Matematička domišljatost. Istraživački rad "math savvy" Dječji matematički pamet

Predgovor drugom izdanju 3

Prvo poglavlje
FUN CHALLENGES

Odjeljak I
1. Praznični pioniri 9.385
2. "Kameni cvijet" 10 385
3. Pokretne dame 11 385
4. U tri poteza 11,386
5. Count! 12 386
6. Put vrtlara 12.386
7. Morate razumjeti 13 386
8. Bez oklevanja 13.386
9. Dolje - gore 13 387
10. Prelazak rijeke (stari problem) 14.387
11. Vuk, koza i kupus 14.387
12. Razvaljati crne kuglice 15 388
13. Popravka lanca 15 388
14. Popravi grešku 16,390
15. Od tri - četiri (šala) 16.390
16. Tri i dva - osam (još jedan vic) 16.390
17 Tri kvadrata 16 390
18. Koliko dijelova? 17 390
19. Probajte! 17 391
20. Označavanje 17 391
21. Očuvati paritet 18,391
22. "Magični" trougao brojeva 18 391
23. Kako je 12 djevojaka igralo loptu 19 392
24. Četiri prave 20 392
25. Odvojiti koze od kupusa 20.392
26. Dva voza 21.392
27. Za vrijeme plime (šala) 21.393
28. Birajte 22 393
29. Pokvareni brojčanik 22 393
30. Nevjerojatan sat (kineska slagalica) 23,393
31. Tri u nizu 24 395
32. Deset redova 24 395
33. Lokacija kovanog novca 25 395
34. Od 1 do 19 26 395
35. Brzo ali pažljivo 26,396
36. Kovrdžavi rak 27 396
37. Cijena knjige 27.396
38. Nemirna muva 27,396
39. Manje od 50 godina 28.396
40. Dvije šale 28 396
41. Koliko imam godina? 29 396
42. Procijenite "na prvi pogled" 29 397
43. Sabiranje brzine - 29 397
44. U kojoj ruci? (matematički fokus) 31,397
45. Koliko ih ima? 31 398
46. ​​Iste cifre 31 398
47. Sto 31 398
48. Aritmetički dvoboj 32 398
49. Dvadeset 33 398
50. Koliko ruta? 33 399
51. Promijenite raspored brojeva 35 400
52. Različite radnje, isti rezultat 35402
53. Devedeset devet i sto 36.402
54. Demontažna šahovska tabla 36 402
55. Potraga za minama 36 402
56. Prikupite u grupe od 2 38 402
57. Prikupite u grupe od 3 39 402
58. Sat je stao 39 404
59. Četiri aritmetičke operacije 39 404
60. Zbunjen vozač 40 404
61. Za hidroelektrični kompleks Tsimlyansk 41.404
62. Isporuka hljeba na vrijeme 41 405
63. U prigradskom vozu 41 405
64. Od 1 do 1.000.000.000 41.405
65. Noćna mora navijača 42.406

Odjeljak II
66. Sati 43 406
67. Stepenište 43 407
68. Zagonetka 43 407
69. Zanimljivi razlomci 43 407
70. Koji je broj? 44 407
71. Put školarca 44 407
72. Na stadionu 44.407
73. Jeste li pobijedili? 44 407
74. Budilnik 44 407
75. Umjesto malih dionica, velikih 45.407
76. Sapun 45 408
77. Aritmetičke matice 45 408
78. Domine 46 409
79. Mišini mačići 48 409
80. Prosječna brzina 48 409
81. Putnik koji spava 48 409
82. Kolika je dužina voza? 48 409
83. Biciklista 48 409
84. Konkurencija 49 409
85. Ko je u pravu? 49 409
86. Za večeru - 3 tostirane kriške 50 410

Poglavlje drugo
POVJERLJIVE ODREDBE

87. Pamet kovača Hečo 51 410
88. Mačka i miševi 53 410
89. Poklapa se oko novčića 54 411
90. Žrijeb je pao na čiž i crvendać 54 411
91. Rasporedite kovanice 55 411
92. Pass putnik1 55 412
93. Problem koji proizlazi iz hira tri djevojke 56 412
94. Dalji razvoj zadaci 57 413
95. Skakanje dama 57 415
96. Bijela i crna 57 415
97. Komplikovanje problema 58 415
98. Karte su naslagane numeričkim redom 58 415
99. Dvije lokacijske zagonetke 59 417
100. Tajanstvena kutija 59 417
101. Hrabri "garnizon" 60 417
102. Fluorescentne sijalice u TV sali 61 419
103. Postavljanje zamoraca 62,421
104. Priprema za praznik 63 422
105. Različito sjedenje hrastova 65 423
106. geometrijske igre 65 423
107. Parni i neparni (slagalica) 68 424
108. Uredite raspored dama 69 424
109. Slagalica poklon 69 425
110. Vitez potez 70 425
111. Pokretne dame (2 slagalice) 71,425
112. Originalno grupisanje cijelih brojeva od 1 do 15 72 426
113. Osam zvjezdica 73 426
114. Dva problema za postavljanje slova 73 427
115. Raspored šarenih kvadrata 74 429
116. Zadnji čip 74 430
117. Prsten diskova 75 431
118. Klizači na klizalištu vještački led 76 431
119. Problem sa šalom 77 432
120. Sto četrdeset pet vrata (slagalica) 77 432
121. Kako je zatvorenik pušten? 79 432

Treće poglavlje
GEOMETRIJA NA šibicama

122. Pet zagonetki 85 433
123. Još osam zagonetki 86 433
124. Od devet utakmica 86 433
125. Spirala 87 433
126. Šala 87 433
127. Ukloni dva šibica 87 433
128 Fasada "kuće" 87 433
129 Vila 88 433
130 Trokuti 88 433
131 Koliko šibica treba ukloniti? 88 433
132 Vila 88 433
133 Ograda 88 433
134. Šala 89 433
135. "Strijela" 89 433
136. Kvadrati i rombovi 89 433
137. Različiti poligoni u jednoj figuri 89 433
138 Planiranje vrta 89 433
139 Jednaki dijelovi 90 433
140. Parket 91 433
141 Održan omjer površina 91 441
142. Pronađite obris figure 91 441
143 Nađi dokaz 92 441
144. Konstruiraj i dokaži 92 441

Četvrto poglavlje
PROBAJTE SEDAM PUTA, ISECI JEDNOM

145. U jednakim dijelovima 93 442
146. Sedam ruža na torti 95 443
147. Figure koje su izgubile svoj oblik 95 445
148. Savjet 96 445
149. Bez gubitaka! 96 445
150. Kada su nacisti upali u našu zemlju 97 447
151. Memoari električara 98 447
152. Sve ide na posao 99 447
153. Zagonetka 99 447
154. Izrežite potkovicu 99 447
155. U svakom dijelu - rupa 99 448
156. Iz "vrča" - kvadrat 100 448
157. Kvadrat od slova "E" 100 448
158. Prekrasna transformacija 100 449
159. Restauracija tepiha 101449
160. Skupa nagrada 101 449
161. Pomozi jadnom čovjeku! 102 449
162. Poklon za baku 103 451
163. Stolarski problem 104 451
164. A krznar ima geometriju! 104 452
165. Svaki konj, jedna štala 105 453
166. Više! 105 453
167. Transformacija mnogougla u kvadrat 106 453
168. Transformacija pravilnog šestougla u jednakostranični trokut 107 453

Poglavlje pet
VJEŠTINA ĆE NAĆI UPOTREBU SVUDA

169. Gdje je meta? 109 454
170. Pet minuta za razmišljanje 110 455
171. Nepredviđeni sastanak 110 455
172. Putni trougao Š 456
173. Pokušajte težiti 111 458
174. Transfer 112 458
175. Sedam trouglova 112458
176. Slike umjetnika 112 458
177. Koliko je teška boca? 113 459
178. Kocke 113 460
179. Limenka sačme 114 461
180. Gdje je došao narednik? 114 461
181. Odrediti prečnik trupca 115 461
182. Neočekivana poteškoća 115 461
183. Priča učenika tehničke škole 116 461
184. Da li je moguće ostvariti 100% uštede? 116 463
185. Na opružnoj vagi 117 463
186. Dizajnerska genijalnost 117 463
187. Mišin neuspjeh 117 465
188. Pronađite centar kružnice 119 465
189. Koja je kutija teža? 119 466
190. Stolarska umjetnost 120 466
191. Geometrija na lopti 120 466
192. Potrebna je velika domišljatost 121 467
193. Teški uslovi 121 468
194. Montažni poligoni 122 468
195. Zanimljiva metoda sastavljanja sličnih figura 125 469
196. Šarnirni mehanizam za konstruisanje pravilnih poligona 127 471

Šesto poglavlje
DOMINO I KOCKA

A. Domino
197. Koliko bodova? 132 471
198. Dva trika 133 471
199. Pobjeda u igri je zagarantovana 134 471
200. Okvir 135 472
201. Okvir u okviru 136 472
202. "Windows" 136 473
203. Magični kvadrati kostiju domino 137 473
204. Čarobni kvadrat sa rupom 141 473
205. Domino množenje 141473
206. Pogodi planiranu domino 142 473

B. Cube
207. Aritmetički trik sa igranje kockica 144 473
208. Pogađanje zbira bodova na skrivenim licima 145 477
209. Kojim redoslijedom su kocke? 145 478

Poglavlje sedmo
SVOJSTVA DEVETE

210. Koji je broj precrtan? 149 478
211. Skrivena imovina 152 479
212. Još nekoliko zabavnih načina da pronađete broj koji nedostaje 152,480
213. Na osnovu jedne cifre rezultata odredi preostale tri 154 480
214. Pogađanje razlike 154 481
215. Određivanje starosti 154 481
216. U čemu je tajna? 154 482

Osmo poglavlje
SA I BEZ ALGEBR

217. Međusobna pomoć 159.482
218. Lozavac i đavo 160 483
219. Pametno dijete 161 483
220. Lovci 161,483
221. Nadolazeći vozovi 162,484
222. Faith kuca rukopis 162,484
223. Priča o gljivama 163 484
224. Ko će se prvi vratiti? 164 484
225. Plivač i šešir 164.486
226. Dva broda 165 486
227. Testirajte svoju domišljatost! 165 487
228. Sramota spriječena 166.488
229. Koliko puta više? 166 488
230. Motorni brod i hidroavion 167.488
231. Biciklisti u areni 167.489
232. Brzina tokara Bykov 168 489
233. Putovanje Jackom Londonom 168.489
234. Zbog neuspješnih analogija moguće su greške169 490
235. Pravni incident 170 491
236. U parovima i trojkama 171.491
237. Ko je jahao konja? 171 491
238. Dva motociklista 171.492
239. U kom avionu je Volodinov otac? 172 492
240. Razbiti u komade 173 493
241. Dvije svijeće 173 493
242. Nevjerovatan uvid 173 493
243. Pravo vrijeme 174 493
244. Sati 174 494
245. Koliko je sati? 174 495
246. U koje vrijeme je sastanak počeo i kada se završio? 175 496
247. Narednik obučava izviđače 175.497
248. Prema dva izvještaja 176 498
249. Koliko je novih stanica izgrađeno? 176 498
250. Odaberite četiri riječi 177 498
251. Da li je takvo vaganje dozvoljeno? 177 499
252. Slon i komarac 178 500
253. Petocifreni broj 179500
254. Odrasti ćeš do sto godina bez starosti 179 500
255. Lukin problem 181 501
256. Neobičan hod, .181 502
257. Jedno svojstvo prostih razlomaka 182 504

Poglavlje devet
MATEMATIKA BEZ SKORO BEZ RAČUNA

U mračnoj sobi
Jabuke
Vremenska prognoza (šala)
šumski dan
Ko ima ime?
Takmičenje u preciznosti
Kupovina
Putnici u jednom kupeu
Finale šahovskog turnira Sovjetske armije
Nedjelja
Kako se zove vozač?
krivična istorija
Sakupljači bilja
Skrivena podjela
Šifrirane radnje (numeričke zagonetke)
Aritmetičko postavljanje pločica
Motociklista i konjanik
Pješice i automobilom
"od suprotnog"
Otkrivanje krivotvorenog novčića
Logic draw
tri mudraca
Pet pitanja za studente
Rezonovanje umjesto jednačine
By zdrav razum
Da ili ne?

Poglavlje deset
MATEMATIČKE IGRE I TOKOVI

A. Igre
284. Jedanaest stavki 201
285. Uzmi zadnje 202 utakmice
286. Čak osvaja 202
287. Jianshizi 202
288. Kako pobijediti? 204
289. Postavite kvadrat 205
290. Ko će prvi reći "sto"? 206
291. Igranje polja 206
292. Oya 209
293. "Matezatico" (italijanska igra) 212
294. Igra čarobnih kvadrata 213
295. Presjek brojeva 215

B. Trikovi
296. Pogađanje planiranog broja (7 trikova) 219
297. Pogodi rezultat proračuna ne pitajući ništa 224
298. Ko je koliko uzeo, saznao sam 226
299. Jedan, dva, tri pokušaja i pogodio sam 226 537
300. Ko je uzeo žvaku, a ko olovku? 227 537
301. Pogađanje tri zamišljena pojma i sume 227 537
302. Pogodi nekoliko zamišljenih brojeva 228 538
303. Koliko imaš godina? 229 538
304. Pogodite godine 229 538
305. Geometrijski fokus (misteriozni nestanak) 230 538

Jedanaesto poglavlje
DJELJIVOST BROJEVA

306. Broj na grobu 232 539
307. Pokloni za Novu godinu 233 540
308. Može li postojati takav broj? 233 540
309. Korpa jaja (iz stare francuske problemske knjige) 233 540
310. Trocifreni broj 234 540
311. Četiri broda 234 540
312. Greška blagajnika 234 540
313. Numerička slagalica 234 541
314. Znak djeljivosti sa 11 235 541
315. Kombinirani znak djeljivosti sa 7, 11 i 13 237 541
316. Pojednostavljenje testa djeljivosti sa 8 239 541
317. Nevjerovatna memorija 240 542
318. Kombinirani znak djeljivosti sa 3, 7 i 19. 242 543
319. Deljivost binoma 242 543
320. Staro i novo o djeljivosti sa 7,247,544
321. Proširenje znaka na druge brojeve 251 -
322. Uopšteni znak djeljivosti 252 -
323. Zanimljivost djeljivosti 254 -

Poglavlje dvanaest
Ukršteni zbroji i magični kvadrati

A. Unakrsne sume
324. Zanimljive grupe 256 545
325. "Asterisk" 257 545
326. "Kristal" 257 545
327. Dekoracija vitrine 258 545
328. Ko će prvi uspjeti? 258 545
329. "Planetarijum" 259 545
330. "Ornament" 259 545

B. Magični kvadrati
331. Stranci iz Kine i Indije 260 548
332. Kako sami napraviti magični kvadrat? 264 548
333. Na ulazu u uobičajene metode 266 549
334. Ispitivanje domišljatosti 271 549
335. "Čarobna" igra "15" 271 551
336. Netradicionalni magični kvadrat 272 553
337. Šta se nalazi u centralnoj ćeliji? 273 553
338. "Magija" djela 275 553
339. "Kovčeg" aritmetičkih kurioziteta 278 -
340. "Pored toga" 280 -
341. "Obični" magični kvadrati četvrtog reda 283 -
342. Izbor brojeva za magični kvadrat bilo kojeg reda 287 -

