Zgjuarsi matematikore. Puna kërkimore "math savvy" Njohuri matematikore për fëmijë

Parathënia e botimit të dytë 3

Kapitulli i parë
SFIDAT ARGËTUESE

Seksioni I
1. Pionierë vëzhgues 9385
2. "Lule guri" 10 385
3. Damë lëvizëse 11 385
4. Në tre lëvizje 11.386
5. Numëroni! 12 386
6. Rruga e kopshtarit 12.386
7. Duhet të kuptoni 13 386
8. Pa hezitim 13.386
9. Poshtë - lart 13 387
10. Kalimi i lumit (problem i vjetër) 14.387
11. Ujku, dhia dhe lakra 14.387
12. Hapni topa të zinj 15 388
13. Riparimi i zinxhirit 15 388
14. Rregulloni gabimin 16,390
15. Nga tre - katër (shaka) 16.390
16. Tre dhe dy - tetë (një shaka tjetër) 16.390
17 Tre katrorë 16 390
18. Sa pjesë? 17 390
19. Provojeni! 17 391
20. Flamurtari 17 391
21. Ruaj paritetin 18391
22. Trekëndëshi numër "Magjik" 18 391
23. Si luanin topin 12 vajza 19 392
24. Katër drejtëza 20 392
25. Ndani dhitë nga lakra 20.392
26. Dy trena 21.392
27. Në baticë (shaka) 21.393
28. Telefono 22 393
29. Numri i thyer 22 393
30. Ora e mahnitshme (puzzle kineze) 23,393
31. Tre radhazi 24 395
32. Dhjetë rreshta 24 395
33. Vendndodhja e monedhave 25 395
34. Nga 1 deri në 19 26 395
35. Shpejt por me kujdes 26,396
36. Kanceri kaçurrelë 27 396
37. Kostoja e librit 27 396
38. Mizë e shqetësuar 27,396
39. Më pak se 50 vjet 28,396
40. Dy shaka 28 396
41. Sa vjeç jam? 29 396
42. Vlerësoni "me një shikim" 29 397
43. Shtimi i shpejtësisë - 29 397
44. Në cilën dorë? (fokusi i matematikës) 31,397
45. Sa janë? 31 398
46. ​​Të njëjtat shifra 31 398
47. Njëqind 31 398
48. Duel aritmetik 32 398
49. Njëzet 33 398
50. Sa rrugë? 33 399
51. Ndrysho renditjen e numrave 35 400
52. Veprime të ndryshme, rezultat i njëjtë 35402
53. Nëntëdhjetë e nëntë e njëqind 36.402
54. Tabelë shahu e çmontueshme 36 402
55. Kërkoni për minierat 36 402
56. Mblidhni në grupe prej 2 38 402
57. Mblidhni në grupe prej 3 39 402
58. Ora ka ndalur 39 404
59. Katër veprime të aritmetikës 39 404
60. Shofer i hutuar 40 404
61. Për kompleksin hidroelektrik Tsimlyansk 41,404
62. Dorëzimi i bukës në orar 41 405
63. Në një tren periferik 41 405
64. Nga 1 në 1,000,000,000 41,405
65. Makthi i një tifozi futbolli 42,406

Seksioni II
66. Orë 43 406
67. Shkallët 43 407
68. Puzzle 43 407
69. Thyesat interesante 43 407
70. Cili është numri? 44 407
71. Rruga e nxënësit 44 407
72. Në stadium 44407
73. A fituat? 44 407
74. Ora me zile 44 407
75. Në vend të aksioneve të vogla, të mëdha 45,407
76. Sapun 45 408
77. Arra aritmetike 45 408
78. Domino 46 409
79. Kotelet e Mishës 48 409
80. Shpejtësia mesatare 48 409
81. Pasagjer në gjumë 48 409
82. Sa është gjatësia e trenit? 48 409
83. Çiklist 48 409
84. Konkursi 49 409
85. Kush ka të drejtë? 49 409
86. Për darkë - 3 feta të thekura 50 410

Kapitulli i dytë
DISPOZITA KONFIDENCIALE

87. Mendje e farkëtarit Hecho 51 410
88. Macja dhe minjtë 53 410
89. Ndeshje rreth monedhës 54 411
90. Shorti ra mbi siskin dhe robin 54 411
91. Rregulloni monedhat 55 411
92. Pasagjeri 1 55 412
93. Një problem që lind nga kapriçoja e tre vajzave 56 412
94. Zhvillimi i mëtejshëm detyrat 57 413
95. Kërcim damë 57 415
96. Bardh e zi 57 415
97. Komplikimi i problemit 58 415
98. Kartat grumbullohen sipas rendit numerik 58 415
99. Dy enigma për vendndodhjen 59 417
100. Kuti misterioze 59 417
101. “Garnizon” trim 60 417
102. Llambat fluoreshente në dhomën e TV 61 419
103. Vendosja e derrave gini 62,421
104. Përgatitja për festën 63 422
105. Ulja e drurëve të lisit ndryshe 65 423
106. lojëra gjeometrike 65 423
107. Çift dhe tek (puzzle) 68 424
108. Rregulloni renditjen e damëve 69 424
109. Dhurata puzzle 69 425
110. Lëvizja e kalorësit 70 425
111. Damë lëvizëse (2 enigma) 71,425
112. Grupimi origjinal i numrave të plotë nga 1 deri në 15 72 426
113. Tetë yje 73 426
114. Dy problema për vendosjen e shkronjave 73 427
115. Paraqitja e katrorëve shumëngjyrëshe 74 429
116. Çipi i fundit 74 430
117. Unaza e disqeve 75 431
118. Patinatorë në shesh patinazhi akull artificial 76 431
119. Problemi i shakasë 77 432
120. Njëqind e dyzet e pesë dyer (puzzle) 77 432
121. Si u lirua i burgosuri? 79 432

Kapitulli i tretë
GJEOMETRI MBI NDESHJE

122. Pesë enigma 85 433
123. Tetë enigma të tjera 86 433
124. Nga nëntë ndeshje 86 433
125. Spiralja 87 433
126. Shaka 87 433
127. Hiq dy ndeshje 87 433
128 Fasada e "shtepise" 87 433
129 Shaka 88 433
130 Trekëndësha 88 433
131 Sa ndeshje duhet të hiqen? 88 433
132 Shaka 88 433
133 Gardhi 88 433
134. Shaka 89 433
135. "Shigjeta" 89 433
136. Sheshe dhe diamante 89 433
137. Shumëkëndësha të ndryshëm në një figurë 89 433
138 Planifikimi i kopshtit 89 433
139 Pjesë të barabarta 90 433
140. Parket 91 433
141 Raporti i sipërfaqes i ruajtur 91 441
142. Gjeni skicën e figurës 91 441
143 Gjeni vërtetimin 92 441
144. Ndërtoni dhe vërtetoni 92 441

Kapitulli i katërt
PROVONI SHTATË HERË, PRET NJË HERË

145. Në pjesë të barabarta 93 442
146. Shtatë trëndafila në një tortë 95 443
147. Figura që kanë humbur formën e tyre 95 445
148. Këshillo 96 445
149. Pa humbje! 96 445
150. Kur nazistët shkelën tokën tonë 97 447
151. Kujtimet e një elektricisti 98 447
152. Gjithçka shkon në punë 99 447
153. Puzzle 99 447
154. Prit një patkua 99 447
155. Në secilën pjesë - një vrimë 99 448
156. Nga "kapi" - një katror 100 448
157. Sheshi nga shkronja "E" 100 448
158. Transformim i bukur 100 449
159. Restaurim tapeti 101449
160. Shpërblim i shtrenjtë 101 449
161. Ndihmoni të varfërit! 102 449
162. Dhuratë për gjyshen 103 451
163. Problemi i marangozit 104 451
164. Dhe gëzofi ka gjeometri! 104 452
165. Çdo kalë, një stallë 105 453
166. Më shumë! 105 453
167. Shndërrimi i një shumëkëndëshi në një katror 106 453
168. Shndërrimi i një gjashtëkëndëshi të rregullt në një trekëndësh barabrinjës 107 453

Kapitulli i pestë
AFTËSI DO TË GJET PERDORIM KUDO

169. Ku është objektivi? 109 454
170. Pesë minuta për të menduar 110 455
171. Takimi i paparashikuar 110 455
172. Trekëndësh udhëtimi Ш 456
173. Mundohuni të peshoni 111 458
174. Transferta 112 458
175. Shtatë trekëndësha 112458
176. Piktura e artistit 112 458
177. Sa peshon një shishe? 113 459
178. Kube 113 460
179. Kana e shtënë 114 461
180. Ku erdhi rreshteri? 114 461
181. Përcaktoni diametrin e logit 115 461
182. Vështirësi e papritur 115 461
183. Historia e një nxënësi të shkollës teknike 116 461
184. A është e mundur të fitoni 100% kursime? 116 463
185. Në peshore pranverore 117 463
186. Zgjuarsi projektimi 117 463
187. Dështimi i Mishës 117 465
188. Gjeni qendrën e rrethit 119 465
189. Cila kuti është më e rëndë? 119 466
190. Arti i zdrukthtarisë 120 466
191. Gjeometria në një top 120 466
192. Duhet zgjuarsi e madhe 121 467
193. Kushtet e vështira 121 468
194. Shumëkëndësha parafabrikate 122 468
195. Një metodë interesante e kompozimit të figurave të ngjashme 125 469
196. Mekanizmi i menteshës për ndërtimin e shumëkëndëshave të rregullt 127 471

Kapitulli i gjashtë
DOMINO DHE KUBI

A. Domino
197. Sa pikë? 132 471
198. Dy hile 133 471
199. Fitimi i lojës është i garantuar 134 471
200. Korniza 135 472
201. Kornizë brenda kornizës 136 472
202. "Windows" 136 473
203. Sheshe magjike të kockave domino 137 473
204. Sheshi magjik me vrimë 141 473
205. Shumëzim domino 141473
206. Merre me mend dominon e planifikuar 142 473

B. Kubi
207. Mashtrim aritmetik me duke luajtur zare 144 473
208. Supozimi i shumës së pikëve në fytyrat e fshehura 145 477
209. Në çfarë renditje janë kubet? 145 478

Kapitulli i shtatë
VETITË E NËNTË

210. Cili numër shënohet? 149 478
211. Pasuri e fshehur 152 479
212. Disa mënyra më argëtuese për të gjetur numrin që mungon 152,480
213. Bazuar në një shifër të rezultatit, përcaktoni tre 154 480 të mbetura
214. Duke marrë me mend ndryshimin 154 481
215. Përcaktimi i moshës 154 481
216. Cili është sekreti? 154 482

Kapitulli i tetë
ME DHE PA ALGJEBËR

217. Ndihmë e ndërsjellë 159 482
218. Lafer dhe djall 160 483
219. Fëmijë i zgjuar 161 483
220. Gjuetarët 161 483
221. Trenat në ardhje 162.484
222. Besimi është duke shtypur një dorëshkrim 162,484
223. Histori kërpudhash 163 484
224. Kush do të kthehet i pari? 164 484
225. Notar dhe kapelë 164 486
226. Dy anije 165 486
227. Provoni zgjuarsinë tuaj! 165 487
228. Sikleti parandaloi 166.488
229. Sa herë më shumë? 166 488
230. Anije me motor dhe hidroplan 167 488
231. Çiklistët në arenë 167.489
232. Shpejtësia e tornatorit Bykov 168 489
233. Udhëtimi i Jack London 168,489
234. Për shkak të analogjive të pasuksesshme, gabimet janë të mundshme169 490
235. Incidenti ligjor 170 491
236. Në dyshe dhe treshe 171.491
237. Kush i hipi kalit? 171 491
238. Dy motoçiklistë 171 492
239. Në cilin aeroplan është babai i Volodinit? 172 492
240. Thyej në copa 173 493
241. Dy qirinj 173 493
242. Vështrim i mahnitshëm 173 493
243. Koha e duhur 174 493
244. Orë 174 494
245. Sa është ora? 174 495
246. Në çfarë ore ka filluar dhe në cilën orë ka përfunduar mbledhja? 175 496
247. Rreshteri trajnon skautët 175.497
248. Sipas dy raporteve 176 498
249. Sa stacione të reja janë ndërtuar? 176 498
250. Zgjidh katër fjalë 177 498
251. A lejohet një peshim i tillë? 177 499
252. Elefanti dhe mushkonja 178 500
253. Numri pesëshifror 179500
254. Do të rritesh deri në njëqind vjet pa pleqëri 179 500
255. Problemi i Lukës 181 501
256. Ecje e veçantë, .181 502
257. Një veti e thyesave të thjeshta 182 504

Kapitulli i nëntë
MATEMATIKA PO THYERË PA LLOGARITJE

Në një dhomë të errët
Mollët
Parashikimi i motit (shaka)
dita e pyllit
Kush ka një emër?
Konkurrenca në saktësi
Blerje
Pasagjerët në një ndarje
Finalja e Turneut të Shahut të Ushtrisë Sovjetike
të dielën
Cili është emri i shoferit?
histori kriminale
Mbledhësit e bimëve
Ndarja e fshehur
Veprime të koduara (puzzle numerike)
Pllaka aritmetike
Motoçiklist dhe kalorës
Në këmbë dhe me makinë
"Nga e kundërta"
Zbuloni monedhë të falsifikuar
Vizatim logjik
tre burra të mençur
Pesë pyetje për studentët
Arsyetimi në vend të një ekuacioni
Nga sens të përbashkët
Po ose Jo?

