Matematinis išradingumas. Tiriamasis darbas „matematikos išprusimas“ Vaikų matematikos išmanymas

Antrojo leidimo įžanga 3

Pirmas skyrius
SMAGIAI IŠŠŪKIAI

I skyrius
1. Atidūs pionieriai 9 385
2. „Akmeninė gėlė“ 10 385
3. Šaškių kilnojimas 11 385
4. Per tris ėjimus 11 386
5. Suskaičiuok! 12 386
6. Sodininko kelias 12 386
7. Turite suprasti 13 386
8. Nedvejodamas 13 386
9. Žemyn – aukštyn 13 387
10. Perėjimas per upę (sena problema) 14 387
11. Vilkas, ožka ir kopūstas 14 387
12. Iškočiokite juodus rutuliukus 15 388
13. Grandinės remontas 15 388
14. Ištaisykite klaidą 16 390
15. Iš trijų - keturi (pokštas) 16 390
16. Trys ir du – aštuoni (dar vienas pokštas) 16 390
17 Trys kvadratai 16 390
18. Kiek dalių? 17 390
19. Išbandykite! 17 391
20. Žymėjimas 17 391
21. Išsaugoti paritetą 18 391
22. „Stebuklingasis“ skaičių trikampis 18 391
23. Kaip 12 mergaičių žaidė kamuoliu 19 392
24. Keturios tiesės 20 392
25. Atskirkite ožkas nuo kopūstų 20 392
26. Du traukiniai 21 392
27. Atoslūgio metu (pokštas) 21 393
28. Skambinkite 22 393
29. Sugedęs ciferblatas 22 393
30. Nuostabus laikrodis (kinų galvosūkis) 23 393
31. Trys iš eilės 24 395
32. Dešimt eilučių 24 395
33. Monetų vieta 25 395
34. Nuo 1 iki 19 26 395
35. Greitai, bet atsargiai 26 396
36. Garbanotas vėžys 27 396
37. Knygos kaina 27 396
38. Nerami musė 27 396
39. Mažiau nei 50 metų 28 396
40. Du juokeliai 28 396
41. Kiek man metų? 29 396
42. Įvertinkite „iš pirmo žvilgsnio“ 29 397
43. Greičio priedas - 29 397
44. Kurioje rankoje? (matematikos dėmesys) 31 397
45. Kiek jų yra? 31 398
46. ​​Tie patys skaitmenys 31 398
47. Šimtas 31 398
48. Aritmetinė dvikova 32 398
49. Dvidešimt 33 398
50. Kiek maršrutų? 33 399
51. Pakeiskite skaičių 35 400 išdėstymą
52. Skirtingi veiksmai, tas pats rezultatas 35402
53. Devyniasdešimt devyni ir vienas šimtas 36 402
54. Išardoma šachmatų lenta 36 402
55. Ieškoti minų 36 402
56. Surinkite į grupes po 2 38 402
57. Surinkite į grupes po 3 39 402
58. Laikrodis sustojo 39 404
59. Keturi aritmetikos 39 404 veiksmai
60. Suglumęs vairuotojas 40 404
61. Tsimlyansko hidroelektrinių kompleksui 41 404
62. Duonos pristatymas laiku 41 405
63. Priemiestiniame traukinyje 41 405
64. Nuo 1 iki 1 000 000 000 41 405
65. Futbolo gerbėjo košmaras 42 406

II skyrius
66. Valandos 43 406
67. Laiptinė 43 407
68. Dėlionė 43 407
69. Įdomios trupmenos 43 407
70. Koks yra skaičius? 44 407
71. Moksleivio kelias 44 407
72. Stadione 44 407
73. Ar tu laimėjai? 44 407
74. Žadintuvas 44 407
75. Vietoj mažų akcijų stambios 45 407
76. Muilo gabalėlis 45 408
77. Aritmetiniai riešutai 45 408
78. Domino 46 409
79. Mišos kačiukai 48 409
80. Vidutinis greitis 48 409
81. Miegantis keleivis 48 409
82. Koks traukinio ilgis? 48 409
83. Dviratininkas 48 409
84. Konkursas 49 409
85. Kas teisus? 49 409
86. Vakarienei - 3 paskrudinti griežinėliai 50 410

Antras skyrius
KONFIDENCIALIOS NUOSTATOS

87. Kalvio Hecho protas 51 410
88. Katė ir pelės 53 410
89. Degtukai aplink monetą 54 411
90. Loteris nukrito ant skėčio ir raudonuko 54 411
91. Išdėstykite monetas 55 411
92. Keleivis 1 55 412
93. Problema, kylanti dėl trijų merginų kaprizų 56 412
94. Tolimesnis vystymas užduotys 57 413
95. Šaškių šokinėjimas 57 415
96. Balta ir juoda 57 415
97. Problemos komplikavimas 58 415
98. Kortelės sukraunamos skaitine tvarka 58 415
99. Du vietos galvosūkiai 59 417
100. Paslaptinga dėžutė 59 417
101. Drąsus „garnizonas“ 60 417
102. Liuminescencinės lempos TV kambaryje 61 419
103. Jūrų kiaulyčių patalpinimas 62 421
104. Pasiruošimas šventei 63 422
105. Ąžuoliukų sodinimas kitaip 65 423
106. geometriniai žaidimai 65 423
107. Lyginiai ir nelyginiai (dėlionė) 68 424
108. Sutvarkyti šaškių išdėstymą 69 424
109. Dėlionė 69 425
110. Riterio judėjimas 70 425
111. Judančios šaškės (2 galvosūkiai) 71 425
112. Pradinis sveikųjų skaičių grupavimas nuo 1 iki 15 72 426
113. Aštuonios žvaigždės 73 426
114. Dvi raidžių išdėstymo problemos 73 427
115. Spalvingų kvadratų išdėstymas 74 429
116. Paskutinis lustas 74 430
117. Diskų žiedas 75 431
118. Čiuožykla čiuožykla dirbtinis ledas 76 431
119. Anekdoto problema 77 432
120. Šimtas keturiasdešimt penkios durys (dėlionė) 77 432
121. Kaip kalinys buvo paleistas? 79 432

Trečias skyrius
GEOMETRIJA ANT DEGTUVŲ

122. Penkios galvosūkiai 85 433
123. Dar aštuoni galvosūkiai 86 433
124. Iš devynių rungtynių 86 433
125. Spiralė 87 433
126. Pokštas 87 433
127. Pašalinkite du degtukus 87 433
128 „Namo“ fasadas 87 433
129 Pokštas 88 433
130 Trikampiai 88 433
131 Kiek atitikmenų reikia pašalinti? 88 433
132 pokštas 88 433
133 Tvora 88 433
134. Pokštas 89 433
135. „Strėlė“ 89 433
136. Kvadratai ir deimantai 89 433
137. Skirtingi daugiakampiai vienoje figūroje 89 433
138 Sodo planavimas 89 433
139 Lygios dalys 90 433
140. Parketas 91 433
141 Ploto santykis išlaikytas 91 441
142. Raskite 91 441 figūros kontūrą
143 Raskite įrodymą 92 441
144. Sukonstruok ir įrodyk 92 441

Ketvirtas skyrius
BANDYKITE SEPTYNIUS KARTUS, PIRPOTI KARTĄ

145. Lygiomis dalimis 93 442
146. Septynios rožės ant torto 95 443
147. Formą praradusios figūros 95 445
148. Patarkite 96 445
149. Be nuostolių! 96 445
150. Kai naciai įsiveržė į mūsų žemę 97 447
151. Elektriko atsiminimai 98 447
152. Viskas eina į darbą 99 447
153. Dėlionė 99 447
154. Iškirpti pasagą 99 447
155. Kiekvienoje dalyje - skylutė 99 448
156. Iš "ąsočio" - kvadratas 100 448
157. Kvadratas nuo "E" raidės 100 448
158. Gražus virsmas 100 449
159. Kilimų restauravimas 101449
160. Brangus atlygis 101 449
161. Padėk vargšui! 102 449
162. Dovana močiutei 103 451
163. Dailidės uždavinys 104 451
164. O kailininkas turi geometriją! 104 452
165. Kiekvienas arklys, viena arklidė 105 453
166. Daugiau! 105 453
167. Daugiakampio pavertimas kvadratu 106 453
168. Taisyklingo šešiakampio pavertimas lygiakraštiu trikampiu 107 453

Penktas skyrius
ĮGŪDŽIAI VISUR RAKS NAUDOJIMĄ

169. Kur yra taikinys? 109 454
170. Penkios minutės pagalvoti 110 455
171. Nenumatytas susitikimas 110 455
172. Kelionės trikampis Ш 456
173. Pabandykite sverti 111 458
174. Pervedimas 112 458
175. Septyni trikampiai 112458
176. Dailininko paveikslai 112 458
177. Kiek sveria butelis? 113 459
178. Kubeliai 113 460
179. Skardinė šūvio 114 461
180. Kur atėjo seržantas? 114 461
181. Nustatykite rąsto 115 461 skersmenį
182. Netikėtas sunkumas 115 461
183. Technikos mokinio istorija 116 461
184. Ar galima sutaupyti 100%? 116 463
185. Ant spyruoklinių svarstyklių 117 463
186. Dizaino išradingumas 117 463
187. Mišos nesėkmė 117 465
188. Raskite apskritimo centrą 119 465
189. Kuri dėžė sunkesnė? 119 466
190. Dailidžių menas 120 466
191. Geometrija ant rutulio 120 466
192. Reikia didelio išradingumo 121 467
193. Sunkios sąlygos 121 468
194. Surenkamieji daugiakampiai 122 468
195. Įdomus panašių figūrų komponavimo būdas 125 469
196. Šarnyrinis mechanizmas taisyklingiems daugiakampiams statyti 127 471

Šeštas skyrius
DOMINO IR KUBAS

A. Domino
197. Kiek taškų? 132 471
198. Du triukai 133 471
199. Žaidimo laimėjimas garantuotas 134 471
200. 135 472 kadras
201. Rėmas rėmelyje 136 472
202. „Windows“ 136 473
203. Magiški domino kaulų kvadratai 137 473
204. Stebuklingas kvadratas su skylute 141 473
205. Domino daugyba 141473
206. Atspėk planuojamą domino 142 473

B. Kubas
207. Aritmetinis triukas su žaisti kauliukus 144 473
208. Paslėptų veidų taškų sumos spėjimas 145 477
209. Kokia tvarka yra kubeliai? 145 478

Septintas skyrius
DEVYNŲ SAVYBĖS

210. Koks skaičius perbrauktas? 149 478
211. Paslėptas turtas 152 479
212. Keletas linksmesnių būdų rasti trūkstamą skaičių 152 480
213. Remdamiesi vienu rezultato skaitmeniu, nustatykite likusius tris 154 480
214. Atspėti skirtumą 154 481
215. Amžiaus nustatymas 154 481
216. Kokia paslaptis? 154 482

Aštuntas skyrius
SU ALGEBROS IR BE

217. Savitarpio pagalba 159 482
218. Loafer ir velnias 160 483
219. Protingas vaikas 161 483
220. Medžiotojai 161 483
221. Atvažiuojantys traukiniai 162 484
222. Tikėjimas spausdina rankraštį 162 484
223. Grybų istorija 163 484
224. Kas sugrįš pirmas? 164 484
225. Plaukikas ir kepurė 164 486
226. Du laivai 165 486
227. Išbandykite savo išradingumą! 165 487
228. Gėda sutrukdė 166 488
229. Kiek kartų daugiau? 166 488
230. Motorlaivis ir hidroplanas 167 488
231. Dviratininkai arenoje 167 489
232. Suktojo Bykovo greitis 168 489
233. Džeko Londono kelionė 168 489
234. Dėl nesėkmingų analogijų galimos klaidos169 490
235. Teisinis incidentas 170 491
236. Poromis ir trise 171 491
237. Kas jojo ant žirgo? 171 491
238. Du motociklininkai 171 492
239. Kuriame lėktuve yra Volodino tėvas? 172 492
240. Sudaužyti į gabalus 173 493
241. Dvi žvakės 173 493
242. Nuostabi įžvalga 173 493
243. Tinkamas laikas 174 493
244. Valandos 174 494
245. Kiek valandų? 174 495
246. Kuriuo metu susitikimas prasidėjo ir baigėsi? 175 496
247. Seržantas rengia skautus 175 497
248. Pagal dvi ataskaitas 176 498
249. Kiek naujų stočių buvo pastatyta? 176 498
250. Pasirinkite keturis žodžius 177 498
251. Ar toks svėrimas leistinas? 177 499
252. Dramblys ir uodas 178 500
253. Penkiaženklis skaičius 179500
254. Užaugsi iki šimto metų be senatvės 179 500
255. Luko problema 181 501
256. Savotiškas pasivaikščiojimas, .181 502
257. Viena paprastųjų trupmenų savybė 182 504

Devintas skyrius
MATEMATIKA BEVEIK BE SKAIČIAVIMŲ

Tamsiame kambaryje
Obuoliai
Orų prognozė (pokštas)
miško diena
Kas turi vardą?
Konkurencija tikslumu
Pirkimas
Keleiviai viename skyriuje
Sovietų armijos šachmatų turnyro finalas
sekmadienis
Koks vairuotojo vardas?
kriminalinė istorija
Žolelių rinkėjai
Paslėptas padalijimas
Šifruoti veiksmai (skaitiniai galvosūkiai)
Aritmetinis plytelių klojimas
Motociklininkas ir raitelis
Pėsčiomis ir automobiliu
„Iš priešingos pusės“
Aptikti padirbtą monetą
Loginis braižas
trys išminčiai
Penki klausimai studentams
Samprotavimas vietoj lygties
Autorius Sveikas protas
Taip ar ne?

Dešimtas skyrius
MATEMATINIAI ŽAIDIMAI IR TOKAI

A. Žaidimai
284. Vienuolika elementų 201
285. Paimti rungtynes ​​paskutines 202
286. Net laimi 202
287. Jianshizi 202
288. Kaip laimėti? 204
289. Išdėstykite kvadratą 205
290. Kas pirmas pasakys „šimtas“? 206
291. Žaidimas kvadratais 206
292. Oya 209
293. „Matezatico“ (itališkas žaidimas) 212
294. Stebuklingų kvadratų žaidimas 213
295. Skaičių 215 sankirta

B. Triukai
296. Atspėti planuojamą skaičių (7 gudrybės) 219
297. Nieko neklausęs atspėk skaičiavimų rezultatą 224
298. Kas kiek paėmė, sužinojau 226
299. Vienas, du, trys bandymai ir teisingai atspėjau 226 537
300. Kas paėmė gumą, o kas pieštuką? 227 537
301. Atspėti tris sumanytas sąlygas ir sumą 227 537
302. Atspėk kelis sumanytus skaičius 228 538
303. Kiek tau metu? 229 538
304. Atspėk amžių 229 538
305. Geometrinis židinys (paslaptingas išnykimas) 230 538

Vienuoliktas skyrius
SKAIČIŲ DALINTUMAS

306. Skaičius ant kapo 232 539
307. Dovanos Naujųjų metų proga 233 540
308. Ar gali būti toks skaičius? 233 540
309. Kiaušinių krepšelis (iš senos prancūziškos probleminės knygos) 233 540
310. Triženklis skaičius 234 540
311. Keturi laivai 234 540
312. Kasininkės klaida 234 540
313. Skaitinis galvosūkis 234 541
314. Dalijimosi iš 11 235 541 ženklas
315. Sudėtinis dalijimosi iš 7, 11 ir 13 ženklas 237 541
316. Dalumo iš 8 239 541 testo supaprastinimas
317. Nuostabi atmintis 240 542
318. Sudėtinis dalijimosi iš 3, 7 ir 19 ženklas. 242 543
319. Dvejetalio dalijamumas 242 543
320. Sena ir nauja apie dalijimąsi iš 7 247 544
321. Ženklo išplėtimas į kitus skaičius 251 -
322. Apibendrintas dalijimosi ženklas 252 -
323. Dalomumo smalsumas 254 -

Dvyliktas skyrius
KRYSŠINĖS SUMOS IR stebuklingi kvadratai

A. Kryžiaus sumos
324. Įdomios grupuotės 256 545
325. „Žvaigždutė“ 257 545
326. „Krištolas“ 257 545
327. Vitrinos apdaila 258 545
328. Kam pasiseks pirmam? 258 545
329. „Planetariumas“ 259 545
330. „Ornamentas“ 259 545

B. Stebuklingi kvadratai
331. Ateiviai iš Kinijos ir Indijos 260 548
332. Kaip pačiam pasidaryti stebuklingą kvadratą? 264 548
333. Prie įėjimo į bendrus metodus 266 549
334. Išradingumo ekspertizė 271 549
335. „Stebuklingas“ žaidimas „15“ 271 551
336. Netradicinis magiškas kvadratas 272 553
337. Kas yra centrinėje ląstelėje? 273 553
338. „Magic“ darbai 275 553
339. Aritmetinių įdomybių "karstas" 278 -
340. "Papildomai" 280 -
341. „Įprasti“ magiški ketvirtos eilės kvadratai 283 -
342. Skaičių pasirinkimas bet kokios eilės stebuklingam kvadratui 287 -