TRINAESTO POGLAVLJE ZANIMLJIVO I OZBILJNO U BROJKAMA
343. Deset cifara (zapažanja) 298 554
344. Još nekoliko zanimljivih zapažanja 300 555
345. Dva zanimljiva iskustva 302 555
346. Vrteška s brojevima 306 -
347. Disk za trenutno množenje 309 -
348 Mentalna gimnastika 310 -
349. Obrasci brojeva 312 557
350 Jedan za sve i svi za jednog 316 558
351. Numerički nalazi 319 559
352. Posmatranje niza prirodnih brojeva 326 560
353. dosadna razlika 339 -
354. Simetrični zbir (nerazbijena matica) 340 -

Poglavlje 14
BROJEVI DREVNI ALI ZAUVIJEK MLADI

A. Početni brojevi
355. Prosti i složeni brojevi 341 -
356. "Eratostenovo sito" 342 -
357. Novo "sito" za primarni brojevi 344 563
358. Pedeset prvih prostih brojeva 345 -
359. Drugi način da se dobiju prosti brojevi. 345-
360. Koliko prostih brojeva? 347

B. Fibonačijevi brojevi
361. Javni pretres 347 -
362. Fibonacci serija 351 -
363. Paradoks 352 564
364. Svojstva brojeva u Fibonačijevom nizu 355 -

B. Kovrčavi brojevi
365. Svojstva kovrčavih brojeva 360 -
366. Pitagorini brojevi 369 -

PETNAESTO POGLAVLJE GEOMETRIJSKA NAMJERA U RADU
367. Geometrija sjetve 372 -
368. Racionalizacija polaganja cigle za transport 375 -
369. Radni geometri 377

Prepoznata dva poglavlja:

PREDGOVOR DRUGOM IZDANJU
U radu, u učenju, u igri, u bilo kojoj stvaralačkoj aktivnosti, čovjeku je potrebna domišljatost, snalažljivost, nagađanje, sposobnost rasuđivanja – sve ono što naš narod prikladno definiše jednom riječju „pamet“. Domišljatost se može vaspitavati i razvijati sistematskim i postepenim vežbama, posebno rešavanjem matematičkih zadataka kako u školskom toku, tako i zadataka koji proizilaze iz prakse u vezi sa posmatranjem sveta stvari i događaja oko nas.
„Matematika“, rekao je M. I. Kalinjin, obraćajući se srednjoškolcima, „disciplinuje um, navikava na logično razmišljanje. Nije ni čudo što kažu da je matematika gimnastika uma.
Svaka porodica u kojoj roditelji brinu o organizaciji mentalni razvoj djeca i adolescenti osjećaju potrebu za odabranim materijalom kako bi svoje slobodno vrijeme ispunili korisnim, razumnim i dosadnim matematičkim vježbama.
Upravo za ovu vrstu vannastavnih aktivnosti, razgovora i zabave u slobodno veče, u krugu porodice i sa prijateljima, ili u školi na vannastavnim sastancima, namijenjena je „Matematička domišljatost“ – zbirka matematičkih minijatura: razni zadaci, matematičke igre, šale i trikovi koji zahtijevaju rad uma, razvijanje inteligencije i potrebnu logiku u zaključivanju.
U predrevolucionarno doba, zbirke E. I. Ignatieva "U carstvu genijalnosti" bile su nadaleko poznate. Sada su zastarjeli za našeg čitatelja i stoga se više ne objavljuju. Ipak, u ovim zbirkama postoje problemi koji još nisu izgubili svoju pedagošku i obrazovnu vrijednost. Neki od njih ušli su u Matematičku domišljatost nepromijenjeni, drugi s promijenjenim ili potpuno novim sadržajem.
Za matematičku domišljatost odabrao sam i po potrebi obradio probleme među onima koji su rasuti po stranicama obimne domaće i strane popularne literature, trudeći se, međutim, da ne ponovim probleme sadržane u popularnim knjigama Ya. I. Perelmana o zabavna matematika.
Ova vrsta matematičkih problema "male forme" ponekad nastaje kao nusproizvod ozbiljnog istraživanja naučnika; mnoge zadatke izmišljaju amateri, ali i učitelji, kao posebne vježbe za “mentalnu gimnastiku”. One, kao i zagonetke i poslovice, obično ne zadržavaju svoje autorstvo i postaju javno vlasništvo.
"Matematička pamet" je namenjena čitaocima sa najrazličitijim diplomama. matematička obuka:
za tinejdžera od 10 - 11 godina, koji pravi prve pokušaje samostalnog razmišljanja;
za srednjoškolca koji je strastven za matematiku,
i za odraslu osobu koja želi testirati i vježbati svoje nagađanje.
Sistematizacija zadataka po poglavljima je, naravno, vrlo proizvoljna; Svako poglavlje ima lake i teške zadatke.
Knjiga ima petnaest poglavlja.
Prvo poglavlje se sastoji od različitih tipova početnih vježbi "intrigantne" prirode, zasnovanih na nagađanju ili direktnim fizičkim radnjama (eksperiment), ponekad na jednostavnim proračunima u okviru aritmetike cijelih brojeva (prvi dio poglavlja) i razlomaka (drugi dio poglavlja). odjeljak). Donekle narušavajući klasifikacionu harmoniju knjige, izdvojio sam u prvom poglavlju neke od jednostavnih problema koji tematski pripadaju narednim poglavljima. To se radi u interesu onih čitatelja kojima je još uvijek teško samostalno razlikovati izvodljiv zadatak od nemogućeg. Rešavajući različite vrste zadataka u prvom poglavlju zaredom, moći će da se okušaju, a potom interesovanje za određenu temu prenesu na odgovarajuće zadatke narednih poglavlja.
Da bi se riješili problemi iz drugog poglavlja, vlastita matematička domišljatost i upornost moraju savladati sve vrste prepreka i predložiti izlaz iz teških situacija.
Treće poglavlje - "Geometrija na šibicama" - sadrži niz geometrijskih problema - zagonetki.
Poglavlje "Probaj sedam puta, jednom seci" sastoji se od zadataka za rezanje oblika.
Sadržaj zadataka poglavlja "Vještina će svugdje naći primjenu" povezan je sa praktičnim aktivnostima, sa tehnologijom.
Poglavlje pod naslovom "Matematika bez skoro nikakvih proračuna" sadrži probleme koji zahtijevaju lanac pametnog i suptilnog rasuđivanja za rješavanje.
Igre i trikovi su sakupljeni u posebnom poglavlju, a takođe su smešteni u celoj knjizi. Oni sadrže matematičku osnovu i nesumnjivo su uključeni u "carstvo domišljatosti".
Tri poglavlja: "Unakrsni zbroji i magični kvadrati", "Radoznali i ozbiljni u brojevima" i "Brojevi drevni, ali vječno mladi", posvećena su nekim znatiželjnim zapažanjima o brojčanim odnosima koji su se akumulirali u matematici od antičkih vremena do našeg vremena.
Završno poglavlje- dva kratka eseja o radnoj domišljatosti naroda naše domovine, radnika na poljima i u fabrikama.
Na raznim mjestima u knjizi čitaocu se nude male teme za samostalno istraživanje.
Na kraju knjige nalaze se rješenja problema, ali ne treba žuriti da ih istražite.
Svaki zadatak za "genijalnost" prožet je nekim "zestom" i u većini slučajeva je tvrd orah, koji nije tako lako, ali sve primamljiviji.
Ako ne uspijete odmah riješiti problem, možete ga privremeno preskočiti i prijeći na sljedeći ili na zadatke drugog odjeljka, drugog poglavlja. Vratite se na propušteni zadatak kasnije.
Matematička domišljatost nije knjiga za lako čitanje „u jednom dahu“, već za rad tokom možda niza godina, knjiga za redovnu mentalnu gimnastiku u malim porcijama, pratilac čitaoca u njegovom postepenom matematičkom razvoju.
Sav materijal knjige podređen je obrazovnom i obrazovnom cilju: da podstakne čitaoca na samostalno kreativno razmišljanje, da dodatno unapredi svoje matematičko znanje.
Drugo izdanje Matematičke pameti nije stereotipno ponavljanje prvog. Izvršene su potrebne izmjene u tekstu i rješenjima nekih problema; odvojeni zadaci se zamjenjuju novim - značajnijim; knjiga je redizajnirana.
Velike napore u cilju poboljšanja knjige uložio je urednik izdavačke kuće M. M. Hot.
Samostalno rješavajući probleme, čitatelji su u nekim slučajevima pronalazili dodatna ili jednostavnija rješenja i ljubazno su mi prenosili rezultate. Autori najzanimljivijih rješenja navedeni su na odgovarajućim mjestima u knjizi.
Nadam se da ću od čitalaca "Smekalke" dobiti povratne informacije i sugestije o daljem usavršavanju knjige, kao i sopstvenih originalnih problema i matematičkih materijala narodne umetnosti.
Adresa: Moskva, B-64, ul. Černiševskog, 31, ap. 53, Boris Anastasievich Kordemsky.
B. Kordemsky.

ZADACI

"Knjiga je knjiga, i pokreni svoj mozak"
V. Mayakovsky.

PRVO POGLAVLJE. FUN CHALLENGES

ODJELJAK I
Isprva testirajte i vježbajte svoju domišljatost na ovakvim problemima za čije rješavanje je potrebna samo svrsishodna upornost, strpljenje, domišljatost i sposobnost sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja cijelih brojeva.

1. Opservantni pioniri
Školarci - dječak i djevojčica - upravo su izvršili meteorološka mjerenja.
Sada se odmaraju na brežuljku i gledaju kako prolazi teretni voz.
Lokomotiva u usponu mahnito dimi i puše. Duž platna željeznica ravnomjerno, bez naleta vjetar duva.
- Koju su brzinu vjetra pokazala naša mjerenja? upita dječak.
- 7 metara u sekundi.
- Danas mi je ovo dovoljno da odredim kojom brzinom voz ide.
- Pa da, - sumnjala je devojka.
- A ti bolje pogledaj kretanje voza.
Djevojka je malo razmislila i shvatila u čemu je stvar.
I vidjeli su upravo ono što je naš umjetnik naslikao (sl. 1). Koja je bila brzina voza?
Rice. 1. Koliko je brz voz?

2. "Kameni cvijet"
Sjećate se talentovanog majstora "zanatlije" Danile iz bajke P. Bazhova "Kameni cvijet"?
Na Uralu kažu da je Danila, još kao student, izrezbario dva takva cvijeta (slika 2), čiji su listovi, stabljike i latice bili odvojeni, a od nastalih dijelova cvijeća bilo je moguće presavijati ploču u oblik kruga.
Probaj! Precrtajte cvjetove daniline na papir ili karton, izrežite latice, stabljike i listove i preklopite krug.

3. Pokretne dame
Stavite 6 dama na sto u nizu naizmenično - crni, bijeli, još jedan crni, drugi bijeli itd. (Sl. 3).
Rice. 3. Bijele dame treba da budu na lijevoj strani, a zatim crne.
Ostavite lijevo ili desno slobodno mjesto, dovoljno za četiri dama.
Dame je potrebno pomjeriti tako da su svi bijeli na lijevoj strani, a nakon njih svi crni. Istovremeno, trebate premjestiti dva obližnja dama na prazno mjesto odjednom, bez promjene redoslijeda u kojem leže. Da biste riješili problem, dovoljno je napraviti tri pokreta (tri poteza) *).
Ako nemate dame, koristite novčiće ili izrežite komade papira ili kartona.
*) Tema ovog problema dalje je razvijena u zadacima 96 i 97 (str. 57 i 58).

4. U tri poteza
Stavite 3 hrpe šibica na sto. U jednu gomilu stavite 11 šibica, u drugu 7, a u treću 6. Prilikom prebacivanja šibica s bilo koje hrpe na drugu, potrebno je izjednačiti sve tri hrpe tako da svaka ima 8 šibica. To je moguće jer je ukupan broj utakmica - 24 - djeljiv sa 3 bez ostatka; u ovom slučaju, potrebno je pridržavati se sljedećeg pravila: dozvoljeno je dodati tačno onoliko šibica na bilo koju gomilu koliko ih ima u njoj. Na primjer, ako ima 6 šibica na hrpi, tada joj se može dodati samo 6, ako ima 4 šibice na hrpi, onda joj se mogu dodati samo 4.
Problem se rješava u 3 poteza.

5. Count!
Provjerite svoje geometrijsko zapažanje: prebrojite koliko je trouglova na slici prikazanoj na sl. četiri.

6. Način vrtlara
Na sl. 5 je plan malog voćnjaka jabuka (tačke - stabla jabuka). Vrtlar je obradio sva stabla jabuka u nizu.
Rice. 5. Plan voćnjaka jabuka.
Počeo je od ćelije označene zvjezdicom i prošao jednu po jednu kroz sve ćelije, obje okupirane stablima jabuka i
slobodan, nikada se ne vraća u ćeliju. Nije hodao po dijagonalama i nije bio na zasjenjenim ćelijama, jer su tu bile smještene razne zgrade.
Po završetku obilaska, baštovan je završio na istom trgu sa kojeg je i krenuo.
Nacrtajte vrtlarov put u svoju bilježnicu.

7. Treba biti pametan
U korpi se nalazi 5 jabuka. Kako podijeliti ove jabuke na pet djevojaka tako da svaka djevojka dobije jednu jabuku, a jedna jabuka ostane u korpi?

8. Bez oklevanja
Recite mi, koliko mačaka ima u sobi, ako po jedna mačka sedi u svakom od četiri ugla sobe, 3 mačke sede nasuprot svake mačke, a mačka sedi na repu svake mačke?

9. Dolje - gore
Dječak je čvrsto pritisnuo rub plave olovke uz rub žute olovke. Jedan centimetar (dužine) pritisnute ivice plave olovke, računajući od donjeg kraja, obojen je bojom. Dječak nepomično drži žutu olovku, a plava, nastavljajući da je pritiska na žutu, spušta je za 1 cm, zatim je vraća u prethodni položaj, ponovo spušta za 1 cm i ponovo se vraća u prethodni položaj; 10 puta spušta i podiže plavu olovku 10 puta (20 pokreta).
Ako pretpostavimo da se za to vrijeme boja ne osuši i ne iscrpi, koliko će centimetara dužine žuta olovka biti zaprljana nakon dvadesetog pokreta?
Bilješka. Ovaj problem izmislio je matematičar Leonid Mihajlovič Rybakov na putu kući nakon uspješnog lova na patke. Šta ga je navelo da napiše problem, pročitaćete na strani 387 nakon što rešite problem.

10. Prelazak rijeke (stari problem)
Mali vojni odred prišao je rijeci kroz koju je trebalo preći. Most je slomljen, a rijeka je duboka. Kako biti? Odjednom, policajac primjećuje dva dječaka blizu obale kako se zabavljaju u čamcu. Ali čamac je toliko mali da ga može prijeći samo jedan vojnik ili samo dva dječaka - ne više! Međutim, svi vojnici su ovim čamcem prešli rijeku. Kako?
Riješite ovaj problem "u svojoj glavi" ili praktično - pomoću dama, šibica ili nečeg sličnog i pomjerajući ih po stolu kroz zamišljenu rijeku.

