, pukla je guma.
Na ostatku puta proveo je dvostruko više vremena pješice nego na vožnji biciklom.
Koliko je puta biciklist vozio brže nego što je hodao?

84. Natjecanje
Tokari Volodya A. i Kostya B. - učenici strukovne škole za metalce, nakon što su od majstora dobili istu odjeću za proizvodnju serije dijelova, htjeli su izvršiti svoje zadatke u isto vrijeme i prije roka.
Međutim, nakon nekog vremena pokazalo se da je Kostja učinio samo pola onoga što je Volodji preostalo učiniti, a Volodji je preostalo samo pola onoga što je već učinio.
Koliko bi puta Kostja sada trebao povećati svoj dnevni učinak u usporedbi s Volodjom da bi u isto vrijeme izvršio svoj zadatak?

Drugo poglavlje
POVJERLJIVE ODREDBE

87. Wits of Blacksmith Hecho
Putujući Gruzijom prošlog ljeta, ponekad smo se zabavljali izmišljajući svakakve neobične priče inspirirane nekim drevnim spomenikom.
Jednom smo došli do usamljenog drevna kula. Pregledao ju je, sjeo da se odmori. A među nama je bio i jedan student matematike; odmah je došao do zanimljivog problema:
“Prije 300 godina ovdje je živio zao i arogantan princ. Princ je imao kćer-nevjestu po imenu Darijana. Princ je svoju Darijanu obećao za ženu bogatom susjedu, a ona se zaljubila u jednostavnog momka, kovača Khecha. Darijan i Khecho pokušali su pobjeći u planine iz zatočeništva, ali su ih njihove sluge Knyazevi uhvatile.
Princ se razbjesnio i odlučio sutradan pogubiti obojicu, no na noć je naredio da ih zatvore u ovu visoku, sumornu, napuštenu, nedovršenu kulu, a s njima i sluškinju Darijanu, tinejdžericu koja im je pomogla u bijegu .
Nije bio izgubljen u kuli Hecho, pogledao je oko sebe, popeo se stepenicama do gornjeg dijela kule, pogledao kroz prozor - nemoguće je skočiti, slomit ćeš se. Zatim je Hecho kraj prozora primijetio uže koje su graditelji zaboravili, bačeno preko zahrđalog bloka, pojačano više.
prozor. Za krajeve užeta bile su privezane prazne košare, a za svaki kraj po jedna košara. Hecho se prisjetio da su uz pomoć ovih košara zidari dizali cigle gore i spuštali šut dolje, a ako je težina tereta u jednoj košari premašila težinu tereta u drugoj za oko 5-6 kg (prevedeno na moderne mjere) , tada je košara prilično glatko pala na tlo; druga se košara u to vrijeme penjala do prozora.
Hečo je na oko utvrdio da Darijan ima oko 50 kg, a sobarica ne više od 40 kg. Hecho je znao svoju težinu - oko 90 kg. Osim toga, u tornju je pronašao lanac težak 30 kg. Kako je u svaku košaru mogla stati osoba i lanac ili čak 2 osobe, sva trojica su se uspjela spustiti na tlo, a spustili su se tako da težina košare koja se spuštala s osobom nikad nije bila veća od težine košare. podizanje košare za više od 10 kg.
Kako su izašli iz tornja?

88. Mačka i miševi
Purrov mačak upravo je "pomogao" svom mladom vlasniku u rješavanju problema. Sada slatko spava, a u snu se vidi okružen trinaest miševa. Dvanaest miševa je sivo, a jedan je bijeli. I mačka čuje, netko kaže poznatim glasom: "Purr, moraš pojesti svakog trinaestog miša, brojeći ih u krug cijelo vrijeme u istom smjeru, tako da zadnji bijeli miš bude pojeden."
Ali s kojim mišem početi kako bi ispravno riješili problem?
Pomozi Purr.

89. Šibice oko novčića
Zamijenimo mačku novčićem, a miševe šibicama. Potrebno je ukloniti sve šibice, osim one koja je okrenuta prema novčiću (slika 35), poštujući sljedeći uvjet: prvo uklonite jednu šibicu, a zatim, pomičući se udesno u krugu, uklonite svaku trinaestu šibicu.
Razmislite koje podudaranje prvo trebate ukloniti.

90. Ždrijeb je pao na sika i crvendaća
Na kraju ljetnog kampa pioniri su odlučili pustiti pernate stanovnike polja i šumaraka koje su uhvatili mladi ptičari. Ukupno je bilo 20 ptica, svaka u posebnom kavezu. Voditelj je predložio sljedeće:
- Stavite sve kaveze s pticama u jedan red i, počevši s lijeva na desno, otvorite svaki peti kavez. Došavši do kraja reda, prenesite rezultat na početak reda, ali otvorene ćelije nemojte više brojati i tako nastavite dok se ne otvore sve ćelije, osim nekih od zadnje dvije. Ptice u ovim kavezima možete ponijeti sa sobom u grad.
Ponuda je prihvaćena.
Većina djece nije marila koje će dvije ptice ponijeti sa sobom (ako ih je već bilo nemoguće ponijeti sve), ali Tanya i Alik željeli su da ždrijeb svakako padne na siža i crvendaća. Kad su pomogli složiti ćelije u niz, sjetili su se problema mačke i miša (zadatak 88). Brzo su smislili gdje će smjestiti kaveze sa sižem i crvendaćem kako bi baš ti kavezi ostali neotvoreni i stavili ih na ...
Međutim, sami možete lako odrediti gdje su Tanya i Alik stavili kaveze sa siškinom i crvendaćem.

91. Raširite novčiće
Pripremite 7 šibica i 6 novčića. Rasporedite šibice na stolu sa zvjezdicom, kao što je prikazano na sl. 36. Počevši od bilo koje šibice, izbrojite trećinu pomicanjem kazaljke na satu i stavite novčić blizu glave. Zatim ponovno izbrojite treću šibicu u istom smjeru, počevši od bilo koje šibice protiv koje još nema novčića, i također stavite novčić blizu glave.
Nastavljajući na ovaj način, pokušajte rasporediti svih 6 novčića blizu glava šest šibica. Prilikom brojanja šibica ne treba preskakati one kraj kojih je već stavljen novčić;
potrebno je započeti odbrojavanje šibicom koja nema novčić u blizini; Ne stavljajte dva novčića na jedno mjesto.
Koje pravilo treba slijediti da bi se problem sigurno riješio?

92. Preskoči putnika!
Na polustanici jednokolosiječne pruge zaustavio se vlak sastavljen od parne lokomotive i pet vagona koji je dopremio ekipu radnika za izgradnju novog kraka. Do sada je na ovom stajalištu bio samo mali slijepi kolosijek, u koji bi po potrebi jedva stala parna lokomotiva s dva vagona.
Riža. 37. Kako preskočiti putnika?
Ubrzo nakon vlaka s građevinskom ekipom, na istoj polustanici prišao je i putnički vlak.
Kako preskočiti putnika?

93. Problem koji je proizašao iz hira triju djevojaka
Tema ovog problema ima respektabilan recept. Šetale su tri djevojčice, svaka sa svojim tatom. Sva šestorica su se približila rječici i željela su prijeći s jedne strane na drugu. Na raspolaganju im je bio samo jedan čamac bez veslača, koji je nosio samo dvije osobe. Prijelaz, naravno, ne bi bilo teško izvesti da djevojke nisu izjavile, što iz hira, što iz šale, da niti jedna od njih neće pristati voziti se u čamcu ili biti na obali s jedan ili dva tuđa tate bez svog tate. Djevojčice su bile male, ali ne baš male, da bi svaka mogla sama voziti čamac.
Ovako, neočekivano dodatni uvjeti križanja, ali zabave radi, putnici su ih odlučili pokušati dovršiti. Kako su postupili?