TRYLIKOS SKYRIUS Smalsus IR RIMTAS ​​SKAIČIAI
343. Dešimt figūrų (pastabos) 298 554
344. Dar keli įdomūs pastebėjimai 300 555
345. Dvi įdomios patirtys 302 555
346. Skaičių karuselė 306 -
347. Momentinis daugybos diskas 309 -
348 Psichinė gimnastika 310 -
349. Skaičių raštai 312 557
350 Vienas už visus ir visi už vieną 316 558
351. Skaitiniai radiniai 319 559
352. Stebint natūraliųjų skaičių eilutę 326 560
353. Erzinantis skirtumas 339 -
354. Simetrinė suma (nelaužyta veržlė) 340 -

Keturioliktas skyrius
SKAIČIAI SENOVI, BET amžinai JAUNI

A. Pradiniai skaičiai
355. Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai 341 -
356. "Eratosteno sietelis" 342 -
357. Naujas "sietelis" už pirminiai skaičiai 344 563
358. Penkiasdešimt pirmųjų skaičių 345 -
359. Kitas būdas gauti pirminius skaičius. 345-
360. Kiek pirminių skaičių? 347

B. Fibonačio skaičiai
361. Viešas teismo procesas 347 -
362. Fibonačio serija 351 –
363. Paradoksas 352 564
364. Fibonačio serijos skaičių savybės 355 -

B. Garbanoti skaičiai
365. Garbanotųjų skaičių savybės 360 -
366. Pitagoro skaičiai 369 -

PENIOLIKTAS SKYRIUS GEOMETRINIS TIKSLAS DARBUOSE
367. Sėjos geometrija 372 -
368. Plytų klojimo racionalizavimas transportavimui 375 -
369. Darbiniai geometrai 377

Pripažino du skyrius:

ANTRAJO LEIDIMO PRATARMĖ
Dirbant, mokantis, žaidžiant, bet kokioje kūrybinėje veikloje žmogui reikia išradingumo, išradingumo, spėliojimų, gebėjimo samprotauti – visa tai, ką mūsų žmonės taikliai apibrėžia vienu žodžiu „išmanantis“. Išradingumas gali būti ugdomas ir ugdomas sistemingais ir laipsniškais pratimais, ypač sprendžiant matematinius uždavinius tiek mokyklos kurse, tiek iš praktikos kylančias problemas, susijusias su mus supančio daiktų ir įvykių pasaulio stebėjimais.
„Matematika“, – kalbėjo M. I. Kalininas, kreipdamasis į vidurinių klasių mokinius, – disciplinuoja protą, pratina prie loginio mąstymo. Nenuostabu, kad jie sako, kad matematika yra proto gimnastika.
Kiekviena šeima, kurioje tėvai rūpinasi organizavimu psichinis vystymasis vaikai ir paaugliai jaučia poreikį pasirinktos medžiagos, kad galėtų užpildyti savo laisvalaikį naudingais, pagrįstais ir nenuobodžiais matematiniais pratimais.
Būtent tokiai popamokinei veiklai, pokalbiams ir pramogoms laisvą vakarą, šeimos rate ir su draugais ar mokykloje užklasiniuose susitikimuose ir yra skirtas „Matematinis išradingumas“ – matematinių miniatiūrų rinkinys: įvairios užduotys, matematikos žaidimai, anekdotai ir triukai, kuriems reikia proto darbo, lavinant intelektą ir reikiamą samprotavimo logiką.
Ikirevoliuciniais laikais E. I. Ignatjevo rinkiniai „Išradingumo sferoje“ buvo plačiai žinomi. Dabar jie mūsų skaitytojui pasenę, todėl pakartotinai nepublikuojami. Nepaisant to, šiuose rinkiniuose yra problemų, kurios dar neprarado savo pedagoginės ir edukacinės vertės. Vieni į Matematinę išmonę pateko nepakitę, kiti su pakeistu ar visiškai nauju turiniu.
„Matematiniam išradingumui“ taip pat pasirinkau ir, jei reikia, apdorojau problemas iš tų, kurios yra išsibarsčiusios plačios šalies ir užsienio populiariosios literatūros puslapiuose, tačiau stengiausi nekartoti problemų, įtrauktų į populiarias Ya. I. Perelman knygas apie linksma matematika.
Tokios „mažos formos“ matematinės problemos kartais iškyla kaip rimtų mokslininko tyrimų šalutinis produktas; daugelį užduočių sugalvoja mėgėjai, taip pat mokytojai, kaip specialius „protinės gimnastikos“ pratimus. Jos, kaip ir mįslės bei patarlės, dažniausiai neišsaugo savo autorystės ir tampa visuomenės nuosavybe.
„Matematiniai protai“ yra skirti įvairiausių laipsnių skaitytojams. matematinis mokymas:
10 - 11 metų paaugliui, darantis pirmuosius savarankiško mąstymo bandymus;
gimnazistui, kuris aistringai žiūri į matematiką,
ir suaugusiam, norinčiam patikrinti ir įgyvendinti savo spėjimą.
Žinoma, užduočių sisteminimas pagal skyrius yra labai savavališkas; Kiekviename skyriuje yra ir lengvų, ir sunkių užduočių.
Knygą sudaro penkiolika skyrių.
Pirmąjį skyrių sudaro įvairių tipų pradiniai „intriguojančio“ pobūdžio pratimai, pagrįsti spėjimu arba tiesioginiais fiziniais veiksmais (eksperimentu), kartais paprastais skaičiavimais, atsižvelgiant į sveikųjų skaičių (pirmoji skyriaus dalis) ir trupmeninių skaičių (antra dalis) aritmetiką. skyrius). Šiek tiek pažeisdama klasifikacinę knygos harmoniją, pirmame skyriuje išskyriau keletą paprastų problemų, kurios tematiškai priklauso tolesniems skyriams. Tai daroma dėl tų skaitytojų, kuriems vis dar sunku savarankiškai atskirti įmanomą užduotį nuo neįmanomos, interesų. Pirmajame skyriuje iš eilės spręsdami skirtingų tipų užduotis, jie galės išbandyti savo jėgas, o po to domėjimąsi tam tikra tema perkelti į atitinkamas tolesnių skyrių užduotis.
Norint išspręsti antrojo skyriaus uždavinius, savo paties matematinis išradingumas ir užsispyrimas turi įveikti įvairiausias kliūtis ir pasiūlyti išeitį iš keblių situacijų.
Trečiame skyriuje – „Geometrija ant degtukų“ – pateikiama nemažai geometrinių uždavinių – galvosūkių.
Skyriuje „Pabandyti septynis kartus, iškirpti vieną kartą“ pateikiamos figūrų kirpimo užduotys.
Skyriaus „Įgūdžiai ras pritaikymą visur“ užduočių turinys siejamas su praktine veikla, su technologijomis.
Skyriuje „Matematika beveik be skaičiavimų“ pateikiamos problemos, kurioms išspręsti reikia sumanaus ir subtilaus samprotavimo grandinės.
Žaidimai ir gudrybės yra surinkti atskirame skyriuje, taip pat pateikiami visoje knygoje. Jie turi matematinį pagrindą ir neabejotinai yra įtraukti į „išradingumo sritį“.
Trys skyriai: „Kryžminės sumos ir stebuklingi kvadratai“, „Smalsūs ir rimti skaičiai“ ir „Skaičiai seni, bet amžinai jauni“ yra skirti keletui kurioziškų pastebėjimų apie skaitinius santykius, kurie matematikoje susikaupė nuo seniausių laikų iki mūsų laikų.
Paskutinis skyrius- du trumpi rašiniai apie mūsų Tėvynės žmonių, laukų ir gamyklų darbininkų išradingumą.
Įvairiose knygos vietose skaitytojui siūlomos nedidelės temos savarankiškam tyrinėjimui.
Knygos pabaigoje pateikiami problemų sprendimai, tačiau nereikėtų skubėti į juos domėtis.
Bet kokia „išradingumo“ užduotis yra kupina „uždegimo“ ir daugeliu atvejų yra kietas riešutėlis, kurį nulaužti nėra taip paprasta, bet tuo labiau viliojanti.
Jei problemos išspręsti nepavyksta iš karto, galite laikinai ją praleisti ir pereiti prie kitos arba prie kito skyriaus, kito skyriaus užduočių. Grįžkite prie praleistos užduoties vėliau.
„Matematinė išradingumas“ – tai knyga, skirta ne lengvam skaitymui „vienu prisėdimu“, o darbui, ko gero, eilę metų, knyga, skirta taisyklingai protinei gimnastikai mažomis porcijomis, skaitytojo palydovė laipsniškame matematiniame tobulėjime.
Visai knygos medžiagai keliamas ugdomasis ir edukacinis tikslas: skatinti skaitytoją savarankiškam kūrybiniam mąstymui, toliau tobulinti matematines žinias.
Antrasis Mathematical Wits leidimas nėra stereotipinis pirmojo kartojimas. Atlikti būtini teksto ir kai kurių problemų sprendimų pakeitimai; atskiros užduotys pakeičiamos naujomis – prasmingesnėmis; knyga buvo pertvarkyta.
Dideles pastangas, siekdamas tobulinti knygą, dėjo leidyklos redaktorius M. M. Hot.
Spręsdami problemas patys, skaitytojai kai kuriais atvejais rasdavo papildomų ar paprastesnių sprendimų ir savo rezultatus maloniai pranešdavo man. Įdomiausių sprendimų autoriai paminėti atitinkamose knygos vietose.
Iš „Smekalkos“ skaitytojų tikiuosi sulaukti atsiliepimų ir pasiūlymų dėl tolimesnio knygos tobulinimo, taip pat savo originalių uždavinių ir tautodailės matematinės medžiagos.
Adresas: Maskva, B-64, g. Černyševskis, 31 m., gyvena. 53, Borisas Anastasievičius Kordemskis.
B. Kordemskis.

UŽDUOTYS

"Knyga yra knyga ir judinkite smegenis"
V. Majakovskis.

PIRMAS SKYRIUS. SMAGIAI IŠŠŪKIAI

I SKYRIUS
Iš pradžių išbandykite ir išmanykite tokias užduotis, kurioms išspręsti reikia tik kryptingo užsispyrimo, kantrybės, greito proto ir gebėjimo sudėti, atimti, dauginti ir dalyti sveikuosius skaičius.

1. Atidūs pionieriai
Moksleiviai – berniukas ir mergaitė – ką tik atliko meteorologinius matavimus.
Dabar jie ilsisi ant kalvos ir žiūri pro šalį važiuojantį krovininį traukinį.
Kylantis lokomotyvas pašėlusiai rūko ir pūpso. Išilgai drobės geležinkelis tolygiai, be gūsių pučia vėjas.
– Kokį vėjo greitį parodė mūsų matavimai? – paklausė berniukas.
- 7 metrai per sekundę.
– Šiandien man to užtenka, kad galėčiau nustatyti, kokiu greičiu važiuoja traukinys.
- Na, taip, - suabejojo ​​mergina.
– Ir jūs atidžiau pažvelkite į traukinio judėjimą.
Mergina šiek tiek pagalvojo ir taip pat suprato, kas yra.
Ir jie pamatė būtent tai, ką nutapė mūsų dailininkas (1 pav.). Koks buvo traukinio greitis?
Ryžiai. 1. Kokio greičio traukinys?

2. „Akmeninė gėlė“
Pamenate talentingą „amatininko“ meistrą Danilą iš P. Bažovo pasakos „Akmeninė gėlė“?
Urale pasakojama, kad Danila, dar būdama studentė, išdrožė dvi tokias gėles (2 pav.), kurių lapai, stiebai ir žiedlapiai buvo atskirti, o iš gautų gėlių dalių buvo galima sulankstyti lėkštę. apskritimo forma.
Pabandyk tai! Perpieškite danilinos žiedus ant popieriaus ar kartono, iškirpkite žiedlapius, stiebus ir lapus ir sulenkite apskritimą.

3. Judančios šaškės
Ant stalo pakaitomis padėkite 6 šaškes – juodą, baltą, kitą juodą, kitą baltą ir t.t. (3 pav.).
Ryžiai. 3. Baltos šaškės turi būti kairėje, po to juodos.
Kairė arba dešinė atostogos laisva vieta, užtenka keturioms šaškėms.
Šaškes reikia perkelti taip, kad visos baltos būtų kairėje, o po jų visos juodos. Tuo pačiu metu reikia perkelti dvi šalia esančias šaškes į tuščią vietą vienu metu, nekeičiant jų gulėjimo tvarkos. Norėdami išspręsti problemą, pakanka atlikti tris judesius (tris judesius) *).
Jei neturite šaškių, naudokite monetas arba iškirpkite popieriaus ar kartono gabalus.
*) Šios problemos tema toliau plėtojama 96 ir 97 uždaviniuose (p. 57 ir 58).

4. Trimis ėjimais
Padėkite ant stalo 3 krūvas degtukų. Į vieną krūvą sudėkite 11 degtukų, į kitą – 7, į trečią – 6. Perkeliant degtukus iš bet kurios krūvos į kitą, reikia visas tris krūveles išlyginti, kad kiekviename būtų po 8 degtukus. Tai įmanoma, nes bendras atitikmenų skaičius - 24 - dalijasi iš 3 be liekanos; Šiuo atveju reikia laikytis šios taisyklės: į bet kurią krūvą leidžiama pridėti tiksliai tiek degtukų, kiek joje yra. Pavyzdžiui, jei krūvoje yra 6 degtukai, tai į ją galima pridėti tik 6, jei krūvoje yra 4 degtukai, tada į ją galima pridėti tik 4.
Problema išspręsta 3 judesiais.

5. Suskaičiuok!
Patikrinkite savo geometrinį stebėjimą: suskaičiuokite, kiek trikampių yra pav. keturi.

6. Sodininko būdas
Ant pav. 5 yra nedidelio obelų sodo planas (taškai - obelys). Sodininkas apdirbo visas obelis iš eilės.
Ryžiai. 5. Obuolių sodo planas.
Jis pradėjo nuo kameros, pažymėtos žvaigždute, ir po vieną perėjo visas kameras, kurias apėmė obelys ir
laisvas, niekada negrįžta į praeitą kamerą. Jis nevaikščiojo išilgai įstrižainių ir nebuvo šešėlinėse kamerose, nes ten buvo pastatyti įvairūs pastatai.
Baigęs ekskursiją sodininkas atsidūrė toje pačioje aikštėje, iš kurios ir pradėjo kelionę.
Užrašų knygelėje nupieškite sodininko kelią.

7. Reikia būti protingam
Krepšelyje yra 5 obuoliai. Kaip padalinti šiuos obuolius penkioms mergaitėms, kad kiekviena gautų po vieną obuolį, o vienas obuolys liktų krepšelyje?

8. Nedvejodamas
Pasakyk man, kiek kačių yra kambaryje, jei viena katė sėdi kiekviename iš keturių kambario kampų, 3 katės sėdi priešais kiekvieną katę, o katė sėdi ant kiekvienos katės uodegos?

9. Žemyn – aukštyn
Berniukas tvirtai prispaudė mėlyno pieštuko kraštą prie geltono pieštuko krašto. Vienas centimetras (ilgio) mėlyno pieštuko prispausto krašto, skaičiuojant nuo apatinio galo, yra nudažytas dažais. Berniukas laiko geltoną pieštuką nejudėdamas, o mėlynasis, toliau spausdamas jį prie geltonojo, nuleidžia 1 cm, tada grąžina į ankstesnę padėtį, vėl nuleidžia 1 cm ir vėl grįžta į ankstesnę padėtį; 10 kartų nuleidžia ir pakelia mėlyną pieštuką 10 kartų (20 judesių).
Jei darysime prielaidą, kad per tą laiką dažai neišdžiūsta ir neišsenka, tai kiek centimetrų ilgio geltonas pieštukas bus suteptas po dvidešimtojo judesio?
Pastaba. Šią problemą sugalvojo matematikas Leonidas Michailovičius Rybakovas pakeliui namo po sėkmingos ančių medžioklės. Kas paskatino jį parašyti problemą, perskaitysite 387 puslapyje, kai išspręsite problemą.

10. Perėjimas per upę (sena problema)
Nedidelis karinis būrys priartėjo prie upės, per kurią reikėjo pereiti. Tiltas nulaužtas, o upė gili. Kaip būti? Staiga pareigūnas netoli kranto pastebi du berniukus, besilinksminančius valtyje. Bet valtis tokia maža, kad ją gali perplaukti tik vienas kareivis arba tik du berniukai – ne daugiau! Tačiau visi kareiviai perplaukė upę šia valtimi. Kaip?
Išspręskite šią problemą „galvoje“ arba praktiškai – naudodami šaškes, degtukus ar panašiai ir perkeldami jas aplink stalą per įsivaizduojamą upę.

11. Vilkas, ožka ir kopūstai
Tai taip pat sena problema; rasta VIII amžiaus raštuose. Jis turi nuostabų turinį.
Ryžiai. 6. Nebuvo įmanoma palikti vilko ir ožkos be žmogaus ...
Tam tikras žmogus turėjo valtimi per upę gabenti vilką, ožką ir kopūstus. Į valtį tilpo tik vienas žmogus, o su juo arba vilkas, arba ožka, arba kopūstas. Bet jei paliksi vilką su ožiu be žmogaus, tai vilkas suės ožką, jei paliksi ožką su kopūstu, tai ožka valgys kopūstą, o vyro akivaizdoje "niekas nieko nevalgė". Vyriškis vis tiek gabeno savo krovinį per upę.
Kaip jis tai padarė?
Siaurame ir labai ilgame latake yra 8 kamuoliukai: keturi juodi kairėje ir keturi balti kiek didesnio skersmens dešinėje (7 pav.). Vidurinėje lovio dalyje sienoje yra nedidelė niša, kurioje telpa tik vienas kamuoliukas (bet koks). Du rutuliai gali būti vienas šalia kito skersai latako tik toje vietoje, kur yra niša. Kairysis latako galas yra uždarytas, o dešinysis turi skylę, pro kurią gali praeiti bet koks juodas rutulys, bet ne baltas. Kaip išriedėti visus juodus rutulius iš latako? Neleidžiama išimti kamuoliukų iš latako.