11. Vuk, koza i kupus
Ovo je takođe stari problem; nalazi se u spisima iz 8. veka. Ima fantastičan sadržaj.
Rice. 6. Bilo je nemoguće ostaviti vuka i kozu bez čoveka...
Određena osoba je trebala čamcem preko rijeke prevesti vuka, kozu i kupus. U čamac je mogao stati samo jedan čovjek, a s njim ili vuk, ili koza, ili kupus. Ali ako ostavite vuka s kozom bez čovjeka, onda će vuk pojesti kozu, ako ostavite kozu sa kupusom, onda će koza jesti kupus, a u prisustvu čovjeka "niko nikog nije jeo." Čovjek je i dalje prevozio svoj teret preko rijeke.
Kako je to uradio?
U uskom i veoma dugačkom žlijebu nalazi se 8 lopti: četiri crne na lijevoj strani i četiri bijele nešto većeg prečnika na desnoj strani (sl. 7). U srednjem dijelu korita nalazi se mala niša u zidu u koju može stati samo jedna kugla (bilo koja). Dvije kugle se mogu postaviti jedna pored druge preko žlijeba samo na mjestu gdje se nalazi niša. Lijevi kraj žlijeba je zatvoren, dok desni kraj ima rupu kroz koju može proći svaka crna kugla, ali ne bijela. Kako otkotrljati sve crne kuglice iz žlijeba? Nije dozvoljeno vađenje loptica iz žlijeba.

13. Popravka lanca
Znate li o čemu je mladi majstor razmišljao (Sl. 8)? Ispred njega je 5 karika lanca, koji se moraju spojiti u jedan lanac bez korištenja dodatnih prstenova. Ako, na primjer, otkovate prsten 3 (jedna operacija) i zakačite ga na prsten 4 (još jedna operacija), zatim otkovjete prsten 6 i zakačite prsten 7, itd., tada će biti ukupno osam operacija, a master nastoji iskovati lanac uz pomoć samo šest operacija. On je uspio. Kako je postupio?

14. Ispravite grešku
Uzmite 12 šibica i iz njih izložite "jednakost" prikazanu na sl. 9.
Rice. 9. Ispravite grešku pomjeranjem samo jedne šibice.
Jednakost, kao što vidite, nije tačna, jer se ispostavilo da je 6 - 4 = 9.
Pomjerite jednu šibicu tako da dobijete tačnu jednakost.

15. Od tri - četiri (šala)
Na tabeli su 3 utakmice.
Bez dodavanja nijednog podudaranja, napravite tri do četiri. Ne možete lomiti šibice.

16. Tri da dva - osam (još jedan vic)
Evo još jedne slične šale. Možete ga ponuditi svom prijatelju.
Stavite 3 šibice na sto i pozovite prijatelja da im doda još 2 tako da dobijete osam. Naravno, ne možete lomiti šibice.

17. Tri kvadrata
Od 8 štapića (na primjer, šibica), od kojih su četiri upola kraće od ostala četiri, trebate napraviti 3 jednaka kvadrata.

18. U tokarskoj radnji pogona, dijelovi se okreću od olovnih zareza. Iz jedne praznine - detalj. Strugotine koje nastaju prelivanjem šest dijelova mogu se: rastopiti i pripremiti za još jedan blank. Koliko se dijelova može napraviti na ovaj način od 36 olovnih blankova?

19. Probajte!
U kvadratnoj plesnoj dvorani postavite 10 stolica uz zidove tako da na svakom zidu bude jednak broj stolica.

20. Uređenje zastava
Komsomolci su izgradili malu međukolhoznu hidroelektranu. Do dana puštanja u pogon, pioniri ukrašavaju spoljašnjost elektrane sa sve četiri strane vijencima, sijalicama i zastavama. Zastava je bilo malo, samo 12.
Pioniri su ih prvo postavili po 4 sa svake strane, kao što je prikazano na dijagramu (Sl. 10), a zatim su shvatili da mogu postaviti istih 12 zastava 5 ili čak 6 na svaku stranu. Drugi projekat im se više dopao i odlučili su stavite 5 kvadratića.
Pokažite na dijagramu kako su pioniri poređali 12 zastava, po 5 na svaku od četiri strane, i kako su im mogli rasporediti 6 zastava.

21. Očuvati paritet
Uzmite 16 nekih predmeta (papir, kovanice, šljive ili dame) i posložite ih po 4 u niz (slika 11). Sada uklonite 6 komada, ali tako da ostane paran broj stavki u svakom horizontalnom i u svakom vertikalnom redu. Uklanjanjem različitih 6 komada možete dobiti različita rješenja.

22. "Magični" trougao brojeva
Na vrhove trougla sam stavio brojeve 1, 2 i 3, a ti ćeš brojeve 4, 5, 6, 7, 8, 9 postaviti na stranice trougla tako da zbir svih brojeva na svakom strana trougla je 17. Ovo nije teško, kao što sam predložio Koji brojevi treba da budu postavljeni na vrhovima trougla. 2
Mnogo duže ćete morati da petljate ako vam unapred ne kažem koje brojeve treba postaviti na vrhove trougla, i predložim da ponovo postavite brojeve
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
svaki po jednom, duž stranica i na vrhovima trougla, tako da je zbir brojeva na svakoj strani trougla 20.
Kada dobijete željeni raspored brojeva, tražite sve nove i nove rasporede. Uvjeti zadatka mogu se ispuniti za širok raspon rasporeda brojeva.

23. Kako je 12 djevojaka igralo loptu
Dvanaest djevojaka je stalo u krug i počelo se igrati loptom. Svaka djevojka je bacila loptu svom susjedu s lijeve strane. Kada je lopta obišla cijeli krug, bačena je u suprotnom smjeru. Nakon nekog vremena, jedna djevojka je rekla:
- Bolje da bacimo loptu kroz jednu osobu.
„Ali pošto nas je dvanaestoro, polovina devojaka neće učestvovati u igri“, oštro je prigovorila Nataša.
- Onda ćemo baciti loptu kroz dva! (Svaki treći hvata loptu.)
- Još gore: samo četiri će igrati... Ako želite da sve djevojke igraju, morate baciti loptu kroz četiri (peta hvata). Ne postoji druga kombinacija.
- A ako baciš loptu kroz šest ljudi?
- Biće to ista kombinacija, samo će lopta ići u suprotnom smeru.
- A ako igrate u deset (svaki jedanaesti uhvati loptu)? pitale su devojke.
Ovako smo već igrali...
Djevojčice su počele crtati dijagrame svih predloženih načina igre i vrlo brzo su se uvjerile da je Natasha u pravu. Samo jedna šema igre (osim početne) pokrivala je sve učesnike bez izuzetka (Sl. 13, a).
Sada, kada bi igralo trinaest devojaka, lopta bi se mogla baciti kroz jednu (slika 13, b), i kroz dve (slika 13, c), i kroz tri (slika 13, d), i kroz četiri ( 13, e), i svaki put bi igra obuhvatila sve učesnike. Saznajte da li je sa trinaest igrača moguće baciti loptu kroz petoro ljudi?
Da li je moguće baciti loptu kroz šest osoba sa trinaest igrača? Razmislite i nacrtajte odgovarajuće dijagrame radi jasnoće.

24. Četiri ravne linije
Uzmite list papira i nacrtajte cca. 14. Ima devet tačaka tako da su raspoređene u obliku kvadrata, kao što je prikazano na sl. 14. Sada precrtajte sve tačke sa četiri ravne linije, ne dižući olovku sa papira.

25. Odvojite koze od kupusa
Sada riješite problem koji je u nekom smislu suprotan od prethodnog. Tamo smo spojili tačke pravim linijama, a ovdje trebamo nacrtati 3 ravne linije kako bismo odvojili koze od kupusa (slika 15). Na crtežu knjige ne treba crtati ravne linije.
Ponovo nacrtajte raspored koza i kupusa u svojoj bilježnici, a zatim pokušajte riješiti problem. Ne možete uopće crtati linije, već koristite igle za pletenje ili tanke žice.

26. Dva voza
Brzi voz je krenuo iz Moskve za Lenjingrad i išao je non-stop brzinom od 60 kilometara na sat. U susret mu je izašao još jedan voz iz Lenjingrada u Moskvu i takođe je išao non-stop brzinom od 40 kilometara na sat.
Koliko će ovi vozovi biti udaljeni 1 sat prije nego se sretnu?

27. Na plimu (šala)
Nedaleko od obale nalazi se brod sa ljestvama od užadi porinute uz bok. Stepenice imaju 10 stepenica; razmak između stepenica je 30 cm. Najniži stepenik dodiruje površinu vode. Okean je danas veoma miran, ali plima dolazi i raste
Bila su dva broja i voda za svaki sat po 15 cm Nakon koliko vremena će treći stepenik merdevina od užadi biti prekriven vodom?

28. Dial
a) Podijelite brojčanik sa dvije prave linije na tri dijela tako da sabiranjem brojeva u svakom dijelu dobijete isti iznos.
b) Može li se ovaj brojčanik podijeliti na 6 dijelova tako da u svakom dijelu zbroji ova dva broja u svakom od šest dijelova budu međusobno jednaki?

29. Polomljen brojčanik
U muzeju sam vidio stari sat sa rimskim brojevima na brojčaniku, a umjesto poznatog broja četiri (IV) bila su četiri štapa (IIII). Pukotine nastale na brojčaniku podijelile su ga na 4 dijela, kao što je prikazano na sl. 17. Zbirci brojeva u svakom dijelu nisu bili isti: u jednom - 21, u drugom - 20, u trećem - 20, u četvrtom - 17.
Primijetio sam da bi s malo drugačijim rasporedom pukotina zbir brojeva u svakom od četiri dijela brojčanika bio 20. Sa novim rasporedom pukotina, možda neće proći kroz centar brojčanika. Ponovo nacrtajte brojčanik sata u svojoj bilježnici i pronađite ovu novu lokaciju pukotina.
Rice. 17. Pukotine su podijelile brojčanik na 4 dijela.

30. Nevjerovatan sat (kineska slagalica)
Jednom je urar hitno zamoljen da uđe u jednu kuću.
- Ja sam bolestan - odgovori časovničar - i ne mogu da idem. Ali ako je popravka jednostavna, poslat ću vam svog šegrta.
Ispostavilo se da je bilo potrebno zamijeniti polomljene strelice drugim.
"Moj šegrt može ovo da uradi", reče majstor. - On će provjeriti mehanizam vašeg sata i odabrati nove kazaljke za njega.
Šegrt je vrlo marljivo obavljao svoj posao, a kad je završio s ispitivanjem sata, već je bio mrak. Smatrajući da je posao završen, žurno je stavio podignute kazaljke i stavio ih na sat: veliku kazaljku na broj 12, a malu na broj 6 (bilo je tačno 18 sati).
Ali ubrzo nakon što se šegrt vratio u popravljačku sobu da obavesti predradnika da je posao obavljen, zazvonio je telefon. Dječak je podigao slušalicu i čuo ljutiti glas mušterije:
- Loše ste popravili sat, pogrešno pokazuje vreme.
Majstorov šegrt, iznenađen ovom porukom, požuri do kupca. Kada je stigao, sat koji je popravio pokazao je početak devetog. Student je izvadio džepni sat i pružio ga ljutom vlasniku kuće:
- Provjerite, molim. Vaš sat nikad ne zaostaje.
Zapanjeni kupac je bio primoran da se složi da je njegov sat unutra ovog trenutka zaista pokazuje tačno vreme.
Ali sledećeg jutra mušterija je ponovo nazvala i rekla da su kazaljke na satu, očigledno, poludele i šetale su oko brojčanika kako im je volja. Majstorov šegrt je otrčao do kupca. Sat je pokazivao početak osme. Provjeravajući vrijeme na satu, bio je ozbiljno ljut:
- Smeješ mi se! Vaš sat pokazuje tačno vreme!
Sat je zaista pokazivao tačno vreme. Ogorčeni učiteljev učenik je hteo odmah da ode, ali ga je majstor obuzdao. I nakon nekoliko minuta pronašli su uzrok tako nevjerovatnih incidenata.
Zar niste pogodili šta se ovde dešava?

31. Tri u nizu
Na stolu rasporedite 9 dugmadi u obliku kvadrata, po 3 dugmeta sa svake strane i jedno u sredini (sl. 18). Imajte na umu da ako postoje dva ili više dugmadi duž bilo koje prave linije, onda ćemo takav raspored uvijek zvati "red". Dakle, AB i CD su redovi, od kojih svaki ima 3 dugmeta, a EF je red koji sadrži dva dugmeta.
Rice. 18. Koliko redova ima?
Odredite koliko je redova od po 3 dugmeta na slici i koliko takvih redova, od kojih svaki ima samo 2 dugmeta.
Sada uklonite bilo koja 3 dugmeta i rasporedite preostalih 6 u 3 reda tako da u svakom redu budu po 3 dugmeta.

32. Deset redova
Lako je pogoditi kako rasporediti 16 dama u 10 redova po 4 dama u svakom redu. Mnogo je teže rasporediti 9 dama u 10 redova tako da u svakom redu budu po 3 dama.
Riješite oba problema.

33. Lokacija kovanica
Na listu praznog papira nacrtajte figuru prikazanu na sl. 19, povećavajući njegovu veličinu za 2-3 puta, i pripremite 17 kovanica sljedećeg apoena:
20 kopejki - 5 komada,
15 kopejki - 3 komada,
10 kopejki - 3 komada,
5 kopejki - 6 komada.
Rice. 19. Rasporedite novčiće na kvadrate ove figure.
Rasporedite pripremljene novčiće na kvadrate nacrtane figure tako da zbir kopejki duž svake prave linije prikazane na slici bude 55.

34. Od 1 do 19
U devetnaest krugova na sl. 20 je potrebno da se 19 rasporedi tako da zbir brojeva u bilo koja tri kruga koji leže na istoj pravoj liniji bude jednak 30.

35. Brzo, ali oprezno
Riješite sljedeća 4 zadatka "na brzinu" - ko će brže dati tačan odgovor:

Zadatak 1. U podne autobus sa putnicima kreće iz Moskve za Tulu. Sat vremena kasnije, biciklista odlazi iz Tule za Moskvu i vozi se istim autoputem, ali, naravno, mnogo sporije od autobusa.
Kada se sretnu putnici autobusa i biciklista, ko će od njih biti dalje od Moskve?
Problem 2. Šta je skuplje: kilogram grivna ili pola kilograma dvije grivne?
Zadatak 3. U 6 sati zidni sat je otkucao 6 udaraca. Na džepnom satu primijetio sam da je vrijeme proteklo od prvog udarca do šestog tačno 30 sekundi.
Ako je satu bilo potrebno 30 sekundi da otkuca 6 puta, koliko dugo će sat nastaviti da otkucava u podne ili u ponoć, kada sat otkuca 12 puta?
Zadatak 4. Iz jedne tačke izlete 3 laste. Kada će biti u istom avionu?

Sada, sa smirenim rasuđivanjem, provjerite svoje odluke i pogledajte odjeljak "Odgovori".
- Pa, kako? Jeste li upali u one male zamke koje se nalaze u ovim jednostavnim zadacima?
Takvi zadaci su privlačni jer izoštravaju pažnju i uče da budete pažljivi u uobičajenom toku misli.
svi cijeli brojevi od 1 do
Rice. 20. Popunite krugove brojevima od 1 do 19.

36. Kovrdžavi rak
Slikani rak, prikazan na sl. 21, sastavljen od 17 komada.
Presavijte dvije figure odjednom od komada ovog raka: krug i kvadrat pored njega.