Kapitulli i dhjetë
LOJËRAT DHE KOMPJET MATEMATIKE

A. Lojëra
284. Njëmbëdhjetë artikuj 201
285. Merr ndeshjet e fundit 202
286. Edhe fiton 202
287. Jianshizi 202
288. Si fitohet? 204
289. Shtro një katror 205
290. Kush do të jetë i pari që do të thotë "njëqind"? 206
291. Loja me katrorë 206
292. Oya 209
293. "Matezatico" (lojë italiane) 212
294. Lojë me katrorë magjikë 213
295. Kryqëzimi i numrave 215

B. Truket
296. Supozimi i numrit të planifikuar (7 truke) 219
297. Merre me mend rezultatin e llogaritjeve pa pyetur asgjë 224
298. Kush mori sa, mora vesh 226
299. Një, dy, tre përpjekje dhe e mora me mend saktë 226 537
300. Kush e mori çamçakëzin e kush lapsin? 227 537
301. Hamendësimi i tre termave të konceptuar dhe shumës 227 537
302. Merre me mend disa numra të konceptuar 228 538
303. Sa vjeç jeni? 229 538
304. Merreni me mend moshën 229 538
305. Fokusi gjeometrik (zhdukja misterioze) 230 538

Kapitulli njëmbëdhjetë
PJETUESIA E NUMRAVE

306. Numri në varr 232 539
307. Dhurata per Vitin e Ri 233 540
308. A mund të ketë një numër të tillë? 233 540
309. Shporta me vezë (nga një libër i vjetër problemor francez) 233 540
310. Numri treshifror 234 540
311. Katër anije 234 540
312. Gabim i arkëtarit 234 540
313. Puzzle numerike 234 541
314. Shenja e pjesëtueshmërisë me 11 235 541
315. Shenja e kombinuar e pjesëtueshmërisë me 7, 11 dhe 13 237 541
316. Thjeshtimi i testit të pjesëtueshmërisë me 8 239 541
317. Kujtim i mrekullueshëm 240 542
318. Shenja e kombinuar e pjesëtueshmërisë me 3, 7 dhe 19. 242 543
319. Pjesëtueshmëria e një binomi 242 543
320. E vjetra dhe e reja rreth pjesëtueshmërisë me 7,247,544
321. Zgjerimi i një shenje në numrat e tjerë 251 -
322. Shenja e përgjithësuar e pjesëtueshmërisë 252 -
323. Kurioziteti i pjesëtueshmërisë 254 -

Kapitulli i dymbëdhjetë
SHUMAT KRYQE DHE KATRORE MAGJIKE

A. Shuma të kryqëzuara
324. Grupime interesante 256 545
325. "Asterisk" 257 545
326. "Kristal" 257 545
327. Zbukurim vitrine 258 545
328. Kush do të ketë sukses i pari? 258 545
329. "Planetarium" 259 545
330. "Zbukuri" 259 545

B. Sheshe magjike
331. Të huaj nga Kina dhe India 260 548
332. Si të bëni vetë një katror magjik? 264 548
333. Në hyrje të metodave të zakonshme 266 549
334. Shqyrtimi i zgjuarsisë 271 549
335. Lojë "Magjike" e "15" 271 551
336. Sheshi magjik jotradicional 272 553
337. Çka gjendet në qelizën qendrore? 273 553
338. Vepra “Magjike” 275 553
339. "Karku" kuriozitetesh aritmetike 278 -
340. "Përveç" 280 -
341. Sheshe magjike "të rregullta" të rendit të katërt 283 -
342. Zgjedhja e numrave për një katror magjik të çdo rendi 287 -

KAPITULLI I TREMBËDHJETË KURIIOZ DHE SERIOZ NË NUMRA
343. Dhjetë figura (vëzhgime) 298 554
344. Disa vëzhgime më interesante 300 555
345. Dy përvoja interesante 302 555
346. Karuseli i numrit 306 -
347. Disku i shumëzimit të menjëhershëm 309 -
348 Gjimnastikë mendore 310 -
349. Modelet e numrave 312 557
350 Një për të gjithë dhe të gjithë për një 316 558
351. Gjetjet numerike 319 559
352. Vëzhgimi i një serie numrash natyrorë 326 560
353. Diferenca e bezdisshme 339 -
354. Shuma simetrike (arrë e pathyer) 340 -

Kapitulli i katërmbëdhjetë
NUMRAT TË LASHTË POR PËRGJITHMË TË RINJ

A. Numrat fillestarë
355. Numrat e thjeshtë dhe të përbërë 341 -
356. "Sosha e Eratosthenes" 342 -
357. “Sitë” e re për numrat e thjeshtë 344 563
358. Pesëdhjetë fjalët e para 345 -
359. Një mënyrë tjetër për të marrë numrat e thjeshtë. 345-
360. Sa numra të thjeshtë? 347

B. Numrat e Fibonaçit
361. Gjyqi publik 347 -
362. Seria Fibonacci 351 -
363. Paradoksi 352 564
364. Vetitë e numrave në serinë Fibonacci 355 -

B. Numrat kaçurrelë
365. Vetitë e numrave kaçurrelë 360 -
366. Numrat e Pitagorës 369 -

KAPITULLI I PESËMBËDHJETË QËLLIMI GJEOMETRIK NË PUNË
367. Gjeometria e mbjelljes 372 -
368. Racionalizimi në shtrimin e tullave për transport 375 -
369. Gjeometra pune 377

Njohuri dy kapituj:

PARATHËNIE E BOTIMIT TË DYTË
Në punë, në të mësuar, në lojë, në çdo veprimtari krijuese, një person ka nevojë për zgjuarsi, shkathtësi, hamendje, aftësi për të arsyetuar - gjithçka që populli ynë përcakton në mënyrë të duhur me një fjalë "tru". Zgjuarsia mund të rritet dhe zhvillohet me ushtrime sistematike dhe graduale, në veçanti, duke zgjidhur probleme matematikore si në kursin e shkollës, ashtu edhe probleme që dalin nga praktika që lidhen me vëzhgimet e botës së gjërave dhe ngjarjeve rreth nesh.
"Matematika," tha M. I. Kalinin, duke iu drejtuar nxënësve të shkollave të mesme, "disiplinon mendjen, mësohet me të menduarit logjik. Nuk është çudi që ata thonë se matematika është gjimnastika e mendjes.
Çdo familje në të cilën prindërit janë të shqetësuar për organizimin zhvillimin mendor fëmijët dhe adoleshentët ndjejnë nevojën për një material të përzgjedhur për të mbushur kohën e lirë me ushtrime matematikore të dobishme, të arsyeshme dhe jo të mërzitshme.
Pikërisht për këtë lloj aktivitetesh jashtëshkollore, biseda dhe argëtime në një mbrëmje të lirë, në rrethin familjar dhe me miqtë, ose në shkollë në takime jashtëshkollore, synohet "Zgjuarësia matematikore" - një koleksion miniaturash matematikore: detyra të ndryshme, lojëra matematikore, batutat dhe truket që kërkojnë punë të mendjes, zhvillimin e inteligjencës dhe logjikën e nevojshme në arsyetim.
Në kohët para-revolucionare, koleksionet e E. I. Ignatiev "Në fushën e zgjuarsisë" ishin të njohura gjerësisht. Tani ato janë të vjetruara për lexuesin tonë dhe për këtë arsye nuk ribotohen. Megjithatë, në këto koleksione ka probleme që ende nuk e kanë humbur vlerën e tyre pedagogjike dhe edukative. Disa prej tyre hynë të pandryshuar në Zgjuarësinë Matematikore, të tjerët me përmbajtje të ndryshuar ose krejtësisht të re.
Për zgjuarsinë matematike, unë gjithashtu zgjodha dhe, nëse ishte e nevojshme, përpunova probleme nga ato që janë të shpërndara nëpër faqet e literaturës së gjerë popullore vendase dhe të huaja, duke u përpjekur, megjithatë, të mos përsëris problemet e përfshira në librat popullorë të Ya. I. Perelman mbi matematikë argëtuese.
Ky lloj problemi matematikor i "formës së vogël" ndonjëherë lind si një nënprodukt i kërkimit serioz të një shkencëtari; shumë detyra janë shpikur nga amatorët, si dhe mësuesit, si ushtrime speciale për "gjimnastikë mendore". Ato, si gjëegjëzat dhe fjalët e urta, zakonisht nuk e ruajnë autorësinë e tyre dhe bëhen pronë publike.
"Mathematical Wits" është menduar për lexuesit me një shumëllojshmëri të gjerë të diplomave. trajnimi matematikor:
për një adoleshent 10 - 11 vjeç, duke bërë përpjekjet e para për të menduarit e pavarur;
për një nxënës të shkollës së mesme që është i apasionuar pas matematikës,
dhe për një të rritur që dëshiron të testojë dhe ushtrojë supozimin e tij.
Sistematizimi i detyrave sipas kapitujve, natyrisht, është shumë arbitrar; Çdo kapitull ka detyra të lehta dhe të vështira.
Libri ka pesëmbëdhjetë kapituj.
Kapitulli i parë përbëhet nga lloje të ndryshme ushtrimesh fillestare të një natyre "intriguese", bazuar në një hamendje ose veprime të drejtpërdrejta fizike (eksperiment), ndonjëherë në llogaritjet e thjeshta brenda aritmetikës së numrave të plotë (seksioni i parë i kapitullit) dhe numrave thyesorë (i dyti seksioni). Duke shkelur disi harmoninë klasifikuese të librit, veçova në kapitullin e parë disa nga problemet e thjeshta që tematikisht u përkasin kapitujve të mëpasshëm. Kjo bëhet në interes të atyre lexuesve që ende e kanë të vështirë të dallojnë në mënyrë të pavarur një detyrë të realizueshme nga një e pamundur. Duke zgjidhur lloje të ndryshme detyrash në kapitullin e parë me radhë, ata do të jenë në gjendje të provojnë dorën e tyre dhe më pas të transferojnë interesin për një temë të caktuar në detyrat përkatëse të kapitujve pasues.
Për të zgjidhur problemet e kapitullit të dytë, zgjuarsia dhe këmbëngulja e tij matematikore duhet të kapërcejë të gjitha llojet e pengesave dhe të sugjerojë një rrugëdalje nga situatat e vështira.
Kapitulli i tretë - "Gjeometria mbi ndeshjet" - përmban një sërë problemesh gjeometrike - enigma.
Kapitulli "Provo shtatë herë, prerë një herë" përbëhet nga detyra për prerjen e formave.
Përmbajtja e detyrave të kapitullit "Shkathtësia do të gjejë zbatim kudo" është e lidhur me veprimtari praktike, me teknologjinë.
Kapitulli i titulluar "Matematika pothuajse pa llogaritje" përmban probleme që kërkojnë një zinxhir arsyetimi të shkathët dhe delikate për t'i zgjidhur.
Lojërat dhe truket janë mbledhur në një kapitull të veçantë, dhe gjithashtu janë vendosur në të gjithë librin. Ato përmbajnë një bazë matematikore dhe padyshim përfshihen në “sferën e zgjuarsisë”.
Tre kapituj: "Shuma tërthore dhe katrorë magjikë", "Kurioz dhe serioz në numra" dhe "Numra të lashtë, por përjetësisht të rinj", i kushtohen disa vëzhgimeve kurioze mbi raportet numerike që janë grumbulluar në matematikë nga kohërat e lashta deri në kohën tonë.
Kapitulli i fundit- dy ese të shkurtra për zgjuarsinë e punës së njerëzve të Atdheut tonë, punëtorëve të fushave dhe fabrikave.
Në vende të ndryshme të librit, lexuesit i ofrohen tema të vogla për kërkime të pavarura.
Në fund të librit janë zgjidhjet e problemeve, por nuk duhet të nxitoni për t'i shqyrtuar ato.
Çdo detyrë për "zgjuarsi" është e mbushur me njëfarë "zjeri" dhe në shumicën e rasteve është një arrë e fortë për t'u çarë, e cila nuk është aq e lehtë për t'u çarë, por aq më tepër joshëse.
Nëse nuk arrini ta zgjidhni menjëherë një problem, mund ta kaloni përkohësisht dhe të kaloni te tjetri ose te detyrat e një seksioni tjetër, një kapitulli tjetër. Kthehuni te detyra e humbur më vonë.
"Zgjuarësia matematikore" nuk është një libër për lexim të lehtë "me një ulje", por për punë ndoshta disavjeçare, një libër për gjimnastikë të rregullt mendore në pjesë të vogla, një shoqërues i lexuesit në zhvillimin e tij gradual matematikor.
I gjithë materiali i librit i nënshtrohet një qëllimi edukativ dhe edukativ: të inkurajojë lexuesin në të menduarit e pavarur krijues, të përmirësojë më tej njohuritë e tyre matematikore.
Edicioni i dytë i Mathematical Wits nuk është një përsëritje stereotipike e të parit. Ndryshimet e kërkuara janë bërë në tekst dhe në zgjidhjet e disa problemeve; detyrat e veçanta zëvendësohen me të reja - më kuptimplote; libri është ridizajnuar.
Përpjekje të mëdha për përmirësimin e librit bëri redaktori i shtëpisë botuese M. M. Hot.
Duke zgjidhur problemet vetë, lexuesit në disa raste gjenin zgjidhje shtesë ose më të thjeshta dhe më komunikuan me dashamirësi rezultatet e tyre. Autorët e zgjidhjeve më interesante janë përmendur në vendet e duhura në libër.
Shpresoj të marr komente dhe sugjerime nga lexuesit e "Smekalka" për përmirësimin e mëtejshëm të librit, si dhe problemet e mia origjinale dhe materialet matematikore të artit popullor.
Adresa: Moskë, B-64, rr. Chernyshevsky, 31, apt. 53, Boris Anastasievich Kordemsky.
B. Kordemsky.

DETYRAT

"Një libër është një libër, dhe lëviz trurin tuaj"
V. Majakovski.

KAPITULLI I PARË. SFIDAT ARGËTUESE

SEKSIONI I
Provoni dhe ushtrojeni zgjuarsinë tuaj në fillim në detyra të tilla, zgjidhja e të cilave kërkon vetëm këmbëngulje të qëllimshme, durim, zgjuarsi të shpejtë dhe aftësi për të shtuar, zbritur, shumëzuar dhe pjesëtuar numra të plotë.