13. Grandinės remontas
Ar žinai, ką galvojo jaunasis meistras (8 pav.)? Priešais jį yra 5 grandinės grandys, kurios turi būti sujungtos į vieną grandinę nenaudojant papildomų žiedų. Jei, pavyzdžiui, nukalsite 3 žiedą (viena operacija) ir užkabinsite jį ant 4 žiedo (dar viena operacija), tada atkabinsite žiedą 6 ir užkabinsite žiedą 7 ir pan., tada iš viso bus aštuonios operacijos, o meistras stengiasi nukalti grandinę tik šešių operacijų pagalba. Jam pavyko. Kaip jis pasielgė?

14. Ištaisykite klaidą
Paimkite 12 degtukų ir išdėliokite iš jų „lygybę“, parodytą fig. 9.
Ryžiai. 9. Ištaisykite klaidą perkeldami tik vieną degtuką.
Lygybė, kaip matote, yra neteisinga, nes pasirodo, kad 6 - 4 = 9.
Perkelkite vieną degtuką, kad gautumėte teisingą lygybę.

15. Iš trijų – keturi (pokštas)
Ant stalo yra 3 rungtynės.
Nepridėdami nė vieno degtuko, padarykite nuo trijų iki keturių. Jūs negalite pertraukti degtukų.

16. Trys taip du - aštuoni (dar vienas pokštas)
Štai dar vienas panašus pokštas. Galite pasiūlyti savo draugui.
Padėkite ant stalo 3 degtukus ir pakvieskite draugą prie jų pridėti dar 2, kad gautumėte aštuonis. Žinoma, negalima pertraukti degtukų.

17. Trys kvadratai
Iš 8 pagaliukų (pavyzdžiui, degtukų), iš kurių keturios yra perpus ilgesnės nei kitos keturios, reikia padaryti 3 vienodus kvadratus.

18. Gamyklos tekinimo ceche detalės tekančios iš švino ruošinių. Iš vieno ruošinio – detalė. Drožles, susidariusias išdirbus iš šešių dalių, galima: išlydyti ir paruošti kitam ruošiniui. Kiek detalių tokiu būdu galima pagaminti iš 36 švino ruošinių?

19. Išbandykite!
Kvadratinėje šokių salėje padėkite 10 kėdžių išilgai sienų, kad kiekvienoje sienoje būtų vienodas kėdžių skaičius.

20. Vėliavų išdėstymas
Nedidelę tarpkolchozinę hidroelektrinę pastatė komjaunuoliai. Iki jos paleidimo dienos pionieriai iš visų keturių elektrinės pusių papuošia girliandomis, lemputėmis ir vėliavėlėmis. Vėliavų buvo nedaug, tik 12.
Pirmininkai jas pirmiausia padėjo po 4 kiekvienoje pusėje, kaip parodyta schemoje (10 pav.), tada suprato, kad iš kiekvienos pusės gali padėti tas pačias 12 vėliavėlių po 5 ar net 6. Antrasis projektas jiems patiko labiau ir jie nusprendė pažymėkite 5 žymimuosius laukelius.
Diagramoje parodykite, kaip pionieriai išdėliojo 12 vėliavėlių, po 5 kiekvienoje iš keturių pusių, ir kaip jie galėjo išdėlioti 6 vėliavėles.

21. Išsaugoti paritetą
Paimkite 16 daiktų (popieriaus, monetų, slyvų ar šaškių) ir išdėliokite 4 iš eilės (11 pav.). Dabar nuimkite 6 dalis, bet taip, kad kiekvienoje horizontalioje ir vertikalioje eilutėje liktų lyginis elementų skaičius. Pašalinę skirtingas 6 dalis, galite gauti skirtingus sprendimus.

22. „Stebuklingasis“ skaičių trikampis
Trikampio viršūnėse sudėjau skaičius 1, 2 ir 3, o jūs išdėsite skaičius 4, 5, 6, 7, 8, 9 trikampio šonuose taip, kad visų skaičių suma būtų išilgai kiekvienos trikampio kraštinės yra 17. Tai nėra sunku, kaip aš siūliau Kokie skaičiai turėtų būti dedami trikampio viršūnėse. 2
Daug ilgiau teks sukti galvą, jei iš anksto nepasakysiu, kurie skaičiai turi būti dedami trikampio viršūnėse, ir siūlysiu skaičių dėti dar kartą
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
kiekvieną kartą išilgai trikampio kraštinių ir viršūnių taip, kad skaičių suma kiekvienoje trikampio kraštinėje būtų 20.
Kai gausite norimą skaičių išdėstymą, ieškokite vis naujų išdėstymų. Uždavinio sąlygos gali būti įvykdytos įvairiems skaičių išdėstymui.

23. Kaip 12 merginų žaidė kamuolį
Dvylika merginų sustojo ratu ir pradėjo žaisti kamuoliu. Kiekviena mergina metė kamuolį kaimynei kairėje pusėje. Kai kamuolys apėjo visą ratą, jis buvo išmestas priešinga kryptimi. Po kurio laiko viena mergina pasakė:
– Geriau meskime kamuolį per vieną žmogų.
„Bet kadangi mūsų yra dvylika, pusė merginų žaidime nedalyvaus“, – ryškiai paprieštaravo Nataša.
- Tada mes permesime kamuolį per du! (Kas trečias pagauna kamuolį.)
– Dar blogiau: žais tik keturios... Jei nori, kad žaistų visos merginos, reikia mesti kamuolį per keturis (penktas gaudymas). Kito derinio nėra.
– O jei per šešis žmones mestum kamuolį?
– Tai bus ta pati kombinacija, tik kamuolys eis priešinga kryptimi.
– O jei žaidi dešimtyje (kas vienuoliktas pagauna kamuolį)? – paklausė merginos.
Mes jau taip žaidėme...
Merginos pradėjo braižyti visų siūlomų žaidimo būdų schemas ir labai greitai įsitikino, kad Nataša buvo teisi. Tik viena žaidimo schema (išskyrus pradinę) apėmė visus be išimties dalyvius (13 pav., a).
Dabar, jei žaidė trylika merginų, kamuolį būtų galima mesti per vieną (13 pav., b), ir per du (13 pav., c), ir per tris (13 pav., d), ir per keturis (13 pav. 13 pav., e), ir kiekvieną kartą, kai žaidimas apimtų visus dalyvius. Sužinokite, ar su trylika žaidėjų įmanoma mesti kamuolį per penkis žmones?
Ar įmanoma su trylika žaidėjų mesti kamuolį per šešis žmones? Pagalvokite ir nupieškite atitinkamas diagramas, kad būtų aiškumo.

24. Keturios tiesės
Paimkite popieriaus lapą ir nupieškite maždaug pav. 14. Jis turi devynis taškus, kad jie būtų išdėstyti kvadrato forma, kaip parodyta fig. 14. Dabar perbraukite visus taškus keturiomis tiesiomis linijomis, nepakeldami pieštuko nuo popieriaus.

25. Atskirkite ožkas nuo kopūstų
Dabar išspręskite problemą, kuri tam tikra prasme yra priešinga ankstesnei. Ten taškus sujungėme tiesiomis linijomis, o čia reikia nubrėžti 3 tiesias linijas, kad atskirtume ožiukus nuo kopūsto (15 pav.). Knygos brėžinyje neturėtų būti brėžiamos tiesios linijos.
Užrašų knygelėje perbraižykite ožkų ir kopūstų išdėstymą ir pabandykite išspręsti problemą. Jūs negalite išvis piešti linijų, o naudoti mezgimo adatas ar plonus vielus.

26. Du traukiniai
Greitasis traukinys išvyko iš Maskvos į Leningradą ir be sustojimo važiavo 60 kilometrų per valandą greičiu. Jo pasitikti iš Leningrado į Maskvą išvažiavo kitas traukinys ir taip pat be sustojimo važiavo 40 kilometrų per valandą greičiu.
Kokiu atstumu bus šie traukiniai likus 1 valandai iki susitikimo?

27. Atoslūgio metu (pokštas)
Netoli pakrantės stovi laivas su palei bortą nuleistomis lyninėmis kopėčiomis. Laiptai turi 10 pakopų; atstumas tarp laiptelių 30 cm.. Žemiausia pakopa liečia vandens paviršių. Vandenynas šiandien labai ramus, bet potvynis ateina ir kyla
Buvo du skaičiai, o vandens už kiekvieną valandą po 15 cm.. Po kiek laiko trečias lynų kopėčių laiptelis bus padengtas vandeniu?

28. Surinkite
a) Padalinkite laikrodžio ciferblatą dviem tiesiomis linijomis į tris dalis, kad, sudėjus skaičius, kiekvienoje dalyje gautumėte tiek pat.
b) Ar galima šį ciferblatą padalinti į 6 dalis, kad kiekvienoje dalyje šių dviejų skaičių sumos kiekvienoje iš šešių dalių būtų lygios viena kitai?

29. Sugedęs ciferblatas
Muziejuje pamačiau seną laikrodį su romėniškais skaitmenimis ant ciferblato, o vietoj pažįstamo skaičiaus keturi (IV) buvo keturios pagaliukai (IIII). Ant ciferblato susidarę įtrūkimai padalijo jį į 4 dalis, kaip parodyta pav. 17. Kiekvienoje dalyje skaičių sumos buvo nevienodos: vienoje - 21, kitoje - 20, trečioje - 20, ketvirtoje - 17.
Pastebėjau, kad esant kiek kitokiam plyšių išdėstymui, skaičių suma kiekvienoje iš keturių ciferblato dalių būtų po 20. Naujai išdėstius įtrūkimus, jie gali nepraeiti per ciferblato centrą. Perbraižykite laikrodžio ciferblatą užrašų knygelėje ir suraskite šią naują įtrūkimų vietą.
Ryžiai. 17. Įtrūkimai padalijo ciferblatą į 4 dalis.

30. Nuostabus laikrodis (kinų galvosūkis)
Kartą vienas laikrodininkas buvo skubiai paprašytas įeiti į vieną namą.
- Aš sergu, - atsakė laikrodininkas, - ir aš negaliu eiti. Bet jei remontas paprastas, atsiųsiu tau savo mokinį.
Paaiškėjo, kad sugedusias strėles reikia pakeisti kitomis.
„Mano mokinys gali tai susitvarkyti“, - sakė meistras. - Jis patikrins jūsų laikrodžio mechanizmą ir parinks jam naujas rodykles.
Mokinys labai kruopščiai atliko savo darbą, o kai baigė apžiūrėti laikrodį, jau buvo tamsu. Laikydamas, kad darbas atliktas, jis paskubomis uždėjo pakeltas rodykles ir uždėjo ant laikrodžio: didelę rodyklę ant numerio 12, o mažą ant numerio 6 (buvo lygiai 18 val.).
Tačiau netrukus po to, kai mokinys grįžo į dailos kambarį pranešti meistrui, kad darbas atliktas, suskambo telefonas. Vaikinas pakėlė ragelį ir išgirdo piktą kliento balsą:
– Blogai pataisėte laikrodį, jis neteisingai rodo laiką.
Meistro mokinys, nustebęs šios žinutės, nuskubėjo pas užsakovą. Atvykus jo taisytas laikrodis rodė devintojo pradžią. Studentas išsiėmė kišeninį laikrodį ir padavė jį įpykusiam namo šeimininkui:
- Prašau patikrink. Jūsų laikrodis niekada neatsilieka.
Apstulbęs klientas buvo priverstas sutikti, kad jo laikrodis buvo įdėtas Šis momentas tikrai rodo teisingą laiką.
Tačiau kitą rytą klientas vėl paskambino ir pasakė, kad laikrodžio rodyklės, aišku, išprotėjo ir apėjo ciferblatą kaip nori. Meistro mokinys nubėgo pas užsakovą. Laikrodis rodė aštuntos pradžią. Žiūrėdamas laiką laikrodyje, jis rimtai supyko:
- Tu juokiesi iš manęs! Jūsų laikrodis rodo tikslų laiką!
Laikrodis tikrai rodė tikslų laiką. Supykęs meistro mokinys norėjo tuoj pat išeiti, bet meistras jį sulaikė. Ir po kelių minučių jie rado tokių neįtikėtinų incidentų priežastį.
Ar neatspėjote, kas čia vyksta?

31. Trys iš eilės
Ant stalo išdėliokite 9 sagas kvadrato pavidalu, po 3 mygtukus kiekvienoje pusėje ir po vieną centre (18 pav.). Atminkite, kad jei vienoje tiesioje linijoje yra du ar daugiau mygtukų, tokį išdėstymą visada vadinsime „eilute“. Taigi, AB ir CD yra eilutės, kurių kiekviena turi 3 mygtukus, o EF yra eilutė, kurioje yra du mygtukai.
Ryžiai. 18. Kiek yra eilučių?
Nustatykite, kiek paveikslėlyje yra eilių po 3 mygtukus ir kiek tokių eilučių, kurių kiekviena turi tik 2 mygtukus.
Dabar pašalinkite visus 3 mygtukus, o likusius 6 išdėliokite į 3 eilutes taip, kad kiekvienoje eilutėje būtų 3 mygtukai.

32. Dešimt eilučių
Nesunku atspėti, kaip išdėstyti 16 šaškių 10 eilių po 4 šaškes kiekvienoje eilėje. Kur kas sunkiau išdėstyti 9 šaškes į 10 eilių, kad kiekvienoje eilėje būtų 3 šaškės.
Išspręskite abi problemas.

33. Monetų vieta
Ant tuščio popieriaus lapo nupieškite paveikslą, pavaizduotą fig. 19, padidindami jo dydį 2–3 kartus, ir paruoškite 17 tokio nominalo monetų:
20 kapeikų - 5 vnt.,
15 kapeikų - 3 vnt.,
10 kapeikų - 3 vnt.,
5 kapeikos - 6 vnt.
Ryžiai. 19. Išdėstykite monetas šios figūros kvadratuose.
Paruoštas monetas išdėliokite ant nupieštos figūros kvadratų taip, kad kiekvienos paveikslėlyje parodytos tiesės kapeikų suma būtų 55.

34. Nuo 1 iki 19
Devyniolikoje pav. 20 reikia išdėstyti 19 taip, kad bet kurių trijų apskritimų, esančių toje pačioje tiesėje, skaičių suma būtų lygi 30.

35. Greitai, bet atsargiai
Išspręskite šiuos 4 uždavinius „greitai“ - kas greičiau pateiks teisingą atsakymą:

Užduotis 1. Vidurdienį autobusas su keleiviais išvyksta iš Maskvos į Tulą. Po valandos dviratininkas išvyksta iš Tulos į Maskvą ir važiuoja tuo pačiu greitkeliu, bet, žinoma, daug lėčiau nei autobusas.
Kai susitiks autobuso keleiviai ir dviratininkas, kuris iš jų bus toliau nuo Maskvos?
2 problema. Kas brangiau: kilogramas grivinų ar pusė kilogramo dviejų grivinų?
3 uždavinys. 6 valandą sieninis laikrodis mušė 6 smūgius. Iš kišeninio laikrodžio pastebėjau, kad laikas nuo pirmo smūgio iki šeštojo buvo lygiai 30 sekundžių.
Jei laikrodžiui prireikė 30 sekundžių, kad išmuštų 6 kartus, kiek laiko laikrodis mušė vidurdienį arba vidurnaktį, kai laikrodis muša 12 kartų?
4 užduotis. Iš vieno taško išskrido 3 kregždės. Kada jie bus tame pačiame lėktuve?

Dabar ramiai samprotaudami patikrinkite savo sprendimus ir pažiūrėkite į skyrių „Atsakymai“.
- Na, kaip? Ar patekote į tuos mažus spąstus, kurie yra šiose paprastose užduotyse?
Tokios užduotys patrauklios tuo, kad paaštrina dėmesį ir moko būti atsargiems įprastoje minčių eigoje.
visi sveikieji skaičiai nuo 1 iki
Ryžiai. 20. Užpildykite apskritimus skaičiais nuo 1 iki 19.

36. Garbanotas vėžys
Pavaizduotas vėžys, parodytas Fig. 21, sudarytas iš 17 dalių.
Iš šio vėžio gabalėlių sulenkite iš karto dvi figūras: apskritimą ir kvadratą šalia.

37. Knygos kaina
Už knygą sumokėjo 1 rublį ir dar pusę knygos kainos. Kiek kainuoja knyga?

38. Nerami musė
Greitkelyje Maskva – Simferopolis du sportininkai vienu metu vienas kito link pradėjo treniruotę dviračiais.
Tuo metu, kai tarp dviratininkų liko vos 300 km, musė labai susidomėjo rida. Nuskridusi vienam dviratininkui nuo peties ir aplenkusi jį, ji puolė prie kito. Sutikusi antrą dviratininkę ir įsitikinusi, kad viskas saugu, ji iškart pasuko atgal. Musė skrido pas pirmąjį sportininką ir vėl pasuko į antrąjį.
Taip ji lakstė tarp artėjančių dviratininkų, kol dviratininkai susitiko. Tada musė nurimo ir atsisėdo vienam iš jų ant nosies.
Musė tarp dviratininkų praskriejo 100 km/h greičiu, o dviratininkai visą tą laiką lėkė 50 km/h greičiu.
Kiek kilometrų skrido musė?