37. Cijena knjige
Za knjigu su platili 1 rublju i još polovinu cijene knjige. Koliko košta knjiga?

38. Nemirna muva
Na autoputu Moskva - Simferopolj, dva sportista su istovremeno krenula u trenažnu vožnju biciklom jedan prema drugom.
U tom trenutku, kada je između biciklista ostalo samo 300 km, muva se jako zainteresovala za kilometražu. Sletjevši s ramena jednog bicikliste i ispred njega, pojurila je prema drugom. Upoznavši drugog biciklistu i uvjerivši se da je sve bezbedno, odmah se vratila. Muva je doletjela do prvog sportaša i ponovo se okrenula prema drugom.
Tako je letjela između biciklista koji su se približavali dok se biciklisti nisu sreli. Tada se muva smirila i sjela na jedan od njih na nos.
Muva je letjela između biciklista brzinom od 100 km na sat, a biciklisti su sve to vrijeme vozili brzinom od 50 km na sat.
Koliko kilometara je muva preletjela?

39. Manje od 50 godina kasnije
Hoće li u ovom vijeku postojati takva godina da ako se napiše brojevima, a papir se okrene naopako, onda će broj formiran na okrenutom papiru izražavati istu godinu?

40. Dvije šale
Prva šala. Tata je pozvao ćerku, zamolio je da kupi neke stvari koje su mu potrebne za odlazak i rekao da je novac u koverti na njegovom stolu. Djevojka je, nakratko bacivši pogled na kovertu, ugledala na njoj ispisan broj 98, izvadila novac i ne prebrojavajući ga stavila unutra.
kesu, zgužvao kovertu i bacio je.
U prodavnici je kupovala stvari za 90 rubalja, a kada je htela da isplati, ispostavilo se da ne samo da joj nije ostalo osam rubalja, kako je očekivala, već su joj nedostajale čak četiri.
Kod kuće je to ispričala ocu i pitala je da li je pogriješio kada je prebrojao novac. Otac je odgovorio da je dobro izbrojao novac, ali je ona sama pogriješila i, smijući se, ukazala joj na grešku. Šta je devojka pogrešila?

Druga šala. Pripremite 8 papirića sa brojevima 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 i 9 i rasporedite ih u dvije kolone kao na sl. 22.
Pomicanjem samo dva komada papira uvjerite se da su zbroji brojeva u oba stupca isti.
Rice. 22. Izjednačite nejednake iznose.

41. Koliko imam godina?
Kada je moj otac imao 31 godinu, ja sam imao 8 godina, a sada je moj otac duplo stariji od mene. Koliko sada imam godina?

42. Ocijenite "na prvi pogled"
Imate dvije kolone brojeva:
123456789 1
12345678 21
1234567 321
123456 4321
12345 54321
1234 654321
123 7654321
12 87654321
1 987654321
Pogledajte bliže: brojevi druge kolone formirani su od istih brojeva kao i brojevi prve kolone, ali suprotnim redoslijedom njihovog rasporeda. (Radi jasnoće, nule u lijevoj koloni su izostavljene.)
Koja će kolona, ​​kada se zbroji, dati veći rezultat?
Prvo uporedite ove sume "na prvi pogled", odnosno, bez sabiranja, pokušajte da odredite da li treba da budu isti ili jedan treba da bude veći od drugog, a zatim proverite sabiranjem.

43. Dodavanje brzine
Osam šestocifrenih pojmova (...) odabrano je na način da, razumnim grupisanjem, možete „u mislima“ pronaći zbir za 8 sekundi. Možete li podnijeti ovu brzinu?
U odeljku "Odgovori" postoje uputstva, ali ... duže ćete ih tražiti.
I pokažite prijateljima dva trika, koje možete u šali nazvati i "brzinsko dodavanje".

Prvi fokus. Recite: „Bez pokazivanja, upišite onoliko višecifrenih brojeva koliko želite u kolonu. Onda ću doći], vrlo brzo ću napisati isti broj brojeva i odmah ih sve sabrati.”
Recimo da su prijatelji napisali:
7621
3057
2794
4518
I dodjeljujete takve brojeve, od kojih svaki dopunjava do 9999 jedan po jedan sve napisane brojeve. Ovi brojevi će biti:
5481
7205
6942
2378
Zaista: (...)
Sada nije teško shvatiti kako brzo izračunati cijeli iznos: (...)
Potrebno je uzeti 9999 4 puta, odnosno 9999X4, i takvo množenje se brzo radi u umu. Pomnožite 10.000 sa 4 i oduzmite dodatne 4 jedinice. Ispada:
10.000 X 4 - 4 = 40.000 - 4 = 39.996.
To je cela tajna trika!

Drugi fokus. Napišite jedan ispod drugog bilo koja 2 broja bilo koje veličine. Sabraću treći i odmah, s leva na desno, napisaću zbir sva tri broja.
Recimo da ste napisali:
72 603 294
51 273 081
Dodijelit ću vam, na primjer, sljedeći broj: 48 726 918 i odmah vam reći iznos.
Koji broj treba pripisati i kako brzo pronaći zbroj u ovom slučaju, shvatite sami!

44. U kojoj ruci? (matematički trik)
Dajte svom prijatelju dva novčića: jedan sa parnim brojem kopejki, a drugi sa neparnim brojem (na primer, dve kopejke i tri kopejke). Neka vam, bez pokazivanja, uzme jedan od ovih novčića (bilo koji) u desnu ruku, a drugi u lijevu. Lako možete pogoditi koju ruku ima koji novčić.
Pozovite ga da utrostruči broj kopejki sadržanih u novčiću koji drži u njegovoj desnoj ruci i udvostruči broj kopejki sadržanih u novčiću koji drži u njegovoj lijevoj ruci. Pustite ga da zbroji rezultate i kaže vam samo rezultat.
Ako je navedeni iznos paran, onda su u desnoj ruci 2 kopejke, ako je neparan, onda u lijevoj ruci 2 kopejke.
Objasnite zašto to uvijek funkcionira na ovaj način i smislite načine da diverzificirate ovaj trik.

45. Koliko ih ima?
Dječak ima sestara koliko i braće, a njegova sestra ima upola manje sestara koliko i braće.
Koliko braće i sestara ima u ovoj porodici?

46. ​​Isti brojevi
Samo sabiranjem napiši broj 28 sa pet dvojki, a broj 1000 sa osam osmica.

47. Sto
Koristeći bilo koju aritmetičku operaciju, napravite broj 100 ili od pet jedinica ili od pet petica, a od pet petica 100 se može napraviti na dva načina.

48. Aritmetički duel
Jedno vrijeme je bio takav običaj u matematičkom krugu naše škole. Svakom novom članu kruga, predsjedavajući kruga je ponudio jednostavan zadatak - svojevrsni matematički orah. Ako riješite problem, odmah postajete član kruga, a ako se ne nosite s orahom, tada možete posjetiti krug kao revizor.
Sjećam se da je jednom naš predsjedavajući jednom pridošlicu Viti predložio sljedeći zadatak: (...)

49. Dvadeset
Od četiri neparna broja lako je napraviti zbir jednak 10, i to:
1 + 1+3 + 5=10,
ili ovako:
1 + 1 + 1+7 = 10.
Moguće je i treće rješenje:
1 + 3 + 3 + 3= 10.
Drugih rješenja nema (promjene u redoslijedu pojmova, naravno, ne formiraju nova rješenja).
Sljedeći problem ima mnogo više različitih rješenja:
Sastavite broj 20 dodavanjem tačno osam neparnih brojeva, među kojima je takođe dozvoljeno imati iste članove.
Pronađite sva različita rješenja za ovaj problem i odredite koliko će od njih biti takvih suma koje sadrže najveći broj nejednakih članova?
Mali savjet. Ako birate brojeve nasumično, i dalje ćete doći do nekoliko rješenja, ali nasumični pokušaji vam neće dati sigurnost da ste iscrpili sva rješenja. Ako, međutim, uvedete neki red, sistem u „metodu suđenja“, onda vam nijedno od mogućih rješenja neće promaknuti.

50. Koliko ruta?
Iz pisma školaraca: „Učeći u matematičkom krugu, nacrtali smo plan šesnaest četvrti našeg grada. Na priloženoj šemi plana (sl. 23) sve četvrti su konvencionalno prikazane kao identični kvadrati.
Interesuje nas sledeće pitanje:
Koliko se različitih ruta može planirati od tačke A do tačke C ako se krećemo ulicama naše
Rice. 23. Koliko ruta vodi od L do S?
gradovi samo naprijed i desno, desno i naprijed? Rute se mogu poklapati u svojim zasebnim dijelovima (pogledajte isprekidane linije na dijagramu plana).
Imamo utisak da to nije lak zadatak. Da li smo to ispravno riješili ako smo izbrojali 70 različitih ruta?”
Šta bi trebalo da bude odgovor na ovo pismo?

52. Različite akcije, jedan rezultat
Ako se između dvije dvojke znak sabiranja zamijeni znakom množenja, onda se rezultat neće promijeniti. Zaista: 2+ 2 = 2X2. Lako se bira i 3 broja sa istim svojstvom, i to: 1+2 + 3 = = 1X2X3. Postoje i 4 jednocifrena broja koja, kada se međusobno saberu ili pomnože, daju isti rezultat.
Ko će brže pokupiti ove brojeve? Spreman? Nastavite sa konkurencijom! Pronađite 5, pa 6, pa 7 i tako dalje, jednocifrene brojeve koji imaju isto svojstvo. Imajte na umu da, počevši od grupe od 5 brojeva, odgovori mogu biti različiti.

53. Devedeset devet i sto
Koliko znakova plus (+) trebate staviti između cifara 987654321 da biste dobili 99?
Moguća su dva rješenja. Pronaći barem jedan od njih nije lako, ali ćete steći iskustvo koje će vam pomoći da brzo postavite znak plus između sedam brojeva 1 2 3 4 5 6 7 tako da ukupan broj bude 100. (Raspored brojeva nije dozvoljen da se promeni). Učenica iz Kemerova tvrdi da su i tu moguća dva rješenja.

54. Demontažna šahovska tabla
Veseli šahist je svoju kartonsku šahovsku tablu presekao na 14 delova, kao što je prikazano na sl. 25. Ispala je sklopiva šahovska tabla. Drugovima koji su došli kod njega da igraju šah prvo je ponudio zagonetku: da od ovih 14 dijelova naprave šahovsku tablu. Izrežite iste figure iz kariranog papira i uvjerite se da li je od njih teško ili lako napraviti šahovsku tablu.

60. Zbunjen vozač
Šta je vozač pomislio kada je pogledao brzinomjer svog automobila (Sl. 29)? Brojač je pokazao broj 15951. Vozač je primijetio da je broj prijeđenih kilometara automobilom izražen kao simetričan broj, odnosno onaj koji se čita na isti način i slijeva na desno i s desna na lijevo:
15951.
- Zanimljivo!.. - promrmlja vozač. - Sada, verovatno ne uskoro, pojaviće se još jedan broj na šalteru, koji ima istu funkciju.
Međutim, tačno 2 sata kasnije brojač je pokazao novi broj, koji je isto očitan u oba smjera.
Odredite kojom brzinom je vozač vozio tokom ova 2 sata?

61. Za hidroelektrični kompleks Tsimlyansk
U ispunjavanju hitne narudžbe za proizvodnju mjernih instrumenata za hidroelektrani Tsimlyansk učestvovao je tim odličnog kvaliteta, koji se sastojao od poslovođe - starog, iskusnog radnika - i 9 mladih radnika koji su tek završili stručnu školu.
U toku dana svaki od mladih radnika montirao je 15 uređaja, a predradnik - 9 uređaja više od prosjeka svakog od 10 članova tima.
Koliko mjernih instrumenata je tim instalirao u jednom radnom danu?

62. Isporuka hljeba na vrijeme
Počevši sa isporukom žita državi, Upravni odbor zadruge odlučio je da voz sa žitom u grad isporuči tačno do 11 sati ujutru. Ako automobili voze brzinom od 30 km/h, tada će konvoj stići u grad u 10 sati ujutro, a ako brzinom od 20 km/h, onda u 12 sati.
Koliko daleko od kolektivne farme do grada i kojom brzinom treba voziti da stignete na vrijeme?

63. U prigradskom vozu
U vagonu sa električnim vozom, dve drugarice učenice putovale su iz grada na vikendicu.
- Primećujem, - rekao je jedan od njenih prijatelja, - da se sa povratnim prigradskim vozovima srećemo svakih 5 minuta. Šta mislite, koliko prigradskih vozova stigne u grad za jedan sat ako su brzine vozova u oba smjera iste?
- Naravno, 12, pošto je 60:5 = 12, - rekao je drugi prijatelj.
Ali učenica koja je postavila pitanje nije se složila sa odlukom drugarice i dala joj je svoje mišljenje.
Šta mislite o ovome?

65. Noćna mora navijača
"Navijač", uznemiren porazom "svoje" ekipe, nemirno je spavao. Sanjao je o velikoj kvadratnoj sobi bez namještaja. Golman je trenirao u prostoriji. Udario je fudbalsku loptu o zid, a zatim je uhvatio.
Odjednom je golman počeo da se smanjuje, skuplja i na kraju se pretvorio u malu celuloidnu lopticu iz „stonog tenisa“, a fudbalska lopta se ispostavila kao lopta od livenog gvožđa. Lopta se divlje kovitlala po glatkom podu sobe, pokušavajući da zgnječi malu celuloidnu loptu. Jadna lopta je u očaju jurila sa strane na stranu, iscrpljena i nesposobna da odskoči.
Može li se, ne napuštajući pod, još negdje sakriti od progona kugle od livenog gvožđa?
Rice. 30. Lopta je pokušala da slomi loptu.
Za rješavanje zadataka drugog odjeljka potrebno je poznavanje operacija nad prostim i decimalnim razlomcima.
Čitalac koji još nije proučavao razlomke može privremeno preskočiti probleme u ovom dijelu i prijeći na sljedeća poglavlja.

66. Sat
Putujući kroz našu veliku i divnu domovinu, našao sam se na mjestima gdje je razlika u temperaturama zraka između dana i noći tolika da kada sam provodio dane i noći na otvorenom, to je počelo da utiče na tok sata. Primijetio sam da su promjene temperature tokom dana dovele do toga da sat ide naprijed za 1 minut, a tokom noći za 1 minut.
Ujutro 1. maja, sat je i dalje pokazivao tačno vreme. Do kog datuma će biti 5 minuta ispred?

67. Stepenište
Kuća ima 6 etaža. Recite mi koliko puta je put uz stepenice do šestog sprata duži od puta uz iste stepenice do trećeg sprata, ako između spratova ima isti broj stepenica?

68. Zagonetka
Koji znak treba staviti između brojeva 2 i 3 napisanih jedan pored drugog da bi se dobio broj veći od dva, a manji od tri?
69. Zanimljivi razlomci
Ako se brojiniku i nazivniku doda imenilac od 1/3, razlomak će se udvostručiti.
Odrediti razlomak koji bi se dodavanjem imenioca brojiniku i nazivniku povećao: a) tri puta, b) četiri puta.
(Algebarski ljudi mogu generalizirati problem i riješiti ga jednadžbom.)

70; Koji broj?
02:30. Koji je ovo broj?

71. Način školskog dječaka
Borya radi prilično dobar posao svakog jutra. dug put u školu.
Na udaljenosti od kuće do škole nalazi se zgrada MTS-a sa električnim satom na fasadi, a na udaljenosti od cijele staze je željeznička stanica. Kada je prolazio MTS, obično je bilo 7:30 na satu, a kada je stigao do stanice, sat je pokazivao 25 ​​minuta do 8:00.
Kada je Borya napustio kuću i u koje vrijeme je došao u školu?

72. Na stadionu
12 zastavica postavljeno je duž trake za trčanje na jednakoj udaljenosti jedna od druge. Počnite od prve zastave. Atletičar je bio na osmoj zastavici 8 sekundi nakon početka trčanja. Nakon koliko sekundi konstantnom brzinom će biti na dvanaestoj zastavici? Ne upadajte u nevolje!