1. Pionierë të vëmendshëm
Nxënësit e shkollës - një djalë dhe një vajzë - sapo kanë bërë matjet meteorologjike.
Tani ata po pushojnë në një kodër dhe po shohin një tren mallrash që kalon.
Lokomotiva në rritje pi duhan dhe fryhet furishëm. Përgjatë kanavacës hekurudhor në mënyrë të barabartë, pa rrëmbime era fryn.
- Çfarë shpejtësie të erës treguan matjet tona? pyeti djali.
- 7 metra në sekondë.
- Sot, kjo më mjafton për të përcaktuar se sa shpejt ecën treni.
- Epo, po, - dyshoi vajza.
- Dhe ju shikoni më nga afër lëvizjen e trenit.
Vajza u mendua pak dhe gjithashtu kuptoi se çfarë ishte puna.
Dhe ata panë saktësisht se çfarë pikturoi artisti ynë (Fig. 1). Sa ishte shpejtësia e trenit?
Oriz. 1. Sa shpejt është treni?

2. "Lule guri"
E mbani mend mjeshtrin e talentuar "mjeshtri" Danila nga përralla e P. Bazhov "Lulja e gurit"?
Ata thonë në Urale se Danila, kur ishte ende studente, gdhendi dy lule të tilla (Fig. 2), gjethet, kërcelli dhe petalet e të cilave ishin të ndara, dhe nga pjesët që rezultuan të luleve ishte e mundur të palosej një pjatë në formën e një rrethi.
Provoje! Rivizatoni lulet e danilinës në letër ose karton, prisni petalet, kërcellet dhe gjethet dhe palosni rrethin.

3. Damë lëvizëse
Vendosni 6 damë në tryezë në një rresht në mënyrë alternative - të zezë, të bardhë, një tjetër të zezë, një tjetër të bardhë, etj. (Fig. 3).
Oriz. 3. Damët e bardha duhet të jenë në të majtë, të ndjekur nga ato të zeza.
Leje majtas ose djathtas vend i lirë, të mjaftueshme për katër damë.
Kërkohet lëvizja e damave në mënyrë që të gjitha të bardha të jenë në të majtë, dhe pas tyre të gjitha ato të zeza. Në të njëjtën kohë, ju duhet të zhvendosni dy damë aty pranë në një vend bosh menjëherë, pa ndryshuar rendin në të cilin shtrihen. Për të zgjidhur problemin, mjafton të bëni tre lëvizje (tre lëvizje) *).
Nëse nuk keni damë, përdorni monedha ose prisni copa letre ose kartoni.
*) Tema e këtij problemi është zhvilluar më tej në problemat 96 dhe 97 (fq. 57 dhe 58).

4. Në tre lëvizje
Vendosni 3 grumbuj shkrepsash në tavolinë. Vendosni 11 ndeshje në një grumbull dhe 7 në tjetrin, 6 në të tretën. Kur kaloni ndeshjet nga çdo grumbull në një tjetër, duhet të barazoni të tre grumbujt në mënyrë që secila të ketë 8 ndeshje. Kjo është e mundur, pasi numri i përgjithshëm i ndeshjeve - 24 - është i pjesëtueshëm me 3 pa mbetje; në këtë rast, kërkohet të respektohet rregulli i mëposhtëm: lejohet të shtohen saktësisht aq ndeshje në çdo grumbull sa ka në të. Për shembull, nëse ka 6 ndeshje në një grumbull, atëherë mund t'i shtohen vetëm 6, nëse ka 4 ndeshje në një grumbull, atëherë mund t'i shtohen vetëm 4.
Problemi zgjidhet në 3 lëvizje.

5. Numëroni!
Kontrolloni vëzhgimin tuaj gjeometrik: numëroni sa trekëndësha ka në figurën e paraqitur në fig. katër.

6. Mënyra e kopshtarit
Në fig. 5 është një plan i një pemishte të vogël mollësh (pika - pemë mollësh). Kopshtari i përpunoi të gjitha pemët e mollëve me radhë.
Oriz. 5. Plani i pemishtes me mollë.
Ai filloi nga qelia e shënuar me një yll dhe eci një nga një nëpër të gjitha qelitë, të dyja të zëna nga pemë molle dhe
i lirë, nuk kthehet më në qelinë e kaluar. Ai nuk eci përgjatë diagonaleve dhe nuk ishte në qelitë me hije, pasi aty ishin vendosur ndërtesa të ndryshme.
Pasi mbaroi turneun, kopshtari përfundoi në të njëjtin shesh nga ai filloi udhëtimin e tij.
Vizatoni rrugën e kopshtarit në fletoren tuaj.

7. Duhet të jesh i zgjuar
Ka 5 mollë në shportë. Si t'i ndajmë këto mollë në pesë vajza në mënyrë që secila vajzë të marrë një mollë dhe një mollë të mbetet në shportë?

8. Pa hezitim
Më thuaj, sa mace janë në dhomë, nëse një mace ulet në secilin nga katër qoshet e dhomës, 3 mace ulen përballë secilës mace dhe një mace ulet në bishtin e secilës mace?

9. Poshtë - lart
Djali e shtypi fort buzën e lapsit blu në buzën e lapsit të verdhë. Një centimetër (në gjatësi) e skajit të shtypur të lapsit blu, duke llogaritur nga fundi i poshtëm, lyhet me bojë. Djali e mban lapsin e verdhë të palëvizur, dhe ai blu, duke vazhduar ta shtypë atë kundër të verdhës, e ul me 1 cm, pastaj e kthen në pozicionin e mëparshëm, e ul përsëri me 1 cm dhe përsëri kthehet në pozicionin e mëparshëm; 10 herë ul dhe ngre lapsin blu 10 herë (20 lëvizje).
Nëse supozojmë se gjatë kësaj kohe boja nuk thahet dhe nuk shterohet, atëherë sa centimetra në gjatësi do të ndotet lapsi i verdhë pas lëvizjes së njëzetë?
Shënim. Ky problem u shpik nga matematikani Leonid Mikhailovich Rybakov në rrugën për në shtëpi pas një gjuetie të suksesshme rosë. Çfarë e shtyu atë të shkruante problemin, do ta lexoni në faqen 387 pasi ta zgjidhni problemin.

10. Kalimi i lumit (një problem i vjetër)
Një detashment i vogël ushtarak iu afrua lumit nëpër të cilin duhej kaluar. Ura është thyer dhe lumi është i thellë. Si të jesh? Papritur, oficeri vëren dy djem pranë bregut, duke u argëtuar në një varkë. Por varka është aq e vogël sa vetëm një ushtar ose vetëm dy djem mund ta kalojnë atë - jo më shumë! Megjithatë, të gjithë ushtarët kaluan lumin me këtë varkë. Si?
Zgjidheni këtë problem "në kokën tuaj" ose praktikisht - duke përdorur damë, ndeshje ose diçka të tillë dhe duke i lëvizur ato rreth tryezës përmes një lumi imagjinar.

11. Ujku, dhia dhe lakra
Ky është gjithashtu një problem i vjetër; gjendet në shkrimet e shekullit të 8-të. Ka përmbajtje përrallore.
Oriz. 6. Ishte e pamundur të lije një ujk dhe një dhi pa një burrë ...
Një person i caktuar duhej të transportonte një ujk, një dhi dhe lakër në një varkë përtej lumit. Vetëm një person mund të futej në barkë, dhe me të ose një ujk, një dhi ose një lakër. Por nëse lini një ujk me një dhi pa burrë, atëherë ujku do të hajë një dhi, nëse ju lini një dhi me lakër, atëherë dhia do të hajë lakër, dhe në prani të një njeriu "askush nuk hëngri njeri". Burri ende transportonte ngarkesën e tij përtej lumit.
Si e bëri atë?
Ka 8 topa në një grykë të ngushtë dhe shumë të gjatë: katër të zinj në të majtë dhe katër të bardhë me një diametër pak më të madh në të djathtë (Fig. 7). Në pjesën e mesme të korit, ka një kamare të vogël në mur, në të cilën mund të vendoset vetëm një top (ndonjë). Dy topa mund të vendosen krah për krah përgjatë gropës vetëm në vendin ku ndodhet kamare. Skaji i majtë i gropës është i mbyllur, ndërsa fundi i djathtë ka një vrimë nëpër të cilën mund të kalojë çdo top i zi, por jo ai i bardhë. Si të rrokullisni të gjithë topat e zinj nga gropa? Nuk lejohet nxjerrja e topave nga gypi.

13. Riparimi i zinxhirit
A e dini se çfarë mendoi mjeshtri i ri (Fig. 8)? Përpara tij janë 5 hallka të zinxhirit, të cilat duhet të lidhen në një zinxhir pa përdorur unaza shtesë. Nëse, për shembull, hiqni unazën 3 (një operacion) dhe e lidhni në unazën 4 (një operacion më shumë), pastaj hiqni unazën 6 dhe fiksoni unazën 7, etj., atëherë do të ketë gjithsej tetë operacione, dhe masteri përpiqet të krijojë zinxhirin me ndihmën e vetëm gjashtë operacioneve. Ai ia doli. Si veproi?

14. Rregulloni gabimin
Merrni 12 ndeshje dhe vendosni prej tyre "barazinë" e treguar në fig. 9.
Oriz. 9. Korrigjo gabimin duke zhvendosur vetëm një ndeshje.
Barazia, siç mund ta shihni, është e pasaktë, pasi rezulton se 6 - 4 = 9.
Lëvizni një ndeshje në mënyrë që të merrni barazinë e saktë.

15. Nga tre - katër (shaka)
Në tavolinë janë 3 ndeshje.
Pa shtuar asnjë ndeshje të vetme, bëni tre deri në katër. Nuk mund të prishësh ndeshje.

16. Tre po dy - tetë (një shaka tjetër)
Ja një shaka tjetër e ngjashme. Mund t'ia ofroni mikut tuaj.
Vendosni 3 ndeshje në tavolinë dhe ftoni një mik t'u shtojë 2 të tjera në mënyrë që të merrni tetë. Sigurisht, nuk mund të prishësh ndeshje.

17. Tre katrorë
Nga 8 shkopinj (për shembull, ndeshje), katër prej të cilave janë gjysma e gjatësisë së katër të tjerave, duhet të bëni 3 katrorë të barabartë.

18. Në tortorinë e uzinës, pjesët kthehen nga boshllëqet e plumbit. Nga një bosh - një detaj. Rruajtjet që rezultojnë nga veshja e gjashtë pjesëve mund të: shkrihen dhe përgatiten për një boshllëk tjetër. Sa pjesë mund të bëhen në këtë mënyrë nga 36 boshllëqe plumbi?

19. Provojeni!
Në një sallë kërcimi katror, ​​vendosni 10 karrige përgjatë mureve në mënyrë që të ketë numër të barabartë karrigesh në çdo mur.

20. Rregullimi i flamujve
Një hidrocentral i vogël ndër-kolkoz u ndërtua nga anëtarët e Komsomol. Deri në ditën e nisjes së tij, pionierët dekorojnë pjesën e jashtme të termocentralit në të katër anët me kurora, llamba dhe flamuj. Kishte pak flamuj, vetëm 12.
Pionierët fillimisht i vendosën nga 4 në secilën anë, siç tregohet në diagramin (Fig. 10), më pas kuptuan se mund të vendosnin të njëjtat 12 flamuj 5 ose edhe 6 në secilën anë. Atyre u pëlqeu më shumë projekti i dytë dhe vendosën vendosni 5 kuti kontrolli.
Tregoni në diagram se si pionierët rregulluan 12 flamuj, 5 në secilën nga katër anët dhe si mund t'i rregullonin 6 flamuj.

21. Ruani barazinë
Merrni 16 nga disa objekte (letër, monedha, kumbulla ose damë) dhe renditini ato 4 me radhë (Fig. 11). Tani hiqni 6 pjesë, por në mënyrë që të mbetet një numër çift artikujsh në secilën rresht horizontal dhe vertikal. Duke hequr 6 pjesë të ndryshme, mund të merrni zgjidhje të ndryshme.

22. Trekëndëshi numerik "Magjik".
Në kulmet e trekëndëshit kam vendosur numrat 1, 2 dhe 3, dhe ju do t'i vendosni numrat 4, 5, 6, 7, 8, 9 në brinjët e trekëndëshit në mënyrë që shuma e të gjithë numrave përgjatë secilës anë të trekëndëshit është 17. Kjo nuk është e vështirë, pasi sugjerova se çfarë numrash duhet të vendosen në kulmet e trekëndëshit. 2
Do t'ju duhet shumë më gjatë nëse nuk ju them paraprakisht se cilët numra duhet të vendosen në kulmet e trekëndëshit dhe sugjeroj t'i vendosni përsëri numrat
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
secili një herë, përgjatë brinjëve dhe në kulmet e trekëndëshit në mënyrë që shuma e numrave në secilën anë të trekëndëshit të jetë 20.
Kur të merrni rregullimin e dëshiruar të numrave, kërkoni gjithnjë e më shumë rregullime të reja. Kushtet e problemit mund të plotësohen për një shumëllojshmëri të gjerë të rregullimeve të numrave.

23. Si luanin topin 12 vajza
Dymbëdhjetë vajza qëndruan në një rreth dhe filluan të luanin top. Secila vajzë ia hodhi topin fqinjit të saj në të majtë. Kur topi kalonte rreth të gjithë rrethit, ai u hodh në drejtim të kundërt. Pas pak, një vajzë tha:
- Më mirë ta hedhim topin përmes një personi.
"Por meqenëse jemi dymbëdhjetë prej nesh, gjysma e vajzave nuk do të marrin pjesë në lojë," kundërshtoi gjallërisht Natasha.
- Atëherë do ta hedhim topin nëpër dy! (Çdo i treti kap topin.)
- Edhe më keq: vetëm katër do të luajnë ... Nëse doni që të gjitha vajzat të luajnë, ju duhet ta hidhni topin në katër (kapja e pestë). Nuk ka asnjë kombinim tjetër.
- Dhe nëse e hedh topin përmes gjashtë personave?
- Do të jetë i njëjti kombinim, vetëm topi do të shkojë në drejtim të kundërt.
- Dhe nëse luani në dhjetë (çdo i njëmbëdhjeti kap topin)? - pyetën vajzat.
Ne kemi luajtur tashmë në këtë mënyrë ...
Vajzat filluan të vizatojnë diagrame të të gjitha mënyrave të propozuara të lojës dhe shumë shpejt u bindën se Natasha kishte të drejtë. Vetëm një skemë e lojës (përveç asaj fillestare) mbuloi të gjithë pjesëmarrësit pa përjashtim (Fig. 13, a).
Tani, nëse do të luanin trembëdhjetë vajza, topi mund të hidhej përmes njërës (Fig. 13, b), dhe përmes dy (Fig. 13, c), dhe përmes tre (Fig. 13, d) dhe përmes katër ( Fig. 13, e), dhe çdo herë loja do të mbulonte të gjithë pjesëmarrësit. Zbuloni nëse, me trembëdhjetë lojtarë, është e mundur të hidhet topin përmes pesë personave?
A është e mundur të hedhësh topin përmes gjashtë personave me trembëdhjetë lojtarë? Mendoni dhe vizatoni diagramet e duhura për qartësi.