94. Daljnji razvoj problema
Smiješno društvo sigurno prešao na suprotnu obalu rijeke i sjeo da se odmori. Postavilo se pitanje: bi li bilo moguće pod istim uvjetima organizirati križanje četiri para? Ubrzo se pokazalo da ako se očuvaju uvjeti koje su postavile djevojke (vidi prethodni problem), križanje četiri para može biti izvedeno samo ako postoji čamac koji može podići tri osobe, i to u samo 5 koraka.
Kako?
Razvijajući temu problema još dalje, naši su putnici otkrili da je čak i na brodu koji može primiti samo dvije osobe moguće četiri djevojčice s tatama prekrcati s jedne obale na drugu, ako postoji otok usred obale. rijeke gdje se možete usput zaustaviti i iskrcati. U ovom slučaju za konačni prelazak potrebno je najmanje 12 prelazaka uz isti uvjet, a to je da niti jedna djevojka neće biti u čamcu, ni na otoku, ni na obali s tuđim tatom bez Njen otac.
Pronađite i ovo rješenje.

95. Dame u skoku
Postavite 3 bijela dama na polja 1, 2, 3 (sl. 38), a 3 crna dama na polja 5, 6, 7. Pomoću slobodnog polja 4 pomaknite bijele dame na mjesto crnih, a crne jedni na mjesto bijelih; u isto vrijeme, pridržavajte se sljedećeg pravila: dame se mogu premjestiti na susjedno slobodno polje; također je dopušteno preskočiti susjednu damu ako je iza nje slobodno polje. Bijele i crne dame mogu se kretati jedna prema drugoj. Pomaci u suprotnom smjeru nisu dopušteni. Zadatak se rješava u 15 poteza.

96. Bijelo i crno
Uzmite četiri bijela i četiri crna dama (ili 4 bakrena i 4 srebrnjaci) i stavite ih na stol u nizu, naizmjenično boje: bijela, crna, bijela, crna i tako dalje. S lijeve ili desne strane ostavite toliko slobodnog prostora da stane najviše 2 dama (kovanice). Koristeći slobodan prostor, svaki put možete pomiješati samo dva susjedna dama (kovanice), bez promjene njihovog međusobnog položaja.
Dovoljno je napraviti 4 takva poteza parova dama da se redom nađu sve crne dame, a iza njih sve bijele dame.
Provjerite!

97. Kompliciranje zadatka
S povećanjem broja inicijalno uzetih damova (kovanica), zadatak postaje kompliciraniji.
Dakle, ako stavite 5 bijelih i 5 crnih dama u jedan red, naizmjenično mijenjajući njihovu boju, trebat će vam 5 poteza da crne dame posložite s crnim, a bijele dame s bijelim.
U slučaju šest parova dama, bit će potrebno 6 poteza; u slučaju sedam parova - 7 poteza itd. Pronađite rješenja zadatka za pet, šest i sedam parova dama.
Upamtite da tijekom početnog rasporeda dama, trebate ostaviti slobodan prostor s lijeve (ili desne) strane za najviše dvije dame i pomaknuti 2 dame svaki put bez promjene njihovog međusobnog položaja.

98. Karte se slažu brojčanim redom
Iz kartona izrežite 10 karata veličine 4X0 si i označite ih brojevima od 1 do 10. Nakon što ste složili karte, uzmite ih u ruke. Počevši od gornje karte, prvu kartu stavite na stol, drugu ispod hrpe, treću kartu na stol, četvrtu ispod hrpe. Činite to cijelo vrijeme dok ne stavite sve karte na stol.
Sa sigurnošću možemo reći da karte neće biti poredane brojevima.
Razmislite o tome kojim redoslijedom prvo trebate staviti karte na hrpu tako da uz navedeni raspored budu posložene po redoslijedu brojeva od 1 do 10.

99. Dvije lokacijske zagonetke
Prva zagonetka. Dvanaest dama (novčića, papirića i sl.) lako je posložiti na stolu u obliku kvadratnog okvira sa po 4 dama sa svake strane. Ali pokušajte postaviti ove dame tako da ih ima 5 duž svake strane kvadrata.
Druga zagonetka. Na stolu rasporedite 12 dama tako da su 3 reda formirana vodoravno i 3 reda okomito, te da svaki od tih reda sadrži 4 dama.

100. Tajanstvena kutija
Misha je proveo ljeto u Arteku i svojoj mlađoj sestri Irochki donio prekrasnu kutiju ukrašenu s 36 školjki. Na poklopcu kutije urezane su linije tako da dijele poklopac na 8 dijelova.
Iročka još ne ide u školu, ali zna brojati do 10. Ono što joj se najviše svidjelo kod Mišinog poklona je to što je na svakoj strani poklopca kutije bilo točno 10 školjki (slika 40). Brojeći školjke duž bočne strane, Iročka uzima u obzir sve školjke koje se nalaze u odjeljku uz ovu stranu. Školjke smještene u kutnim dijelovima, Irochka broji s obje strane.
Jednom je moja majka, brišući kutiju krpom, slučajno zgnječila 4 školjke. Sada nema više 10 školjki sa svake strane poklopca. Kakva smetnja! Ira će doći iz Dječji vrtić i jako uzrujan.
Riža. 40. Uz svaku stranu poklopca kutije - 10 školjki.
Riža. 39. Kako staviti ove dame po 5 sa svake strane?
- Problem nije velik - Misha je umirio svoju majku.
Pažljivo je odlijepio dio školjki s preostale 32 i tako ih vješto zalijepio natrag na poklopac kutije da je sa svake strane opet bilo po 10 školjki.
Prošlo je nekoliko dana. Opet nevolja. Kutija je pala, razbilo se još 6 granata; preostalo ih je samo 26. Ali i ovaj put Miša se dosjetio kako rasporediti preostalih 26 školjki na poklopac tako da Iročka i dalje ima po 10 školjki sa svake strane. Istina, preostale školjke u potonjem slučaju nisu se mogle rasporediti po poklopcu kutije tako simetrično kao što su prije bile raspoređene, ali Iročka na to nije obraćala pozornost.
Pronađite oba Mishina rješenja.

101. Hrabri "garnizon"
Snježnu tvrđavu štiti hrabri "garnizon". Dečki su odbili 5 napada, ali nisu odustali. Na početku utakmice "garnizon" se sastojao od 40 ljudi. "Zapovjednik" snježne tvrđave u početku je postavio snage prema shemi prikazanoj u kvadratnom okviru s desne strane (u središnjem kvadratu - ukupan broj "garnizona").
“Neprijatelj” je vidio da svaku od 4 strane tvrđave brani po 11 ljudi. Prema uvjetima igre, tijekom prvog, drugog, trećeg i četvrtog napada, "garnizon" je svaki put "izgubio" 4 osobe. U posljednjem, petom, jurišu “neprijatelj” je grudama snijega onesposobio još dvoje ljudi. Pa ipak, unatoč gubicima, nakon svakog napada, obje strane snježne tvrđave nastavilo je braniti 11 ljudi.
Kako je "zapovjednik" snježne tvrđave rasporedio snage svog garnizona nakon svakog juriša?