73. Jeste li pobijedili?
Ostap se vraćao kući iz Kijeva. Prvu polovinu puta putovao je vozom 15 puta brže nego da je pješačio. Međutim, drugu polovinu puta morao je voziti na volovima - 2 puta sporije nego da je hodao.
Da li je Ostap dobio na vremenu u poređenju sa hodanjem?

74. Budilnik
Budilnik kasni 4 minute. u satu; Prije 3,5 sata je isporučeno tačno. Sada je sat koji pokazuje tačno vreme tačno 12.
Za koliko minuta će i budilnik pokazati 12?

75. Umjesto malih dionica, velike
Postoji veoma uzbudljiva profesija u fabrikama mašina; Zove se prepisivač. Pisač označava na radnom komadu one linije duž kojih se ovaj radni komad treba obraditi kako bi mu se dao potreban oblik.
Prepisivač mora rješavati zanimljive i ponekad teške geometrijske probleme, izvoditi aritmetičke proračune itd.
Bilo je potrebno nekako rasporediti 7 identičnih pravokutnih ploča u jednakim udjelima između 12 dijelova. Donijeli su ovih 7 zapisa prepisivaču i zamolili ga, ako je moguće, da označi zapise tako da nijedan od njih ne bude zdrobljen u vrlo male komadiće. To znači da najjednostavnije rješenje - rezanje svakog zapisa na 12 jednakih dijelova - nije bilo dobro, jer je rezultiralo mnogo malih dijelova. Kako biti?
Da li je moguće podijeliti ove zapise na veće dijelove? Skaler je razmišljao, napravio neke aritmetičke proračune sa razlomcima i ipak našao najekonomičniji način da podijeli ove ploče.
Nakon toga je lako zdrobio 5 tanjira da ih rasporedi u jednakim udjelima na šest dijelova, 13 ploča za 12 dijelova, 13 ploča za 36 dijelova, 26 za 21, itd.
Kako je posipač to uradio?

76. Sapun
Na jednu posudu za vagu se stavlja komadić sapuna, a na drugu još jedan kg istog komada. Vage u ravnoteži.
Koliko je šipka teška?

79. Mishini mačići
Ako Misha negdje vidi napušteno mače, sigurno će ga pokupiti i donijeti kući. Uvek je odgajao nekoliko mačića, a nije voleo da kaže koliko tačno, da mu se ne bi smejali.
Ponekad ga pitaju:
- Koliko mačića sada imaš?
„Malo“, odgovara on. - Tri četvrtine njihovog broja, pa čak i tri četvrtine jednog mačića.
Drugovi su mislili da se samo šali. U međuvremenu, Miša im je postavio problem koji uopće nije bilo teško riješiti. Pokušajte!

80. Srednja brzina
Pola puta konj je hodao prazan brzinom od 12 km/h. Ostatak puta je pješačila s kolicima, ubrzavajući 4 km/h.
Koja je prosječna brzina, odnosno kojom konstantnom brzinom bi se konj morao kretati da bi iskoristio isto vrijeme za cijelo putovanje?

81. Putnik koji spava
Kada je putnik prevalio polovinu cijelog putovanja, legao je u krevet i spavao dok ga više nije bilo – da pređe pola puta koje je prešao spavajući. Koliko je čitavog putovanja prešao spavajući?

82. Kolika je dužina voza?
Dva voza idu jedan prema drugom na paralelnim kolosijecima; jedan brzinom od 36 km/h, drugi brzinom od 45 km/h. Putnik koji je sjedio u drugom vozu primijetio je da je prvi voz prošao pored njega 6 sekundi. Kolika je dužina prvog voza?

83. Biciklista
Kada je biciklista prešao 2/3 puta, guma je pukla.
U ostatku puta proveo je duplo više vremena pješke nego na vožnji biciklom.
Koliko puta je biciklista vozio brže nego što je hodao?

84. Konkurencija
Tokari Volodya A. i Kostya B. - učenici strukovne škole metalskih radnika, koji su od majstora dobili istu opremu za proizvodnju serije dijelova, željeli su izvršiti svoje zadatke u isto vrijeme i prije roka.
Međutim, nakon nekog vremena ispostavilo se da je Kostja uradio samo polovinu onoga što je Volodji preostalo da uradi, a Volodji je ostalo samo pola onoga što je već uradio.
Za koliko bi puta Kostja sada morao da poveća svoj dnevni učinak u poređenju sa Volodjom da bi istovremeno završio svoj zadatak?

Poglavlje drugo
POVJERLJIVE ODREDBE

87. Wits of Blacksmith Hecho
Putujući Gruzijom prošlog ljeta, ponekad smo se zabavljali izmišljajući razne neobične priče inspirirane nekim drevnim spomenikom.
Jednom smo došli do usamljenog drevna kula. Pregledao je, seo da se odmori. A među nama je bio i student matematike; odmah je došao do zanimljivog problema:
“Prije 300 godina ovdje je živio zao i arogantan princ. Princ je imao kćer-mladu, po imenu Darijan. Princ je obećao svoju Darijanu za ženu bogatom komšiji, a ona se zaljubila u jednostavnog momka, kovača Kečoa. Darijan i Kečo pokušali su da pobegnu u planine iz zatočeništva, ali su ih njihove sluge Knjazevi uhvatile.
Princ se razbesneo i odlučio da sutradan oboje pogubi, ali je za noć naredio da ih zatvore u ovu visoku, sumornu, napuštenu, nedovršenu kulu, a sa njima i služavku Darijan, tinejdžerku koja im je pomogla da pobegnu. .
Nije bio na gubitku u kuli Hecho, pogledao oko sebe, popeo se stepenicama na gornji dio kule, pogledao kroz prozor - nemoguće je skočiti, slomićeš se. Tada je Hecho primijetio kraj prozora konopac koji su graditelji zaboravili, prebačen preko zarđalog bloka, ojačanog više.
prozor. Za krajeve užeta bile su vezane prazne korpe, a za svaki kraj po jedna korpa. Hecho se prisjetio da su uz pomoć ovih korpi zidari podizali cigle i spuštali lomljeni kamen, a ako bi težina tereta u jednoj korpi prelazila težinu tereta u drugoj za oko 5-6 kg (moderno rečeno), tada je korpa prilično glatko pala na tlo; druga korpa je u to vrijeme išla do prozora.
Hečo je na oko utvrdio da Darijan ima oko 50 kg, a sobarica ne više od 40 kg. Hecho je znao njegovu težinu - oko 90 kg. Osim toga, u tornju je pronašao lanac težak 30 kg. Kako je svaka korpa mogla da stane po jednu osobu i lanac, ili čak 2 osobe, sva trojica su uspela da se spuste na zemlju, a spustili su se tako da težina korpe za spuštanje sa osobom nikada nije prelazila težinu korpa koja se diže za više od 10 kg.
Kako su izašli iz tornja?

88. Mačka i miševi
Purrov mačak je upravo "pomogao" svom mladom vlasniku da riješi probleme. Sada slatko spava, a u snu vidi sebe okruženog sa trinaest miševa. Dvanaest miševa je sivih, a jedan bijeli. I mačka čuje, neko govori poznatim glasom: “Pr, moraš jesti svakog trinaestog miša, brojeći ih u krug sve vrijeme u istom smjeru, tako da se pojede posljednji bijeli miš.”
Ali s kojim mišem započeti da biste ispravno riješili problem?
Help Purr.

89. Poklapa se oko novčića
Zamijenimo mačku novčićem, a miševe šibicama. Potrebno je ukloniti sve šibice, osim one koja je okrenuta ka novčiću (Sl. 35), poštujući sljedeći uslov: prvo izvadite jednu šibicu, a zatim, pomjerajući se udesno u krug, uklonite svaku trinaestu šibicu.
Razmislite koju šibicu prvo trebate ukloniti.

90. Žrijeb je pao na čiž i crvendać
Na kraju perioda ljetnog kampa, pioniri su odlučili da puste pernate stanovnike polja i gajeva koje su uhvatili mladi ptičari. Bilo je ukupno 20 ptica, svaka u posebnom kavezu. Vođa je predložio sledeće:
- Stavite sve kaveze sa pticama u jedan red i, počevši od leva na desno, otvorite svaki peti kavez. Kada dođete do kraja reda, prenesite rezultat na početak reda, ali otvorene ćelije ne brojite više, i tako nastavite dok se sve ćelije ne otvore, osim nekih od posljednje dvije. Ptice u ovim kavezima možete ponijeti sa sobom u grad.
Ponuda je prihvaćena.
Većini djece nije bilo važno koje dvije ptice ponijeti sa sobom (ako ih je već bilo nemoguće ponijeti sve), ali Tanja i Alik su željeli da ždrijeb bez greške padne na čigvu i crvendaća. Kada su pomogli da se ćelije rasporede u red, sjetili su se problema s mačkama i miševima (problem 88). Brzo su smislili gdje da smjeste kaveze sa šljunkom i crvendaćem kako bi ti kavezi ostali neotvoreni i stavili su ih...
Međutim, lako možete sami odrediti gdje su Tanja i Alik stavili kaveze sa šljunkom i crvendaćem.

91. Raširite novčiće
Pripremite 7 šibica i 6 novčića. Poređajte šibice na stolu sa zvjezdicom, kao što je prikazano na sl. 36. Počevši od bilo koje šibice, brojite trećinu pomicanjem kazaljke na satu i stavite novčić blizu njegove glave. Zatim ponovo brojite treću šibicu u istom smjeru, počevši od bilo koje utakmice protiv koje još nema novčića, i također stavite novčić blizu glave.
Postupite na ovaj način, pokušajte da rasporedite svih 6 novčića blizu vrhova šest šibica. Prilikom brojanja šibica ne treba preskakati one kraj kojih je već stavljen novčić;
potrebno je odbrojavanje započeti šibicom koja nema novčić u blizini; Ne stavljajte dva novčića na jedno mjesto.
Koje pravilo treba poštovati da bi se problem sigurno riješio?

92. Preskoči putnika!
Na polustanici jednokolosečne pruge stao je voz koji se sastojao od parne lokomotive i pet vagona, koji je dopremio ekipu radnika za izgradnju novog kraka. Do sada je na ovom stajalištu bila samo mala slijepa ulica, u koju bi po potrebi jedva mogla stati parna lokomotiva sa dva vagona.
Rice. 37. Kako preskočiti putnika?
Ubrzo nakon voza sa građevinskim timom istoj polustanici je prišao putnički voz.
Kako preskočiti putnika?

93. Problem koji je proizašao iz hira tri djevojke
Tema ovog problema ima respektabilan recept. Tri djevojčice, svaka sa svojim tatom, šetale su. Sva šestorica su se približili maloj rijeci i željeli da pređu s jedne strane na drugu. Na raspolaganju im je bio samo jedan čamac bez veslača koji je podizao samo dvije osobe. Prelazak, naravno, ne bi bilo teško izvesti da djevojke nisu izjavile, bilo iz hira, bilo iz šale, da se nijedna od njih neće složiti da se vozi u čamcu, niti da bude na obali s njim. ili dva tuđa oca bez svog tate. Djevojčice su bile male, ali ne baš male, tako da je svaka mogla sama voziti čamac.
Dakle, neočekivano dodatni uslovi prelaze, ali su putnici radi zabave odlučili pokušati ih upotpuniti. Kako su postupili?

94. Dalji razvoj problema
Smešno društvo sigurno prešao na suprotnu obalu rijeke i sjeo da se odmori. Postavilo se pitanje: da li bi pod istim uslovima bilo moguće organizovati ukrštanje četiri para? Ubrzo je postalo jasno da ako se očuvaju uslovi koje su postavile djevojke (vidi prethodni problem), prelazak četiri para može se izvršiti samo ako postoji čamac koji može podići tri osobe, i to u samo 5 koraka.
Kako?
Razvijajući temu problema dalje, naši putnici su otkrili da je čak i na brodu koji može primiti samo dvije osobe moguće preći četiri djevojčice s očevima s jedne obale na drugu, ako se u sredini nalazi ostrvo. rijeka na kojoj se možete zaustaviti i iskrcati. U ovom slučaju za konačni prelazak potrebno je najmanje 12 prelazaka, pod istim uslovom, odnosno da ni jedna djevojčica neće biti u čamcu, ili na ostrvu, ili na obali sa tuđim tatom bez njen otac.
Pronađite i ovo rješenje.

95. Skakanje dame
Postavite 3 bijela dama na polja 1, 2, 3 (sl. 38), a 3 crna na polja 5, 6, 7. Koristeći slobodno polje 4, pomjerite bijele dame na mjesto crnih, a crne one na mjesto bijelih; istovremeno se pridržavajte sljedećeg pravila: dame se mogu premjestiti na susjedno slobodno polje; dozvoljeno je i preskakanje susjednog dama ako je iza njega slobodno polje. Bijeli i crni dame mogu se kretati jedan prema drugom. Pokreti u suprotnom smjeru nisu dozvoljeni. Problem se rješava u 15 poteza.

96. Bijela i crna
Uzmite četiri bijela i četiri crna dama (ili 4 bakrena i 4 srebrni novčići) i stavite ih na sto u nizu, mijenjajući boje: bijela, crna, bijela, crna itd. S lijeve ili desne strane ostavite slobodan prostor u koji ne može stati više od 2 dama (kovanice). Koristeći slobodan prostor, možete svaki put miješati samo dva susjedna dama (kovanice), bez promjene njihovog relativnog položaja.
Dovoljno je napraviti 4 takva pokreta para dama tako da svi crni dame budu u nizu, a zatim svi bijeli dame.
Provjeri!

97. Kompliciranje zadatka
S povećanjem broja prvobitno uzetih dama (kovanica), zadatak postaje složeniji.
Dakle, ako stavite 5 bijelih i 5 crnih dama u niz, mijenjajući njihovu boju, trebat će 5 poteza da se crni dame rasporede s crnim, a bijeli sa bijelim.
U slučaju šest pari dama, potrebno je 6 poteza; u slučaju sedam parova - 7 poteza itd. Nađite rješenja zadatka za pet, šest i sedam parova dama.
Imajte na umu da tokom početnog rasporeda dama trebate ostaviti slobodan prostor s lijeve (ili desne) strane za najviše dva dama i svaki put pomjeriti 2 dama bez promjene njihovog relativnog položaja.

98. Karte su naslagane numeričkim redom
Izrežite 10 karata veličine 4X0 si iz kartona i numerirajte ih brojevima od 1 do 10. Nakon što ste složili karte, uzmite ih u ruku. Počevši od gornje karte, stavite prvu kartu na sto, drugu ispod dna gomile, treću kartu na sto, četvrtu ispod dna gomile. Radite ovo sve vreme dok ne stavite sve karte na sto.
Sa sigurnošću možemo reći da karte neće biti u numeričkom redu.
Razmislite o redoslijedu u kojem morate u početku staviti karte u gomilu tako da, s navedenim rasporedom, budu poređane po redoslijedu brojeva od 1 do 10.

99. Dvije lokacijske zagonetke
Prva slagalica. Dvanaest dama (kovačića, papirića, itd.) je lako rasporediti na stol u obliku kvadratnog okvira sa 4 dama duž svake strane. Ali pokušajte postaviti ove dame tako da ih ima po 5 duž svake strane kvadrata.
Druga zagonetka. Na stolu rasporedite 12 dama tako da se formiraju 3 reda horizontalno, a 3 reda okomito, i tako da svaki od ovih redova sadrži 4 dama.