24. Katër vija të drejta
Merrni një fletë letre dhe vizatoni ca Fig. 14. Ka nëntë pika në mënyrë që ato të vendosen në formën e një katrori, siç tregohet në fig. 14. Tani kaloni të gjitha pikat me katër vija të drejta, pa e hequr lapsin nga letra.

25. Ndani dhitë nga lakra
Tani zgjidhni një problem që është në një farë kuptimi i kundërt i atij të mëparshmi. Aty i lidhëm pikat me vija të drejta dhe këtu duhet të vizatojmë 3 vija të drejta në mënyrë që të ndajmë dhitë nga lakra (Fig. 15). Në vizatimin e librit nuk duhet të vizatohen vija të drejta.
Rivendosni paraqitjen e dhive dhe lakrave në fletoren tuaj dhe më pas përpiquni ta zgjidhni problemin. Ju nuk mund të vizatoni fare vija, por përdorni hala thurje ose tela të hollë.

26. Dy trena
Treni i shpejtë u nis nga Moska për në Leningrad dhe shkoi pa ndalesë me një shpejtësi prej 60 kilometrash në orë. Një tren tjetër doli për ta takuar nga Leningrad në Moskë dhe gjithashtu shkoi pa ndalesë me një shpejtësi prej 40 kilometrash në orë.
Sa larg do të jenë këta trena 1 orë para se të takohen?

27. Në baticë (shaka)
Jo shumë larg bregut ka një anije me një shkallë litari të nisur përgjatë anës. Shkallët kanë 10 shkallë; distanca ndërmjet shkallëve është 30 cm Shkalla më e ulët prek sipërfaqen e ujit. Oqeani është shumë i qetë sot, por batica po hyn dhe po ngrihet
Ishin dy numra dhe uji për çdo orë 15 cm Pas sa kohësh do të mbulohet me ujë hapi i tretë i shkallës së litarit?

28. Dial
a) Ndani faqen e orës me dy vija të drejta në tre pjesë, në mënyrë që, duke mbledhur numrat, në secilën pjesë të fitoni të njëjtën sasi.
b) A mund të ndahet ky numërues në 6 pjesë në mënyrë që në secilën pjesë shumat e këtyre dy numrave në secilën nga gjashtë pjesët të jenë të barabarta me njëra-tjetrën?

29. Dial i prishur
Në muze, pashë një orë të vjetër me numra romakë në numërues, dhe në vend të numrit të njohur katër (IV), kishte katër shkopinj (IIII). Të çarat e formuara në numërues e ndanë atë në 4 pjesë, siç tregohet në Fig. 17. Shumat e numrave në secilën pjesë nuk ishin të njëjta: në njërën - 21, në tjetrën - 20, në të tretën - 20, në të katërtin - 17.
Vura re se me një renditje paksa të ndryshme të çarjeve, shuma e numrave në secilën nga katër pjesët e numrit do të ishte 20. Me një renditje të re të çarjeve, ato mund të mos kalojnë nga qendra e numrit. Rivizatoni faqen e orës në fletoren tuaj dhe gjeni këtë vendndodhje të re të çarjeve.
Oriz. 17. Çarjet e ndanë dialin në 4 pjesë.

30. Ora e mahnitshme (puzzle kineze)
Një herë, një orëndreqësi iu kërkua urgjentisht të hynte në një shtëpi.
- Jam i sëmurë, - u përgjigj orëndreqësi, - dhe nuk mund të shkoj. Por nëse riparimi është i thjeshtë, unë do t'ju dërgoj nxënësin tim.
Doli se ishte e nevojshme të zëvendësoheshin shigjetat e thyera me të tjera.
"Nxënësi im mund ta përballojë këtë," tha mjeshtri. - Ai do të kontrollojë mekanizmin e orës tuaj dhe do të zgjedhë akrepat e rinj për të.
Çiraku e bënte punën e tij me shumë zell, dhe në kohën kur mbaroi së kontrolluari orën, tashmë ishte errët. Duke e konsideruar punën e përfunduar, ai vuri me nxitim akrepat e kapur dhe i vuri në orën e tij: një dorë të madhe në numrin 12 dhe një të vogël në numrin 6 (ishte saktësisht ora 18).
Por pak pasi nxënësi u kthye në dhomën e kallajit për të informuar kryepunëtorin se puna kishte mbaruar, ra zilja e telefonit. Djali mori telefonin dhe dëgjoi zërin e zemëruar të klientit:
- E ke rregulluar keq orën, e tregon kohën gabim.
Çiraku i mjeshtrit, i habitur nga ky mesazh, nxitoi te klienti. Kur mbërriti, ora që kishte riparuar tregonte fillimin e nëntë. Studenti nxori orën e xhepit dhe ia dha pronarit të zemëruar të shtëpisë:
- Kontrollo, të lutem. Ora juaj nuk është kurrë prapa.
Klienti i habitur u detyrua të pranonte që ora e tij ishte brenda ky moment vërtet tregon kohën e duhur.
Por të nesërmen në mëngjes, klienti thirri përsëri dhe tha se akrepat e orës, padyshim, ishin çmendur dhe eci rreth numrit si të donin. Çiraku i zotit vrapoi te klienti. Ora tregonte fillimin e të tetës. Duke kontrolluar kohën në orën e tij, ai u zemërua seriozisht:
- Po qesh me mua! Ora juaj tregon kohën e saktë!
Ora vërtet tregonte kohën e saktë. Dishepulli i indinjuar i mësuesit donte të largohej menjëherë, por mjeshtri e ndaloi. Dhe pas pak minutash, ata gjetën shkakun e incidenteve të tilla të pabesueshme.
Nuk e keni marrë me mend se çfarë po ndodh këtu?

31. Tre radhazi
Vendosni 9 butona në tavolinë në formë katrori, 3 butona në secilën anë dhe një në qendër (fig. 18). Vini re se nëse ka dy ose më shumë butona përgjatë ndonjë linje të drejtë, atëherë ne do ta quajmë gjithmonë një rregullim të tillë një "rresht". Pra, AB dhe CD janë rreshta, secila prej të cilave ka 3 butona, dhe EF është një rresht që përmban dy butona.
Oriz. 18. Sa rreshta ka?
Përcaktoni sa rreshta me 3 butona janë secili në figurë dhe sa rreshta të tillë, secila prej të cilave ka vetëm 2 butona.
Tani hiqni çdo 3 butona dhe rregulloni 6 të mbeturit në 3 rreshta në mënyrë që të ketë 3 butona në çdo rresht.

32. Dhjetë rreshta
Është e lehtë të merret me mend se si të rregulloni 16 damë në 10 rreshta me 4 damë në çdo rresht. Është shumë më e vështirë të rregulloni 9 damë në 10 rreshta në mënyrë që të ketë 3 damë në çdo rresht.
Zgjidhini të dyja problemet.

33. Vendndodhja e monedhave
Në një fletë letre të zbrazët, vizatoni figurën e treguar në Fig. 19, duke rritur madhësinë e tij me 2-3 herë dhe përgatitni 17 monedha të emërtimit të mëposhtëm:
20 kopekë - 5 copë,
15 kopekë - 3 copë,
10 kopekë - 3 copë,
5 kopekë - 6 copë.
Oriz. 19. Vendosni monedhat në katrorët e kësaj figure.
Vendosni monedhat e përgatitura në katrorët e figurës së vizatuar në mënyrë që shuma e kopekëve përgjatë çdo vije të drejtë të treguar në figurë të jetë 55.

34. Nga 1 deri në 19
Në nëntëmbëdhjetë rrathë fig. 20 kërkohet për të rregulluar 19 në mënyrë që shuma e numrave në çdo tre rrathë që shtrihen në të njëjtën drejtëz të jetë e barabartë me 30.

35. Shpejt por i kujdesshëm
Zgjidhini 4 problemet e mëposhtme "me shpejtësi" - kush do të japë përgjigjen e saktë më shpejt:

Detyra 1. Në mesditë, një autobus me pasagjerë niset nga Moska për në Tula. Një orë më vonë, një çiklist largohet nga Tula për në Moskë dhe udhëton përgjatë së njëjtës autostradë, por, natyrisht, shumë më ngadalë se autobusi.
Kur të takohen pasagjerët e autobusit dhe çiklisti, cili prej tyre do të jetë më larg nga Moska?
Problemi 2. Çfarë është më e shtrenjtë: një kilogram hryvnias apo gjysmë kilogrami dy hryvnias?
Problemi 3. Në orën 6 ora e murit goditi 6 goditje. Vura re nga ora e xhepit se koha e kaluar nga goditja e parë deri në të gjashtin ishte saktësisht 30 sekonda.
Nëse orës i janë dashur 30 sekonda për të goditur 6 herë, për sa kohë do të vazhdojë të rrahë ora në mesditë ose në mesnatë, kur ora shënon 12 herë?
Detyra 4. Nga një pikë fluturuan 3 dallëndyshe. Kur do të jenë në të njëjtin avion?

Tani, me arsyetim të qetë, kontrolloni vendimet tuaja dhe shikoni seksionin "Përgjigjet".
- Epo, si? A keni rënë në ato gracka të vogla që përfshihen në këto detyra të thjeshta?
Detyra të tilla janë tërheqëse sepse mprehin vëmendjen dhe mësojnë të jeni të kujdesshëm në trenin e zakonshëm të mendimit.
të gjithë numrat e plotë nga 1 në
Oriz. 20. Plotësoni rrathët me numrat nga 1 deri në 19.

36. Kanceri kaçurrelë
Kanceri i figuruar, i paraqitur në Fig. 21, i përbërë nga 17 copë.
Palosni dy figura menjëherë nga pjesët e këtij kanceri: një rreth dhe një katror pranë tij.

37. Kostoja e librit
Për librin ata paguan 1 rubla dhe gjysmën tjetër të kostos së librit. Sa kushton një libër?

38. Mizë e shqetësuar
Në autostradën Moskë - Simferopol, dy atletë nisën njëkohësisht një ecje stërvitore me biçikletë drejt njëri-tjetrit.
Në atë moment, kur mbetën vetëm 300 km midis çiklistëve, miza u interesua shumë për kilometrazhin. Pasi fluturoi nga supi i një çiklist dhe përpara tij, ajo u vërsul drejt një tjetri. Pasi takoi çiklistin e dytë dhe duke u siguruar që gjithçka ishte e sigurt, ajo u kthye menjëherë. Miza fluturoi te atleti i parë dhe përsëri u kthye te i dyti.
Kështu ajo fluturoi midis çiklistëve që po afroheshin derisa u takuan çiklistët. Pastaj miza u qetësua dhe u ul në njërën prej tyre në hundë.
Miza fluturoi midis çiklistëve me një shpejtësi prej 100 km në orë, dhe çiklistët gjatë gjithë kësaj kohe udhëtonin me një shpejtësi prej 50 km në orë.
Sa kilometra fluturoi miza?

39. Më pak se 50 vjet më vonë
A do të ketë një vit të tillë në këtë shekull që nëse shkruhet me numra, dhe letra kthehet përmbys, atëherë numri i formuar në letrën e kthyer do të shprehë të njëjtin vit?

40. Dy shaka
Shakaja e parë. Babai i telefonoi vajzës së tij, i kërkoi asaj të blinte disa nga gjërat që i duheshin për largimin e tij dhe tha se paratë ishin në një zarf në tavolinën e tij. Vajza, duke i hedhur një vështrim të shkurtër zarfit, pa numrin 98 të shkruar në të, nxori paratë dhe pa i numëruar i futi.
çantën, dhe e shtypi zarfin dhe e hodhi.
Në dyqan ajo bleu gjëra për 90 rubla, dhe kur donte të paguante, doli që jo vetëm që nuk i kishin mbetur tetë rubla, siç priste, por i mungonin edhe katër rubla.
Në shtëpi, ajo i tha babait të saj për këtë dhe e pyeti nëse ai kishte bërë një gabim kur numëronte paratë. Babai u përgjigj se i numëroi saktë paratë, por ajo vetë gaboi dhe duke qeshur ia tregoi gabimin. Cili ishte gabimi i vajzës?

Shaka e dytë. Përgatitni 8 copa letre me numrat 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 dhe 9 dhe renditini në dy kolona si në fig. 22.
Duke lëvizur vetëm dy copa letre, sigurohuni që shumat e numrave në të dyja kolonat të jenë të njëjta.
Oriz. 22. Barazoni shumat e pabarabarta.

41. Sa vjeç jam?
Kur babai im ishte 31 vjeç, unë isha 8 vjeç dhe tani babai im është dy herë më i vjetër. Sa vjeç jam tani?

42. Vlerësoni "me një shikim"
Ju keni dy kolona numrash:
123456789 1
12345678 21
1234567 321
123456 4321
12345 54321
1234 654321
123 7654321
12 87654321
1 987654321
Shikoni më nga afër: numrat e kolonës së dytë formohen nga të njëjtët numra si numrat e kolonës së parë, por me renditje të kundërt të renditjes së tyre. (Për qartësi, zerot në kolonën e majtë janë hequr.)
Cila kolonë, kur mblidhet së bashku, do të japë rezultatin më të madh?
Së pari krahasoni këto shuma "me një shikim", pra pa shtuar akoma, përpiquni të përcaktoni nëse ato duhet të jenë të njëjta apo nëse njëra duhet të jetë më e madhe se tjetra dhe më pas kontrolloni me mbledhje.