104. Priprava za blagdan
Geometrijski smisao prethodnih pet zadataka bio je rasporediti predmete duž četiri ravne crte (stranice pravokutnika ili kvadrata) na način da broj predmeta duž svake ravne crte ostane isti kad se njihov ukupan broj promijeni.
Ovakav raspored je postignut zahvaljujući činjenici da se za sve objekte koji se nalaze na uglovima smatralo da pripadaju svakoj od strana ugla, kao što točka sjecišta dviju linija pripada svakoj od njih.
Ako pretpostavimo da svaki od objekata smještenih na stranama figure zauzima određenu točku na odgovarajućoj strani, tada se svi objekti koji se nalaze na kutovima moraju zamisliti koncentrirani u jednoj točki (na vrhu kuta).
Odbacimo sada mogućnost čak i imaginarne akumulacije objekata u jednoj geometrijskoj točki.
Pretpostavit ćemo da svaki pojedinačni predmet (kamenčić, žarulja, stablo itd.) od onih koji se nalaze na određenoj ravnini zauzima zasebnu točku ove ravnine i nećemo se ograničiti na zahtjev da te objekte postavimo samo duž četiri ravne linije.
linije. Ako se ovi uvjeti dopune zahtjevom da rješenje bude simetrično u nekom smislu, tada će problemi postavljanja objekata duž ravnih linija dobiti dodatni geometrijski interes. Rješenje takvih problema obično dovodi do konstrukcije nekog geometrijskog lika.
Na primjer, kako možete lijepo posložiti 10 žarulja u 5 redova po 4 žarulje u svakom redu kada pravite svečanu iluminaciju?
Odgovor na ovo pitanje daje petokraka zvijezda prikazana na sl. 44.
Vježbajte rješavanje sličnih problema; pokušajte postići simetriju na željenom mjestu.
Zadatak 1. Kako rasporediti 12 žarulja u 6 redova po 4 žarulje u svakom redu? (Ovaj problem ima dva rješenja.)
Zadatak 2. Posadite 13 ukrasnih grmova u 12 redova po 3 grma u svakom redu.
Zadatak 3. Na trokutastom mjestu (slika 45) vrtlar je uzgojio 16 ruža poredanih u 12 ravnih redova po 4 ruže u svakom redu. Onda je pripremio gredicu i tamo presadio svih 16 ruža u 15 redova po 4 ruže? Kako mu je to uspjelo?
Zadatak 4. Rasporedi 25 stabala u 12 redova po 5 stabala u svakom redu.
Riža. 44. 5 redova po 4.
Riža. 45. Kako napraviti 15 redova od 4.

105. Drukčije sjedenje hrastova
Lijepo zasađeno 27 stabala hrasta prema prikazanoj shemi
na sl. 46, u 9 redova sa 6 hrastova u svakom redu, ali bi arborist nedvojbeno odbio takav raspored. Hrast treba sunce samo odozgo, a sa strane da ima zelenila.
Voli, kako kažu, rasti u bundi, ali bez šešira, a onda su 3 hrasta odskočila negdje u stranu i strše sama!
Pokušajte ovih 27 hrastova posaditi na drugačiji način, također u 9 redova i također po 6 hrastova u svakom redu, ali tako da sva stabla budu raspoređena u tri skupine, a ne iz svoje skupine; spremiti i
nijedan od njih nije povratio simetriju u rasporedu.

109. Puzzle dar
Postoji takva igračka: kutija; otvoriš, a unutra je još kutija; otvoriš, unutra je opet kutija.
Napravite takvu igračku od četiri kutije. U najmanju unutrašnju kutiju stavite 4 bombona, u sljedeće dvije po 4 bombona, au najveću 9 bombona.
Tako će se u četiri kutije staviti 21 bombon (slika 53).
Ovu kutiju bombona poklonite svom prijatelju za rođendan uz uvjet da ne jede bombone dok “godišnjica” ne preraspodijeli 21 bombon tako da svaka kutija sadrži paran broj pari bombona i još jedan.
Naravno, prije izrade ovog poklona morate sami “pregristi” ovu slagalicu. Imajte na umu da tu neće pomoći nikakva pravila aritmetike, samo trebate biti pametni i imati malo pameti.

110. Potez skakača
Ne morate znati igrati šah da biste riješili ovu zabavnu šahovsku zagonetku. Dovoljno je znati kako se skakačka figura kreće na ploči. Crni pijuni postavljeni su na šahovsku ploču (vidi dijagram na slici 54). Postavite bijelog viteza na bilo koje slobodno polje koje želite šahovska ploča na način da ovaj skakač može ukloniti sve crne pješake s ploče, a da pritom učini najmanji mogući broj poteza skakačem.

113. Osam zvijezda
U jednoj od bijelih stanica na Sl. 57 Stavila sam zvjezdicu.
Postavite još 7 zvjezdica u bijela polja tako da niti jedna 2 zvjezdica (od osam) ne bude na istoj vodoravnoj ili okomitoj ili bilo kojoj dijagonali.
Problem je, naravno, potrebno riješiti pokusima, pa je dodatni interes problema i uvođenje poznatog sustava u proces potrebnih ispitivanja.

114. Dva problema za postavljanje slova
Prvi zadatak. U kvadrat podijeljen na 16 jednakih kvadrata rasporedite 4 slova tako da u svakom vodoravnom redu, u svakom okomitom redu iu svakoj od dvije dijagonale velikog kvadrata bude samo po jedno slovo. Koliki je broj rješenja ovog zadatka u slučaju kada su postavljena slova ista, a koliko u slučaju kada su različita?
Drugi zadatak. U kvadratu podijeljenom na 16 jednakih kvadrata, rasporedite 4 puta po četiri slova a, b, c i d tako da u svakom vodoravnom redu, u svakom okomitom redu iu svakoj od dvije dijagonale velikog kvadrat. Koliki je broj rješenja za ovaj problem?

115. Raspored šarenih kvadrata
Pripremite 16 kvadrata iste veličine, ali četiri različite boje, recimo bijeli, crni, crveni i zeleni - po 4 kvadrata svake boje. Imate četiri seta raznobojnih kvadrata. Na svako polje prvog skupa upišite broj 1, na svako polje drugog skupa - 2, na polja trećeg skupa - 3 i na polja četvrtog skupa - 4.
Tih 16 raznobojnih kvadrata potrebno je posložiti također u obliku kvadrata, i to na način da u svakom vodoravnom redu, u svakom okomitom redu i u svakoj od dvije dijagonale budu kvadrati s brojevima 1, 2. , 3 i 4 bilo kojim proizvoljnim redoslijedom i, štoviše, bez greške u različitim bojama.
Problem dopušta mnoga rješenja. Razmislite o sustavu za dobivanje potrebnih lokacija.

119. Problem šale
Kolya Sinichkin, učenik 4. razreda srednje škole, marljivo pokušava premjestiti šahovskog skakača iz donjeg lijevog kuta šahovske ploče (iz polja a \) u gornji desni kut (na polju h8) tako da skakač posjećuje svaki kvadrat ploče jednom. Sve dok ne uspije. Ali pokušava li on riješiti nerješiv problem?
Shvatite to teoretski i objasnite Kolji Siničkinu o čemu se ovdje radi.