100. Tajanstvena kutija
Miša je leto proveo u Arteku i svojoj mlađoj sestri Iročki doneo prelepu kutiju ukrašenu sa 36 školjki. Na poklopcu kutije su narezane linije tako da dijele poklopac na 8 dijelova.
Iročka još ne ide u školu, ali zna da broji do 10. Najviše joj se dopalo na Mišinom poklonu to što je sa svake strane poklopca kutije bilo tačno po 10 školjki (Sl. 40). Brojeći školjke duž bočne strane, Irochka uzima u obzir sve školjke koje se nalaze u odjeljku uz ovu stranu. Školjke smještene u kutnim dijelovima, Irochka broji na obje strane.
Jednom je moja majka, brišući kutiju krpom, slučajno smrskala 4 školjke. Sada nema više od 10 školjki duž svake strane poklopca. Kakva smetnja! Ira će doći vrtić i veoma uznemiren.
Rice. 40. Uz svaku stranu poklopca kutije - 10 školjki.
Rice. 39. Kako staviti ovih dama po 5 sa svake strane?
- Nevolja nije velika - uveravao je Miša majku.
Pažljivo je odlijepio dio školjki od preostale 32 i tako ih vješto zalijepio nazad na poklopac kutije da je sa svake strane opet bilo po 10 školjki.
Prošlo je nekoliko dana. Opet problem. Kutija je pala, još 6 granata se razbilo; ostalo ih je samo 26. Ali i ovoga puta Miša je smislio kako da rasporedi preostalih 26 školjki na poklopac, tako da Iročka i dalje ima po 10 školjki sa svake strane. Istina, preostale školjke u potonjem slučaju nisu mogle biti raspoređene po poklopcu kutije tako simetrično kao što su do sada bile raspoređene, ali Iročka na to nije obraćala pažnju.
Pronađite oba Mishina rješenja.

101. Hrabri "garnizon"
Snježnu tvrđavu štiti hrabri "garnizon". Momci su odbili 5 napada, ali nisu odustajali. Na početku utakmice "garnizon" se sastojao od 40 ljudi. "Komandant" snježne tvrđave u početku je rasporedio snage prema šemi prikazanoj u kvadratnom polju s desne strane (na središnjem kvadratu - ukupan broj "garnizona").
"Neprijatelj" je vidio da svaku od 4 strane tvrđave brani po 11 ljudi. Prema uslovima igre, tokom prvog, drugog, trećeg i četvrtog napada, “garnizon” je svaki put “izgubio” 4 osobe. U posljednjem, petom, napadu, “neprijatelj” je svojim grudvama onesposobio još dvoje ljudi. Pa ipak, uprkos gubicima, nakon svakog napada, obje strane snježne tvrđave nastavilo je braniti 11 ljudi.
Kako je "komandant" snježne tvrđave rasporedio snage svog garnizona nakon svakog juriša?

104. Priprema za praznik
Geometrijsko značenje prethodnih pet zadataka bilo je rasporediti objekte duž četiri prave (strane pravougaonika ili kvadrata) na način da broj objekata duž svake prave ostane isti kada se njihov ukupan broj promeni.
Ovakav raspored je postignut zbog činjenice da su svi objekti koji se nalaze na uglovima smatrani kao da pripadaju svakoj od strana ugla, kao što svakoj od njih pripada tačka preseka dve prave.
Ako pretpostavimo da svaki od objekata postavljenih na bočnim stranama figure zauzima određenu točku na odgovarajućoj strani, onda se svi objekti koji se nalaze na uglovima moraju zamisliti koncentrirani u jednoj tački (na vrhu ugla).
Odbacimo sada mogućnost čak i imaginarnog gomilanja objekata u jednoj geometrijskoj tački.
Pretpostavićemo da svaki pojedinačni objekat (šljunak, sijalica, drvo itd.) iz reda onih koji se nalaze na određenoj ravni zauzima zasebnu tačku ove ravni, i nećemo se ograničiti na zahtev da se ti objekti postavljaju samo duž četiri prave linije.
linije. Ako se ovi uvjeti dopune zahtjevom da rješenje u nekom smislu bude simetrično, onda će problemi postavljanja objekata duž pravih linija dobiti dodatni geometrijski interes. Rješenje ovakvih problema obično vodi do konstrukcije neke geometrijske figure.
Na primjer, kako možete lijepo rasporediti 10 sijalica u 5 redova po 4 sijalice u svakom redu kada pravite svečanu iluminaciju?
Odgovor na ovo pitanje daje zvijezda petokraka prikazana na sl. 44.
Vježbajte rješavanje sličnih problema; pokušajte postići simetriju na željenoj lokaciji.
Problem 1. Kako rasporediti 12 sijalica u 6 redova po 4 sijalice u svakom redu? (Ovaj problem ima dva rješenja.)
Zadatak 2. Zasadite 13 ukrasnih grmova u 12 redova po 3 grma u svakom redu.
Zadatak 3. Na trouglastom mjestu (slika 45), baštovan je uzgojio 16 ruža raspoređenih u 12 ravnih redova po 4 ruže u svakom redu. Onda je pripremio gredicu i tamo presadio svih 16 ruža u 15 redova po 4 ruže? Kako je to uradio?
Zadatak 4. Rasporedite 25 stabala u 12 redova po 5 stabala u svakom redu.
Rice. 44. 5 redova po 4.
Rice. 45. Kako napraviti 15 redova po 4.

105. Različito sjedenje hrastova
Lijepo zasađeno 27 hrastova prema prikazanoj shemi
na sl. 46, u 9 redova sa po 6 hrastova u svakom redu, ali bi arborista nesumnjivo odbio takav raspored. Hrastu treba sunce samo odozgo, a sa strane da ima zelenila.
Voli, kako se kaže, da odrasta u bundi, ali bez kape, a onda 3 hrasta skoče negdje u stranu i strše sami!
Pokušajte posaditi ovih 27 hrastova na drugačiji način, također u 9 redova i također po 6 hrastova u svakom redu, ali tako da sva stabla budu raspoređena u tri grupe, a ne iz svoje grupe; sačuvaj i
nijedan od njih nije imao simetriju u rasporedu.

109. Poklon slagalice
Postoji takva igračka: kutija; otvorite ga, a unutra je još kutija; otvorite ga, unutra je opet kutija.
Napravite takvu igračku od četiri kutije. Stavite 4 bombona u najmanju unutrašnju kutiju, 4 bombona u svaku od sljedeće dvije kutije, a 9 bombona u najveću.
Tako će 21 bombon biti smešten u četiri kutije (Sl. 53).
Ovu kutiju bombona poklonite svom prijatelju na njegov rođendan uz uslov da ne jede bombone sve dok „godišnjica“ ne preraspodeli 21 bombon tako da svaka kutija sadrži paran broj bombona i još jedan.
Naravno, prije nego što napravite ovaj poklon, morate sami "zagristi" ovu slagalicu. Imajte na umu da ovdje nikakva pravila aritmetike neće pomoći, samo trebate biti pametni i imati malo pameti.

110. Pokret viteza
Ne morate znati kako igrati šah da biste riješili ovu zabavnu šahovsku zagonetku. Dovoljno je znati kako se vitezova figura kreće na tabli. Crni pijuni se postavljaju na šahovsku tablu (vidi dijagram na slici 54). Postavite bijelog viteza na bilo koje slobodno polje koje želite šahovska tabla na način da ovaj vitez može ukloniti sve crne pijune sa table, a da pritom napravi najmanji mogući broj poteza viteza.

113. Osam zvjezdica
U jednoj od bijelih ćelija na sl. 57 Stavio sam zvjezdicu.
Postavite još 7 zvjezdica u bijele ćelije tako da nijedna 2 zvjezdica (od osam) ne bude na istoj horizontalnoj ili vertikalnoj ili bilo kojoj dijagonali.
Za rješavanje problema, naravno, potrebno je probama, pa je dodatni interes problema i uvođenje poznatog sistema u proces potrebnih ispitivanja.

114. Dva problema za postavljanje slova
Prvi zadatak. U kvadrat podijeljen na 16 jednakih kvadrata rasporedite 4 slova tako da u svakom horizontalnom redu, u svakom okomitom redu i u svakoj od dvije dijagonale velikog kvadrata, bude samo jedno slovo. Koliki je broj rješenja ovog problema u slučaju kada su slova koja se slažu ista, a u slučaju kada su različita?
Drugi zadatak. U kvadrat podijeljen na 16 jednakih kvadrata rasporedite 4 puta svako od četiri slova a, b, c i d tako da nema identičnih slova u svakom horizontalnom redu, u svakom okomitom redu i u svakoj od dvije dijagonale velikog kvadrat. Koliki je broj rješenja za ovaj problem?

115. Raspored šarenih kvadrata
Pripremite 16 kvadrata iste veličine, ali četiri različite boje, recimo bijelu, crnu, crvenu i zelenu - po 4 kvadrata svake boje. Imate četiri seta raznobojnih kvadrata. Na svaki kvadrat prvog skupa upišite broj 1, na svaki kvadrat drugog seta - 2, na kvadrate trećeg skupa - 3 i na kvadrate četvrtog - 4.
Ovih 16 raznobojnih kvadrata potrebno je rasporediti i u obliku kvadrata, i to tako da u svakom horizontalnom redu, u svakom vertikalnom redu i u svakoj od dvije dijagonale postoje kvadrati s brojevima 1, 2 , 3 i 4 bilo kojim proizvoljnim redoslijedom i, osim toga, bez greške različite boje.
Problem priznaje mnogo rješenja. Razmislite o sistemu za dobijanje potrebnih lokacija.

119. Problem sa šalom
Kolya Sinichkin, učenik 4. razreda srednje škole, marljivo pokušava da pomjeri šahovskog viteza iz donjeg lijevog ugla šahovske ploče (iz polja a\) u gornji desni ugao (na polju h8) tako da vitez obiđe svakog kvadrat ploče jednom. Dok ne uspije. Ali pokušava li riješiti nerješiv problem?
Shvatite ovo teoretski i objasnite Kolji Siničkinu o čemu se ovde radi.

120. Sto četrdeset pet vrata (zagonetka)
Srednjovjekovni feudalci ponekad su pretvarali podrume svojih dvoraca u zatvore - lavirinte sa svim vrstama trikova i tajni: s kliznim zidovima ćelija, tajnim prolazima, raznim zamkama.
Gledate tako stari dvorac i nehotice se javlja želja za sanjarenjem.
Zamislite da je u jedan od ovih podruma, čiji je plan prikazan na slici 62, izbačen čovjek od onih koji su se borili protiv feudalca. Zamislite takvu tajnu u izgradnji ovog podruma. Od 145 vrata, samo 9 je zaključano (na sl. 62 su označena podebljanim prugama), a sva su ostala širom otvorena. Čini se tako lako doći do vrata koja vode van i pokušati ih otvoriti. Nije ga bilo. Zaključana vrata je nemoguće otvoriti, ali će se sama otvoriti ako su tačno deveta po redu, odnosno ako 8 otvorena vrata. U tom slučaju, sva zaključana vrata tamnice moraju se otvoriti i proći; svako od njih se takođe otvara samo ako je prethodno prošlo tačno osam otvorenih vrata. Ispravljanje greške i prolazak kroz 2 - 3 dodatna vrata u susjedstvu kako bi se broj prođenih vrata doveo na osam također neće uspjeti: čim se prođe bilo koja komora, sva vrata koja su se prethodno otvorila u njoj su čvrsto zatvorena i zaključana - nećete proći kroz komoru drugi put. Feudalci su to namerno tako uredili.
Zatvorenik je znao za ovu tajnu tamnice i na zidu svoje ćelije (na planu označenom zvjezdicom) našao je tačan plan tamnice izgreban ekserom. Dugo je razmišljao kako da iscrta pravu rutu kako bi svaka zaključana vrata zaista bila deveta. Konačno je riješio ovaj problem i otišao na slobodu.
Koje je rješenje pronašao zatvorenik?

121. Kako je zatvorenik pušten?
Oni koji žele mogu razmisliti o ovoj verziji prethodnog problema.
Zamislite da se kazamat u kojem zatvorenik čami sastoji od 49 ćelija.
U sedam odaja označenih na planu tamnice (sl. 63) slovima A, B, C, D, E, F i G, nalaze se po jedna vrata koja se mogu otvoriti samo ključem, a ključ od vrata ćelije A nalazi se u komori a, ključ od vrata ćelije B nalazi se u ćeliji b, ključevi od vrata ćelije C, D, E, F i G nalaze se u ćelijama c, d, e, f i g, respektivno.
Ostala vrata se otvaraju jednostavnim pritiskom na kvaku, ali postoji samo kvaka na jednoj strani vrata, a vrata se, nakon što se prođu, automatski zatvaraju. Na drugoj strani vrata nema ručke.
Mapa tamnice pokazuje kojim putem možete proći kroz svaka vrata koja se otvore bez ključa, ali kojim redoslijedom treba otvoriti zaključana vrata nije poznato. Dozvoljeno je proći kroz ista vrata bilo koji broj puta, naravno, poštujući uslove pod kojima se otvaraju.
Zatvorenik je u ćeliji O. Pokažite mu stazu koja vodi do izlaza na slobodu.

ŠESTO POGLAVLJE
DOMINO I KOCKA
A. Domino
197. Koliko bodova?
198. Dva trika
199. Pobjeda u igri je zagarantovana
200. Okvir
201. Okvir u okviru
202. "Windows"
203. Magični kvadrati kostiju domina
204. Čarobni kvadrat sa rupom
205. Domino množenje
206. Pogodi namjeravanu domino kost
B. Cube
207. Aritmetički trik sa kockicama
208. Pogađanje zbira bodova na skrivenim stranama
209. Kojim redoslijedom su kocke?

SEDMO POGLAVLJE
SVOJSTVA DEVETE
210. Koji je broj precrtan?
211. Skriveno vlasništvo
212. Još nekoliko zabavnih načina da pronađete broj koji nedostaje
213. Po jednoj cifri rezultata odredi preostale tri
214. Pogađanje razlike
215. Određivanje starosti
216. U čemu je tajna?

OSMO POGLAVLJE
SA I BEZ ALGEBR
217. Uzajamna pomoć
218. Lenjivac i đavo
219. Pametna beba
220. Lovci
221. Nadolazeći vozovi
222. Faith kuca rukopis
223. Priča o gljivama
224. Ko će se prvi vratiti?
225. Plivač i šešir
226. Dva broda
227. Testirajte svoju domišljatost!
228. Izbjegnuta sramota
229. Koliko puta više?
230. Motorni brod i hidroavion
231. Biciklisti u areni
232. Brzina tokara Bykov
233. Putovanje Jacka Londona
234. Moguće su greške zbog neuspješnih analogija
235. Pravni incident
236. U parovima i trojkama
237. Ko je jahao konja?
238. Dva motociklista
239. U kom avionu je Volodinov otac?
240. Razbiti na komade
241. Dvije svijeće
242. Nevjerovatan uvid
243. "Pravo vrijeme"
244. Sat
245. Koliko je sati?
246. U koje vrijeme je sastanak počeo i kada se završio?
247. Narednik obučava izviđače
248. Prema dva izvještaja
249. Koliko je novih stanica izgrađeno?
250. Odaberite četiri riječi
251. Da li je takvo vaganje dozvoljeno?
252. Slon i komarac
253. Petocifreni broj
254. Odrasteš do stotinu godina bez starosti
255. Lukin problem
256. Neobičan hod
257. Jedno svojstvo prostih razlomaka

DEVETO POGLAVLJE
MATEMATIKA BEZ SKORO BEZ RAČUNA
258. U mračnoj sobi
259. Jabuke
260. Vremenska prognoza (šala).
261. Dan šume
262. Ko se kako zove?
263. Takmičenje u gađanju
264. Kupovina
265. Putnici jednog kupea
266. Finale šahovskog turnira Sovjetske armije
267. Nedjelja
268. Kako se zove vozač?
269. Istorijat uglja
270. Sakupljači bilja
271. Skrivena podjela
272. Šifrirane radnje (numeričke zagonetke)
273. Aritmetički mozaik
274. Motociklista i vozač
275. Pješice i automobilom
276. "Naprotiv"
277. Otkrivanje krivotvorenog novčića
278. Logic draw
279. Tri mudraca
280. Pet pitanja za školarce
281. Rezonovanje umjesto jednačine
282. Zdrav razum
283. Da ili ne?