43. Shtimi i shpejtësisë
Tetë terma gjashtëshifrorë (...) zgjidhen në atë mënyrë që, duke i grupuar në mënyrë të arsyeshme, mund ta gjeni "në mendjen tuaj" shumën në 8 sekonda. A mund ta përballoni këtë shpejtësi?
Ka udhëzime në seksionin "Përgjigjet", por ... do t'i kërkoni më gjatë.
Dhe tregojuni miqve tuaj dy truke, të cilat mund t'i quani me shaka edhe "shtim i shpejtësisë".

Fokusi i parë. Thuaj: “Pa më treguar, shkruani sa të doni numra shumëshifrorë në një kolonë. Pastaj do të vij], do të shkruaj të njëjtin numër numrash shumë shpejt dhe do t'i mbledh të gjithë në çast.”
Le të themi se miqtë shkruan:
7621
3057
2794
4518
Dhe ju caktoni numra të tillë, secili prej të cilëve plotëson deri në 9999 një nga një të gjithë numrat e shkruar. Këta numra do të jenë:
5481
7205
6942
2378
Me të vërtetë: (...)
Tani nuk është e vështirë të kuptosh se si të llogaritësh shpejt të gjithë shumën: (...)
Është e nevojshme të merret 9999 4 herë, domethënë 9999X4, dhe një shumëzim i tillë bëhet shpejt në mendje. Shumëzoni 10,000 me 4 dhe zbritni 4 njësitë shtesë. Rezulton:
10,000 X 4 - 4 = 40,000 - 4 = 39,996.
Ky është i gjithë sekreti i mashtrimit!

Fokusi i dytë. Shkruani njërin nën tjetrin çdo 2 numra të çdo madhësie. Do të shtoj të tretën dhe në çast, nga e majta në të djathtë, do të shkruaj shumën e të tre numrave.
Le të themi se keni shkruar:
72 603 294
51 273 081
Unë do të caktoj, për shembull, numrin e mëposhtëm: 48 726 918 dhe do t'ju tregoj menjëherë shumën.
Cilin numër duhet t'i atribuohet dhe si ta gjeni shpejt shumën në këtë rast, kuptoni vetë!

44. Në cilën dorë? (mashtrim matematikor)
Jepini shokut tuaj dy monedha: njëra me numër çift kopekësh dhe tjetra me numër tek (për shembull, dy kopekë dhe tre kopekë). Lëreni, pa ju treguar, të marrë njërën nga këto monedha (ndonjëra) në dorën e djathtë dhe të dytën në të majtën. Ju lehtë mund ta merrni me mend se cilën dorë ka, cilën monedhë.
Ftojeni atë të trefishojë numrin e kopekëve që përmban monedha e mbajtur në dorën e djathtë dhe të dyfishojë numrin e kopekëve që përmban monedha e mbajtur në dorën e majtë. Lëreni të mbledhë rezultatet dhe t'ju tregojë vetëm shumën që rezulton.
Nëse shuma e emërtuar është çift, atëherë ka 2 kopekë në dorën e djathtë, nëse është tek, atëherë 2 kopekë në dorën e majtë.
Shpjegoni pse funksionon gjithmonë në këtë mënyrë dhe mendoni për mënyra për ta diversifikuar këtë mashtrim.

45. Sa janë?
Një djalë ka aq motra sa vëllezër, dhe motra e tij ka gjysmën e motrave sa vëllezërit.
Sa vëllezër dhe motra janë në këtë familje?

46. ​​Të njëjtët numra
Duke përdorur vetëm mbledhjen, shkruani numrin 28 me pesë dyshe dhe numrin 1000 me tetë tetë.

47. Njëqind
Duke përdorur çdo veprim aritmetik, bëni numrin 100 ose nga pesë njësh ose nga pesë pesëshe, dhe nga pesë pesëshe, 100 mund të bëhet në dy mënyra.

48. Duel aritmetik
Dikur një zakon i tillë ekzistonte në rrethin matematikor të shkollës sonë. Çdo anëtari të ri të rrethit, kryetari i rrethit i ofroi një detyrë të thjeshtë - një lloj arrë matematikore. Nëse e zgjidhni problemin, menjëherë bëheni anëtar i rrethit, dhe nëse nuk e përballoni arrë, atëherë mund ta vizitoni rrethin si auditor.
Mbaj mend që një herë kryetari ynë i sugjeroi një të porsaardhuri Vitya detyrën e mëposhtme: (...)

49. Njëzet
Nga katër numra tek është e lehtë të bëhet një shumë e barabartë me 10, domethënë:
1 + 1+3 + 5=10,
ose si kjo:
1 + 1 + 1+7 = 10.
Një zgjidhje e tretë është gjithashtu e mundur:
1 + 3 + 3 + 3= 10.
Nuk ka zgjidhje të tjera (ndryshimet në rendin e termave, natyrisht, nuk formojnë zgjidhje të reja).
Problemi i mëposhtëm ka zgjidhje shumë më të ndryshme:
Kompozoni numrin 20 duke shtuar saktësisht tetë numra tek, ndër të cilët lejohet të ketë edhe të njëjtat terma.
Gjeni të gjitha zgjidhjet e ndryshme për këtë problem dhe përcaktoni se sa prej tyre do të jenë shuma të tilla që përmbajnë numrin më të madh të termave të pabarabartë?
Këshilla të vogla. Nëse zgjidhni numra në mënyrë të rastësishme, përsëri do të gjeni disa zgjidhje, por provat e rastësishme nuk do t'ju japin besim se i keni shteruar të gjitha zgjidhjet. Sidoqoftë, nëse futni një rend, një sistem në "metodën e provave", atëherë asnjë nga zgjidhjet e mundshme nuk do t'ju shpëtojë.

50. Sa rrugë?
Nga një letër e nxënësve të shkollës: "Ndërsa studionim në një rreth matematikor, ne vizatuam një plan të gjashtëmbëdhjetë lagjeve të qytetit tonë. Në skemën e bashkangjitur të planit (Fig. 23), të gjitha lagjet përshkruhen në mënyrë konvencionale si katrore identike.
Ne jemi të interesuar për pyetjen e mëposhtme:
Sa rrugë të ndryshme mund të planifikohen nga pika A në pikën C nëse lëvizim përgjatë rrugëve tona
Oriz. 23. Sa rrugë të çojnë nga L në S?
qytete vetëm përpara dhe djathtas, djathtas dhe përpara? Itineraret mund të përkojnë në pjesët e tyre të veçanta (shih linjat me pika në diagramin e planit).
Kemi përshtypjen se kjo nuk është një detyrë e lehtë. A e zgjidhëm saktë nëse numëronim 70 rrugë të ndryshme?”
Cila duhet të jetë përgjigja e kësaj letre?

52. Veprime të ndryshme, një rezultat
Nëse midis dy dysheve, shenja e mbledhjes zëvendësohet me shenjën e shumëzimit, atëherë rezultati nuk do të ndryshojë. Në të vërtetë: 2+ 2 = 2X2. Është e lehtë për të zgjedhur dhe 3 numra me të njëjtën veti, përkatësisht: 1+2 + 3 = = 1X2X3. Janë edhe 4 numra njëshifrorë që kur shtohen ose shumëzohen me njëri-tjetrin, japin të njëjtin rezultat.
Kush do t'i marrë këto numra më shpejt? Gati? Vazhdoni konkurrencën! Gjeni 5, dhe më pas 6, pastaj 7, e kështu me radhë, numra njëshifrorë që kanë të njëjtën veti. Mbani në mend se, duke filluar me një grup prej 5 numrash, përgjigjet mund të jenë të ndryshme.

53. Nëntëdhjetë e nëntë e njëqind
Sa shenja plus (+) duhet të vendosni midis shifrave të 987654321 për të mbledhur deri në 99?
Dy zgjidhje janë të mundshme. Gjetja e të paktën njërit prej tyre nuk është e lehtë, por do të fitoni përvojë që do t'ju ndihmojë të vendosni shpejt shenjat plus midis shtatë numrave 1 2 3 4 5 6 7 në mënyrë që totali të jetë 100. (Vendndodhja e numrave nuk është lejohet të ndryshohet). Një nxënëse nga Kemerova pohon se edhe këtu janë të mundshme dy zgjidhje.

54. Tabelë shahu e çmontueshme
Shahisti i gëzuar e preu shahun e tij prej kartoni në 14 pjesë, siç tregohet në fig. 25. Doli një tabelë shahu e palosshme. Shokët që erdhën tek ai për të luajtur shah, fillimisht u ofroi një enigmë: të bëni një tabelë shahu nga këto 14 pjesë. Pritini të njëjtat figura nga letra me kuadrate dhe shikoni vetë nëse është e vështirë apo e lehtë të bësh një tabelë shahu prej tyre.

60. Shofer i hutuar
Çfarë mendoi shoferi kur shikoi shpejtësinë e makinës së tij (Fig. 29)? Numëruesi tregonte numrin 15951. Shoferi vuri re se numri i kilometrave të përshkuar nga makina shprehej si një numër simetrik, domethënë ai që lexohej në të njëjtën mënyrë si nga e majta në të djathtë dhe nga e djathta në të majtë:
15951.
- Interesante! .. - mërmëriti shoferi. - Tani, ndoshta jo së shpejti, në banak do të shfaqet një numër tjetër, i cili ka të njëjtën veçori.
Megjithatë, saktësisht 2 orë më vonë numëruesi tregoi një numër të ri, i cili gjithashtu lexohej i njëjtë në të dy drejtimet.
Përcaktoni sa shpejt ka vozitur shoferi gjatë këtyre 2 orëve?

61. Për kompleksin hidroelektrik Tsimlyansk
Në përmbushjen e një urdhri urgjent për prodhimin e instrumenteve matëse për kompleksin hidroelektrik Tsimlyansk, mori pjesë një ekip me cilësi të shkëlqyer, i përbërë nga një kryepunëtor - një punëtor i vjetër, me përvojë - dhe 9 punëtorë të rinj që sapo kishin mbaruar një shkollë profesionale.
Gjatë ditës, secili nga punëtorët e rinj montoi 15 pajisje, dhe kryepunëtor - 9 pajisje më shumë se mesatarja e secilit prej 10 anëtarëve të ekipit.
Sa instrumente matëse janë instaluar nga ekipi në një ditë pune?

62. Dorëzimi i bukës në kohë
Duke nisur dërgimin e drithit në shtet, bordi i fermës kolektive vendosi të dërgojë një tren me drithë në qytet pikërisht deri në orën 11 të mëngjesit. Nëse makinat lëvizin me një shpejtësi prej 30 km / orë, atëherë autokolona do të mbërrijë në qytet në orën 10 të mëngjesit, dhe nëse me një shpejtësi prej 20 km / orë, atëherë në 12 pasdite.
Sa larg nga ferma kolektive në qytet dhe me çfarë shpejtësie duhet të vozitni për të mbërritur në kohë?

63. Në trenin periferik
Në një makinë treni elektrik, dy shoqe nxënëse po udhëtonin nga qyteti për në dacha.
- E vërej, - tha një nga shoqet e saj, - se trenat e kthimit të periferisë i takojmë çdo 5 minuta. Sa trena periferikë mendoni se mbërrijnë në qytet në një orë nëse shpejtësitë e trenave në të dy drejtimet janë të njëjta?
- Sigurisht, 12, pasi 60:5 = 12, - tha shoku i dytë.
Por nxënësja që bëri pyetjen nuk u pajtua me vendimin e shoqes së saj dhe i dha asaj mendimet e saj.
Cfare mendon per kete?

65. Makthi i tifozëve të futbollit
“Tifozi”, i mërzitur nga disfata e ekipit “të tij”, flinte i shqetësuar. Ai ëndërronte për një dhomë të madhe katrore pa mobilje. Portieri po stërvitej në dhomë. Ai e goditi topin e futbollit pas murit dhe më pas e kapi atë.
Befas, portieri filloi të tkurret, tkurret dhe më në fund u shndërrua në një top të vogël celuloid nga "pingpong", dhe topi i futbollit doli të ishte një top prej gize. Topi u rrotullua i egër nëpër dyshemenë e lëmuar të dhomës, duke u përpjekur të shtypte topin e vogël celuloid. Topi i gjorë në dëshpërim u vërsul nga njëra anë në tjetrën, e rraskapitur dhe e paaftë për të kërcyer.
A mundet ai, pa lënë dyshemenë, të fshihet ende diku nga persekutimi i topit prej gize?
Oriz. 30. Topi tentoi ta shtypte topin.
Për zgjidhjen e problemave të pjesës së dytë, kërkohet njohja me veprimet në thyesat e thjeshta dhe dhjetore.
Lexuesi që nuk i ka studiuar ende thyesat mund t'i anashkalojë përkohësisht problemat në këtë pjesë dhe të kalojë në kapitujt vijues.

66. Ora
Duke udhëtuar nëpër Atdheun tonë të madh dhe të mrekullueshëm, u gjenda në vende të tilla ku diferenca në temperaturat e ajrit ditën dhe natën është aq e madhe sa që kur kaloja ditë e netë në ajër të hapur, kjo filloi të ndikojë në rrjedhën e orës. Vura re se ndryshimet e temperaturës gjatë ditës bënë që ora të ecë përpara me 1 minutë, dhe gjatë natës ato mbetën me 1 minutë prapa.
Në mëngjesin e 1 majit, ora tregonte ende kohën e duhur. Në cilën datë do të jenë 5 minuta përpara?

67. Shkallët
Shtepia ka 6 kate. Më thuaj, sa herë është shtegu për të ngjitur shkallët në katin e gjashtë më i gjatë se shtegu përgjatë të njëjtave shkallë deri në katin e tretë, nëse hapësirat ndërmjet kateve kanë të njëjtin numër hapash?