120. Sto četrdeset i pet vrata (puzzle)
Srednjovjekovni feudalci ponekad su podrume svojih dvoraca pretvarali u zatvore - labirinte sa svim mogućim trikovima i tajnama: s kliznim zidovima ćelija, tajnim prolazima, raznim zamkama.
Gledate tako stari dvorac i nehotice postoji želja da sanjate.
Zamislite da je u jedan od tih podruma, čiji je nacrt prikazan na slici 62, bačen čovjek iz reda onih koji su se borili protiv feudalnog gospodara. Zamislite takvu tajnu u izgradnji ovog podruma. Od 145 vrata, samo 9 je zaključano (na slici 62 označena su podebljanim prugama), a sva su ostala širom otvorena. Čini se tako lako prići vratima koja vode van i pokušati ih otvoriti. Nije bilo tamo. Nemoguće je otvoriti zaključana vrata, ali otvorit će se sama ako su točno deveta po redu, odnosno ako 8 otvorena vrata. U tom slučaju moraju se otvoriti i proći sva zaključana vrata tamnice; svako se od njih također otvara samo ako je prije prošlo točno osam otvorenih vrata. Ispravljanje pogreške i prolazak kroz 2 - 3 dodatna vrata u susjedstvu kako bi se broj prošlih vrata povećao na osam također neće uspjeti: čim se prođe bilo koja komora, sva vrata koja su prethodno bila otvorena u njoj su čvrsto zatvorena i zaključana - vi ćete ne proći kroz komoru drugi put. Feudalci su to namjerno tako uredili.
Zatvorenik je znao za tu tajnu tamnice, a na zidu svoje ćelije (na nacrtu označenom zvjezdicom) našao je čavlom izgreban točan nacrt tamnice. Dugo je razmišljao kako zacrtati pravi put kako bi svaka zaključana vrata doista bila deveta. Napokon je riješio ovaj problem i otišao na slobodu.
Kakvo je rješenje pronašao zatvorenik?

121. Kako je zarobljenik pušten?
Oni koji žele mogu razmisliti o ovoj verziji prethodnog problema.
Zamislite da se kazamat u kojem čami zatvorenik sastoji od 49 ćelija.
U sedam komora, koje su na nacrtu tamnice (sl. 63) označene slovima A, B, C, D, E, F i G, nalaze se po jedna vrata koja se mogu otvoriti samo ključem, te ključ od vrata komore A nalaze se u komori a, ključ od vrata ćelije B nalazi se u ćeliji b, ključevi od vrata ćelija C, D, E, F i G nalaze se u ćelijama c, d, e, f odnosno g.
Ostala vrata se otvaraju jednostavnim pritiskom na kvaku, ali na svakim vratima postoji samo kvaka s jedne strane, a vrata se, nakon što se ona prođe, automatski zalupe. S druge strane vrata nema kvake.
Karta tamnice pokazuje na koji način možete proći kroz svaka vrata koja se otvaraju bez ključa, ali nije poznato kojim redoslijedom treba otvoriti zaključana vrata. Dopušteno je proći kroz ista vrata neograničeni broj puta, naravno uz poštivanje uvjeta pod kojima se otvaraju.
Zatvorenik je u ćeliji O. Pokaži mu stazu koja vodi do izlaza na slobodu.

ŠESTO POGLAVLJE
DOMINO I KOCKA
A. Domino
197. Koliko bodova?
198. Dva trika
199. Pobjeda u igri je zajamčena
200. Okvir
201. Okvir unutar okvira
202. "Windows"
203. Magični kvadrati od kostiju domina
204. Magični kvadrat s rupom
205. Domino množenje
206. Pogodite namjeravanu domino kost
B. Kocka
207. Aritmetički trik s kockicama
208. Pogađanje zbroja bodova na skrivenim licima
209. Kojim redom su kocke?

SEDMO POGLAVLJE
SVOJSTVA DEVETICE
210. Koji je broj prekrižen?
211. Skrivena imovina
212. Još nekoliko zabavnih načina za pronalaženje broja koji nedostaje
213. Po jednoj znamenki rezultata odredi preostale tri
214. Pogađanje razlike
215. Određivanje starosti
216. U čemu je tajna?

OSMO POGLAVLJE
SA I BEZ ALGEBRE
217. Uzajamna pomoć
218. Ljenčina i vrag
219. Pametna beba
220. Lovci
221. Nadolazeći vlakovi
222. Vjera tipka rukopis
223. Priča o gljivama
224. Tko će se prvi vratiti?
225. Plivačica i šešir
226. Dva broda
227. Testiraj svoju domišljatost!
228. Izbjegnuta neugodnost
229. Koliko puta više?
230. Motorni brod i hidroavion
231. Biciklisti u areni
232. Brzina tokara Bykova
233. Putovanje Jacka Londona
234. Moguće su pogreške zbog neuspjelih analogija
235. Pravni incident
236. U paru i troje
237. Tko je jahao konja?
238. Dva motociklista
239. U kojem je zrakoplovu Volodinov otac?
240. Razbiti na komade
241. Dvije svijeće
242. Nevjerojatan uvid
243. "Pravo vrijeme"
244. Sat
245. Koliko je sati?
246. U koliko sati je počeo i završio sastanak?
247. Narednik obučava izviđače
248. Prema dva izvještaja
249. Koliko je novih stanica izgrađeno?
250. Odaberi četiri riječi
251. Je li takvo vaganje dopušteno?
252. Slon i komarac
253. Peteroznamenkasti broj
254. Rasteš do sto godina bez starosti
255. Lukin problem
256. Osobit hod
257. Jedno svojstvo prostih razlomaka

DEVETO POGLAVLJE
MATEMATIKA SKORO BEZ KALKULACIJE
258. U tamnoj sobi
259. Jabuke
260. Vremenska prognoza (vic).
261. Dan šuma
262. Tko ima kako ime?
263. Natjecanje u gađanju
264. Kupnja
265. Putnici jednog odjeljka
266. Finale šahovskog turnira Sovjetske armije
267. nedjelja
268. Kako se zove vozač?
269. Povijest ugljena
270. Sakupljači bilja
271. Skrivena podjela
272. Šifrirane akcije (numeričke zagonetke)
273. Aritmetički mozaik
274. Motociklist i vozač
275. Pješke i kolima
276. "Naprotiv"
277. Otkrijte krivotvoreni novac
278. Logičko izvlačenje
279. Tri mudraca
280. Pet pitanja za školarce
281. Obrazloženje umjesto jednadžbe
282. Zdrav razum
283. Da ili ne?