39. Mažiau nei po 50 metų
Ar šiame šimtmetyje bus tokie metai, kad jei rašoma skaičiais, o popierius apverstas aukštyn kojomis, tai ant vartyto popieriaus suformuotas skaičius išreikš tuos pačius metus?

40. Du juokeliai
Pirmas pokštas. Tėtis paskambino dukrai, paprašė nupirkti kai kuriuos jam išvykimui reikalingus daiktus ir pasakė, kad pinigai yra voke ant jo stalo. Mergina, trumpai žvilgtelėjusi į voką, pamatė ant jo užrašytą skaičių 98, išėmė pinigus ir neskaičiavusi įdėjo.
maišelį, o voką suglamžė ir išmetė.
Parduotuvėje ji nusipirko daiktų už 90 rublių, o kai norėjo atsiskaityti, paaiškėjo, kad jai ne tik neliko aštuonių, kaip tikėjosi, bet ir trūksta keturių rublių.
Namuose ji papasakojo apie tai tėvui ir paklausė, ar jis nesuklydo, kai skaičiavo pinigus. Tėvas atsakė, kad pinigus skaičiavo teisingai, bet ji pati suklydo ir juokdamasi nurodė klaidą. Kokia buvo mergaitės klaida?

Antras pokštas. Paruoškite 8 popieriaus lapus su skaičiais 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 ir 9 ir sudėkite juos į dvi stulpelius, kaip parodyta pav. 22.
Perkeldami tik du popieriaus lapus įsitikinkite, kad skaičių sumos abiejuose stulpeliuose yra vienodos.
Ryžiai. 22. Išlyginkite nelygias sumas.

41. Kiek man metų?
Kai mano tėvui buvo 31 metai, man buvo 8 metai, o dabar tėtis yra dvigubai vyresnis. Kiek man dabar metų?

42. Įvertinkite „iš pirmo žvilgsnio“
Turite du skaičių stulpelius:
123456789 1
12345678 21
1234567 321
123456 4321
12345 54321
1234 654321
123 7654321
12 87654321
1 987654321
Pažiūrėkite atidžiau: antrojo stulpelio skaičiai sudaromi iš tų pačių skaičių kaip ir pirmojo stulpelio skaičiai, tačiau jų išdėstymo tvarka yra priešinga. (Aiškumo dėlei nuliai kairiajame stulpelyje buvo praleisti.)
Kuris stulpelis, sudėjus kartu, duos didesnį rezultatą?
Pirmiausia palyginkite šias sumas „iš pirmo žvilgsnio“, tai yra, dar nepridėdami, pabandykite nustatyti, ar jos turi būti vienodos, ar viena turi būti didesnė už kitą, o tada patikrinkite pridėdami.

43. Greičio papildymas
Aštuoni šešiaženkliai terminai (...) parinkti taip, kad juos pagrįstai sugrupavus, „galvoje“ sumą rastumėte per 8 sekundes. Ar galite atlaikyti tokį greitį?
Skiltyje „Atsakymai“ yra instrukcijos, bet ... jų ieškosite ilgiau.
O draugams parodykite du triukus, kuriuos taip pat juokais galite pavadinti „greičio padidinimu“.

Pirmas dėmesys. Pasakykite: „Nerodydami man, įrašykite į stulpelį tiek daugiaženklių skaičių, kiek norite. Tada aš ateisiu], labai greitai parašysiu tiek pat skaičių ir visus tuoj pat sudėsiu.
Tarkime, draugai rašė:
7621
3057
2794
4518
Ir jūs priskiriate tokius skaičius, kurių kiekvienas papildo iki 9999 po vieną visus užrašytus skaičius. Šie skaičiai bus:
5481
7205
6942
2378
Tikrai: (...)
Dabar nesunku suprasti, kaip greitai apskaičiuoti visą sumą: (...)
Reikia paimti 9999 4 kartus, tai yra 9999X4, ir toks dauginimas mintyse greitai padaromas. Padauginkite 10 000 iš 4 ir atimkite papildomus 4 vienetus. Paaiškėja:
10 000 X 4 - 4 = 40 000 - 4 = 39 996.
Štai visa triuko paslaptis!

Antrasis dėmesys. Parašykite vieną po kitu bet kokius 2 bet kokio dydžio skaičius. Sudėsiu trečią ir akimirksniu, iš kairės į dešinę, parašysiu visų trijų skaičių sumą.
Tarkime, kad parašei:
72 603 294
51 273 081
Paskirsiu, pavyzdžiui, tokį numerį: 48 726 918 ir iškart pasakysiu sumą.
Koks skaičius turėtų būti priskirtas ir kaip greitai rasti sumą šiuo atveju, sugalvokite patys!

44. Kurioje rankoje? (matematikos triukas)
Padovanokite draugui dvi monetas: vieną su lyginiu kapeikų skaičiumi, o kitą su nelyginiu (pavyzdžiui, dvi kapeikos ir trys kapeikos). Tegul jis, jums neparodydamas, paima vieną iš šių monetų (bet kurią) į dešinę ranką, o antrąją - į kairę. Galite lengvai atspėti, kurią ranką jis turi, kurią monetą.
Pakvieskite jį patrigubinti kapeikų skaičių monetoje, laikomoje dešinėje rankoje, ir padvigubinti kapeikų skaičių monetoje, laikomoje kairėje rankoje. Leiskite jam susumuoti rezultatus ir pasakyti tik gautą sumą.
Jei nurodyta suma yra lyginė, tai dešinėje rankoje yra 2 kapeikos, jei nelyginė, tai kaire ranka 2 kapeikos.
Paaiškinkite, kodėl visada taip pavyksta, ir pagalvokite, kaip paįvairinti šią gudrybę.

45. Kiek jų yra?
Berniukas turi tiek seserų, kiek brolių, o jo sesuo turi perpus mažiau seserų nei brolių.
Kiek brolių ir seserų yra šioje šeimoje?

46. ​​Tie patys skaičiai
Naudodami tik sudėjimą, parašykite skaičių 28 su penkiais dvejetais ir skaičių 1000 su aštuoniais aštuoniais.

47. Šimtas
Naudodami bet kokias aritmetines operacijas, skaičių 100 padarykite iš penkių vienetų arba iš penkių penketukų, o iš penkių penketukų 100 galima padaryti dviem būdais.

48. Aritmetinė dvikova
Kažkada mūsų mokyklos matematikos būrelyje buvo toks paprotys. Kiekvienam naujam būrelio nariui būrelio pirmininkas pasiūlė paprastą užduotį – savotišką matematinį riešutą. Jei išspręsite problemą, iškart tapsite būrelio nariu, o jei nesusidorosite su veržlumu, galite apsilankyti rate kaip auditorius.
Pamenu, kartą mūsų pirmininkas vienai naujokei Vitei pasiūlė tokią užduotį: (...)

49. Dvidešimt
Iš keturių nelyginių skaičių lengva padaryti sumą, lygią 10, būtent:
1 + 1+3 + 5=10,
arba taip:
1 + 1 + 1+7 = 10.
Galimas ir trečias sprendimas:
1 + 3 + 3 + 3= 10.
Kitų sprendimų nėra (sąlygų eilės pasikeitimai, žinoma, nesudaro naujų sprendinių).
Ši problema turi daug daugiau skirtingų sprendimų:
Sudarykite skaičių 20 pridėdami lygiai aštuonis nelyginius skaičius, tarp kurių taip pat leidžiama turėti tuos pačius terminus.
Raskite visus skirtingus šios problemos sprendimus ir nustatykite, kiek iš jų bus tokių sumų, kuriose yra daugiausia nelygių sąlygų?
Mažas patarimas. Jei skaičius rinksitės atsitiktinai, vis tiek sugalvosite keletą sprendimų, tačiau atsitiktiniai bandymai nesuteiks jums pasitikėjimo, kad išnaudojote visus sprendimus. Tačiau jei į „bandymų metodą“ įvesite kažkokią tvarką, sistemą, tuomet nė vienas iš galimų sprendimų jūsų neaplenks.

50. Kiek maršrutų?
Iš moksleivių laiško: „Mokydamasi matematikos būrelyje nubraižėme šešiolikos savo miesto kvartalų planą. Pridedamoje plano schemoje (23 pav.) visi kvartalai sutartinai pavaizduoti kaip vienodi kvadratai.
Mus domina toks klausimas:
Kiek skirtingų maršrutų galima suplanuoti iš taško A į tašką C, jei judėsime savo gatvėmis
Ryžiai. 23. Kiek maršrutų veda iš L į S?
miestai tik į priekį ir į dešinę, į dešinę ir į priekį? Maršrutai gali sutapti savo atskiromis dalimis (žr. punktyrines linijas plano schemoje).
Mums susidaro įspūdis, kad tai nėra lengva užduotis. Ar teisingai išsprendėme, jei suskaičiavome 70 skirtingų maršrutų?“
Koks turėtų būti atsakymas į šį laišką?

52. Skirtingi veiksmai, vienas rezultatas
Jei tarp dviejų dviejų sudėjimo ženklą pakeis daugybos ženklas, rezultatas nepasikeis. Iš tiesų: 2+ 2 = 2X2. Jį lengva išsirinkti ir 3 skaičiai su ta pačia savybe, būtent: 1+2 + 3 = = 1X2X3. Taip pat yra 4 vienaženkliai skaičiai, kuriuos sudėjus arba padauginus vienas iš kito gaunamas toks pat rezultatas.
Kas greičiau surinks šiuos skaičius? Pasiruošę? Tęskite konkurenciją! Raskite 5, tada 6, 7 ir tt vienaženklius skaičius, turinčius tą pačią savybę. Atminkite, kad pradedant 5 skaičių grupe, atsakymai gali skirtis.

53. Devyniasdešimt devyni ir vienas šimtas
Kiek pliuso ženklų (+) reikia įdėti tarp 987654321 skaitmenų, kad būtų pridėta iki 99?
Galimi du sprendimai. Rasti bent vieną iš jų nėra lengva, tačiau įgysite patirties, kuri padės greitai sudėti pliuso ženklus tarp septynių skaičių 1 2 3 4 5 6 7, kad bendra suma būtų 100. (Skaičių vieta nėra leidžiama keisti). Kemerovo moksleivė tvirtina, kad ir čia galimi du sprendimai.

54. Išardoma šachmatų lenta
Linksmas šachmatininkas supjaustė savo kartoninę šachmatų lentą į 14 dalių, kaip parodyta pav. 25. Pasirodė sulankstoma šachmatų lenta. Draugams, kurie atėjo pas jį žaisti šachmatais, pirmiausia pasiūlė galvosūkį: iš šių 14 dalių padaryti šachmatų lentą. Iš languoto popieriaus iškirpkite tokias pačias figūrėles ir patys įsitikinkite, ar sunku ar lengva iš jų padaryti šachmatų lentą.

60. Suglumęs vairuotojas
Ką pagalvojo vairuotojas, pažiūrėjęs į savo automobilio spidometrą (29 pav.)? Skaitiklis rodė skaičių 15951. Vairuotojas pastebėjo, kad automobilio nuvažiuotas kilometrų skaičius išreiškiamas simetrišku skaičiumi, tai yra tokiu, kuris skaitomas vienodai ir iš kairės į dešinę, ir iš dešinės į kairę:
15951.
- Įdomu! .. - sumurmėjo vairuotojas. – Dabar, ko gero, negreitai ant prekystalio atsiras kitas skaičius, turintis tą pačią funkciją.
Tačiau lygiai po 2 valandų skaitiklis parodė naują skaičių, kuris taip pat buvo skaitomas į abi puses.
Nustatykite, kokiu greičiu vairuotojas važiavo per šias 2 valandas?

61. Tsimlyansko hidroelektrinės kompleksui
Vykdant skubų užsakymą matavimo prietaisų gamybai Tsimlyansko hidroelektrinės kompleksui, dalyvavo puikios kokybės komanda, kurią sudarė meistras - senas, patyręs darbuotojas - ir 9 jauni darbininkai, ką tik baigę profesinę mokyklą.
Per dieną kiekvienas iš jaunųjų darbininkų sumontavo po 15 įrenginių, o meistras – 9 įrenginiais daugiau nei vidutiniškai kiekvienam iš 10 komandos narių.
Kiek matavimo priemonių komanda sumontavo per vieną darbo dieną?

62. Duonos pristatymas laiku
Pradėjusi grūdų pristatymą valstybei, kolūkio valdyba nusprendė traukinį su grūdais į miestą pristatyti tiksliai iki 11 valandos ryto. Jei automobiliai važiuoja 30 km/h greičiu, tai kolona į miestą atvyks 10 val., o jei 20 km/h greičiu, tai 12 val.
Kokiu atstumu nuo kolūkio iki miesto ir kokiu greičiu reikėtų važiuoti, kad atvyktumėte pačiu laiku?

63. Priemiestiniame traukinyje
Elektrinio traukinio vagone dvi moksleivės draugės važiavo iš miesto į vasarnamį.
- Pastebiu, - pasakė viena jos draugė, - kad grįžtančius priemiestinius traukinius sutinkame kas 5 minutes. Kaip manote, kiek priemiestinių traukinių atvyksta į miestą per valandą, jei traukinių greitis abiem kryptimis yra vienodas?
- Žinoma, 12, nes 60:5 = 12, - sakė antrasis draugas.
Tačiau klausimą uždavusi moksleivė nesutiko su draugės sprendimu ir išsakė jai savo mintis.
Ką tu manai apie tai?

65. Futbolo sirgalių košmaras
„Savo“ komandos pralaimėjimo sutrikęs „gerbėjas“ neramiai miegojo. Jis svajojo apie didelį kvadratinį kambarį be baldų. Vartininkas treniravosi kambaryje. Jis spyrė futbolo kamuolį į sieną ir sugavo.
Staiga vartininkas ėmė trauktis, trauktis, galiausiai virto mažu celiulioidiniu kamuoliuku iš „stalo teniso“, o futbolo kamuolys pasirodė esąs ketaus kamuolys. Kamuolys pašėlusiai sukosi per lygias kambario grindis, bandydamas sutraiškyti mažą celiulioidinį kamuoliuką. Vargšas kamuolys iš nevilties veržėsi iš vienos pusės į kitą, išsekęs ir negalėdamas atšokti.
Ar jis, nepalikdamas grindų, vis tiek galėtų kur nors pasislėpti nuo ketaus rutulio persekiojimo?
Ryžiai. 30. Kamuolys bandė sutraiškyti kamuolį.
Norint išspręsti antrojo skyriaus uždavinius, reikia išmanyti operacijas su paprastosiomis ir dešimtainėmis trupmenomis.
Skaitytojas, kuris dar nestudijavo trupmenų, gali laikinai praleisti šio skyriaus uždavinius ir pereiti prie tolesnių skyrių.

66. Laikrodis
Keliaudamas po mūsų didžiąją ir nuostabią Tėvynę, atsidūriau tokiose vietose, kur oro temperatūrų skirtumas dieną ir naktį toks didelis, kad kai dienas ir naktis leisdavau lauke, tai ėmė daryti įtaką laikrodžio eigai. Pastebėjau, kad dėl temperatūros pokyčių dienos metu laikrodis pasuko 1 minute, o naktį – 1 minute.
Gegužės 1-osios rytą laikrodis dar rodė teisingą laiką. Iki kokios datos jie bus 5 minutėmis į priekį?

67. Laiptinė
Namas yra 6 aukštų. Sakykite, kiek kartų kelias aukštyn laiptais į šeštą aukštą yra ilgesnis už kelią tais pačiais laiptais į trečią aukštą, jei tarpai tarp aukštų yra vienodi?

68. Dėlionė
Kokį ženklą reikia dėti tarp skaičių 2 ir 3, parašytų vienas šalia kito, kad gautume skaičių didesnį už du, bet mažesnį nei trys?
69. Įdomios trupmenos
Jei vardiklis 1/3 pridedamas prie skaitiklio ir vardiklio, trupmena padvigubės.
Raskite trupmeną, kuri, pridėjus vardiklį prie jos skaitiklio ir vardiklio, padidėtų: a) tris kartus, b) keturis kartus.
(Algebriniai žmonės gali apibendrinti problemą ir išspręsti ją lygtimi.)

70; Koks numeris?
02:30. Koks šis skaičius?

71. Moksleivio būdas
Borya kiekvieną rytą atlieka gana gerą darbą. ilgas keliasį mokyklą.
Atokiau nuo namo iki mokyklos yra MTS pastatas su elektriniu laikrodžiu ant fasado, o toliau nuo viso tako – geležinkelio stotis. Kai jis pravažiavo MTS, pagal laikrodį paprastai buvo 7:30, o kai jis pasiekė stotį, laikrodis rodė 25 minutes iki 8:00.
Kada Borya išėjo iš namų ir kada atėjo į mokyklą?

72. Stadione
Išilgai bėgimo takelio vienodais atstumais viena nuo kitos dedama 12 vėliavėlių. Pradėkite nuo pirmosios vėliavos. Sportininkas buvo prie aštuntos vėliavos praėjus 8 sekundėms nuo bėgimo pradžios. Po kiek sekundžių pastoviu greičiu jis atsidurs prie dvyliktos vėliavėlės? Nepakliūkite į bėdą!