68. Puzzle
Cila shenjë duhet vendosur midis numrave 2 dhe 3 të shkruar pranë njëri-tjetrit për të marrë një numër më të madh se dy, por më të vogël se tre?
69. Thyesat interesante
Nëse numëruesi dhe emëruesi i shtohet emëruesi 1/3, thyesa do të dyfishohet.
Gjeni një thyesë që, duke i shtuar emëruesin numëruesit dhe emëruesit, do të rritet: a) tre herë, b) katër herë.
(Njerëzit algjebrikë mund ta përgjithësojnë problemin dhe ta zgjidhin atë me një ekuacion.)

70; Cili numer?
Dy e gjysem. Cili është ky numër?

71. Mënyra e një nxënësi shkolle
Borya bën një punë mjaft të mirë çdo mëngjes. nje rruge e gjate ne shkolle.
Në një distancë nga shtëpia në shkollë është një ndërtesë MTS me një orë elektrike në fasadë, dhe në një distancë nga e gjithë shtegu ka një stacion hekurudhor. Kur kalonte MTS, zakonisht ishte 7:30 e orës, dhe kur arriti në stacion, ora tregonte 25 minuta deri në 8:00.
Kur u largua Borya nga shtëpia dhe në cilën orë erdhi në shkollë?

72. Në stadium
12 flamuj vendosen përgjatë rutines në distanca të barabarta nga njëri-tjetri. Filloni në flamurin e parë. Atleti ishte në flamurin e tetë 8 sekonda pas fillimit të vrapimit. Pas sa sekondash me një shpejtësi konstante do të jetë ai në flamurin e dymbëdhjetë? Mos u fut në telashe!

73. A fituat?
Ostap po kthehej në shtëpi nga Kievi. Ai udhëtoi gjysmën e parë të udhëtimit me tren 15 herë më shpejt se sa nëse do të ecte. Sidoqoftë, gjysmën e dytë të rrugës iu desh ta ngiste me qetë - 2 herë më ngadalë sesa nëse do të ecte.
A fitoi Ostap ndonjë kohë në krahasim me ecjen?

74. Ora me zile
Ora e ziles është 4 minuta prapa. në orë; 3.5 orë më parë është dorëzuar saktësisht. Tani ora që tregon kohën e saktë është saktësisht 12.
Për sa minuta do të tregojë edhe ora me zile 12?

75. Në vend të aksioneve të vogla, të mëdha
Ka një profesion shumë emocionues në fabrikat e makinerive; Quhet shkruesi. Skripuesi shënon në pjesën e punës ato vija përgjatë të cilave duhet të përpunohet kjo pjesë e punës për t'i dhënë formën e nevojshme.
Shkruesi duhet të zgjidhë probleme gjeometrike interesante dhe ndonjëherë të vështira, të kryejë llogaritjet aritmetike etj.
Ishte e nevojshme që disi të shpërndaheshin 7 pllaka identike drejtkëndore në pjesë të barabarta midis 12 pjesëve. Ata ia sollën shkruesit këto 7 regjistrime dhe i kërkuan, nëse ishte e mundur, t'i shënonte regjistrimet në mënyrë që asnjëri prej tyre të mos shtypej në copa shumë të vogla. Kjo do të thotë se zgjidhja më e thjeshtë - prerja e çdo rekord në 12 pjesë të barabarta - nuk ishte e mirë, pasi kjo rezultoi në shumë pjesë të vogla. Si të jesh?
A është e mundur që këto shënime të ndahen në pjesë më të mëdha? Shkallëzuesi mendoi, bëri disa llogaritje aritmetike me thyesa dhe megjithatë gjeti mënyrën më ekonomike për t'i ndarë këto pllaka.
Më pas, ai shtypi lehtësisht 5 pllaka për t'i shpërndarë në pjesë të barabarta midis gjashtë pjesëve, 13 pjata për 12 pjesë, 13 pjata për 36 pjesë, 26 për 21, etj.
Si e bëri atë shpërndarësi?

76. Sapun
Një copë sapuni vendoset në një tavë me peshore dhe një kg tjetër nga e njëjta copë në anën tjetër. Peshorja në ekuilibër.
Sa peshon shiriti?

79. Kotelet e Mishës
Nëse Misha sheh një kotele të braktisur diku, ai me siguri do ta marrë atë dhe do ta sjellë në shtëpi. Ai rriti gjithmonë disa kotele dhe nuk i pëlqente të thoshte saktësisht se sa, në mënyrë që ata të mos qeshin me të.
Ndonjëherë e pyesin:
- Sa kotele keni tani?
"Pak," përgjigjet ai. - Tre të katërtat e numrit të tyre, dhe madje tre të katërtat e një koteleje.
Shokët menduan se ai thjesht po bënte shaka. Ndërkohë Misha u kërkoi atyre një problem që nuk ishte aspak i vështirë për t'u zgjidhur. Provoni!

80. Shpejtësi mesatare
Gjysma e rrugës që kali eci bosh me një shpejtësi prej 12 km / orë. Ajo eci pjesën tjetër të rrugës me një karrocë, duke bërë 4 km / orë.
Sa është shpejtësia mesatare, domethënë me çfarë shpejtësie konstante do të duhej të lëvizte kali për të shfrytëzuar të njëjtën kohë për të gjithë udhëtimin?

81. Pasagjer në gjumë
Kur pasagjeri udhëtoi gjysmën e të gjithë udhëtimit, ai shkoi në shtrat dhe flinte derisa nuk mbeti më - për të kaluar gjysmën e distancës që kishte përshkuar duke fjetur. Sa nga i gjithë udhëtimi udhëtoi duke fjetur?

82. Sa është gjatësia e trenit?
Dy trena shkojnë drejt njëri-tjetrit në shina paralele; njëri me shpejtësi 36 km/h, tjetri me shpejtësi 45 km/h. Një pasagjer i ulur në trenin e dytë vuri re se treni i parë e kishte kaluar për 6 sekonda. Sa është gjatësia e trenit të parë?

83. Çiklist
Kur çiklisti voziti 2/3 e rrugës, goma shpërtheu.
Në pjesën tjetër të udhëtimit, ai kaloi dy herë më shumë kohë në këmbë sesa në një xhiro me biçikletë.
Sa herë ka bërë çiklisti më shpejt se sa ka ecur?

84. Konkurrenca
Turners Volodya A. dhe Kostya B. - studentë të shkollës profesionale të punëtorëve të metaleve, pasi kishin marrë nga mjeshtri të njëjtën veshje për prodhimin e një grupi pjesësh, donin të përfundonin detyrat e tyre në të njëjtën kohë dhe përpara afatit.
Pas ca kohësh, megjithatë, doli që Kostya kishte bërë vetëm gjysmën e asaj që i kishte mbetur Volodya për të bërë, dhe Volodya kishte vetëm gjysmën e asaj që kishte bërë tashmë për të bërë.
Sa herë do t'i duhej Kostya të rriste tani prodhimin e tij ditor në krahasim me Volodya në mënyrë që të përfundonte detyrën e tij në të njëjtën kohë?

Kapitulli i dytë
DISPOZITA KONFIDENCIALE

87. Mendjet e farkëtarit Hecho
Duke udhëtuar në Gjeorgji verën e kaluar, ne nganjëherë argëtoheshim duke shpikur lloj-lloj historish të jashtëzakonshme të frymëzuara nga ndonjë monument antik.
Një herë erdhëm në një të vetmuar kullë e lashtë. E ekzaminoi, u ul për të pushuar. Dhe mes nesh ishte një student i matematikës; ai menjëherë doli me një problem interesant:
“300 vjet më parë, një princ i keq dhe arrogant jetonte këtu. Princi kishte një vajzë nuse, me emër Darijan. Princi ia premtoi Darijanit të tij si grua një fqinji të pasur dhe ajo ra në dashuri me një djalë të thjeshtë, farkëtarin Khecho. Darijan dhe Khecho u përpoqën të arratiseshin në male nga robëria, por shërbëtorët e tyre Knyazevs i kapën.
Princi u tërbua dhe vendosi t'i ekzekutonte të dy të nesërmen, por natën urdhëroi t'i mbyllnin në këtë kullë të gjatë, të zymtë, të braktisur, të papërfunduar dhe bashkë me ta edhe shërbëtoren Darijan, një vajzë adoleshente që i ndihmoi të arratiseshin. .
Ai nuk ishte në humbje në kullën Hecho, shikoi përreth, ngjiti shkallët në pjesën e sipërme të kullës, shikoi nga dritarja - është e pamundur të hidhesh, do të thyesh. Pastaj Heço vuri re pranë dritares një litar të harruar nga ndërtuesit, të hedhur mbi një bllok të ndryshkur, të përforcuar më lart.
dritare. Në skajet e litarit lidheshin shporta të zbrazëta dhe në secilin skaj nga një shportë. Hecho kujtoi se me ndihmën e këtyre koshave, muratorët ngrinin tulla lart dhe ulnin rrënojat poshtë, dhe nëse pesha e ngarkesës në një kosh e kalonte peshën e ngarkesës në tjetrën me rreth 5-6 kg (e përkthyer në masa moderne) , pastaj shporta ra mjaft mirë në tokë; një shportë tjetër në atë kohë po ngjitej në dritare.
Heço përcaktoi me sy se Darijan peshon rreth 50 kg, shërbëtorja jo më shumë se 40 kg. Hecho e dinte peshën e tij - rreth 90 kg. Përveç kësaj, ai gjeti një zinxhir me peshë 30 kg në kullë. Meqenëse një person dhe një zinxhir ose edhe 2 persona mund të futeshin në çdo kosh, të tre ata arritën të zbresin në tokë dhe ata zbritën në atë mënyrë që pesha e koshit të uljes me një person të mos e kalonte kurrë peshën e shporta në rritje me më shumë se 10 kg.
Si dolën nga kulla?

88. Macja dhe minjtë
Macja e Purr sapo ka "ndihmuar" pronarin e tij të ri në zgjidhjen e problemeve. Tani ai fle ëmbël dhe në ëndërr e sheh veten të rrethuar nga trembëdhjetë minj. Dymbëdhjetë minj janë gri dhe një është i bardhë. Dhe macja dëgjon, dikush thotë me një zë të njohur: "Purr, duhet të hani çdo mi të trembëdhjetë, duke i numëruar në një rreth gjatë gjithë kohës në të njëjtin drejtim, në mënyrë që të hahet miu i fundit i bardhë".
Por me cilin mi të filloni për të zgjidhur problemin në mënyrë korrekte?
Ndihmoni Purr.

89. Ndeshje rreth një monedhe
Le të zëvendësojmë macen me një monedhë, dhe minjtë me shkrepse. Kërkohet të hiqen të gjitha ndeshjet, përveç asaj që ka përballë monedhën (Fig. 35), duke respektuar kushtin e mëposhtëm: së pari hiqni një ndeshje dhe më pas, duke lëvizur djathtas në formë rrethi, hiqni çdo ndeshje të trembëdhjetë.
Mendoni se cilën ndeshje duhet të hiqni së pari.

90. Shorti ra mbi siskin dhe robin
Në fund të periudhës së kampit veror, pionierët vendosën të lironin banorët me pendë të fushave dhe korijeve të kapur nga shpendët e rinj. Kishte gjithsej 20 zogj, secili në një kafaz të veçantë. Udhëheqësi sugjeroi si më poshtë:
- Vendosni të gjithë kafazet me zogj në një rresht dhe, duke filluar nga e majta në të djathtë, hapni çdo kafaz të pestë. Pasi të keni arritur në fund të rreshtit, transferoni rezultatin në fillim të rreshtit, por qeliza të hapura mos numëroni më, dhe kështu vazhdoni derisa të hapen të gjitha qelizat, përveç disa nga dy të fundit. Zogjtë në këto kafaze mund të merren me vete në qytet.
Oferta u pranua.
Shumica e fëmijëve nuk u interesuan se cilët dy zogj të merrnin me vete (nëse ishte tashmë e pamundur t'i merrnin të gjithë), por Tanya dhe Alik donin që shorti të binte pa dështuar mbi siskin dhe robin. Kur ndihmuan në rregullimin e qelizave në një rresht, ata kujtuan problemin e maceve dhe minjve (problemi 88). Ata e kuptuan shpejt se ku t'i vendosnin kafazet me siskin dhe robin, në mënyrë që këto kafaze të veçanta të mbeteshin të pahapura, dhe i vendosën ...
Sidoqoftë, mund ta përcaktoni lehtësisht vetë se ku i vendosin Tanya dhe Alik kafazet me siskin dhe robin.

91. Përhapni monedha
Përgatitni 7 ndeshje dhe 6 monedha. Rregulloni ndeshjet në tryezë me një yll, siç tregohet në fig. 36. Duke filluar nga çdo ndeshje, numëroni të tretën me lëvizjen e akrepit të orës dhe vendosni një monedhë pranë kokës së saj. Pastaj numëroni përsëri ndeshjen e tretë në të njëjtin drejtim, duke filluar nga çdo ndeshje kundër së cilës nuk ka ende një monedhë, dhe gjithashtu vendosni një monedhë pranë kokës.
Duke vazhduar në këtë mënyrë, përpiquni të rregulloni të 6 monedhat pranë kokave të gjashtë ndeshjeve. Kur numëroni ndeshjet, nuk duhet të anashkalohen ato pranë të cilave tashmë është vendosur një monedhë;
është e nevojshme të filloni numërimin mbrapsht me një ndeshje që nuk ka një monedhë pranë saj; Mos vendosni dy monedha në një vend.
Çfarë rregulli duhet ndjekur për të zgjidhur me siguri problemin?

92. Kaloni pasagjerin!
Në gjysmë-stacionin e një hekurudhe me një binar, një tren i përbërë nga një lokomotivë me avull dhe pesë vagona ndaloi, duke dërguar një ekip punëtorësh për ndërtimin e një dege të re. Deri më tani, në këtë ndalesë kishte vetëm një qorrsokak të vogël, në të cilin, në rast nevoje, mezi futej një lokomotivë me avull me dy makina.
Oriz. 37. Si të kaloni pasagjerin?
Menjëherë pas trenit me ekipin e ndërtimit, një tren pasagjerësh iu afrua të njëjtit gjysmëstacion.
Si të kaloni pasagjerin?