DESETO POGLAVLJE
MATEMATIČKE IGRE I TOKOVI
A. Igre
284. Jedanaest stavki
285. Uzmi šibice posljednje
286. Čak i pobjeđuje
287. Jianshizi
288. Kako pobijediti?
289. Postavite kvadrat
290. Ko će prvi reći "sto"?
291. Igranje polja
292. Owa
293. "Matematika" (italijanska igra)
294. Igra magičnih kvadrata
295. Presjek brojeva
B. Trikovi
296. Pogađanje planiranog broja (7 trikova)
297. Pogodi rezultat proračuna ne pitajući ništa
298. Ko je koliko uzeo i saznao
299. Jedan, dva, tri pokušaja... i pogodio sam dobro
300. Ko je uzeo žvaku, a ko olovku?
301. Pogađanje tri zamišljena člana i zbir
302. Pogodi nekoliko zamišljenih brojeva
303. Koliko imaš godina?
304. Pogodi godine
305. Geometrijski trik (misteriozni nestanak)

JEDANAESTO POGLAVLJE
DJELJIVOST BROJEVA
306. Broj na grobu
307. Pokloni za Novu godinu
308. Može li postojati takav broj?
309. Korpa jaja (iz stare francuske problemske knjige)
310. Trocifreni broj
311. Četiri broda
312. Greška blagajnika
313. Brojčana slagalica
314. Znak djeljivosti sa 11
315. Kombinovani znak djeljivosti sa 7, 11 i 13
316. Pojednostavljenje kriterija djeljivosti sa 8
317. Amazing Memory
318. Kombinovani znak djeljivosti sa 3, 7 i 19
319. Deljivost binoma
320. Staro i novo o djeljivosti sa 7
321. Proširenje znaka na druge brojeve
322. Generalizovani test djeljivosti
323. Zanimljivost djeljivosti

12. POGLAVLJE
Ukršteni zbroji i magični kvadrati
A. Unakrsne sume
324. Zanimljive grupe
325. "Asterisk"
326. "Kristal"
327. Dekoracija vitrine
328. Ko će prvi uspjeti?
329. Planetarijum
330. "Ukras"
B. Magični kvadrati
331. Stranci iz Kine i Indije
332. Kako sami napraviti magični kvadrat?
333. O pristupima uobičajenim metodama
334. Ispitivanje domišljatosti
335. "Magična" igra "15"
336. Netradicionalni magični kvadrat
337. Šta se nalazi u centralnoj ćeliji?
338. "Magija" djeluje
339. "Kovčeg" aritmetičkih kurioziteta
B. Elementi teorije magijskih kvadrata
340. "Dodavanjem"
341. "Redovni" magični kvadrati četvrtog reda
342. Izbor brojeva za magične kvadrate bilo kojeg reda

POGLAVLJE TRINAESTO.
ZNATILEĆI I OZBILJNI U BROJKAMA
343. Deset figura (zapažanje).
344. Još neka zanimljiva zapažanja
345. Dva zanimljiva iskustva
346. Vrteška s brojevima
347. Disk trenutnog množenja
348. Mentalna gimnastika
349. Obrasci brojeva
350. Jedan za sve i svi za jednog
351. Numerički nalazi
352. Uočavanje niza prirodnih brojeva
353. Iritantna razlika
354. Simetrična suma (nerazbijena matica)

ČETRNAESTO POGLAVLJE
BROJEVI DREVNI ALI ZAUVIJEK MLADI
A. Početni brojevi
355. Prosti i složeni brojevi
356. "Eratostenovo sito"
357. Novo "sito" za proste brojeve
358. Pedeset prvi prosti brojevi
359. Drugi način da se dobiju prosti brojevi
360. Koliko prostih brojeva?
B. Fibonačijevi brojevi
361. Javno suđenje
362. Fibonačijev niz
363. Paradoks
364. Svojstva brojeva u Fibonačijevom nizu
B. Kovrčavi brojevi
365. Svojstva kovrčavih brojeva
366. Pitagorini brojevi

PETNAESTO POGLAVLJE
GEOMETRIJSKA INTELIGENCIJA U RADU
367. Geometrija sjetve
368. Racionalizacija polaganja cigle za transport
369. Geometer Workers

Opštinski budžet obrazovne ustanove

Srednja škola Saranpaul

Istraživački rad matematike

Pripremljen od:

učenik 3. razreda Frolov Nikolaj,

Supervizor:

Arteeva Antonina Andreevna,

nastavnik osnovne škole.

Saranpol, 2017

Stranica

Uvod

Vrijednost pametnih zadataka

Leonardo Fibonacci- matematičar koji je genijalnošću doprinio rješavanju problema

Klasifikacija zadataka u "genijalnost"

Logički zadaci

Ukrštanje zadataka

Zadaci za transfuziju

Zadaci iz bajke

Zadaci za domišljatost, za domišljatost

Brojevne serije, zagonetke

Zaključak

Bibliografija

Uvod

Kreativna aktivnost je najsnažniji impuls u razvoju djeteta. Potencijalni genij živi u svakoj osobi, ali ne osjeća uvijek prisustvo genija. Neophodno je što ranije početi razvijati kreativne sposobnosti.

Svaki matematički zadatak za domišljatost, bez obzira za koje godine je namijenjen, nosi određeno mentalno opterećenje, koje se najčešće prikriva zabavnom fabulom, vanjskim podacima, stanjem problema itd. U zadacima različitog stepena složenosti, zabava privlači pažnju djece, aktivira misao, izaziva stalno zanimanje za predstojeću potragu za rješenjem. Priroda materijala određuje njegovu svrhu: razvijati opće mentalne i matematičke sposobnosti kod djece, zainteresirati ih za predmet matematike, zabaviti, što, naravno, nije glavno.Razvoj domišljatosti, snalažljivosti, inicijative odvija se u aktivnoj mentalnoj aktivnosti zasnovanoj na direktnom interesovanju.

Zabavni matematički materijal dat je elementima igre sadržanim u svakom zadatku, logičkoj vježbi, zabavi, bilo da se radi o šahu ili najelementarnijoj slagalici. Na primjer, u pitanju: "Kako presaviti kvadrat na stolu s dva štapa?" - neobičnost njegove produkcije tjera vas da razmišljate u potrazi za odgovorom, uključite se u igru ​​mašte.

Raznolikost zabavnog materijala - igrice, problemi, zagonetke - daje osnovu za njihovu klasifikaciju, iako je prilično teško podijeliti u grupe tako raznovrstan materijal koji su stvorili matematičari.

Može se klasificirati prema različitim kriterijima: prema sadržaju i značenju, prirodi mentalnih operacija, kao i znaku općenitosti, usmjerenosti na razvoj određenih vještina. Osnova za dodjelu takvih grupa je priroda i namjena materijala određene vrste.

Svrha: Proučiti metode za rješavanje problema genijalnošću.

Zadaci:

1. Proučiti temu "Rješavanje problema genijalnošću", vrste zadataka za genijalnost i metode za njihovo rješavanje.

2. Riješite nekoliko vrsta zadataka za domišljatost, samostalno izradite algoritam za rješavanje takvih problema.

Vrijednost pametnih zadataka

Kreativna aktivnost učenika u procesu izučavanja matematike sastoji se, prije svega, u rješavanju zadataka. Sposobnost rješavanja problema jedan je od kriterija za nivo matematički razvoj studente, karakteriše, prije svega, sposobnost studenata da svoje teorijsko znanje primjenjuju u određenoj situaciji.

Prilikom rješavanja tradicionalnih školskih zadataka koriste se određena znanja, vještine i sposobnosti za njihovo rješavanje u užem krugu pitanja programskog gradiva. Gde poznatim načinima rješenja ograničava kreativno traženje učenika.

Zadatak domišljatosti, za razliku od tradicionalnog, ne može se direktno riješiti ni po jednom zakonu. Zadaci za domišljatost su oni za koje u predmetu matematike nema opšta pravila i odredbe kojima se definiše tačan program za njihovo rješavanje. Shodno tome, postoji potreba za pronalaženjem rješenja, koje zahtijeva kreativno razmišljanje i doprinosi njegovom razvoju.

Domišljatost rješavanja problema stvara napetost traganja i radost otkrivanja – najvažniji faktori razvoja, kreativnog postignuća.

Vrijednost zadataka za domišljatost je vrlo visoka - sposobnost učenika da rješavaju nestandardne zadatke pokazuje:

1. ​ Sposobnost da razmišljaju na originalan način, a takođe je od velike važnosti u formiranju i razvoju njihovih kreativnih sposobnosti;

2. ​ Sposobnost generalizacije matematičkog materijala, izdvajanja glavne stvari, odvlačenja pažnje od beznačajnog, sagledavanja opšteg u spolja drugačijem;

3. ​ Sposobnost rada sa numeričkim i simboličkim simbolima;

4. ​ Sposobnost „konzistentnog, logičkog zaključivanja“, povezana sa potrebom za dokazima, opravdanjem, zaključcima;

5. ​ Sposobnost smanjenja procesa zaključivanja, razmišljanja u presavijenim strukturama;

6. ​ Sposobnost reverzibilnosti misaonog procesa (do prelaska sa direktnog na obrnuto mišljenje);

7. ​ Fleksibilnost razmišljanja, sposobnost prelaska s jedne mentalne operacije na drugu, sloboda od ograničavajućeg utjecaja šablona i šablona. Ova karakteristika mišljenja je važna u kreativni rad matematičari;

8. ​ Sposobnost razvoja matematičke memorije... je memorija za generalizaciju, logika;

9. Sposobnost za prostorne reprezentacije.

Čak je i K.D.Ushinsky napisao da "... učenje, lišeno ikakvog interesa i uzeto samo silom prisile... ubija želju učenika za učenjem, bez čega on neće daleko dogurati."

Interes je snažan motivator aktivnosti, pod njegovim uticajem svi mentalni procesi se odvijaju posebno intenzivno, a aktivnost postaje uzbudljiva i produktivna. Njegova suština je u studentovoj želji da dublje i temeljitije prodre u spoznajno područje, u stalnoj želji da se bavi predmetom njegovog interesovanja.

Iz istorije pojave zadataka za domišljatost

Nije iznenađujuće što su zadaci za domišljatost postali zabava "za sva vremena i narode".Prvi udžbenik matematike koji je došao do nas, odnosno njegov​ sok dužine 5 metara, poznat u svijetu kao "londonski papirus", ili "ahmes papirus", sadrži 84 uz koje je priloženo rješenje problema. Prema njegovim riječima, nastava se odvijala u školi državnih pisara. Već su stari Egipćani shvatili koliko je važna uloga u procesu učenja​ vrijednost igra element zabave, a među onima koji su uključeni u "papi​ Rus Ahmes „bilo je mnogo takvih zadataka. Dakle, milenijumima, iz jedne zbirke​ Nick zabavnih problema matematike u drugom luta "problem se​ moje mačke" sa ovog papirusa. Uprkos postojanju Euklidovih „Početaka“ u trinaest tomova (3. vek pre nove ere), koji su postali uzor naučne strogosti više od dva milenijuma, zabavni element u matematici nije nestao u staroj Grčkoj i najjasnije je predstavljen u “Aritmetika” Diofanta Aleksandrijskog (vjerovatno 3. vijek). U srednjem veku, Italijani Leonardo (Fibonači) iz Pize (XIII vek) i Nikolo Tartalja (XVI vek) ostavili su najdublji trag u rešavanju problema genijalnošću.

Zbirke matematičke zabave, slične modernim, počele su da se pojavljuju od 17. veka. Među njima, „Prijatan i zabavnih zadataka razmatraju u brojevima” matematičara i pjesnika Gaspard Claude Bache sieur de Meziriac i “Matematičke i fizičke zabave” drugog francuskog matematičara i pisca Jacquesa Ozanama.

U 19. vijeku Edouard Lucas, francuski matematičar i teoretičar brojeva, objavio je četverotomno djelo o zabavnoj matematici, koje je postalo klasik. Na prelazu XIX i XX veka. Veliki doprinos riznici zabavne matematike dali su izvanredni izumitelji igara i zagonetki - talentirani samouki Amerikanac Sam Loyd i Englez Henry Ernest Dudeney. Zabavna matematika drugoj polovini 20. veka ne može se zamisliti bez čitavog niza divnih knjiga koje je napisao poznati američki matematičar Martin Gardner. Upravo su njegovi raznovrsni matematički eseji, harmonično kombinujući naučnu dubinu i sposobnost zabave, upoznali milione ljudi širom sveta (uključujući i mene) sa egzaktnim naukama i, naravno, sa zabavnom matematikom.

U Rusiji se pojavljuju zbirke zadataka kao što su "Aritmetika" L. F. Magnitskog, "U carstvu domišljatosti" E. I. Ignatieva, "Matematika uživo", "Zabavna aritmetika", "Zabavna algebra" i "Zabavna geometrija" Ya. I. Perelmana i "Matematička domišljatost" B. A. Kordemskog

Leonardo Fibonacci - matematičar koji je genijalnošću doprinio rješavanju problema.

Leonardo Fibonacci je rođen i živeo u Italiji u gradu Pizi u 12.-13. veku. Njegov otac je bio trgovac, pa je mladi Leonardo mnogo putovao. Na Istoku se upoznao sa arapskim numeričkim sistemom; kasnije ga je analizirao, opisao i predstavio evropskom društvu u svojoj čuvenoj knjizi "Liber Abaci » (« Account Book "). Podsjetimo da su se u to vrijeme u Evropi koristili rimski brojevi, koji su bili užasno nezgodni za rad kako u složenim matematičkim i fizičkim proračunima, tako i pri radu sa i računovodstvo.

Leonardo Fibonači je uveo arapske brojeve u Evropu , koji do danas koristi gotovo cijeli zapadni svijet.Prelazak sa rimskog na arapski sistem revolucionirao je matematiku i druge nauke usko vezano za to.

Teško je zamisliti kakav bi svijet bio da tada, u 13. vijeku, Fibonači nije objavio svoju knjigu i Evropljanima predstavio arapske brojeve. Zanimljivo je da arapske brojeve koristimo bez oklijevanja, uzimajući ih zdravo za gotovo. Ali da nije Leonardo Fibonacci, ko zna kako bi se razvijao tok istorije. Na kraju krajeva, prezentacijarasprava o arapskim brojevima značajno je promijenila srednjovjekovnu matematiku na bolje; unapredio ju je, a sa njom i druge nauke kao što su fizika, mehanika, elektronika i tako dalje. Imajte na umu da su te nauke te koje vode napredak. Zato, na mnogo načina, tok istorije,za razvoj evropske civilizacije i nauke uopšte zaslužan je Leonard Fibonači .