73. Ar tu laimėjai?
Ostapas grįžo namo iš Kijevo. Pirmąją kelionės pusę jis traukiniu keliavo 15 kartų greičiau nei eidamas pėsčiomis. Tačiau antrą pusę kelio jam teko važiuoti jaučiais – 2 kartus lėčiau nei eidamas.
Ar Ostapas gavo laiko, palyginti su vaikščiojimu?

74. Žadintuvas
Žadintuvas atsilieka 4 minutes. per valandą; Prieš 3,5 valandos buvo pristatytas tiksliai. Dabar laikrodis, rodantis tikslų laiką, yra lygiai 12.
Po kiek minučių žadintuvas taip pat parodys 12?

75. Vietoj mažų akcijų – didelės
Mašinų gamybos gamyklose yra labai įdomi profesija; Jis vadinamas raštininku. Rašytojas ant ruošinio pažymi linijas, kuriomis šis ruošinys turi būti apdorojamas, kad būtų suteikta reikiama forma.
Rašytojas turi spręsti įdomius ir kartais sudėtingus geometrinius uždavinius, atlikti aritmetinius skaičiavimus ir kt.
Reikėjo kažkaip paskirstyti 7 vienodas stačiakampes plokštes lygiomis dalimis tarp 12 dalių. Jie atnešė šiuos 7 įrašus raštininkui ir paprašė, jei įmanoma, užrašus pažymėti, kad nė vieno iš jų nereikėtų susmulkinti į labai mažus gabalėlius. Tai reiškia, kad paprasčiausias sprendimas – kiekvieną įrašą supjaustyti į 12 lygių dalių – nebuvo geras, nes susidarė daug mažų dalių. Kaip būti?
Ar galima šiuos įrašus padalinti į didesnes dalis? Skaleris susimąstė, atliko keletą aritmetinių skaičiavimų su trupmenomis ir vis dėlto rado ekonomiškiausią būdą padalinti šias plokštes.
Vėliau jis lengvai susmulkino 5 lėkštes, kad lygiomis dalimis paskirstytų šešias dalis, 13 lėkščių po 12 dalių, 13 lėkščių po 36 dalis, 26 – 21 ir t.t.
Kaip tai padarė barstytuvas?

76. Muilo gabalėlis
Ant vienos svarstyklių keptuvės uždedamas gabalėlis muilo, ant kitos – kitas kg to paties. Svarstyklės pusiausvyroje.
Kiek sveria juosta?

79. Mišos kačiukai
Jei Miša kur nors pamatys paliktą kačiuką, jis tikrai jį pasiims ir parneš namo. Jis visada augino kelis kačiukus, o kiek tiksliai nemėgo pasakyti, kad iš jo nesijuoktų.
Kartais jie jo klausia:
– Kiek kačiukų dabar turite?
„Truputį“, – atsako jis. – Trys ketvirtadaliai jų skaičiaus ir net trys ketvirtadaliai vieno kačiuko.
Draugai manė, kad jis tik juokauja. Tuo tarpu Miša jų paklausė problemos, kurią išspręsti buvo visai nesunku. Bandyti!

80. Vidutinis greitis
Pusę kelio arklys ėjo tuščias 12 km/h greičiu. Likusį kelią ji nuėjo su vežimėliu, įveikdama 4 km/val.
Koks yra vidutinis greitis, ty kokiu pastoviu greičiu arklys turėtų judėti, kad visą kelionę išnaudotų tiek pat laiko?

81. Miegantis keleivis
Kai keleivis nukeliavo pusę visos kelionės, jis nuėjo miegoti ir miegojo tol, kol nebeliko – nuvažiuoti pusę atstumo, kurį įveikė miegodamas. Kiek visos kelionės jis keliavo miegodamas?

82. Koks traukinio ilgis?
Du traukiniai važiuoja vienas prie kito lygiagrečiais bėgiais; vienas 36 km/h greičiu, kitas 45 km/h greičiu. Antrame traukinyje sėdintis keleivis pastebėjo, kad pirmasis traukinys jį aplenkė 6 sekundes. Koks yra pirmojo traukinio ilgis?

83. Dviratininkas
Dviratininkui nuvažiavus 2/3 kelio, sprogo padanga.
Likusioje kelionės dalyje jis du kartus daugiau laiko praleisdavo pėsčiomis nei važiuodamas dviračiu.
Kiek kartų dviratininkas važiavo greičiau nei ėjo?

84. Konkurencija
Tekotojai Volodya A. ir Kostja B. - metalo apdirbėjų profesinės mokyklos mokiniai, gavę iš meistro tą pačią aprangą detalių partijai gaminti, norėjo savo užduotis atlikti tuo pačiu metu ir anksčiau nei numatyta.
Tačiau po kurio laiko paaiškėjo, kad Kostja padarė tik pusę to, ką liko Volodia, o Volodia turėjo padaryti tik pusę to, ką jau padarė.
Kiek kartų dabar Kostja turėtų padidinti savo dienos našumą, palyginti su Volodya, kad savo užduotį atliktų tuo pačiu metu?

Antras skyrius
KONFIDENCIALIOS NUOSTATOS

87. Kalvio Hecho sąmojis
Praėjusią vasarą keliaudami po Gruziją kartais linksmindavomės sugalvodami visokių nepaprastų istorijų, įkvėptų kokio nors senovinio paminklo.
Kartą atėjome į vienišą senovinis bokštas. Apžiūrėjo ją, atsisėdo pailsėti. Ir tarp mūsų buvo matematikos studentas; jis iškart sugalvojo įdomią problemą:
„Prieš 300 metų čia gyveno piktas ir įžūlus princas. Princas turėjo dukrą-nuotaką, vardu Daridžanas. Princas pažadėjo savo Daridžaną kaip žmoną turtingai kaimynei, o ši įsimylėjo paprastą vaikiną kalvį Khečą. Darijanas ir Khecho bandė pabėgti į kalnus iš nelaisvės, bet jų tarnai Knyazevai juos sugavo.
Princas įsiuto ir nusprendė kitą dieną įvykdyti mirties bausmę, bet nakčiai liepė juos uždaryti į šį aukštą, niūrų, apleistą, nebaigtą statyti bokštą, o kartu su jais ir tarnaitę Darijaną, paauglę, padėjusią jiems pabėgti. .
Hecho bokšte jis nebuvo pasimetęs, apsidairė, užlipo laiptais į viršutinę bokšto dalį, pažiūrėjo pro langą – iššokti neįmanoma, sulaužysi. Tada Hechos prie lango pastebėjo statybininkų pamirštą virvę, permestą per surūdijusį bloką, sutvirtintą aukščiau.
langas. Prie virvės galų buvo pririšti tušti krepšiai, prie kiekvieno galo – po krepšį. Hecho prisiminė, kad šių krepšelių pagalba mūrininkai pakeldavo plytas aukštyn ir nuleisdavo griuvėsius žemyn, o jei krovinio svoris viename krepšyje apie 5-6 kg viršijo krovinio svorį kitame (išvertus į šiuolaikines priemones) , tada krepšelis gana sklandžiai nukrito ant žemės; kitas krepšelis tuo metu ėjo iki lango.
Hecho iš akies nustatė, kad Darijanas sveria apie 50 kg, tarnaitė ne daugiau kaip 40 kg. Hecho žinojo savo svorį – apie 90 kg. Be to, bokšte jis rado 30 kg sveriančią grandinę. Kadangi į kiekvieną krepšį tilpo žmogus ir grandinėlė ar net 2 žmonės, visi trys sugebėjo nusileisti ant žemės, o nusileido taip, kad nuleidžiamo krepšio svoris su žmogumi niekada neviršytų krepšio svorio. kylantis krepšelis daugiau nei 10 kg.
Kaip jie išlipo iš bokšto?

88. Katė ir pelės
Purro katė ką tik „padėjo“ savo jaunajam šeimininkui išspręsti problemas. Dabar jis saldžiai miega, o sapne mato save trylikos pelių apsuptyje. Dvylika pelių yra pilkos ir viena balta. Ir katė girdi, kažkas sako pažįstamu balsu: „Murk, tu turi valgyti kas tryliktą pelę, skaičiuodamas jas ratu visą laiką ta pačia kryptimi, kad būtų suvalgyta paskutinė balta pelė“.
Bet nuo kurios pelės pradėti, norint teisingai išspręsti problemą?
Padėkite Purr.

89. Degtukai aplink monetą
Katiną pakeiskime moneta, o peles – degtukus. Nuimti reikia visus degtukus, išskyrus atsuktą į monetą (35 pav.), laikantis tokios sąlygos: iš pradžių nuimti vieną degtuką, o paskui, judant ratu į dešinę, nuimti kas tryliktą degtuką.
Pagalvokite, kurį atitikmenį pirmiausia turite pašalinti.

90. Loteris krito ant siskino ir robino
Pasibaigus vasaros stovyklos laikotarpiui, pionieriai nusprendė paleisti jaunųjų paukštininkų sugautus plunksnuočius laukų ir giraičių gyventojus. Iš viso buvo 20 paukščių, kiekvienas atskirame narve. Vadovas pasiūlė:
- Sudėkite visus narvus su paukščiais į vieną eilę ir, pradedant iš kairės į dešinę, atidarykite kas penktą narvą. Pasiekę eilutės pabaigą, perkelkite rezultatą į eilutės pradžią, bet atviros ląstelės daugiau neskaičiuokite ir taip tęskite, kol atsidarys visos ląstelės, išskyrus kai kurias iš paskutinių dviejų. Šiuose narvuose esančius paukščius galima pasiimti su savimi į miestą.
Pasiūlymas buvo priimtas.
Daugumai vaikų nerūpėjo, kuriuos du paukščius pasiimti su savimi (jei visų jau buvo neįmanoma paimti), tačiau Tanya ir Alik norėjo, kad partija neklystų ant sisos ir raudonuko. Kai jie padėjo išdėstyti ląsteles iš eilės, jie prisiminė katės ir pelių problemą (88 problema). Jie greitai sugalvojo, kur dėti narvus su sisiokliu ir raudonėliu, kad šie konkretūs narvai liktų neatidaryti, ir uždėjo...
Tačiau jūs galite nesunkiai patys nustatyti, kur Tanya ir Alik padėjo narvus su oda ir raudonėliu.

91. Paskleisk monetas
Paruoškite 7 degtukus ir 6 monetas. Išdėliokite degtukus ant stalo su žvaigždute, kaip parodyta pav. 36. Pradėdami nuo bet kurio degtuko, suskaičiuokite trečiąjį pagal laikrodžio rodyklės judesį ir įdėkite monetą prie jos galvos. Tada vėl suskaičiuokite trečią degtuką ta pačia kryptimi, pradedant nuo bet kurio mačo, prieš kurį dar nėra monetos, ir taip pat įdėkite monetą prie galvos.
Taip elgdamiesi pabandykite visas 6 monetas išdėstyti šalia šešių degtukų galvučių. Skaičiuojant degtukus, nereikėtų praleisti tų, prie kurių jau padėta moneta;
reikia pradėti atgalinį skaičiavimą degtuku, prie kurio nėra monetos; Nedėkite dviejų monetų vienoje vietoje.
Kokios taisyklės reikia laikytis norint tikrai išspręsti problemą?

92. Praleisk keleivį!
Vienkelio geležinkelio pusstotyje sustojo traukinys, sudarytas iš garvežio ir penkių vagonų, pristatydamas darbininkų komandą naujos atšakos statybai. Kol kas šioje stotelėje buvo tik nedidelė aklavietė, kurioje esant reikalui sunkiai tilpo garvežys su dviem vagonais.
Ryžiai. 37. Kaip praleisti keleivį?
Netrukus po traukinio su statybininkų komanda prie tos pačios pusės stoties privažiavo keleivinis traukinys.
Kaip praleisti keleivį?

93. Problema, kuri kilo dėl trijų merginų kaprizų
Šios problemos tema turi garbingą receptą. Vaikščiojo trys mergaitės, kiekviena su savo tėčiu. Visi šeši priėjo prie nedidelės upės ir norėjo pereiti iš vienos pusės į kitą. Jų žinioje buvo tik viena valtis be irkluotojo, auginanti tik du žmones. Perplaukti, žinoma, būtų nesunku, jei merginos nei iš užgaidos, nei iš pokšto nebūtų pareiškusios, kad nė viena nesutiks plaukioti valtimi ar būti ant kranto. dar vieno ar dviejų žmonių tėčiai be jų tėčio. Merginos buvo mažos, bet ne itin mažos, kad kiekviena galėtų savarankiškai vairuoti valtį.
Taigi, netikėtai papildomos sąlygos perėjų, tačiau dėl linksmybių keliautojai nusprendė pabandyti jas užbaigti. Kaip jie pasielgė?

94. Tolesnis problemos vystymas
Juokinga kompanija saugiai perėjo į priešingą upės krantą ir atsisėdo pailsėti. Iškilo klausimas: ar tomis pačiomis sąlygomis būtų galima organizuoti keturių porų kirtimą? Netrukus paaiškėjo, kad išsaugant merginų iškeltas sąlygas (žr. ankstesnę problemą), keturių porų kirtimas gali būti atliktas tik tuo atveju, jei yra valtis, galinti pakelti tris žmones, ir tik 5 žingsniais.
Kaip?
Plėtodami problemos temą dar toliau, mūsų keliautojai pastebėjo, kad net ir laive, kuriame telpa tik du žmonės, galima perplaukti keturias mergaites su tėčiais iš vieno kranto į kitą, jei jo viduryje yra sala. upė, kurioje galite sustoti ir išlipti. Tokiu atveju galutiniam kirtimui reikia bent 12 kirtimų su ta pačia sąlyga, ty kad nei viena mergina nebus valtyje, saloje ar krante su kažkieno tėčiu be jos tėtis.
Raskite ir šį sprendimą.

95. Šaškių šokinėjimas
Padėkite 3 baltas šaškes į 1, 2, 3 langelius (38 pav.), o 3 juodas šaškes į 5, 6, 7 langelius. Naudodami laisvą langelį 4 perkelkite baltas šaškes į juodųjų vietą, o juodąsias. vienus į baltųjų vietą; tuo pat metu laikykitės šios taisyklės: šaškės gali būti perkeltos į gretimą laisvą kvadratą; taip pat leidžiama peršokti gretimą šaškę, jei už jos yra laisvas kvadratas. Baltos ir juodos šaškės gali judėti viena link kitos. Judėjimas priešinga kryptimi neleidžiamas. Problema išspręsta per 15 judesių.

96. Balta ir juoda
Paimkite keturias baltas ir keturias juodas šaškes (arba 4 varines ir 4 sidabrines monetas) ir padėkite juos ant stalo iš eilės, keisdami spalvas: balta, juoda, balta, juoda ir pan. Kairėje arba dešinėje palikite tokią laisvą vietą, kurioje tilptų ne daugiau kaip 2 šaškės (monetos). Naudodami laisvą vietą kiekvieną kartą galite maišyti tik dvi gretimas šaškes (monetas), nekeisdami jų santykinės padėties.
Pakanka atlikti 4 tokius šaškių porų judesius, kad visos juodos šaškės būtų iš eilės, o po to – visos baltos šaškės.
Pasižiūrėk!

97. Užduoties apsunkinimas
Didėjant iš pradžių paimtų šaškių (monetų) skaičiui, užduotis tampa sudėtingesnė.
Taigi, jei sudėsite 5 baltas ir 5 juodas šaškes iš eilės, keisdami jų spalvas, prireiks 5 ėjimų, kad sutvarkytumėte juodas šaškes su juodomis, o baltas – su balta.
Esant šešioms šaškių poroms, reikės atlikti 6 ėjimus; septynių porų atveju - 7 ėjimai ir tt Raskite penkių, šešių ir septynių šaškių porų uždavinio sprendimus.
Atminkite, kad pradinio šaškių išdėstymo metu kairėje (arba dešinėje) turėtumėte palikti laisvos vietos ne daugiau kaip dviem šaškėms ir kiekvieną kartą perkelti po 2 šaškes, nekeičiant jų santykinės padėties.

98. Kortelės sukraunamos skaitine tvarka
Iš kartono iškirpkite 10 4X0 si kortelių ir sunumeruokite jas skaičiais nuo 1 iki 10. Sudėję korteles, paimkite jas į ranką. Pradėdami nuo viršutinės kortos, padėkite pirmąją kortelę ant stalo, antrąją po krūvos apačia, trečią ant stalo, ketvirtą po krūvos apačia. Darykite tai visą laiką, kol visas kortas padėsite ant stalo.
Galime drąsiai teigti, kad kortelės nebus skaitine tvarka.
Pagalvokite apie seką, kuria iš pradžių reikia dėti korteles į krūvą, kad pagal nurodytą išdėstymą jos būtų išdėstytos skaičių tvarka nuo 1 iki 10.

99. Du vietos galvosūkiai
Pirmas galvosūkis. Dvylika šaškių (monetų, popieriaus lapelių ir kt.) nesunku išdėstyti ant stalo kvadratinio rėmelio pavidalu su 4 šaškėmis kiekvienoje pusėje. Tačiau pabandykite šias šaškes pastatyti taip, kad kiekvienoje aikštės pusėje jų būtų po 5.
Antras galvosūkis. Ant stalo išdėliokite 12 šaškių taip, kad 3 eilutės būtų suformuotos horizontaliai ir 3 eilutės vertikaliai ir kiekvienoje iš šių eilučių būtų po 4 šaškes.