93. Një problem që lindi nga kapriçoja e tre vajzave
Tema e këtij problemi ka një recetë të respektueshme. Tre vajza, secila me babin e tyre, po ecnin. Të gjashtë iu afruan një lumi të vogël dhe donin të kalonin nga njëra anë në tjetrën. Në dispozicion të tyre ishte vetëm një varkë pa kanotazh, duke ngritur vetëm dy persona. Kalimi, natyrisht, nuk do të ishte i vështirë për t'u kryer nëse vajzat nuk do të kishin deklaruar, qoftë nga një trill, qoftë për shaka, se asnjëra prej tyre nuk do të pranonte të hipte në një varkë ose të ishte në breg me një ose dy baballarë të tjerëve pa babanë e tyre. Vajzat ishin të vogla, por jo shumë të vogla, në mënyrë që secila prej tyre të ngiste varkën më vete.
Kështu, në mënyrë të papritur kushte shtesë kalimet, por për hir të argëtimit, udhëtarët vendosën të përpiqen t'i plotësojnë ato. Si vepruan?

94. Zhvillimi i mëtejshëm i problemit
Kompani qesharake kaloi në mënyrë të sigurtë në bregun e kundërt të lumit dhe u ul për të pushuar. Lind pyetja: a do të ishte e mundur në të njëjtat kushte të organizohej kalimi i katër çifteve? Shumë shpejt u bë e qartë se nëse do të ruheshin kushtet e parashtruara nga vajzat (shih problemin e mëparshëm), kalimi i katër çifteve mund të bëhej vetëm nëse do të kishte një varkë që mund të ngrinte tre persona, dhe në vetëm 5 hapa.
Si?
Duke e zhvilluar edhe më tej temën e problemit, udhëtarët tanë zbuluan se edhe në një varkë që mund të strehojë vetëm dy persona, është e mundur të kalosh katër vajza me baballarët e tyre nga një bankë në tjetrën, nëse ka një ishull në mes të lumi ku mund të bëni një ndalesë të ndërmjetme dhe të zbrisni. Në këtë rast, për kalimin përfundimtar, kërkohen të paktën 12 kalime, me të njëjtin kusht, që do të thotë që asnjë vajzë të mos jetë në një varkë, në një ishull ose në breg me babin e dikujt tjetër pa. babai i saj.
Gjeni edhe këtë zgjidhje.

95. Damë kërcimi
Vendosni 3 damë të bardha në kuadratet 1, 2, 3 (fig. 38), dhe 3 damë të zeza në kuadratet 5, 6, 7. Duke përdorur katrorin e lirë 4, zhvendosni damët e bardha në vendin e atyre të zeza, dhe të zezën ato në vendin e të bardhëve; në të njëjtën kohë, respektoni rregullin e mëposhtëm: damë mund të zhvendosen në një shesh të lirë ngjitur; lejohet gjithashtu të hidhet mbi një damë ngjitur nëse pas saj ka një katror të lirë. Damët e bardha dhe të zeza mund të lëvizin drejt njëri-tjetrit. Lëvizjet në drejtim të kundërt nuk lejohen. Problemi zgjidhet në 15 lëvizje.

96. Bardh e zi
Merrni katër damë të bardhë dhe katër të zinj (ose 4 bakri dhe 4 monedha argjendi) dhe vendosini në tavolinë me radhë, duke alternuar ngjyrat: e bardhë, e zezë, e bardhë, e zezë etj. Në të majtë ose në të djathtë, lini një hapësirë ​​të tillë të lirë që mund të vendosë jo më shumë se 2 damë (monedha). Duke përdorur hapësirën e lirë, mund të përzieni çdo herë vetëm dy damë (monedha) ngjitur, pa ndryshuar pozicionin e tyre relativ.
Mjafton të bëni 4 lëvizje të tilla me palë damë në mënyrë që të gjitha damët e zeza të jenë në një rresht, të ndjekur nga të gjitha damët e bardha.
Kontrolloje!

97. Ndërlikimi i detyrës
Me një rritje të numrit të damëve të marra fillimisht (monedha), detyra bëhet më e ndërlikuar.
Pra, nëse vendosni 5 damë të bardha dhe 5 të zeza me radhë, duke alternuar ngjyrën e tyre, do të duhen 5 lëvizje për të rregulluar damët e zeza me të zeza dhe damët e bardha me të bardha.
Në rastin e gjashtë palë damë, do të kërkohen 6 lëvizje; në rastin e shtatë çifteve - 7 lëvizje, etj. Gjeni zgjidhje për problemin për pesë, gjashtë dhe shtatë palë damë.
Mos harroni se gjatë paraqitjes fillestare të damëve, duhet të lini hapësirë ​​të lirë në të majtë (ose djathtas) për jo më shumë se dy damë dhe të lëvizni 2 damë çdo herë pa ndryshuar pozicionin e tyre relativ.

98. Kartat grumbullohen sipas rendit numerik
Pritini 10 letra 4X0 si nga kartoni dhe numërojini me numrat nga 1 deri në 10. Pasi t'i keni grumbulluar letrat, merrni ato në dorë. Duke filluar me kartën e sipërme, vendosni kartën e parë në tavolinë, të dytën nën fundin e grumbullit, kartën e tretë në tavolinë, të katërtën nën fundin e grumbullit. Bëni këtë gjatë gjithë kohës derisa të vendosni të gjitha letrat në tryezë.
Mund të themi me besim se kartat nuk do të jenë në rend numerik.
Mendoni për sekuencën në të cilën fillimisht duhet t'i vendosni kartat në një grumbull, në mënyrë që, me paraqitjen e specifikuar, ato të renditen në rendin e numrave nga 1 në 10.

99. Dy gjëegjëza për vendndodhjen
Puzzle e parë. Dymbëdhjetë damë (monedha, copa letre, etj.) janë të lehta për t'u rregulluar në tavolinë në formën e një kornize katrore me 4 damë përgjatë secilës anë. Por përpiquni t'i vendosni këto damë në mënyrë që të ketë 5 prej tyre përgjatë secilës anë të katrorit.
Puzzle e dytë. Vendosni 12 damë në tryezë në mënyrë që 3 rreshta të formohen horizontalisht dhe 3 rreshta vertikalisht dhe në mënyrë që secila prej këtyre rreshtave të përmbajë 4 damë.

100. Kuti misterioze
Misha e kaloi verën në Artek dhe solli një kuti të bukur të zbukuruar me 36 predha si dhuratë për motrën e tij më të vogël Irochka. Linjat digjen në kapakun e kutisë në mënyrë që ta ndajnë kapakun në 8 seksione.
Irochka nuk shkon ende në shkollë, por mund të numërojë deri në 10. Ajo që i pëlqeu më shumë në dhuratën e Mishës ishte se kishte saktësisht 10 predha përgjatë secilës anë të kapakut të kutisë (Fig. 40). Duke numëruar predhat përgjatë anës, Irochka merr parasysh të gjitha predhat e vendosura në seksionin ngjitur me këtë anë. Predhat e vendosura në seksionet e qosheve, Irochka numëron në të dy anët.
Një herë nëna ime, duke fshirë kutinë me një leckë, i shtypi aksidentalisht 4 predha. Tani nuk ka më 10 predha përgjatë secilës anë të kapakut. Çfarë bezdi! Ira do të vijë nga kopshti i fëmijëve dhe shumë i mërzitur.
Oriz. 40. Përgjatë secilës anë të kapakut të kutisë - 10 predha.
Oriz. 39. Si t'i vendosim këto damë 5 në secilën anë?
- Problemi nuk është i madh, - siguroi Misha nënën e tij.
Ai qëroi me kujdes një pjesë të predhave nga 32 të tjerat dhe me aq mjeshtëri i ngjiti përsëri në kapakun e kutisë saqë kishte përsëri 10 predha përgjatë secilës anë të saj.
Kanë kaluar disa ditë. Probleme përsëri. Kutia ra, u thyen edhe 6 predha të tjera; mbetën vetëm 26. Por edhe këtë herë, Misha kuptoi se si t'i rregullonte 26 predha të mbetura në kapak, në mënyrë që Irochka të kishte ende 10 predha përgjatë secilës anë. Vërtetë, predhat e mbetura në rastin e fundit nuk mund të shpërndaheshin në kapakun e kutisë në mënyrë simetrike siç ishin rregulluar më parë, por Irochka nuk i kushtoi vëmendje kësaj.
Gjeni të dyja zgjidhjet e Mishinës.

101. "Garnizon" trim
Kalaja e borës mbrohet nga një "garnizon" trim. Djemtë zmbrapsën 5 sulme, por nuk u dorëzuan. Në fillim të lojës, "garnizoni" përbëhej nga 40 persona. "Komandanti" i kalasë së borës vendosi fillimisht forcat sipas skemës së treguar në kutinë katrore në të djathtë (në sheshin qendror - numri i përgjithshëm i "garnizonit").
“Armiku” pa që secila nga 4 anët e kalasë mbrohej nga 11 persona. Sipas kushteve të lojës, gjatë sulmit të parë, të dytë, të tretë dhe të katërt, "garnizoni" "humbi" 4 persona çdo herë. Në sulmin e fundit, të pestë, “armiku” paaftësoi dy persona të tjerë me topat e borës. E megjithatë, megjithë humbjet, pas çdo sulmi, të dyja anët e kalasë së dëborës vazhduan të mbroheshin nga 11 persona.
Si i vendosi "komandanti" i kalasë së borës forcat e garnizonit të tij pas çdo sulmi?

104. Përgatitja për festën
Kuptimi gjeometrik i pesë detyrave të mëparshme ishte rregullimi i objekteve përgjatë katër vijave të drejta (anët e një drejtkëndëshi ose katrori) në mënyrë të tillë që numri i objekteve përgjatë secilës vijë të drejtë të mbetej i njëjtë kur numri i tyre i përgjithshëm ndryshonte.
Ky rregullim u arrit për faktin se të gjitha objektet e vendosura në qoshe konsideroheshin sikur i përkisnin secilës prej anëve të këndit, ashtu si pika e kryqëzimit të dy vijave i përket secilës prej tyre.
Nëse supozojmë se secili prej objekteve të vendosura në anët e figurës zë një pikë të caktuar në anën përkatëse, atëherë të gjitha objektet e vendosura në qoshe duhet të imagjinohen të përqendruara në një pikë (në krye të këndit).
Le të refuzojmë tani mundësinë e një grumbullimi imagjinar të objekteve në një pikë gjeometrike.
Ne do të supozojmë se çdo objekt individual (guralec, llambë, pemë, etj.) nga ata që ndodhen në një plan të caktuar zë një pikë të veçantë të këtij plani dhe nuk do të kufizohemi në kërkesën për t'i vendosur këto objekte vetëm përgjatë katër vija te drejta.
linjat. Nëse këto kushte plotësohen me kërkesën që zgjidhja të jetë simetrike në njëfarë kuptimi, atëherë problemet e vendosjes së objekteve përgjatë vijave të drejta do të fitojnë interes gjeometrik shtesë. Zgjidhja e problemeve të tilla zakonisht çon në ndërtimin e ndonjë figure gjeometrike.
Për shembull, si mund të rregulloni bukur 10 llamba në 5 rreshta me 4 llamba në çdo rresht kur bëni një ndriçim festiv?
Përgjigja për këtë pyetje jepet nga ylli me pesë cepa i paraqitur në Fig. 44.
Praktikoni zgjidhjen e problemeve të ngjashme; përpiquni të arrini simetrinë në vendndodhjen e dëshiruar.
Problemi 1. Si të rregulloni 12 llamba në 6 rreshta nga 4 llamba në çdo rresht? (Ky problem ka dy zgjidhje.)
Detyra 2. Mbillni 13 shkurre dekorative në 12 rreshta me nga 3 shkurre në çdo rresht.
Problemi 3. Në një faqe trekëndore (Fig. 45), kopshtari ka rritur 16 trëndafila të renditur në 12 rreshta të drejtë me 4 trëndafila në çdo rresht. Pastaj përgatiti një shtrat lulesh dhe transplantoi të 16 trëndafilat atje në 15 rreshta me nga 4 trëndafila secili? Si e bëri atë?
Detyra 4. Rregulloni 25 pemë në 12 rreshta nga 5 pemë në çdo rresht.
Oriz. 44. 5 rreshta nga 4.
Oriz. 45. Si të bëni 15 rreshta nga 4.

105. Ulja e lisit ndryshe
Mbjellen bukur 27 lisa sipas skemes se treguar
në fig. 46, në 9 rreshta me nga 6 lisa në çdo rresht, por arbëristi do ta refuzonte padyshim një plan urbanistik të tillë. Lisi ka nevojë për diell vetëm nga lart, dhe anash që të ketë gjelbërim.
Atij i pëlqen, siç thonë ata, të rritet me një pallto leshi, por pa kapele, dhe më pas 3 pemë lisi u hodhën diku anash dhe rrinë vetëm!
Mundohuni t'i mbillni këto 27 lisa në një mënyrë tjetër, gjithashtu në 9 rreshta dhe gjithashtu 6 lisa në çdo rresht, por në mënyrë që të gjitha pemët të renditen në tre grupe dhe jo nga grupi i tyre; kurseni dhe
asnjëri prej tyre nuk u kthye në simetri në rregullim.

109. Dhuratë puzzle
Ekziston një lodër e tillë: një kuti; ju e hapni, dhe brenda ka ende një kuti; ju e hapni, ka përsëri një kuti brenda.
Bëni një lodër të tillë nga katër kuti. Vendosni 4 karamele në kutinë më të vogël të brendshme, 4 karamele në secilën nga dy kutitë e ardhshme dhe 9 karamele në atë më të madhe.
Kështu, 21 karamele do të vendosen në katër kuti (Fig. 53).
Jepini mikut tuaj këtë kuti me karamele në ditëlindjen e tij me kushtin që ai të mos hajë karamele derisa “përvjetori” të rishpërndajë 21 karamele në mënyrë që çdo kuti të përmbajë një numër çift karamelesh dhe një tjetër.
Sigurisht, përpara se të bëni këtë dhuratë, ju vetë duhet ta "kafshoni" këtë enigmë. Mbani në mend se asnjë rregull aritmetik nuk do të ndihmojë këtu, thjesht duhet të jeni të zgjuar dhe të keni pak zgjuarsi.