Niz Fibonačijevih brojeva

Druga izuzetna zasluga Leonarda Fibonaccija jeniz fibonačijevih brojeva . Vjeruje se da je ova serija bila poznata na istoku, ali je Leonardo Fibonacci objavio ovu seriju brojeva u spomenutoj knjizi "Liber Abaci" (to je učinio kako bi demonstrirao reprodukciju populacije zečeva).

Kasnije se to ispostaviloovaj niz brojeva je važan ne samo u matematici, ekonomiji, i financije, ali i u botanici, zoologiji, fiziologiji, medicini, umjetnosti, kao i filozofiji, estetici i još mnogo toga. jer civilizacije, ovaj niz brojeva postao je poznat od Leonarda Fibonaccija, dobio je nadimak, “Fibonačijev niz» ili "Fibonačijevi brojevi ».

Formula i primjer niza Fibonačijevih brojeva

U Fibonaccijevom nizu,svaki element, počevši od trećeg, je zbir prethodna dva elementa , uprkos činjenici da niz počinje brojevima 0 i 1. Dobije se zbir: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 …

Fibonači je legendarna ličnost u matematici, ekonomiji i finansijama ; objavio je arapske brojeve i predstavio magični niz brojeva.

Problem je izmislio italijanski naučnik Fibonači, koji je živeo u 13. veku.
“Neko je kupio par zečeva i smjestio ih u ogradu ograđenu sa svih strana. Koliko će zečeva biti za godinu dana, ako pretpostavimo da svakog mjeseca jedan par rađa novi par zečeva kao potomstvo, koji također počinju da rađaju potomstvo od drugog mjeseca života?

odgovor: 377 pari U prvom mjesecu će već biti 2 para kunića: 1 početni par koji je okotio i 1 rođeni par. U drugom mjesecu kunića će biti 3 para: 1 početni, koji se ponovo rodi, 1 raste i 1 rođen. U trećem mjesecu - 5 parova: 2 para koja su rodila, 1 raste i 2 rođena. U četvrtom mjesecu - 8 parova: 3 para koja su rodila, 2 para koja rastu, 3 rođena para. Nastavljajući razmatranje po mjesecima, moguće je uspostaviti vezu između broja kunića u tekućem mjesecu i u prethodna dva. Ako broj parova označimo kroz N, a kroz m - redni broj mjeseca, onda N m = N m-1 + N m-2 . Koristeći ovaj izraz, broj zečeva se izračunava po mjesecima u godini: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,55, 89, 144, 233, 377.

Klasifikacija zadataka za domišljatost

U takvim problemima, rješavač je potreban za ograničen broj vaganja kako bi lokalizirao objekt koji se razlikuje od drugih objekata po težini. Također u ovom odjeljku razmatraju se zadaci transfuzije, u kojima je potrebno dobiti određenu količinu tekućine koristeći posude određene zapremine.

Pronalaženje viška

Potrebna je sposobnost kombinovanja grupa objekata prema određenim karakteristikama.

Tekstualni zadaci za proračune

Jednostavni životni procesi, sposobnost primjene matematičkih znanja u životu.

Zadaci za pronalaženje logičkih grešaka, zadaci sa kvakom

Razvijaju vrijedan i vrlo potreban kvalitet uspješne osobe – kritičko mišljenje. Naučite analizirati stanje. Ponekad je odgovor u samom problemu.

Dodjela svojstvima brojeva i operacije s njima

Svojstvo parnih i neparnih brojeva, pravilno postavljanje zagrada, postavljanje cifara u broj koji ispunjava određene uslove. Deljivost brojeva. Operacije nad brojevima.

kriptovalute

Matematički rebus u kojem je primjer šifriran za izvođenje jedne od aritmetičkih operacija. U ovom slučaju, isti brojevi su šifrirani istim slovom, a različiti brojevi odgovaraju različitim slovima.

Zadaci za logiku i rasuđivanje

Zadaci koji nisu direktno povezani sa proračunima, ali aktivno razvijaju razmišljanje.

O vremenu

Izračunajte datum koristeći nagoveštaje, zapamtite kako sat radi ili odredite nečije godine samo pomoću nagoveštaja.

Na nizu brojeva

U ovim zadacima potrebno je odgonetnuti princip po kojem je određeni niz postavljen i nastaviti ga.

Problemi sa šibicama

Prilikom manipulacije utakmicama potrebno je postići željeni rezultat. Većina ovih zadataka spada u „nestandardne“ i zahtevaju vještinu „procene situacije sa tačke gledišta koja je za većinu neočekivana ili da se u stanju sagleda mogućnost korišćenja neočiglednih podataka“.

zagonetke

Igra u kojoj su riječi, fraze ili cijele izjave šifrirane pomoću crteža u kombinaciji sa slovima i znakovima.

Šah

Po pravilu, svaka faza kursa uključuje nekoliko lekcija (minimalno 2) iz šaha. Osnovne brojke. Učimo da gradimo efikasne strategije, razmišljamo, donosimo informisane i racionalne odluke

Logički zadaci

Prilikom rješavanja logičkih zadataka za korespondenciju jedan-na-jedan, zgodno je zapisati podatke u tablicu, gdje stavljamo znak “+” ili znak “-” na sjecištu reda i kolone.

1. Pet drugova iz razreda - Irena, Timur, Camilla, Eldar i Zalim postali su pobjednici olimpijada za školarce iz fizike, matematike, informatike, književnosti i geografije. To je poznato

Pobjednik informatičke olimpijade uči Irenu i Timura radu na računaru;

Camilla i Eldar su se takođe zainteresovali za informatiku;

Timur se uvijek bojao fizike;

Kamila, Timur i pobjednik književne olimpijade idu u plivanje;

Timur i Kamila čestitali su pobjedniku matematičke olimpijade;

Irena žali što joj je ostalo malo vremena za književnost.

Koju je olimpijadu svaki od ovih momaka osvojio?

1 način rješavanja, korištenjem tabele

I T C E Z

F M I L G

Odgovor: Irena je pobjednica olimpijade iz matematike. Timur - iz geografije.

Camille - u fizici Eldar - u književnosti. Zalim - u informatici

2. Tri djevojčice - Rosa, Margarita i Anyuta predstavile su na takmičenju korpe ruža, tratinčica i maćuhica koje su uzgajale. Djevojčica koja je podigla tratinčice skrenula je Rosinu pažnju da nijedno od imena djevojčica ne odgovara nazivima njihovog omiljenog cvijeća. Koje je cvijeće uzgajala svaka od djevojčica?

Rješenje: rasuđivanjem

a) Anya nije uzgajala maćuhice. b) Margarita nije uzgajala tratinčice c) Ruža nije uzgajala ruže. Rose može uzgajati ili ruže ili maćuhice. Ruža nije uzgajala ruže. Zaključak: Ruža je uzgajala maćuhice. Margarita je uzgajala ruže. Anya je uzgajala tratinčice.

3. Četiri prijatelja - Zhenya, Kostya, Dima i Vadim - napravili su ukrase za praznik. Neko je napravio zlatne papirnate girlande, neko crvene kuglice, neko srebrne papirnate girlande, a neko zlatne papirnate krekere. Kostya i Dima su radili sa papirom iste boje, Zhenya i Kostya su pravili iste igračke. Ko je napravio ukrase?

odgovor:

4. Maša, Lida, Ženja i Katja sviraju različite instrumente - harmoniku, klavir, gitaru, violinu, ali svaki na jedan. Govore i strane jezike - engleski, francuski, nemački, španski, ali svako svira isti instrument i koji strani jezik govori?

Ukrštanje zadataka

U zadacima za prelaze potrebno je navesti redoslijed radnji u kojima se obavlja traženi prijelaz i da su ispunjeni svi uvjeti zadatka.

Vuk, koza i kupus. Na obali rijeke stoji seljak sa čamcem, a do njega su vuk, koza i kupus. Seljak se mora prekrstiti i prevesti vuka, kozu i kupus na drugu stranu. Međutim, pored seljaka u čamac se stavlja ili samo vuk, ili samo koza, ili samo kupus. Ne možete ostaviti vuka sa kozom ili kozu sa kupusom bez nadzora - vuk može pojesti kozu, a koza može jesti kupus. Kako treba da se ponaša seljak?

Odgovor: Seljak može da sledi jedan od dva algoritma:

Odgovor: Neka su M1 i M2 dječaci, C1 i C2 vojnici. Algoritam ukrštanja može biti sljedeći:

1. M1 i M2 –>
2. M1<–
3. C1 ->
4. M2<–
5. M1 i M2 –>
6. M1<–
7. C2 ->
8. M2<–

Zadaci za transfuziju

Ovezadaci su praktični. Rješenje ovakvih problema razvija logičko razmišljanje, tjera vas na razmišljanje, prilazite rješenju problema iz različitih uglova, birate najjednostavniji, najlakši način iz mnoštva rješenja. Da biste to učinili, koristeći posude poznatih posuda, potrebno je izmjeriti određenu količinu tekućine. Najjednostavniji metod za rješavanje problema ove klase je nabrajanje mogućih opcija.I potrebno je navesti redoslijed radnji u kojima se provodi potrebna transfuzija i svi uvjeti su ispunjeni.

1. Kako, sa dvije kante kapaciteta 3 i 5 litara, izvući 7 litara vode iz česme?

odgovor:

2. Zla maćeha poslala je svoju pastorku na izvor po vodu i rekla: „Naše kante imaju 5 i 9 litara vode. Uzmi ih i donesi tačno 3 litre vode.” Kako pastorka treba da postupi da bi ispunila ovaj zadatak?

odgovor:

U problemima transfuzije o kojima smo gore govorili, date su dvije posude i voda je izlivena iz slavine.Postoje teži zadaci, ne dva plovila, već tri ili više. Voda se NE uzima iz česme. U takvim problemima voda je već u nekoj posudi, na primjer, u najvećoj. A vodu ćemo sipati u male posude. Voda se ne može izliti. Ako je potrebno isprazniti posudu, višak vode se sipa u drugu posudu. Obično je veća posuda skladište iz koje se uzima voda i u nju se ulijeva višak vode.

Zadaci iz bajke

Rješenje takvih problema oživljava matematiku. Želja da se pomogne junaku u nevolji potiče mentalnu aktivnost, u budućnosti izaziva želju za čitanjem djela. Simpatija u takvim zadacima je na strani pozitivnog heroja. Dobro pobjeđuje, zlo je kažnjeno, negativne osobine se ismijavaju.

na jednom od njih dočekaćeš svoju smrt,

ništa ti se neće desiti,

treći put će vas odvesti do Vasilise Lijepe.

Imajte na umu da je sva tri natpisa napravio Koshchei Besmrtni. Ivan je bacio loptu na zemlju. Otkotrljao se, Ivan je krenuo za njim. Koliko dugo, kako kratko je Ivan hodao, a došao je do ogromnog kamena. Na kamenu je napisano:

"Ako kreneš lijevo, dočekaćeš svoju smrt",

"Ako kreneš desno, izbavićeš Vasilisu Prelepu iz zatočeništva", "Ako ideš pravo, nešto će ti se dogoditi."

Rješenje: Treći unos je netačan - Ivanu se ništa neće dogoditi na putu. Drugi unos je takođe netačan, tj. na putu desno, Ivan neće spasiti Vasilisu Lijepu. Dakle, na preostalom putu (put lijevo), Ivan će spasiti Vasilisu Lijepu.

2. Šest pljačkaša opljačkalo je kralja Dadona. Ispostavilo se da je plijen bio bogat - manje od stotinu identičnih ingota. Pljačkaši su počeli dijeliti plijen na jednake dijelove, ali se jedan ingot pokazao suvišnim. Razbojnici su se potukli, a jedan od njih je ubijen u tuči. Ostali su ponovo počeli dijeliti zlato, i opet se jedan komad pokazao suvišnim. I opet, jedan od pljačkaša je poginuo u tuči. I tako dalje: svaki put je jedan ingot bio suvišan i jedan od pljačkaša poginuo u tuči. Na kraju je ostao jedan razbojnik koji je preminuo od zadobijenih rana. Koliko je ingota bilo?

Rješenje:ako bi u početku bilo jedan bar manje, onda bi došlo do podjele. Broj koji je manji od 100 i djeljiv sa 2, 3, 4, 5, 6 - 60. Dakle, ukupan broj ingota je 60+1=61.

Zadaci za domišljatost

1. Dve majke, dve ćerke i baka sa unukom. Koliko?

2. Stan je imao 3 sobe. Napravljeno dva od jednog. Koliko soba ima u stanu?

3. Kako rasporediti 8 stolica uz četiri zida sobe tako da svaki zid ima 3 stolice?

Zadaci za domišljatost

Koliko sati su dan i noć zajedno?

Na stolu je bila jabuka. Podijeljen je na 4 dijela. Koliko je jabuka na stolu?

Zadaci za promjenu konstruirane figure

2. Napravite istu figuru od štapića kao na slici. Uklonite 2 štapa da napravite 6 kvadrata.

Brojne serije

1,2,3,4,5,6…

1,4,16…

45,39,33,27…

0,3,8,15,24…

112,56,28,14…

zagonetke

Zamijenite zvjezdice brojevima tako da su jednakosti zadovoljene u svim redovima i da svaki broj u posljednjem redu bude jednak zbiru brojeva u koloni ispod koje se nalazi. Rješenje:

11x10=110

6* : *7 = *

68:17 = 4

** +** =20

10+10= 20

* 2 -* = *

12- 4 = 8

*** +**=1**

101 +41+142

Problemi s geometrijskim sadržajem (unikursalne figure)

Poznata je parabola: neko je dao milion rubalja svakome ko izvuče sledeću cifru. Ali prilikom crtanja postavljen je jedan uslov. Bilo je potrebno da se ova figura nacrta u jednom kontinuiranom potezu, to jest, bez skidanja olovke ili olovke sa papira i bez udvostručavanja jedne linije, drugim riječima, bilo je nemoguće proći liniju jednom povučenu drugi put.

Zaključak

U matematici postoje različite vrste zadataka za domišljatost:

Za vaganje i transfuziju,

Logički zadaci,

zadaci transfuzije,

ukrštanje zadataka,

Problemi sa geometrijskim sadržajem,

Rebusi, serije brojeva.

Metode za rešavanje ovakvih problema leže u logičkoj analizi uslova, izboru odgovarajućih zakona matematike i optimalnog rešenja.

Ne postoji univerzalni način za rješavanje svih vrsta problema genijalnošću, svaki problem se rješava na svoj način.

Zadaci za domišljatost pomažu u učenju samostalnog razmišljanja, razvijanju logike, zanimanju za matematiku. Uz njihovu pomoć možete osjetiti povezanost matematike sa problemima stvarnog života.

Rešeni su zadaci koji stoje pred autorom dela, i to:

Proučiti temu "Rješavanje problema genijalnošću", vrste zadataka za domišljatost i metode za njihovo rješavanje;

Riješite nekoliko vrsta zadataka za domišljatost, samostalno izradite algoritam za rješavanje takvih problema.

Bibliografija

1. T.D. Gavrilova: "Zabavna matematika." Izdavačka kuća "Učitelj" 2008

2. Npr. Kozlova: "Priče i nagoveštaji". Izdavačka kuća Miros 1995

3. B. A. Kordemsky: “Matematička domišljatost” Izdavačka kuća “Državna izdavačka kuća tehničke i teorijske literature” 1958.

4. Ya. I. Perelman: "Zabavna algebra". Izdavačka kuća "Vek" 1994

5.R.M.Smullyan "Kako se zove ova knjiga?". Izdavačka kuća "Dom Meshcheryakova"

2007

7. http://matematika.gyn

8.www.smekalka.pp