100. Paslaptinga dėžutė
Miša vasarą praleido Arteke ir savo jaunesniajai seseriai Iročkai parsivežė gražią dėžutę, papuoštą 36 kriauklėmis. Ant dėžutės dangčio išdeginamos linijos taip, kad jos padalintų dangtį į 8 dalis.
Iročka dar nelanko mokyklos, bet gali suskaičiuoti iki 10. Labiausiai jai Mišos dovanoje patiko tai, kad išilgai dėžutės dangtelio kiekvienoje pusėje buvo lygiai po 10 kriauklių (40 pav.). Skaičiuodamas kriaukles išilgai šono, Irochka atsižvelgia į visus kriaukles, esančias skyriuje, esančiame šalia šios pusės. Kriauklės, esančios kampinėse dalyse, „Irochka“ skaičiuojamos iš abiejų pusių.
Kartą mama, šluoste šluostydama dėžutę, netyčia sutraiškė 4 lukštus. Dabar kiekvienoje dangčio pusėje nėra daugiau 10 apvalkalų. Koks nemalonumas! Ira ateis iš darželis ir labai nusiminusi.
Ryžiai. 40. Išilgai kiekvienos dėžutės dangčio pusės – po 10 kriauklių.
Ryžiai. 39. Kaip uždėti šias šaškes po 5 kiekvienoje pusėje?
- Bėda nėra didelė, - nuramino mamą Miša.
Jis atsargiai nulupo dalį kriauklių nuo likusių 32 ir taip sumaniai įklijavo juos atgal ant dėžutės dangčio, kad kiekvienoje jos pusėje vėl buvo po 10 kriauklių.
Praėjo kelios dienos. Vėl bėda. Dėžė nukrito, sulūžo dar 6 kriauklės; iš jų liko tik 26. Bet ir šį kartą Miša sugalvojo, kaip ant dangčio sudėlioti likusius 26 kriaukles, kad Iročka vis tiek turėtų po 10 kriauklių kiekvienoje pusėje. Tiesa, likusios kriauklės pastaruoju atveju negalėjo būti taip simetriškai paskirstytos ant dėžutės dangčio, kaip buvo išdėstytos anksčiau, tačiau Iročka į tai nekreipė dėmesio.
Raskite abu Mishinos sprendimus.

101. Drąsus "garnizonas"
Sniego tvirtovę saugo drąsus „garnizonas“. Vaikinai atmušė 5 šturmus, tačiau nepasidavė. Žaidimo pradžioje „garnizoną“ sudarė 40 žmonių. Sniego tvirtovės „komendantas“ iš pradžių išdėstė pajėgas pagal schemą, parodytą kvadratiniame langelyje dešinėje (centrinėje aikštėje – bendras „garnizono“ skaičius).
„Priešas“ pamatė, kad kiekvieną iš 4 tvirtovės pusių gynė po 11 žmonių. Pagal žaidimo sąlygas, per pirmą, antrą, trečią ir ketvirtą šturmą „garnizonas“ kaskart „prarasdavo“ po 4 žmones. Paskutiniame, penktajame, puolime „priešas“ sniego gniūžtėmis išjungė dar du žmones. Ir vis dėlto, nepaisant nuostolių, po kiekvieno šturmo abi sniego tvirtovės puses ir toliau gynė po 11 žmonių.
Kaip sniego tvirtovės „komendantas“ išdėstydavo savo garnizono pajėgas po kiekvieno šturmo?

104. Pasiruošimas šventei
Ankstesnių penkių užduočių geometrinė prasmė buvo išdėstyti objektus išilgai keturių tiesių (stačiakampio ar kvadrato kraštinių) taip, kad objektų skaičius kiekvienoje tiesėje išliktų toks pat, kai jų bendras skaičius pasikeitė.
Toks išdėstymas buvo pasiektas dėl to, kad visi objektai, esantys kampuose, buvo laikomi priklausančiais kiekvienai kampo pusei, kaip ir dviejų linijų susikirtimo taškas priklauso kiekvienai iš jų.
Jei darysime prielaidą, kad kiekvienas iš figūros šonuose esančių objektų užima tam tikrą tašką atitinkamoje pusėje, tai visi objektai, esantys kampuose, turi būti įsivaizduojami sutelkti viename taške (kampo viršuje).
Dabar atsisakykime net įsivaizduojamo objektų sankaupos viename geometriniame taške galimybės.
Darysime prielaidą, kad kiekvienas atskiras objektas (akmenukas, lemputė, medis ir kt.) iš esančių tam tikroje plokštumoje užima atskirą šios plokštumos tašką ir neapsiribosime reikalavimu išdėstyti šiuos objektus tik išilgai keturių tiesios linijos.
linijos. Jei šios sąlygos bus papildytos reikalavimu, kad sprendimas tam tikra prasme būtų simetriškas, tada objektų išdėstymo tiesiomis linijomis problemos įgis papildomo geometrinio susidomėjimo. Tokių problemų sprendimas dažniausiai veda prie kokios nors geometrinės figūros konstravimo.
Pavyzdžiui, kaip galite gražiai išdėstyti 10 lempučių 5 eilėse po 4 lemputes kiekvienoje eilėje, kurdami šventinį apšvietimą?
Atsakymą į šį klausimą pateikia penkiakampė žvaigždė, parodyta fig. 44.
Praktikuotis sprendžiant panašias problemas; stenkitės pasiekti simetriją norimoje vietoje.
1 uždavinys. Kaip išdėstyti 12 lempučių 6 eilėse po 4 lemputes kiekvienoje eilėje? (Ši problema turi du sprendimus.)
2 užduotis. Pasodinkite 13 dekoratyvinių krūmų 12 eilių po 3 krūmus kiekvienoje eilėje.
3 uždavinys. Trikampėje aikštelėje (45 pav.) sodininkas užaugino 16 rožių, išdėstytų 12 tiesių eilių po 4 rožes kiekvienoje eilėje. Tada jis paruošė gėlyną ir persodino visas 16 rožių į 15 eilių po 4 rožes? Kaip jis tai padarė?
4 užduotis. Išdėstykite 25 medžius į 12 eilių po 5 medžius kiekvienoje eilėje.
Ryžiai. 44. 5 eilutės iš 4.
Ryžiai. 45. Kaip padaryti 15 eilučių iš 4.

105. Ąžuoliukų sodinimas kitaip
Gražiai pasodinti 27 ąžuolai pagal pateiktą schemą
pav. 46, 9 eilėse, kiekvienoje eilėje po 6 ąžuolus, tačiau arboristas tokio išplanavimo neabejotinai atmestų. Ąžuolui saulės reikia tik iš viršaus, o iš šonų, kad būtų žalumos.
Jam patinka, kaip sakoma, augti su kailiniais, bet be kepurės, o tada 3 ąžuolai nušoko kažkur į šoną ir išlindo vienas!
Pabandykite šiuos 27 ąžuolus pasodinti kitaip, taip pat 9 eilėmis ir taip pat po 6 ąžuolus kiekvienoje eilėje, bet taip, kad visi medžiai būtų išdėstyti į tris grupes, o ne iš savo grupės; išsaugoti ir
nė vienas iš jų neatitiko išdėstymo simetrijos.

109. Dėlionės dovana
Yra toks žaislas: dėžutė; atidarote jį, o viduje vis dar yra dėžutė; atidarote, viduje vėl yra dėžutė.
Padarykite tokį žaislą iš keturių dėžučių. Į mažiausią vidinę dėžutę įdėkite 4 saldainius, į kitas dvi dėžutes – po 4 saldainius, į didžiausią – po 9 saldainius.
Taigi į keturias dėžutes bus dedamas 21 saldainis (53 pav.).
Šią saldainių dėžutę padovanokite draugui jo gimtadienio proga su sąlyga, kad jis nevalgys saldainių iki „jubiliejaus“ perskirstys 21 saldainį, kad kiekvienoje dėžutėje būtų lyginis saldainių porų skaičius ir dar viena.
Žinoma, prieš darydami šią dovaną, jūs pats turite „įkąsti“ šį galvosūkį. Turėkite omenyje, kad čia nepadės jokios aritmetikos taisyklės, tereikia būti protingam ir turėti šiek tiek sąmojingumo.

110. Riterio ėjimas
Jums nereikia mokėti žaisti šachmatais, kad išspręstumėte šį smagų šachmatų galvosūkį. Pakanka žinoti, kaip riterio figūrėlė juda lentoje. Ant šachmatų lentos dedami juodi pėstininkai (žr. schemą 54 pav.). Padėkite baltąjį riterį ant bet kurios norimos laisvos aikštės šachmatų lenta tokiu būdu, kad šis riteris galėtų pašalinti visus juodus pėstininkus nuo lentos, atlikdamas kuo mažiau riterio judesių.

113. Aštuonios žvaigždės
Viename iš baltųjų langelių Fig. 57 Padedu žvaigždutę.
Baltuosiuose langeliuose įdėkite dar 7 žvaigždutes, kad 2 žvaigždutės (iš aštuonių) nebūtų toje pačioje horizontalioje ar vertikalioje arba bet kurioje įstrižainėje.
Norint išspręsti problemą, žinoma, reikia bandymų, todėl papildomas problemos interesas yra ir žinomos sistemos įtraukimas į būtinų testų procesą.

114. Dvi raidžių išdėstymo problemos
Pirma užduotis. Kvadrate, padalytame į 16 vienodų kvadratų, išdėstykite 4 raides taip, kad kiekvienoje horizontalioje eilutėje, kiekvienoje vertikalioje eilutėje ir kiekvienoje iš dviejų didelio kvadrato įstrižainių būtų tik viena raidė. Kiek yra šios problemos sprendimų skaičius tuo atveju, kai dedamos raidės yra vienodos, ir tuo atveju, kai jos skiriasi?
Antra užduotis. Kvadrate, padalytame į 16 vienodų kvadratų, 4 kartus išdėliokite keturias raides a, b, c ir d taip, kad kiekvienoje horizontalioje eilutėje, kiekvienoje vertikalioje eilutėje ir kiekvienoje iš dviejų didžiųjų įstrižainių nebūtų identiškų raidžių. kvadratas. Kiek daug šios problemos sprendimų?

115. Spalvingų kvadratų išdėstymas
Paruoškite 16 vienodo dydžio, bet keturių skirtingų spalvų kvadratų, tarkime baltos, juodos, raudonos ir žalios – po 4 kvadratus kiekvienos spalvos. Turite keturis įvairių spalvų kvadratų rinkinius. Ant kiekvieno pirmojo rinkinio kvadrato parašykite skaičių 1, ant kiekvieno antrojo rinkinio kvadrato - 2, ant trečiojo rinkinio kvadratų - 3 ir ant ketvirto - 4.
Šiuos 16 daugiaspalvių kvadratų taip pat reikia išdėstyti kvadrato pavidalu ir taip, kad kiekvienoje horizontalioje eilutėje, kiekvienoje vertikalioje eilutėje ir kiekvienoje iš dviejų įstrižainių būtų kvadratai su skaičiais 1, 2 , 3 ir 4 bet kokia savavališka tvarka ir, be to, skirtingos spalvos.
Problema suteikia daug sprendimų. Pagalvokite apie reikiamų vietų gavimo sistemą.

119. Anekdotų problema
Kolia Sinichkin, vidurinės mokyklos 4 klasės mokinys, uoliai bando perkelti šachmatų riterį iš apatinio kairiojo šachmatų lentos kampo (iš lauko a \) į viršutinį dešinįjį kampą (lauke h8), kad riteris aplankytų kiekvieną lentos kvadratas vieną kartą. Kol jam pavyks. Bet ar jis bando išspręsti neišsprendžiamą problemą?
Supraskite tai teoriškai ir paaiškinkite Koliai Sinichkinui, kas čia yra.

120. Šimtas keturiasdešimt penkios durys (dėlionė)
Viduramžių feodalai savo pilių rūsius kartais paversdavo kalėjimais – labirintais su įvairiausiomis gudrybėmis ir paslaptimis: su slankiojančiomis kamerų sienomis, slaptais praėjimais, įvairiais spąstais.
Žiūri į tokią seną pilį ir nevalingai kyla noras pasvajoti.
Įsivaizduokite, kad viename iš šių rūsių, kurio planas parodytas 62 paveiksle, žmogus yra išmestas iš tų, kurie kovojo su feodalu. Įsivaizduokite tokią paslaptį šio rūsio statyboje. Iš 145 durų tik 9 užrakintos (62 pav. jos pažymėtos paryškintomis juostelėmis), o visos likusios plačiai atidarytos. Atrodo taip lengva prieiti prie durų, kurios veda į lauką, ir pabandyti jas atidaryti. Jo ten nebuvo. Neįmanoma atidaryti užrakintų durų, tačiau jos atsidarys pačios, jei bus lygiai devintos iš eilės, tai yra, jei 8 atviros durys. Tokiu atveju reikia atidaryti ir praeiti visas užrakintas požemio duris; kiekvienas iš jų taip pat atsidaro pats, jei prieš tai buvo pravažiuotos lygiai aštuonios atviros durys. Taip pat nepavyks ištaisyti klaidos ir pereiti pro 2 - 3 papildomas duris kaimynystėje, kad praleidžiamų durų skaičius padidėtų iki aštuonių: kai tik pravažiuosite bet kurią kamerą, visos anksčiau joje atidarytos durys sandariai uždaromos ir užrakinamos - antrą kartą nepraeiti pro kamerą. Feodalai tyčia taip sutvarkė.
Kalinys žinojo apie šią požemio paslaptį ir ant savo kameros sienos (plane pažymėtos žvaigždute) rado vinimi subraižytą tikslų požemio planą. Jis ilgai galvojo, kaip nubrėžti tinkamą maršrutą, kad kiekvienos užrakintos durys iš tiesų būtų devintos. Galiausiai jis išsprendė šią problemą ir išėjo į laisvę.
Kokį sprendimą rado kalinys?

121. Kaip kalinys buvo paleistas?
Norintys gali pagalvoti apie šią ankstesnės problemos versiją.
Įsivaizduokite, kad kazematą, kuriame merdi kalinys, sudaro 49 kameros.
Septyniose kamerose, požemio plane (63 pav.) pažymėtose raidėmis A, B, C, D, E, F ir G, yra po vienerias duris, kurias galima atidaryti tik raktu, o raktas kameros A durys yra kameroje a, kameros B durų raktas yra b kameroje, C, D, E, F ir G kamerų durų raktai yra c, d, e kamerose, f ir g atitinkamai.
Likusios durys atsidaro paprasčiausiai paspaudus rankeną, tačiau kiekvienoje durų pusėje yra tik rankena, o jas pravažiavus, durys užsitrenkia automatiškai. Kitoje durų pusėje rankenos nėra.
Požemių žemėlapis rodo, kuriuo keliu galima eiti pro visas be rakto atsidarančias duris, tačiau kokia tvarka reikia atidaryti užrakintas duris, nežinoma. Pro tas pačias duris leidžiama praeiti bet kokį skaičių kartų, žinoma, stebint, kokiomis sąlygomis jos atsidaro.
Kalinys yra kameroje O. Parodykite jam kelią, vedantį į išėjimą į laisvę.

ŠEŠTAS SKYRIUS
DOMINO IR KUBAS
A. Domino
197. Kiek taškų?
198. Du triukai
199. Žaidimo laimėjimas garantuotas
200. Rėmas
201. Rėmas kadre
202. „Windows“
203. Magiški domino kaulų kvadratai
204. Stebuklingas kvadratas su skylute
205. Domino daugyba
206. Atspėk numatomą domino kaulą
B. Kubas
207. Aritmetinis triukas su kauliukais
208. Pasislėpusių veidų taškų sumos spėjimas
209. Kokia tvarka yra kubeliai?

SEPTINTAS SKYRIUS
DEVYNŲ SAVYBĖS
210. Koks skaičius perbrauktas?
211. Paslėptas turtas
212. Įdomesni būdai rasti trūkstamą numerį
213. Vienu rezultato skaitmeniu nustatykite likusius tris
214. Atspėti skirtumą
215. Amžiaus nustatymas
216. Kokia paslaptis?