DESETO POGLAVLJE
MATEMATIČKE IGRE I TOCKS
A. Igre
284. Jedanaest stavki
285. Uzmi šibice posljednje
286. Čak i pobjeđuje
287. Jianshizi
288. Kako pobijediti?
289. Nacrtajte kvadrat
290. Tko će prvi reći "sto"?
291. Igranje kvadrata
292. Owa
293. "Matematika" (talijanska igra)
294. Igra čarobnih kvadrata
295. Sjecište brojeva
B. Trikovi
296. Pogađanje planiranog broja (7 štihova)
297. Pogodite rezultat izračuna bez pitanja
298. Tko je koliko uzeo i saznao
299. Jedan, dva, tri pokušaja... i dobro sam pogodio
300. Tko je uzeo žvaku, a tko olovku?
301. Pogađanje triju zamišljenih članova i zbroja
302. Pogodi nekoliko zamišljenih brojeva
303. Koliko imaš godina?
304. Pogodi godine
305. Geometrijski trik (misteriozni nestanak)

JEDANAESTO POGLAVLJE
DJELJIVOST BROJEVA
306. Broj na grobu
307. Pokloni za Novu godinu
308. Može li postojati takav broj?
309. Košarica jaja (iz starog francuskog zadataka)
310. Troznamenkasti broj
311. Četiri broda
312. Pogreška blagajnika
313. Brojevna slagalica
314. Znak djeljivosti sa 11
315. Kombinirani znak djeljivosti sa 7, 11 i 13
316. Pojednostavljenje kriterija djeljivosti s 8
317. Nevjerojatna memorija
318. Kombinirani znak djeljivosti s 3, 7 i 19
319. Djeljivost binoma
320. Staro i novo o djeljivosti sa 7
321. Proširenje znaka na druge brojeve
322. Generalizirani test djeljivosti
323. Zanimljivost djeljivosti

DVANAESTO POGLAVLJE
UNAKRŽNI ZBIRI I MAGIČNI KVADRATI
A. Križni zbrojevi
324. Zanimljiva grupiranja
325. "Zvjezdica"
326. "Kristal"
327. Dekoracija vitrine
328. Tko će prvi uspjeti?
329. Planetarij
330. "Ukras"
B. Čarobni kvadrati
331. Vanzemaljci iz Kine i Indije
332. Kako sami napraviti magični kvadrat?
333. O pristupima zajedničkim metodama
334. Ispit domišljatosti
335. "Magična" igra od "15"
336. Netradicionalni magični kvadrat
337. Što se nalazi u središnjoj ćeliji?
338. "Magija" djeluje
339. "Kovčeg" aritmetičkih zanimljivosti
B. Elementi teorije magičnih kvadrata
340. "Zbrajanjem"
341. "Regularni" magični kvadrati četvrtog reda
342. Izbor brojeva za magične kvadrate bilo kojeg reda

TRINAESTO POGLAVLJE.
ZNATIŽELJI I OZBILJNI U BROJKAMA
343. Deset figura (zapažanje).
344. Još neka zanimljiva opažanja
345. Dva zanimljiva iskustva
346. Brojevni vrtuljak
347. Disk trenutnog množenja
348. Mentalna gimnastika
349. Obrasci brojeva
350. Jedan za sve i svi za jednog
351. Brojčani nalazi
352. Promatranje niza prirodnih brojeva
353. Mučna razlika
354. Simetrični zbroj (nelomljeni orah)

ČETRNAESTO POGLAVLJE
BROJEVI DREVNI ALI ZAUVIJEK MLADI
A. Početni brojevi
355. Prosti i složeni brojevi
356. "Eratostenovo sito"
357. Novo "sito" za proste brojeve
358. Pedeset prvih prostih brojeva
359. Još jedan način dobivanja prostih brojeva
360. Koliko prostih brojeva?
B. Fibonaccijevi brojevi
361. Javno suđenje
362. Fibonaccijev niz
363. Paradoks
364. Svojstva brojeva u Fibonaccijevom nizu
B. Kovrčavi brojevi
365. Svojstva vitičastih brojeva
366. Pitagorini brojevi

PETNAESTO POGLAVLJE
GEOMETRIJSKA INTELIGENCIJA U RADU
367. Geometrija sjetve
368. Racionalizacija u polaganju opeke za transport
369. Radnici geometra

Općinski proračun obrazovna ustanova

Srednja škola Saranpaul

Istraživački rad matematika

Pripremio:

Učenik 3. razreda Frolov Nikolaj,

Nadglednik:

Arteeva Antonina Andrejevna,

učitelj u osnovnoj školi.

Saranpaul, 2017

Stranica

Uvod

Vrijednost pametnih zadataka

Leonardo Fibonacci- matematičar koji je domišljatošću pridonio rješavanju problema

Klasifikacija zadataka u "domišljatost"

Logički zadaci

Križanje zadataka

Zadaci za transfuziju

Zadaci za bajke

Zadaci za domišljatost, za domišljatost

Nizovi brojeva, zagonetke

Zaključak

Bibliografija

Uvod

Kreativna aktivnost je najsnažniji impuls u razvoju djeteta. Potencijalni genij živi u svakoj osobi, ali ne osjeća uvijek osoba prisutnost genija. Potrebno je početi razvijati kreativne sposobnosti što je ranije moguće.

Bilo koji matematički zadatak za domišljatost, bez obzira kojoj je dobi namijenjen, nosi određeno mentalno opterećenje, koje je najčešće prikriveno zabavnim zapletom, vanjskim podacima, stanjem problema itd. U zadacima različitog stupnja složenosti, zabavno privlači pozornost djece, aktivira misli, izaziva stalni interes za nadolazeću potragu za rješenjem. Priroda materijala određuje njegovu svrhu: razviti opće mentalne i matematičke sposobnosti kod djece, zainteresirati ih za predmet matematike, zabaviti, što, naravno, nije glavno.Razvoj domišljatosti, snalažljivosti, inicijative provodi se u aktivnoj mentalnoj aktivnosti koja se temelji na izravnom interesu.

Zabavnu matematičku građu daju elementi igre sadržani u svakom zadatku, logička vježba, zabava, bilo da se radi o šahu ili najelementarnijoj slagalici. Na primjer, u pitanju: "Kako složiti kvadrat na stolu s dva štapa?" - neobičnost njegove produkcije tjera vas na razmišljanje u potrazi za odgovorom, uključite se u igru ​​mašte.

Raznolikost zabavnog materijala - igre, problemi, zagonetke - daje osnovu za njihovu klasifikaciju, iako je tako raznolik materijal koji su stvorili matematičari prilično teško podijeliti u skupine.

Može se klasificirati prema različitim kriterijima: prema sadržaju i značenju, prirodi mentalnih operacija, kao i znaku općenitosti, usmjerenosti na razvoj određenih vještina. Osnova za raspodjelu takvih skupina je priroda i namjena građe određene vrste.

Svrha: Proučiti metode za rješavanje problema s domišljatošću.

Zadaci:

1. Proučiti temu "Rješavanje problema s domišljatošću", vrste zadataka za domišljatost i metode za njihovo rješavanje.

2. Riješite nekoliko vrsta zadataka za domišljatost, samostalno izradite algoritam za rješavanje takvih problema.

Vrijednost pametnih zadataka

Kreativna aktivnost učenika u procesu učenja matematike sastoji se, prije svega, u rješavanju zadataka. Sposobnost rješavanja problema jedan je od kriterija za razinu matematički razvoj učenika, karakterizira, prije svega, sposobnost učenika da svoje teoretsko znanje primijeni u određenoj situaciji.

Pri rješavanju tradicionalnih školskih problema koriste se određena znanja, vještine i sposobnosti za njihovo rješavanje u uskom krugu pitanja programskog gradiva. pri čemu poznate načine rješenja ograničava kreativno traženje učenika.

Zadatak domišljatosti, za razliku od tradicionalnog, ne može se izravno riješiti prema bilo kojem zakonu. Zadaci za domišljatost su oni za koje u matematici nema Opća pravila te odredbe koje definiraju točan program za njihovo rješavanje. Stoga je potrebno pronaći rješenje koje zahtijeva kreativno razmišljanje i pridonosi njegovom razvoju.

Rješavanje problema s domišljatošću rađa napetost traženja i radost otkrivanja – najvažnije čimbenike razvoja, kreativnog postignuća.