AŠTUNTAS SKYRIUS
SU ALGEBROS IR BE
217. Savitarpio pagalba
218. Tinginys ir velnias
219. Protingas kūdikis
220. Medžiotojai
221. Atvažiuojantys traukiniai
222. Tikėjimas spausdina rankraštį
223. Grybų istorija
224. Kas sugrįš pirmas?
225. Plaukikas ir kepurė
226. Du laivai
227. Išbandykite savo išradingumą!
228. Gėdos išvengta
229. Kiek kartų daugiau?
230. Motorlaivis ir hidroplanas
231. Dviratininkai arenoje
232. Suktojo Bykovo greitis
233. Džeko Londono kelionė
234. Dėl nesėkmingų analogijų galimos klaidos
235. Teisinis incidentas
236. Poromis ir trise
237. Kas jojo ant žirgo?
238. Du motociklininkai
239. Kuriame lėktuve yra Volodino tėvas?
240. Sulaužyti į gabalus
241. Dvi žvakės
242. Nuostabi įžvalga
243. „Teisingas laikas“
244. Laikrodis
245. Kiek valandų?
246. Kuriuo metu susitikimas prasidėjo ir baigėsi?
247. Seržantas rengia skautus
248. Pagal dvi ataskaitas
249. Kiek naujų stočių buvo pastatyta?
250. Pasirinkite keturis žodžius
251. Ar toks svėrimas leistinas?
252. Dramblys ir uodas
253. Penkiaženklis skaičius
254. Tu užaugi iki šimto metų be senatvės
255. Luko problema
256. Savotiškas pasivaikščiojimas
257. Viena paprastųjų trupmenų savybė

DEVINTAS SKYRIUS
MATEMATIKA BEVEIK BE SKAIČIAVIMŲ
258. Tamsiame kambaryje
259. Obuoliai
260. Orų prognozė (pokštas).
261. Miško diena
262. Kas turi kokį vardą?
263. Šaudymo varžybos
264. Pirkimas
265. Vieno skyriaus keleiviai
266. Sovietų armijos šachmatų turnyro finalas
267. Sekmadienis
268. Koks vairuotojo vardas?
269. Anglies istorija
270. Žolelių rinkėjai
271. Paslėptas padalijimas
272. Šifruoti veiksmai (skaitiniai galvosūkiai)
273. Aritmetinė mozaika
274. Motociklininkas ir motociklininkas
275. Pėsčiomis ir automobiliu
276. "Iš priešingai"
277. Aptikti padirbtą monetą
278. Loginis braižas
279. Trys išminčiai
280. Penki klausimai moksleiviams
281. Samprotavimas vietoj lygties
282. Sveikas protas
283. Taip ar ne?

DEŠIMTAS ​​SKYRIUS
MATEMATINIAI ŽAIDIMAI IR TOKAI
A. Žaidimai
284. Vienuolika daiktų
285. Paimti degtukus paskutinis
286. Net laimi
287. Jianshizi
288. Kaip laimėti?
289. Išdėstykite kvadratą
290. Kas pirmas pasakys „šimtas“?
291. Žaidimas kvadratais
292. Ova
293. „Matematika“ (itališkas žaidimas)
294. Stebuklingų kvadratų žaidimas
295. Skaičių sankirta
B. Triukai
296. Suplanuoto skaičiaus atspėjimas (7 gudrybės)
297. Nieko neklausęs atspėk skaičiavimų rezultatą
298. Kas kiek paėmė ir sužinojo
299. Vienas, du, trys bandymai... ir aš atspėjau teisingai
300. Kas paėmė gumą, o kas pieštuką?
301. Trijų sumanytų terminų ir sumos atspėjimas
302. Atspėk keletą sumanytų skaičių
303. Kiek tau metu?
304. Atspėk amžių
305. Geometrinis triukas (paslaptingas dingimas)

VIENUoliktokas SKYRIUS
SKAIČIŲ DALINTUMAS
306. Skaičius ant kapo
307. Dovanos Naujųjų metų proga
308. Ar gali būti toks skaičius?
309. Kiaušinių krepšelis (iš senos prancūziškos probleminės knygos)
310. Triženklis skaičius
311. Keturi laivai
312. Kasininkės klaida
313. Skaičių galvosūkis
314. Dalijimosi iš 11 ženklas
315. Sudėtinis dalijimosi iš 7, 11 ir 13 ženklas
316. Dalumo iš 8 kriterijaus supaprastinimas
317. Nuostabi atmintis
318. Sudėtinis dalijimosi iš 3, 7 ir 19 ženklas
319. Dvejetalio dalijamumas
320. Sena ir nauja apie dalijimąsi iš 7
321. Ženklo išplėtimas į kitus skaičius
322. Apibendrintas dalomumo testas
323. Dalomumo smalsumas

DVYLIKTA SKYRIUS
KRYSŠINĖS SUMOS IR stebuklingi kvadratai
A. Kryžiaus sumos
324. Įdomios grupuotės
325. "Žvaigždutė"
326. "Krištolas"
327. Vitrinų apdaila
328. Kam pasiseks pirmam?
329. Planetariumas
330. "Ornamentas"
B. Stebuklingi kvadratai
331. Ateiviai iš Kinijos ir Indijos
332. Kaip pačiam pasidaryti stebuklingą kvadratą?
333. Dėl požiūrių į bendrus metodus
334. Išradingumo tyrimas
335. „Stebuklingas“ žaidimas „15“
336. Netradicinis magiškas kvadratas
337. Kas yra centrinėje ląstelėje?
338. „Stebuklingi“ kūriniai
339. Aritmetinių įdomybių „Karstas“.
B. Magiškų kvadratų teorijos elementai
340. "Pridedant"
341. „Įprasti“ magiški ketvirtos eilės kvadratai
342. Skaičių parinkimas bet kokios eilės magiškiems kvadratams

TRYLIKOS SKYRIUS.
Smalsūs IR RIMTI SKAIČIAI
343. Dešimt figūrų (pastabėjimas).
344. Keletas įdomesnių pastebėjimų
345. Dvi įdomios patirtys
346. Skaičių karuselė
347. Momentinės daugybos diskas
348. Protinė gimnastika
349. Skaičių raštai
350. Vienas už visus ir visi už vieną
351. Skaitiniai radiniai
352. Stebint natūraliųjų skaičių eilutę
353. Erzinantis skirtumas
354. Simetrinė suma (nelaužyta veržlė)

KETUROLIOTOJI SKYRIUS
SKAIČIAI SENOVI, BET amžinai JAUNI
A. Pradiniai skaičiai
355. Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai
356. "Eratosteno sietelis"
357. Naujas „sietelis“ pirminiams skaičiams
358. Penkiasdešimt pirmųjų pirminių skaičių
359. Kitas būdas gauti pirminius skaičius
360. Kiek pirminių skaičių?
B. Fibonačio skaičiai
361. Viešas bylos nagrinėjimas
362. Fibonačio serija
363. Paradoksas
364. Fibonačio eilės skaičių savybės
B. Garbanoti skaičiai
365. Garbanotųjų skaičių savybės
366. Pitagoro skaičiai

PENkioliktokas SKYRIUS
GEOMETRINIS INTELEKTAS DARBE
367. Sėjos geometrija
368. Transportavimo plytų klojimo racionalizavimas
369. Geometro darbininkai

Savivaldybės biudžetas švietimo įstaiga

Saranpaulo vidurinė mokykla

Tiriamasis darbas matematika

Parengta:

3 klasės mokinys Frolovas Nikolajus,

Prižiūrėtojas:

Arteeva Antonina Andreevna,

Pradinės mokyklos mokytoja.

Saranpaul, 2017 m

Puslapis

Įvadas

Protingų užduočių vertė

Leonardo Fibonacci– matematikas, išradingai prisidėjęs prie uždavinių sprendimo

Užduočių skirstymas į „išradingumą“

Logikos užduotys

Kryžminimo užduotys

Perpylimo užduotys

Pasakų užduotys

Užduotys už išradingumą, už išradingumą

Skaičių serijos, galvosūkiai

Išvada

Bibliografija

Įvadas

Kūrybinė veikla yra stipriausias vaiko vystymosi impulsas. Potencialus genijus gyvena kiekviename žmoguje, tačiau ne visada žmogus jaučia genialumo buvimą. Kūrybinius gebėjimus būtina pradėti ugdyti kuo anksčiau.

Bet kokia matematinė išradingumo užduotis, nesvarbu, kokiam amžiui ji skirta, turi tam tikrą protinį krūvį, kuris dažniausiai užmaskuojamas linksmu siužetu, išoriniais duomenimis, problemos būkle ir pan. Atliekant įvairaus sudėtingumo užduotis, pramogos pritraukia vaikų dėmesį, suaktyvina mintis, sukelia nuolatinį susidomėjimą būsimomis sprendimo paieškomis. Medžiagos pobūdis lemia jos paskirtį: ugdyti bendruosius vaikų protinius ir matematinius gebėjimus, domėtis matematikos dalyku, pramogauti, o tai, žinoma, nėra pagrindinis.Sumanumo, išradingumo, iniciatyvumo ugdymas vykdomas aktyvioje protinėje veikloje, pagrįstoje tiesioginiu susidomėjimu.

Pramoginę matematinę medžiagą suteikia kiekvienoje užduotyje esantys žaidimo elementai, loginis pratimas, pramoga, nesvarbu, ar tai šachmatai, ar elementariausias galvosūkis. Pavyzdžiui, klausime: „Kaip sulenkti kvadratą ant stalo dviem pagaliukais? – jo pastatymo neįprastumas verčia susimąstyti ieškant atsakymo, įsitraukti į vaizduotės žaidimą.

Pramoginės medžiagos – žaidimų, uždavinių, galvosūkių – įvairovė suteikia pagrindą jas klasifikuoti, nors tokią įvairiapusę matematikų sukurtą medžiagą gana sunku suskirstyti į grupes.

Ją galima klasifikuoti pagal įvairius kriterijus: pagal turinį ir prasmę, psichinių operacijų pobūdį, taip pat bendrumo ženklą, orientuotis į tam tikrų įgūdžių ugdymą. Tokių grupių paskirstymo pagrindas yra tam tikros rūšies medžiagos pobūdis ir paskirtis.

Tikslas: Išstudijuoti problemų sprendimo būdus su išradingumu.

Užduotys:

1. Išstudijuoti temą „Uždavinių sprendimas išradingai“, išradingumo užduočių tipus ir jų sprendimo būdus.

2. Išradingai išspręskite kelių tipų užduotis, savarankiškai sudarykite tokių problemų sprendimo algoritmą.

Protingų užduočių vertė

Kūrybinė studentų veikla matematikos studijų procese visų pirma susideda iš uždavinių sprendimo. Gebėjimas spręsti problemas yra vienas iš lygio kriterijų matematinė raida studentams, visų pirma apibūdina studentų gebėjimą pritaikyti savo teorines žinias konkrečioje situacijoje.

Sprendžiant tradicines mokyklos problemas, joms spręsti pasitelkiamos tam tikros žinios, įgūdžiai ir gebėjimai siaurame programos medžiagos klausimų spektre. Kuriame žinomi būdai sprendimai riboja mokinių kūrybines paieškas.

Išradingumo uždavinys, skirtingai nei tradicinis, negali būti tiesiogiai išspręstas pagal jokį dėsnį. Išradingumo užduotys yra tokios, kurių matematikos kurse nėra Bendrosios taisyklės ir nuostatos, apibrėžiančios tikslią jų sprendimo programą. Vadinasi, reikia rasti sprendimą, kuris reikalauja kūrybiško mąstymo ir prisideda prie jo plėtojimo.

Išradingai sprendžiant problemas kyla ieškojimų įtampa ir atradimo džiaugsmas – svarbiausi tobulėjimo, kūrybinių pasiekimų veiksniai.

Užduočių vertė išradingumui yra labai didelė – mokinių gebėjimas spręsti nestandartines užduotis rodo:

1. ​ Gebėjimas mąstyti originaliai, taip pat turi didelę reikšmę formuojant ir plėtojant jų kūrybinius gebėjimus;

2. ​ Gebėjimas apibendrinti matematinę medžiagą, atskirti pagrindinį dalyką, atitraukti dėmesį nuo nereikšmingo, įžvelgti bendrą išoriškai skirtingą;

3. ​ Gebėjimas valdyti skaitinius ir simbolinius simbolius;

4. ​ Gebėjimas „nuosekliai, logiškai mąstyti“, siejamas su įrodymų, pagrindimo, išvadų poreikiu;

5. ​ Gebėjimas sumažinti samprotavimo procesą, mąstyti sulankstytose struktūrose;

6. ​ Mąstymo proceso grįžtamumo galimybė (perėjimas nuo tiesioginės prie atvirkštinės minties);

7. ​ Mąstymo lankstumas, gebėjimas pereiti nuo vienos psichikos operacijos prie kitos, laisvė nuo varžančios šablonų ir trafaretų įtakos. Ši mąstymo savybė yra svarbi kūrybinis darbas matematikai;

8. ​ Gebėjimas lavinti matematinę atmintį... yra atmintis, skirta apibendrinti, logika;

9. Gebėjimas vaizduoti erdves.

Net K.D.Ušinskis rašė, kad „... mokymasis, neturintis jokio susidomėjimo ir paimtas tik per prievartą... žudo mokinio troškimą mokytis, be kurio jis toli nenueis“.

Susidomėjimas yra galingas veiklos motyvatorius, jo veikiami visi psichiniai procesai vyksta ypač intensyviai, o veikla tampa įdomi ir produktyvi. Jos esmė – mokinio noras giliau ir nuodugniau įsiskverbti į atpažįstamą sritį, nuolatinis noras įsitraukti į jį dominančią temą.

Iš užduočių, skirtų išradingumui, atsiradimo istorijos

Nenuostabu, kad išradingumo užduotys tapo pramoga „visiems laikams ir tautoms“.Pirmasis pas mus atėjęs matematikos vadovėlis, tiksliau, jo​ 5 metrų ilgio sultyse, pasaulyje žinomose kaip „Londono papyrus“ arba „Ahmes papyrus“, yra 84, kartu su problemos sprendimu. Anot jo, pamokos vykdavo valstybinėje raštininkų mokykloje. Jau senovės egiptiečiai suprato, koks svarbus vaidmuo mokymosi procese​ vertė vaidina pramogos elementą ir tarp įtrauktų į „papi​ Rus Ahmes "buvo daug tokių užduočių. Taigi tūkstantmečius iš vienos kolekcijos​ Pramoginių matematikos problemų slapyvardis kitoje klajoja „problema se​ mano katės“ iš šio papiruso. Nepaisant trylikos tomų Euklido (III a. pr. Kr.) „Pradžia“, tapusio mokslinio griežtumo pavyzdžiu daugiau nei du tūkstantmečius, pramoginis matematikos elementas neišnyko Senovės Graikijoje ir ryškiausiai vaizduojamas Diofanto Aleksandriečio „Aritmetika“ (tikriausiai III a.). Viduramžiais italai Leonardo (Fibonacci) iš Pizos (XIII a.) ir Niccolò Tartaglia (XVI a.) paliko giliausią pėdsaką spręsdami problemas išradingai.

Matematinių pramogų kolekcijos, panašios į šiuolaikines, pradėjo atsirasti nuo XVII a. Tarp jų „Malonus ir linksmos užduotys svarstoma skaičiais“ matematiko ir poeto Gaspardo Claude’o Bache’o sieur de Meziriac bei kito prancūzų matematiko ir rašytojo Jacques’o Ozanamo „Matematinės ir fizinės pramogos“.

XIX amžiuje Prancūzų matematikas ir skaičių teoretikas Edouardas Lucasas paskelbė keturių tomų veikalą apie pramoginę matematiką, kuri tapo klasika. XIX ir XX amžių sandūroje. Didelį indėlį į pramoginės matematikos lobyną įnešė puikūs žaidimų ir galvosūkių išradėjai – talentingas savamokslis amerikietis Samas Loydas ir anglas Henry Ernestas Dudeney. Linksma matematika XX amžiaus antroji pusė neįsivaizduojama be visos serijos nuostabių knygų, kurias parašė garsus amerikiečių matematikas Martinas Gardneris. Būtent jo įvairūs matematiniai rašiniai, harmoningai derinantys mokslinį gylį ir gebėjimą pramogauti, milijonus žmonių visame pasaulyje (tarp jų ir mane) supažindino su tiksliaisiais mokslais ir, žinoma, su pramogine matematika.

Rusijoje tokie uždavinių rinkiniai kaip L. F. Magnitskio „Aritmetika“, E. I. Ignatjevo „Išradingumo sferoje“, „Gyvoji matematika“, „Pramoginė aritmetika“, „Pramoginga algebra“ ir „Pramoginga geometrija“ Ya. I. Perelmanas ir B. A. Kordemsky „Matematinis išradingumas“.

Leonardo Fibonacci – matematikas, išradingai prisidėjęs prie uždavinių sprendimo.

Leonardo Fibonacci gimė ir gyveno Italijoje Pizos mieste XII-XIII a. Jo tėvas buvo prekybininkas, todėl jaunasis Leonardo daug keliavo. Rytuose jis susipažino su arabų skaičių sistema; vėliau jis išanalizavo, aprašė ir pristatė Europos visuomenei savo garsiojoje knygoje.Liber Abaci » (« Sąskaitų knyga “). Prisiminkite, kad tuo metu Europoje buvo naudojami romėniški skaitmenys, kurie buvo siaubingai nepatogūs atlikti tiek sudėtinguose matematiniuose ir fizikiniuose skaičiavimuose, tiek dirbant su ir apskaita.

Leonardo Fibonacci pristatė arabiškus skaitmenis Europai , kurią iki šių dienų naudoja beveik visas Vakarų pasaulis.Perėjimas nuo romėnų sistemos prie arabų sistemos padarė perversmą matematikoje ir kituose moksluose glaudžiai su ja susijęs.

Sunku įsivaizduoti, koks būtų pasaulis, jei tuomet, XIII amžiuje, Fibonacci nebūtų išleidęs savo knygos ir europiečiams dovanojęs arabiškus skaitmenis. Įdomu tai, kad arabiškus skaitmenis naudojame nedvejodami, laikydami juos savaime suprantamu dalyku. Bet jei ne Leonardo Fibonacci, kas žino, kaip būtų susiklosčiusi istorijos eiga. Juk pristatymastraktatas arabiški skaičiai gerokai pakeitė viduramžių matematiką į gerąją pusę; jis pažengė į priekį, o kartu ir kitus mokslus, tokius kaip fizika, mechanika, elektronika ir kt. Atkreipkite dėmesį, kad būtent šie mokslai veda į priekį. Štai kodėl daugeliu atžvilgių istorijos eiga,Europos civilizacijos ir apskritai mokslo raidą lemia Leonardas Fibonačis .

Fibonačio skaičių serija

Antrasis išskirtinis Leonardo Fibonacci nuopelnas yraFibonačio skaičių serija . Manoma, kad ši serija buvo žinoma Rytuose, tačiau būtent Leonardo Fibonacci paskelbė šią skaičių seriją jau minėtoje knygoje „Liber Abaci“ (tai padarė norėdamas pademonstruoti triušių populiacijos dauginimąsi).

Vėliau paaiškėjo, kadši skaičių seka yra svarbi ne tik matematikoje, ekonomikoje, ir finansai, bet ir botanika, zoologija, fiziologija, medicina, menas, taip pat filosofija, estetika ir daug daugiau. nes civilizacija, ši skaičių serija tapo žinoma iš Leonardo Fibonacci, jis buvo pramintas „Fibonačio serija » arba "Fibonačio skaičiai ».

Fibonačio skaičių serijos formulė ir pavyzdys

Fibonačio sekojekiekvienas elementas, pradedant nuo trečiojo, yra ankstesnių dviejų elementų suma , nepaisant to, kad serija prasideda skaičiais 0 ir 1. Gaunama suma: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 …

Fibonacci yra legendinė matematikos, ekonomikos ir finansų figūra ; jis paskelbė arabiškus skaitmenis ir pristatė stebuklingą skaičių seriją.

Problemą sugalvojo italų mokslininkas Fibonacci, gyvenęs XIII a.
„Kažkas įsigijo porą triušių ir įdėjo į iš visų pusių aptvertą aptvarą. Kiek triušių bus per metus, jei darysime prielaidą, kad kiekvieną mėnesį pora atsiveda naują triušių porą, kuri taip pat pradeda vesti palikuonis nuo antrojo gyvenimo mėnesio?

Atsakymas: 377 poros Pirmą mėnesį jau bus 2 poros triušių: 1 pradinė pora, kuri atsivedė, ir 1 pora. Antrą triušių mėnesį bus 3 poros: 1 pradinė, vėl atsivedanti, 1 auganti ir 1 gimusi. Trečią mėnesį - 5 poros: 2 poros pagimdžiusios, 1 augančios ir 2 gimusios. Ketvirtąjį mėnesį - 8 poros: 3 poros pagimdžiusios, 2 augančios poros, 3 gimusios poros. Tęsiant svarstymą mėnesiais, galima nustatyti ryšį tarp triušių skaičiaus einamąjį ir ankstesnį mėnesį. Jei porų skaičių žymėsime per N, o per m - eilinį mėnesio skaičių, tada N m = N m-1 + N m-2 . Naudojant šią išraišką, triušių skaičius apskaičiuojamas pagal metų mėnesius: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,55, 89, 144, 233, 377.

Išradingumo užduočių klasifikacija

Esant tokioms problemoms, sprendėjas reikalingas ribotam svėrimų skaičiui, kad būtų galima lokalizuoti objektą, kuris skiriasi nuo kitų objektų svoriu. Taip pat šiame skyriuje aptariamos perpylimo užduotys, kurių metu reikia gauti tam tikrą kiekį skysčio naudojant tam tikro tūrio indus.

Surasti perteklių

Reikalinga galimybė derinti objektų grupes pagal tam tikras charakteristikas.

Tekstiniai uždaviniai skaičiavimams

Paprasti gyvenimo procesai, gebėjimas pritaikyti matematines žinias gyvenime.

Loginių klaidų paieškos užduotys, užduotys su gaudymu

Jie ugdo vertingą ir labai reikalingą sėkmingo žmogaus savybę – kritinį mąstymą. Mokymasis analizuoti būklę. Kartais atsakymas slypi pačioje problemoje.

Skaičių savybių priskyrimas ir operacijos su jais

Lytinių ir nelyginių skaičių savybė, teisingas skliaustų išdėstymas, skaitmenų išdėstymas skaičiuje, kuris atitinka tam tikras sąlygas. Skaičių dalijamumas. Veiksmai su skaičiais.

Kriptovaliutos

Matematinė rebusa, kurioje pavyzdys yra užšifruotas, kad būtų galima atlikti vieną iš aritmetinių operacijų. Šiuo atveju tie patys skaičiai užšifruojami ta pačia raide, o skirtingi skaičiai atitinka skirtingas raides.

Logikos ir samprotavimo užduotys

Užduotys, kurios nėra tiesiogiai susijusios su skaičiavimais, bet aktyviai lavina mąstymą.

Apie laiką

Apskaičiuokite datą naudodami užuominas, prisiminkite, kaip veikia laikrodis, arba nustatykite kieno nors amžių tik pagal užuominas.

Ant skaičių sekos

Atliekant šias užduotis, reikia išnarplioti principą, pagal kurį nustatoma tam tikra seka, ir ją tęsti.

Problemos su degtukais

Manipuliuojant degtukais būtina pasiekti norimą rezultatą. Dauguma šių užduočių yra tarp „nestandartinių“, reikalaujančių įgūdžių „įvertinti situaciją daugeliui netikėtu požiūriu arba įžvelgti sąlygoje galimybę panaudoti neakivaizdžius duomenis“.

galvosūkiai

Žaidimas, kuriame žodžiai, frazės ar visi teiginiai užšifruojami naudojant piešinius, sujungtus su raidėmis ir ženklais.

Šachmatai

Paprastai kiekviename kurso etape yra kelios šachmatų pamokos (mažiausiai 2). Pagrindinės figūros. Mokomės kurti veiksmingas strategijas, mąstyti, priimti pagrįstus ir racionalius sprendimus

Logikos užduotys

Sprendžiant korespondencijos „vienas su vienu“ loginius uždavinius, patogu duomenis įrašyti į lentelę, kur eilutės ir stulpelio sankirtoje dedame „+“ ženklą arba „-“ ženklą.

1. Penki klasiokai – Irena, Timūras, Camilla, Eldaras ir Zalimas tapo fizikos, matematikos, informatikos, literatūros ir geografijos moksleivių olimpiadų nugalėtojais. Yra žinoma, kad

Informatikos olimpiados nugalėtojas moko Ireną ir Timūrą dirbti kompiuteriu;

Camilla ir Eldaras taip pat susidomėjo informatika;

Timūras visada bijojo fizikos;

Kamilė, Timūras ir literatūros olimpiados nugalėtojas plaukia;

Timūras ir Kamilla pasveikino matematikos olimpiados nugalėtoją;

Irena apgailestauja, kad literatūrai laiko lieka mažai.

Kurią olimpiadą laimėjo kiekvienas iš šių vaikinų?

1 sprendimo būdas, naudojant lentelę

I T C E Z

F M I L G

Atsakymas: Irena yra matematikos olimpiados nugalėtoja. Timūras – geografijoje.

Kamilė – fizikoje Eldaras – literatūroje. Zalim – informatikos srityje

2. Trys merginos - Rosa, Margarita ir Anyuta konkurso metu pristatė jų užaugintų rožių, margučių ir našlaičių krepšelius. Mergina, auginusi ramunes, atkreipė Rosos dėmesį, kad nė vienas mergaičių vardas nesutampa su mėgstamų gėlių pavadinimais. Kokias gėles užaugino kiekviena iš mergaičių?

Sprendimas: samprotaujant

a) Anė neaugino našlaičių. b) Margarita neaugino ramunėlių c) Rožė neaugino rožių. Rožė gali augti tiek rožėmis, tiek našlaitėmis. Rožė rožių neaugino. Išvada: Rose užaugo našlaitės. Margarita augino rožes. Anė augino ramunes.

3. Keturi draugai – Ženija, Kostja, Dima ir Vadimas – gamino šventei dekoracijas. Kažkas gamino auksines popierines girliandas, kažkas raudonus rutuliukus, kažkas sidabrines popierines girliandas, kažkas – auksinius popierinius krekerius. Kostja ir Dima dirbo su tos pačios spalvos popieriumi, Zhenya ir Kostya gamino tuos pačius žaislus. Kas padarė dekoracijas?

Atsakymas:

4. Maša, Lida, Zhenya ir Katya groja skirtingais instrumentais – mygtuku akordeonu, fortepijonu, gitara, smuiku, bet kiekvienas ant vieno. Jie taip pat kalba užsienio kalbomis - anglų, prancūzų, vokiečių, ispanų, bet kiekviena yra vienoda. Kas groja kokiu instrumentu ir kokia užsienio kalba moka?

Kryžminimo užduotys

Pervažų užduotyse privaloma nurodyti veiksmų seką, kurioje atliekamas reikiamas kirtimas ir tenkinamos visos užduoties sąlygos.

Vilkas, ožka ir kopūstai. Ant upės kranto stovi valstietis su valtimi, o šalia – vilkas, ožka ir kopūstas. Valstietis turi persižegnoti ir vilką, ožką ir kopūstą vežti į kitą pusę. Tačiau, be valstiečio, į valtį dedamas arba tik vilkas, arba tik ožka, arba tik kopūstas. Negalima palikti vilko su ožka ar ožkos su kopūstais be priežiūros – vilkas gali suėsti ožką, o ožka – kopūstą. Kaip turėtų elgtis valstietis?

Atsakymas: valstietis gali vadovautis vienu iš dviejų algoritmų:

Atsakymas: Tegul M1 ir M2 yra berniukai, C1 ir C2 – kariai. Kryžminimo algoritmas gali būti toks:

1. M1 ir M2 –>
2. M1<–
3. C1 ->
4. M2<–
5. M1 ir M2 –>
6. M1<–
7. C2 ->
8. M2<–

Perpylimo užduotys

Šieužduotys yra praktiškos. Tokių problemų sprendimas lavina loginį mąstymą, verčia mąstyti, prieiti prie problemos sprendimo iš įvairių pusių, pasirinkti paprasčiausią, lengviausią būdą iš įvairių sprendimų. Norėdami tai padaryti, naudojant žinomų talpyklų indus, reikia išmatuoti tam tikrą skysčio kiekį. Paprasčiausias šios klasės problemų sprendimo būdas yra galimų variantų išvardijimas.Ir būtina nurodyti veiksmų seką, kurioje atliekamas reikalingas perpylimas ir tenkinamos visos sąlygos.

1. Kaip turint du 3 ir 5 litrų talpos kibirus, kaip iš čiaupo ištraukti 7 litrus vandens?

Atsakymas:

2. Piktoji pamotė nusiuntė savo podukrą prie šaltinio vandens ir pasakė: „Mūsų kibiruose yra 5 ir 9 litrai vandens. Paimkite juos ir atneškite lygiai 3 litrus vandens. Kaip podukra turėtų elgtis, kad įvykdytų šią užduotį?

Atsakymas:

Aukščiau aptartose perpylimo problemose buvo duoti du indai ir vanduo buvo pilamas iš vandens čiaupo.Yra sunkesnių užduočių, ne du laivai, o trys ar daugiau. Vanduo NĖRA imamas iš čiaupo. Esant tokioms problemoms, vandens jau yra kokiame nors inde, pavyzdžiui, didžiausiame. O vandenį pilsime į mažus indelius. Vandens negalima išpilti. Jei reikia ištuštinti indą, tada vandens perteklius pilamas į kitą indą. Dažniausiai didesnis indas yra saugykla, iš kurios imamas vanduo ir į jį pilamas vandens perteklius.

Pasakų užduotys

Tokių uždavinių sprendimas pagyvina matematiką. Noras padėti herojui bėdoje skatina protinę veiklą, ateityje sukelia norą skaityti kūrinį. Užuojauta atliekant tokias užduotis yra teigiamo herojaus pusėje. Gėris triumfuoja, blogis baudžiamas, neigiamos savybės išjuokamos.

viename iš jų sutiksite savo mirtį,

tau nieko neatsitiks,

trečiasis kelias nuves jus į Vasilisą Gražuolę.

Atminkite, kad visus tris užrašus padarė Nemirtingasis Koshchei. Ivanas numetė kamuolį ant žemės. Jis riedėjo, Ivanas nusekė paskui jį. Kiek ilgai, kiek trumpai Ivanas ėjo, bet priėjo prie didžiulio akmens. Ant akmens parašyta:

„Jei eisi į kairę, sutiksi savo mirtį“,

„Jei eisi į dešinę, išgelbėsi Vasilisą Gražuolę iš nelaisvės“, „Jei eisi tiesiai, tau kažkas nutiks“.

Sprendimas: trečias įrašas neteisingas – pakeliui Ivanui nieko nenutiks. Antras įrašas taip pat neteisingas, t.y. pakeliui į dešinę Ivanas neišgelbės Vasilisos Gražiosios. Taigi, likusiame kelyje (kelyje į kairę) Ivanas išgelbės Vasilisą Gražiąją.

2. Šeši plėšikai apiplėšė karalių Dadoną. Grobis pasirodė turtingas – mažiau nei šimtas vienodų luitų. Plėšikai grobį pradėjo dalyti po lygiai, tačiau vienas luitas pasirodė perteklinis. Plėšikai susimušė ir vienas iš jų muštynėse žuvo. Likusieji vėl pradėjo dalyti auksą, ir vėl vienas gabalas pasirodė nereikalingas. Ir vėl vienas iš plėšikų žuvo muštynėse. Ir taip toliau: kiekvieną kartą vienas luitas buvo perteklinis ir vienas iš plėšikų žuvo muštynėse. Galų gale liko vienas plėšikas, kuris mirė nuo žaizdų. Kiek buvo luitų?

Sprendimas:jei iš pradžių būtų buvę vienu baru mažiau, tada būtų įvykęs padalijimas. Skaičius, kuris yra mažesnis už 100 ir dalijasi iš 2, 3, 4, 5, 6 - 60. Taigi bendras luitų skaičius yra 60+1=61.

Užduotys išradingumui

1. Dvi mamos, dvi dukros ir močiutė su anūke. Kiek?

2. Butas buvo 3 kambarių. Padarė du iš vieno. Kiek kambarių yra bute?

3. Kaip išdėstyti 8 kėdes prie keturių kambario sienų, kad kiekvienoje sienoje būtų 3 kėdės?

Užduotys išradingumui

Kiek valandų diena ir naktis būna kartu?

Ant stalo buvo obuolys. Jis buvo padalintas į 4 dalis. Kiek obuolių yra ant stalo?

Sukonstruotos figūros keitimo užduotys

2. Iš pagaliukų padarykite tokią pat figūrėlę kaip paveikslėlyje. Išimkite 2 pagaliukus, kad susidarytumėte 6 kvadratus.

Skaičių serija

1,2,3,4,5,6…

1,4,16…

45,39,33,27…

0,3,8,15,24…

112,56,28,14…

galvosūkiai

Pakeiskite žvaigždutes skaičiais, kad visose eilutėse būtų įvykdytos lygybės ir kiekvienas skaičius paskutinėje eilutėje būtų lygus skaičių sumai stulpelyje, po kuriuo jis yra. Sprendimas:

11x10=110

6* : *7 = *

68:17 = 4

** +** =20

10+10= 20

* 2 -* = *

12- 4 = 8

*** +**=1**

101 +41+142

Problemos su geometriniu turiniu (vienažymės figūros)

Yra žinomas palyginimas: kažkas davė milijoną rublių kiekvienam, kuris nupiešia kitą figūrą. Bet piešiant buvo nustatyta viena sąlyga. Reikalavo, kad ši figūra būtų nupiešta vienu ištisiniu potėpiu, tai yra nenuimant tušinuko ar pieštuko nuo popieriaus ir nepadvigubinant nė vienos linijos, kitaip tariant, antrą kartą nubrėžtos linijos buvo neįmanoma.

Išvada

Matematikoje yra įvairių rūšių išradingumo užduočių:

Svėrimui ir perpylimui,

Loginės užduotys,

perpylimo užduotys,

kirtimo užduotis,

Problemos su geometriniu turiniu,

Rebusai, numerių serijos.

Tokių problemų sprendimo metodai yra loginė sąlygų analizė, tinkamų matematikos dėsnių parinkimas ir optimalus sprendimas.

Nėra universalaus būdo išradingai spręsti visokias problemas, kiekviena problema sprendžiama savaip.

Išradingumo užduotys padeda išmokti savarankiškai mąstyti, ugdyti logiką, domėtis matematika. Jų pagalba galite pajusti matematikos ryšį su realaus gyvenimo problemomis.

Išspręstos užduotys, su kuriomis susiduria darbo autorius, būtent:

Išstudijuoti temą „Problemų sprendimas išradingai“, išradingumo užduočių tipus ir jų sprendimo būdus;

Išspręskite kelių tipų užduotis dėl išradingumo, savarankiškai sudarykite tokių problemų sprendimo algoritmą.

Bibliografija

1. T.D. Gavrilova: „Pramoginė matematika“. Leidykla "Uchitel" 2008 m

2. E.G. Kozlova: „Pasakos ir užuominos“. Leidykla „Miros“ 1995 m

3. B. A. Kordemsky: „Matematinė išmonė“ Leidykla „Valstybinė techninės ir teorinės literatūros leidykla“ 1958 m.

4. Ya. I. Perelman: „Pramoginė algebra“. Leidykla „Šimtmetis“ 1994 m

5.R.M.Smullyan "Koks šios knygos pavadinimas?". Leidykla "Dom Meshcheryakova"

2007 m

7. http://matematika.gyn

8.www.smekalka.pp