Vrijednost zadataka za domišljatost je vrlo visoka - sposobnost učenika za rješavanje nestandardnih zadataka pokazuje:

1. ​ Sposobnost originalnog mišljenja, a također je od velike važnosti u formiranju i razvoju njihovih kreativnih sposobnosti;

2. ​ Sposobnost generalizacije matematičkog materijala, izdvajanja glavne stvari, odvraćanja od beznačajnog, viđenja općeg u izvana različitom;

3. ​ Sposobnost rada s numeričkim i simboličkim simbolima;

4. ​ Sposobnost "dosljednog, logičnog zaključivanja", povezana s potrebom za dokazima, opravdanjem, zaključcima;

5. ​ Sposobnost reduciranja procesa rasuđivanja, razmišljanja u sklopljenim strukturama;

6. ​ Sposobnost reverzibilnosti misaonog procesa (na prijelaz s izravne na obrnutu misao);

7. ​ Fleksibilnost mišljenja, sposobnost prebacivanja s jedne mentalne operacije na drugu, sloboda od ograničavajućeg utjecaja obrazaca i šablona. Ova značajka mišljenja je važna u kreativni rad matematičari;

8. ​ Sposobnost razvijanja matematičkog pamćenja... je pamćenje za generalizaciju, logika;

9. Sposobnost prostornog predočavanja.

Čak je i K.D.Ushinsky napisao da "... učenje, lišeno bilo kakvog interesa i poduzeto samo silom prisile ... ubija učenikovu želju za učenjem, bez koje on neće daleko stići."

Interes je snažan motivator aktivnosti, pod njegovim utjecajem svi mentalni procesi se odvijaju posebno intenzivno, a aktivnost postaje uzbudljiva i produktivna. Njegova je bit u učenikovoj želji da dublje i temeljitije pronikne u spoznajno područje, u stalnom nagonu da se bavi predmetom svoga interesa.

Iz povijesti pojave zadataka za domišljatost

Ne čudi da su zadaci za domišljatost postali zabava "za sva vremena i narode".Prvi udžbenik matematike koji je došao do nas, odnosno njegov​ sok dugačak 5 metara, u svijetu poznat kao "Londonski papirus", ili "Ahmesov papirus", sadrži 84 popraćena rješenjem zadatka. Prema njegovim riječima, nastava se izvodila u školi državnih pisara. Već su stari Egipćani shvatili koliko je važna uloga u procesu učenja​ vrijednost igra element zabave, a među onima koji su uključeni u „papi​ Rus Ahmes "bilo je mnogo takvih zadataka. Dakle, tisućljećima, iz jedne zbirke​ nik zabavnih problema matematike u drugom luta „problem se​ moje mačke" iz ovog papirusa. Unatoč postojanju Euklidovih “Početaka” od trinaest svezaka (3. st. pr. Kr.), koji su postali uzorom znanstvene strogosti više od dva tisućljeća, zabavni element u matematici nije nestao u staroj Grčkoj i najjasnije je predstavljen u “Aritmetika” Diofanta iz Aleksandrije (vjerojatno 3. stoljeće). U srednjem vijeku Talijani Leonardo (Fibonacci) iz Pise (XIII. st.) i Niccolò Tartaglia (XVI. st.) ostavili su najdublji trag u rješavanju problema domišljatošću.

Zbirke matematičke zabave, slične modernim, počele su se pojavljivati ​​od 17. stoljeća. Među njima, “Ugodan i zabavnih zadataka razmatrano u brojevima” matematičara i pjesnika Gasparda Claudea Bachea sieur de Meziriaca i “Matematičke i fizičke zabave” drugog francuskog matematičara i pisca Jacquesa Ozanama.

U 19. stoljeću Edouard Lucas, francuski matematičar i teoretičar brojeva, objavio je četverotomno djelo o zabavnoj matematici, koje je postalo klasik. Na prijelazu iz XIX u XX.st. Veliki doprinos riznici zabavne matematike dali su izvrsni izumitelji igara i zagonetki - talentirani samouki Amerikanac Sam Loyd i Englez Henry Ernest Dudeney. Zabavna matematika druga polovica 20. stoljeća ne može se zamisliti bez čitavog niza prekrasnih knjiga koje je napisao poznati američki matematičar Martin Gardner. Upravo su njegovi raznovrsni matematički eseji, koji skladno spajaju znanstvenu dubinu i sposobnost zabave, uveli milijune ljudi diljem svijeta (uključujući i mene) u egzaktne znanosti i, naravno, u zabavnu matematiku.

U Rusiji su takve zbirke zadataka kao što su “Aritmetika” L. F. Magnickog, “U carstvu domišljatosti” E. I. Ignatieva, “Živa matematika”, “Zabavna aritmetika”, “Zabavna algebra” i “Zabavna geometrija” Ja. I. Perelmana i “Matematička domišljatost” B. A. Kordemskog

Leonardo Fibonacci - matematičar koji je domišljatošću pridonio rješavanju problema.

Leonardo Fibonacci je rođen i živio u Italiji u gradu Pisi u 12.-13.st. Otac mu je bio trgovac, pa je mladi Leonardo mnogo putovao. Na Istoku je upoznao arapski brojčani sustav; naknadno ga je analizirao, opisao i predstavio europskom društvu u svojoj poznatoj knjizi "Liber Abaci » (« Knjiga računa "). Podsjetimo se da su se u Europi u to vrijeme koristili rimski brojevi, koji su bili užasno nezgodni za rad kako u složenim matematičkim i fizičkim izračunima, tako i pri radu s i računovodstvo.

Leonardo Fibonacci uveo je arapske brojeve u Europu , koji do danas koristi gotovo cijeli zapadni svijet.Prijelaz s rimskog sustava na arapski sustav revolucionirao je matematiku i druge znanosti usko povezana s njim.

Teško je zamisliti kakav bi svijet bio da tada, u 13. stoljeću, Fibonacci nije objavio svoju knjigu i Europljanima predstavio arapske brojke. Zanimljivo je da arapske brojke koristimo bez zadrške, uzimajući ih zdravo za gotovo. Ali da nije bilo Leonarda Fibonaccija, tko zna kako bi se tijek povijesti razvijao. Uostalom, prezentacijatraktat Arapski brojevi bitno je promijenio srednjovjekovnu matematiku za bolje; unaprijedio ju je, a s njom i druge znanosti kao što su fizika, mehanika, elektronika i tako dalje. Imajte na umu da upravo te znanosti vode napredak naprijed. Zato je, na mnogo načina, tijek povijesti,razvoj europske civilizacije i znanosti općenito zaslužan je Leonard Fibonacci .

Niz Fibonaccijevih brojeva

Druga izuzetna zasluga Leonarda Fibonaccija jeniz fibonaccijevih brojeva . Vjeruje se da je ovaj niz bio poznat na istoku, ali Leonardo Fibonacci je taj koji je objavio ovaj niz brojeva u spomenutoj knjizi "Liber Abaci" (učinio je to kako bi demonstrirao reprodukciju populacije zečeva).

Kasnije se pokazalo daovaj niz brojeva je važan ne samo u matematici, ekonomiji, i financijama, ali iu botanici, zoologiji, fiziologiji, medicini, umjetnosti, kao iu filozofiji, estetici i još mnogo toga. jer civilizacije, ovaj niz brojeva postao je poznat od Leonarda Fibonaccija, koji je dobio nadimak, “Fibonaccijev niz» ili "Fibonaccijevi brojevi ».

Formula i primjer niza Fibonaccijevih brojeva

U Fibonaccijevom nizu,svaki element, počevši od trećeg, zbroj je prethodna dva elementa , unatoč činjenici da serija počinje brojevima 0 i 1. Dobije se zbroj: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 …

Fibonacci je legendarna figura u matematici, ekonomiji i financijama ; proglasio je arapske brojeve i predstavio magični niz brojeva.

Problem je izmislio talijanski znanstvenik Fibonacci, koji je živio u 13. stoljeću.
“Netko je kupio par zečeva i smjestio ih u ogradu ograđenu sa svih strana. Koliko će kunića biti u godini dana, ako pretpostavimo da svaki mjesec jedan par rađa novi par kunića kao potomke, koji također počinju rađati potomstvo od drugog mjeseca života?

Odgovor: 377 parova U prvom mjesecu bit će već 2 para kunića: 1 početni par koji se okotio i 1 rođeni par. U drugom mjesecu kunići će imati 3 para: 1 početni, ponovno rađajući, 1 koji raste i 1 rođeni. U trećem mjesecu - 5 parova: 2 para koja su se okotila, 1 koji raste i 2 para. U četvrtom mjesecu - 8 parova: 3 para koja su rodila, 2 para u rastu, 3 para rođena. Nastavljajući razmatranje po mjesecima, moguće je utvrditi odnos između broja kunića u tekućem mjesecu i u prethodna dva. Ako broj parova označimo kroz N, a kroz m - redni broj mjeseca, tada je N m = N m-1 + N m-2 . Koristeći ovaj izraz, broj zečeva se izračunava po mjesecima u godini: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,55, 89, 144, 233, 377.

Klasifikacija zadataka za domišljatost

U takvim problemima, rješavač je potreban za ograničeni broj vaganja kako bi lokalizirao objekt koji se razlikuje od drugih objekata po težini. Također u ovom odjeljku razmatraju se zadaci transfuzije, u kojima je potrebno dobiti određenu količinu tekućine pomoću spremnika zadanog volumena.

Pronalaženje viška

Potrebna je sposobnost kombiniranja grupa objekata prema određenim karakteristikama.

Tekstualni zadaci za izračune

Jednostavni životni procesi, sposobnost primjene matematičkog znanja u životu.

Zadaci za pronalaženje logičkih pogrešaka, zadaci s kvakom

Razvijaju vrijednu i prijeko potrebnu kvalitetu uspješne osobe – kritičko mišljenje. Naučiti analizirati stanje. Ponekad je odgovor u samom problemu.

Zadavanje svojstava brojeva i operacija s njima

Svojstvo parnih i neparnih brojeva, pravilno postavljanje zagrada, postavljanje znamenki u broju koji zadovoljava određene uvjete. Djeljivost brojeva. Operacije nad brojevima.

Kriptovalute

Matematički rebus u kojem je primjer šifriran za izvođenje jedne od aritmetičkih operacija. U ovom slučaju, isti brojevi su šifrirani istim slovom, a različiti brojevi odgovaraju različitim slovima.

Zadaci za logiku i zaključivanje

Zadaci koji nisu izravno povezani s izračunima, ali aktivno razvijaju razmišljanje.

O vremenu

Izračunajte datum koristeći savjete, zapamtite kako sat radi ili odredite nečiju dob samo pomoću savjeta.

Na nizu brojeva

U ovim zadacima potrebno je razotkriti princip po kojem je određeni niz postavljen, te ga nastaviti.

Problemi sa šibicama

Kod manipuliranja utakmicama potrebno je postići željeni rezultat. Većina tih zadataka spada među "nestandardne" za koje je potrebna vještina "procijeniti situaciju s gledišta koje je za većinu neočekivano ili vidjeti u uvjetu mogućnost korištenja neočitih podataka".

zagonetke

Igra u kojoj su riječi, fraze ili cijele izjave šifrirane pomoću crteža u kombinaciji sa slovima i znakovima.

Šah

Svaki stupanj tečaja u pravilu uključuje nekoliko lekcija (minimalno 2) šaha. Osnovne figure. Učimo graditi učinkovite strategije, razmišljati, donositi informirane i racionalne odluke

Logički zadaci

Prilikom rješavanja logičkih problema za korespondenciju jedan-na-jedan, prikladno je zapisati podatke u tablicu, gdje stavljamo znak "+" ili znak "-" na sjecište retka i stupca.

1. Pet kolega iz razreda - Irena, Timur, Camilla, Eldar i Zalim postali su pobjednici olimpijada za školsku djecu iz fizike, matematike, informatike, književnosti i geografije. Poznato je da

Pobjednik informatičke olimpijade Irenu i Timura uči radu na računalu;

Camilla i Eldar također su se zainteresirali za informatiku;

Timur se uvijek bojao fizike;

Camilla, Timur i pobjednik Književne olimpijade idu na plivanje;

Timur i Kamilla čestitali su pobjedniku matematičke olimpijade;

Irena žali što joj ostaje malo vremena za književnost.

Koju je olimpijadu svaki od ovih momaka osvojio?

1 način rješavanja, pomoću tablice

I T C E Z

F M I L G

Odgovor: Irena je pobjednica matematičke olimpijade. Timur - u geografiji.

Camille - u fizici Eldar - u književnosti. Zalim - u informatici

2. Tri djevojke - Rosa, Margarita i Anyuta predstavile su na natjecanju košare ruža, tratinčica i maćuhica koje su same uzgojile. Djevojčica koja je uzgajala tratinčice skrenula je Rosinu pozornost na činjenicu da ime nijedne djevojčice ne odgovara nazivu njihovog omiljenog cvijeća. Kakvo je cvijeće uzgajala svaka od djevojčica?

Rješenje: zaključivanjem

a) Anya nije uzgajala maćuhice. b) Margariti nisu rasle tratinčice c) Ruži nisu rasle ruže. Rose bi mogla uzgajati ili ruže ili maćuhice. Ruži nisu rasle ruže. Zaključak: Ruži su izrasle maćuhice. Margarita je uzgajala ruže. Anya je uzgajala tratinčice.

3. Četiri prijatelja - Zhenya, Kostya, Dima i Vadim - napravili su ukrase za praznik. Netko je napravio zlatne papirnate girlande, netko crvene kuglice, netko srebrne papirnate girlande, a netko zlatne papirnate krekere. Kostya i Dima radili su s papirom iste boje, Zhenya i Kostya napravili su iste igračke. Tko je napravio ukrase?

Odgovor:

4. Masha, Lida, Zhenya i Katya sviraju različite instrumente - harmoniku, klavir, gitaru, violinu, ali svaka na jednom. Govore i strane jezike - engleski, francuski, njemački, španjolski, ali svaki je isti. Tko svira koji instrument i koji strani jezik govori?

Križanje zadataka

U zadacima za križanja potrebno je navesti redoslijed radnji u kojima se provodi potrebno križanje i ispunjavaju svi uvjeti zadatka.

Vuk, koza i kupus. Na obali rijeke stoji seljak s čamcem, a pored njega vuk, koza i kupus. Seljak se mora prekrižiti i prevesti vuka, kozu i kupus na drugu stranu. No, osim seljaka u čamac se stavlja ili samo vuk, ili samo koza, ili samo kupus. Vuka s kozom ili kozu s kupusom ne možete ostaviti bez nadzora - vuk može pojesti kozu, a koza može pojesti kupus. Kako se seljak treba ponašati?

Odgovor: Seljak može slijediti jedan od dva algoritma:

Odgovor: Neka su M1 i M2 dječaci, a C1 i C2 vojnici. Algoritam križanja može biti sljedeći:

1. M1 i M2 –>
2. M1<–
3. C1 ->
4. M2<–
5. M1 i M2 –>
6. M1<–
7. C2 ->
8. M2<–

Zadaci za transfuziju

ovezadaci su praktični. Rješavanje takvih problema razvija logično razmišljanje, tjera vas na razmišljanje, pristup rješenju problema iz različitih kutova, odabir najjednostavnijeg, najlakšeg načina iz niza rješenja. Da biste to učinili, koristeći posude poznatih spremnika, potrebno je izmjeriti određenu količinu tekućine. Najjednostavnija metoda za rješavanje problema ove klase je nabrajanje mogućih opcija.I potrebno je navesti redoslijed radnji u kojima se provodi potrebna transfuzija i ispunjavaju svi uvjeti.

1. Kako, imajući dvije kante od 3 i 5 litara, kako iz slavine izvući 7 litara vode?

Odgovor:

2. Poslala je zla maćeha svoju pokćerku na izvor po vodu i rekla: „Naše kante imaju 5 i 9 litara vode. Uzmi ih i donesi točno 3 litre vode.” Kako bi pokćerka trebala postupiti da bi ispunila ovaj zadatak?

Odgovor:

U gore spomenutim problemima s transfuzijom dane su dvije posude i voda je točena iz slavine.Ima i težih zadataka, ne dva plovila, nego tri ili više. Voda se NE uzima iz slavine. U takvim problemima voda je već u nekoj posudi, na primjer, u najvećoj. A vodu ćemo sipati u male posude. Voda se ne može izliti. Ako je potrebno isprazniti posudu, onda se višak vode prelije u drugu posudu. Obično je veća posuda spremište iz kojeg se uzima voda i ulijeva višak vode.

Zadaci za bajke

Rješenje takvih problema oživljava matematiku. Želja da se pomogne junaku u nevolji potiče mentalnu aktivnost, u budućnosti izaziva želju za čitanjem djela. Simpatije su u takvim zadacima na strani pozitivnog junaka. Dobro pobjeđuje, zlo se kažnjava, negativne osobine se ismijavaju.

na jednom od njih ćeš dočekati svoju smrt,

ništa ti se neće dogoditi,

treći će vas put odvesti Vasilisi Lijepoj.

Imajte na umu da je sva tri natpisa napravio Koshchei Besmrtni. Ivan je bacio loptu na tlo. Zakotrljao se, Ivan za njim. Kako dugo, tako kratko Ivan je hodao, ali je došao do ogromnog kamena. Na kamenu piše:

"Ideš li lijevo, dočekat ćeš svoju smrt",

“Ako ideš desno, izbavit ćeš Vasilisu Lijepu iz zarobljeništva”, “Ako ideš pravo, nešto će ti se dogoditi.”

Rješenje: Treći unos nije točan - Ivanu se putem neće ništa dogoditi. Drugi unos je također netočan, tj. na putu s desne strane Ivan neće spasiti Vasilisu Lijepu. Dakle, na preostalom putu (putu lijevo), Ivan će spasiti Vasilisu Lijepu.

2. Šest razbojnika opljačkalo je kralja Dadona. Pokazalo se da je plijen bio bogat - manje od stotinu identičnih ingota. Pljačkaši su počeli jednako dijeliti plijen, ali se jedan ingot pokazao suvišnim. Razbojnici su se potukli, a jedan od njih je u tučnjavi poginuo. Ostali su opet počeli dijeliti zlato, i opet se jedan komad pokazao suvišnim. I opet je jedan od razbojnika poginuo u tučnjavi. I tako dalje: svaki put je jedan ingot bio suvišan i jedan od pljačkaša je poginuo u borbi. Na kraju je ostao jedan razbojnik, koji je od zadobivenih rana preminuo. Koliko je bilo ingota?

Riješenje:ako bi u početku bila jedna traka manje, tada bi došlo do podjele. Broj koji je manji od 100 i djeljiv sa 2, 3, 4, 5, 6 - 60. Dakle, ukupan broj ingota je 60+1=61.

Zadaci za domišljatost

1. Dvije majke, dvije kćeri i baka s unukom. Koliko?

2. Stan je imao 3 sobe. Od jednog napravio dva. Koliko soba ima stan?

3. Kako rasporediti 8 stolica uz četiri zida sobe tako da svaki zid ima 3 stolice?

Zadaci za domišljatost

Koliko su sati dan i noć zajedno?

Na stolu je bila jabuka. Bio je podijeljen na 4 dijela. Koliko je jabuka na stolu?

Zadaci za promjenu konstruirane figure

2. Od štapića napravite istu figuru kao na slici. Uklonite 2 štapića da napravite 6 kvadrata.

Serije brojeva

1,2,3,4,5,6…

1,4,16…

45,39,33,27…

0,3,8,15,24…

112,56,28,14…

zagonetke

Zamijenite zvjezdice brojevima tako da jednakosti budu zadovoljene u svim recima i da svaki broj u zadnjem retku bude jednak zbroju brojeva u stupcu ispod kojeg se nalazi. Riješenje:

11x10=110

6* : *7 = *

68:17 = 4

** +** =20

10+10= 20

* 2 -* = *

12- 4 = 8

*** +**=1**

101 +41+142

Problemi s geometrijskim sadržajem (unikurzalni likovi)

Poznata je parabola: netko je dao milijun rubalja svakome tko nacrta sljedeću figuru. Ali prilikom crtanja postavljen je jedan uvjet. Zahtijevalo se da se ta figura nacrta u jednom kontinuiranom potezu, to jest, bez skidanja pera ili olovke s papira i bez udvostručavanja jedne crte, drugim riječima, bilo je nemoguće proći jednom nacrtanu crtu drugi put.

Zaključak

U matematici postoje različite vrste zadataka za domišljatost:

Za vaganje i transfuziju,

Logički zadaci,

poslovi transfuzije,

križanje zadataka,

Problemi s geometrijskim sadržajem,

Rebusi, nizovi brojeva.

Metode rješavanja takvih problema leže u logičkoj analizi uvjeta, izboru odgovarajućih matematičkih zakona i optimalnog rješenja.

Ne postoji univerzalni način rješavanja svih vrsta problema domišljatošću, svaki problem se rješava na svoj način.

Zadaci za domišljatost pomažu u učenju samostalnog razmišljanja, razvijanju logike, zanimanju za matematiku. Uz njihovu pomoć možete osjetiti povezanost matematike s problemima stvarnog života.

Rješavaju se zadaci koji stoje pred autorom djela, i to:

Proučiti temu "Rješavanje problema s domišljatošću", vrste zadataka za domišljatost i metode za njihovo rješavanje;

Riješite nekoliko vrsta zadataka za domišljatost, samostalno izradite algoritam za rješavanje takvih problema.

Bibliografija

1. T.D. Gavrilova: "Zabavna matematika." Izdavačka kuća "Učitel" 2008

2. Npr. Kozlova: "Priče i nagovještaji". Izdavačka kuća Miros 1995

3. B. A. Kordemsky: “Matematička domišljatost” Izdavačka kuća “Državna naklada tehničke i teorijske literature” 1958.

4. Ya. I. Perelman: "Zabavna algebra". Izdavačka kuća "Century" 1994

5.R.M.Smullyan "Kako se zove ova knjiga?". Izdavačka kuća "Dom Meshcheryakova"

2007. godine

7. http://matematika.gyn

8.www.smekalka.pp