110. Lëvizja e kalorësit
Ju nuk keni nevojë të dini se si të luani shah për të zgjidhur këtë enigmë argëtuese shahu. Mjafton të dimë se si lëviz pjesa e kalorësit në tabelë. Piunët e zinj vendosen në tabelën e shahut (shih diagramin në Fig. 54). Vendosni kalorësin e bardhë në çdo katror të lirë që dëshironi tabelë shahu në mënyrë të tillë që ky kalorës të mund të hiqte të gjithë pengjet e zeza nga tabela, duke bërë numrin më të vogël të mundshëm të lëvizjeve të kalorësit.

113. Tetë yje
Në një nga qelizat e bardha në Fig. 57 Vura një yll.
Vendosni 7 yje të tjerë në qelizat e bardha në mënyrë që asnjë yll (nga tetë) të mos jetë në të njëjtën horizontale ose vertikale, ose në ndonjë diagonale.
Për të zgjidhur problemin, natyrisht, është e nevojshme me prova, kështu që interesi shtesë i problemit është edhe futja e një sistemi të njohur në procesin e testeve të nevojshme.

114. Dy probleme për vendosjen e shkronjave
Detyra e parë. Në një katror të ndarë në 16 katrorë të barabartë, renditni 4 shkronja në mënyrë që në çdo rresht horizontal, në çdo rresht vertikal dhe në secilën nga dy diagonalet e katrorit të madh, të ketë vetëm një shkronjë. Sa i madh është numri i zgjidhjeve të këtij problemi në rastin kur shkronjat e vendosura janë të njëjta, dhe në rastin kur ato janë të ndryshme?
Detyra e dytë. Në një katror të ndarë në 16 katrorë të barabartë, renditni 4 herë secilën nga katër shkronjat a, b, c dhe d në mënyrë që të mos ketë shkronja identike në çdo rresht horizontal, në çdo rresht vertikal dhe në secilën nga dy diagonalet e të mëdha. katrore. Sa i madh është numri i zgjidhjeve për këtë problem?

115. Paraqitja e katrorëve me ngjyra
Përgatitni 16 katrorë me të njëjtën madhësi, por katër ngjyra të ndryshme, le të themi të bardhë, të zi, të kuq dhe jeshil - 4 katrorë për secilën ngjyrë. Ju keni katër grupe katrorësh me shumë ngjyra. Në çdo katror të grupit të parë shkruani numrin 1, në çdo katror të grupit të dytë - 2, në katrorët e grupit të tretë - 3 dhe në kuadratet e grupit të katërt - 4.
Kërkohet që këto 16 katrorë shumëngjyrësh të rregullohen edhe në formë katrori dhe në atë mënyrë që në çdo rresht horizontal, në çdo rresht vertikal dhe në secilën nga dy diagonalet të ketë katrorë me numrat 1, 2. , 3 dhe 4 në çdo mënyrë arbitrare dhe, për më tepër, pa dështuar ngjyra të ndryshme.
Problemi pranon shumë zgjidhje. Mendoni për një sistem për marrjen e vendndodhjeve të kërkuara.

119. Problem me shaka
Kolya Sinichkin, një nxënës i klasës së 4-të të një shkolle të mesme, po përpiqet me zell të lëvizë kalorësin e shahut nga këndi i poshtëm i majtë i tabelës së shahut (nga fusha a \) në këndin e sipërm të djathtë (në fushën h8) në mënyrë që kalorësi të vizitojë secilën katrori i tabelës një herë. Derisa të ketë sukses. Por a po përpiqet të zgjidhë një problem të pazgjidhshëm?
Kuptojeni këtë teorikisht dhe shpjegoni Kolya Sinichkin se çfarë është çështja këtu.

120. Njëqind e dyzet e pesë dyer (puzzle)
Feudalët mesjetarë ndonjëherë i kthenin bodrumet e kështjellave të tyre në burgje - labirinte me lloj-lloj marifetesh e sekretesh: me mure qelish rrëshqitëse, kalime sekrete, kurthe të ndryshme.
Ju shikoni një kështjellë kaq të vjetër dhe në mënyrë të pavullnetshme ekziston një dëshirë për të ëndërruar.
Imagjinoni që në një nga këto bodrume, plani i të cilit tregohet në figurën 62, hidhet një burrë nga ata që luftuan kundër feudalit. Imagjinoni një sekret të tillë në ndërtimin e këtij bodrumi. Nga 145 dyert, vetëm 9 janë të kyçura (ato tregohen në Fig. 62 me vija të theksuara), dhe të gjitha të tjerat janë të hapura. Duket kaq e lehtë të ecësh deri te dera që të çon jashtë dhe të përpiqesh ta hapësh. Nuk ishte aty. Është e pamundur të hapësh një derë të mbyllur, por ajo do të hapet vetë nëse është saktësisht e nënta me radhë, domethënë nëse 8 dyert e hapura. Në këtë rast, të gjitha dyert e mbyllura të birucës duhet të hapen dhe kalohen; secila prej tyre gjithashtu hapet vetë nëse më parë janë kaluar saktësisht tetë dyer të hapura. Korrigjimi i gabimit dhe kalimi nëpër 2 - 3 dyer shtesë në lagje për të sjellë numrin e dyerve të kaluara në tetë gjithashtu do të dështojë: sapo të kalohet çdo dhomë, të gjitha dyert e hapura më parë në të mbyllen fort dhe mbyllen - ju do të të mos kalojë nëpër dhomë për herë të dytë. Feudalët e rregulluan ashtu me qëllim.
I burgosuri e dinte këtë sekret të birucës dhe në murin e qelisë së tij (të shënuar me një yll në plan) gjeti planin e saktë të birucës të gërvishtur me gozhdë. Për një kohë të gjatë ai ishte në mëdyshje se si të përcaktonte rrugën e duhur, në mënyrë që çdo derë e mbyllur të ishte me të vërtetë e nënta. Më në fund, ai e zgjidhi këtë problem dhe doli i lirë.
Çfarë zgjidhje gjeti i burgosuri?

121. Si u lirua i burgosuri?
Ata që dëshirojnë mund të mendojnë për këtë version të problemit të mëparshëm.
Imagjinoni që kazamati në të cilin lëngon i burgosuri përbëhet nga 49 qeli.
Në shtatë dhomat, të shënuara në planimetrinë e birucës (Fig. 63) me shkronjat A, B, C, D, E, F dhe G, ka nga një derë që mund të hapet vetëm me një çelës, dhe çelësi për dera e dhomës A është në dhomën a, çelësi i derës së qelisë B ndodhet në qelinë b, çelësat e dyerve të qelive C, D, E, F dhe G janë të vendosur në qelitë c, d, e, f dhe g, përkatësisht.
Pjesa tjetër e dyerve hapen me një shtytje të thjeshtë në dorezë, por ka vetëm një dorezë në njërën anë të secilës derë dhe dera, pasi të jetë kaluar, mbyllet automatikisht. Nuk ka dorezë në anën tjetër të derës.
Harta e birucës tregon se në cilën mënyrë mund të kaloni nëpër secilën derë që hapet pa çelës, por në çfarë rendi duhen hapur dyert e kyçura nuk dihet. Nga e njëjta derë lejohet të kalohet çdo herë, natyrisht duke respektuar kushtet në të cilat hapet.
I burgosuri është në qelinë O. Tregoji rrugën që të çon në daljen e lirisë.

KAPITULLI GJASHTË
DOMINO DHE KUBI
A. Domino
197. Sa pikë?
198. Dy hile
199. Fitimi i lojës është i garantuar
200. Kornizë
201. Kornizë brenda kornizës
202. "Windows"
203. Sheshe magjike të kockave domino
204. Sheshi magjik me një vrimë
205. Shumëzim domino
206. Merre me mend kockën e synuar të dominës
B. Kubi
207. Mashtrim aritmetik me zare
208. Supozimi i shumës së pikëve në anët e fshehura
209. Në çfarë renditje janë kubet?

KAPITULLI I SHTATË
VETITË E NËNTË
210. Cili numër shënohet?
211. Pasuri e fshehur
212. Disa mënyra më argëtuese për të gjetur numrin që mungon
213. Me një shifër të rezultatit, përcaktoni tre të mbetura
214. Të hamendësosh ndryshimin
215. Përcaktimi i moshës
216. Cili është sekreti?

KAPITULLI TETË
ME DHE PA ALGJEBËR
217. Ndihma e ndërsjellë
218. Përtaci dhe shejtan
219. Fëmijë i zgjuar
220. Gjuetarët
221. Trenat që vijnë
222. Besimi është të shtypësh një dorëshkrim
223. Histori kërpudhash
224. Kush do të kthehet i pari?
225. Notar dhe kapelë
226. Dy anije
227. Provoni zgjuarsinë tuaj!
228. Mënjanimi i sikletit
229. Sa herë më shumë?
230. Anije me motor dhe hidroavion
231. Çiklistët në arenë
232. Shpejtësia e tornatorit Bykov
233. Udhëtimi i Jack London
234. Gabimet janë të mundshme për shkak të analogjive të pasuksesshme
235. Incident juridik
236. Në dyshe e treshe
237. Kush i hipi kalit?
238. Dy motoçiklistë
239. Në cilin aeroplan është babai i Volodinit?
240. Pritini në copa
241. Dy qirinj
242. Depërtim i mahnitshëm
243. "Koha e duhur"
244. Ora
245. Sa është ora?
246. Në çfarë ore ka filluar dhe në cilën orë ka përfunduar mbledhja?
247. Rreshteri trajnon skautët
248. Sipas dy raporteve
249. Sa stacione të reja janë ndërtuar?
250. Zgjidh katër fjalë
251. A lejohet një peshim i tillë?
252. Elefanti dhe mushkonja
253. Numër pesëshifror
254. Rritesh deri në njëqind vjet pa pleqëri
255. Problemi i Lukës
256. Ecje e veçantë
257. Një veti e thyesave të thjeshta

KAPITULLI I NËNTË
MATEMATIKA PO THYERË PA LLOGARITJE
258. Në një dhomë të errët
259. Mollët
260. Parashikimi i motit (shaka).
261. Dita e pyllit
262. Kush e ka emrin?
263. Gara në gjuajtje
264. Blerje
265. Pasagjerë të një ndarje
266. Finalja e Turneut të Shahut të Ushtrisë Sovjetike
267. E diel
268. Si quhet shoferi?
269. Historia e qymyrit
270. Mbledhësit e barërave
271. Ndarja e fshehur
272. Veprime të koduara (puzzle numerike)
273. Mozaik aritmetik
274. Motoçiklist dhe kalorës
275. Në këmbë dhe me makinë
276. "Nga e kundërta"
277. Zbuloni monedhë të falsifikuar
278. Vizatim logjik
279. Tre të urtë
280. Pesë pyetje për nxënësit e shkollës
281. Arsyetimi në vend të ekuacionit
282. Mendja e shëndoshë
283. Po apo jo?

KAPITULLI I DHJETË
LOJËRAT DHE KOMPJET MATEMATIKE
A. Lojëra
284. Njëmbëdhjetë artikuj
285. Merr ndeshjet e fundit
286. Edhe fiton
287. Jianshizi
288. Si fitohet?
289. Shtro një katror
290. Kush do të jetë i pari që do të thotë "njëqind"?
291. Duke luajtur me katrorë
292. Owa
293. "Matematika" (lojë italiane)
294. Lojë me katrorë magjikë
295. Kryqëzimi i numrave
B. Truket
296. Supozimi i numrit të planifikuar (7 truke)
297. Merre me mend rezultatin e llogaritjeve pa pyetur asgjë
298. Kush mori sa e mori vesh
299. Një, dy, tre përpjekje... dhe e mora me mend mirë
300. Kush e mori çamçakëzin e kush lapsin?
301. Hamendësimi i tre termave dhe shumës së konceptuar
302. Merr me mend disa numra të konceptuar
303. Sa vjeç jeni?
304. Merre me mend moshën
305. Mashtrim gjeometrik (zhdukje misterioze)

KAPITULLI I NJËMBËDHJETË
PJETUESIA E NUMRAVE
306. Numri në varr
307. Dhurata për Vitin e Ri
308. A mund të ketë një numër të tillë?
309. Shporta me vezë (nga një libër i vjetër me probleme franceze)
310. Numër treshifror
311. Katër anije
312. Gabim i arkëtarit
313. Puzzle me numra
314. Shenja e pjesëtueshmërisë me 11
315. Shenja e kombinuar e pjesëtueshmërisë me 7, 11 dhe 13
316. Thjeshtimi i kriterit të pjesëtueshmërisë me 8
317. Kujtim i mahnitshëm
318. Shenja e kombinuar e pjesëtueshmërisë me 3, 7 dhe 19
319. Pjesëtueshmëria e një binomi
320. E vjetra dhe e reja rreth pjesëtueshmërisë me 7
321. Zgjerimi i një shenje në numra të tjerë
322. Testi i përgjithësuar i pjesëtueshmërisë
323. Kurioziteti i pjesëtueshmërisë

KAPITULLI I DYMBËDHTË
SHUMAT KRYQE DHE KATRORE MAGJIKE
A. Shuma të kryqëzuara
324. Grupime interesante
325. "Ylli"
326. "Kristal"
327. Zbukurim vitrine
328. Kush do të ketë sukses i pari?
329. Planetari
330. "Zbukuri"
B. Sheshe magjike
331. Të huaj nga Kina dhe India
332. Si të bëni vetë një katror magjik?
333. Mbi qasjet ndaj metodave të zakonshme
334. Shqyrtimi i zgjuarsisë
335. Lojë "Magjike" e "15"
336. Sheshi magjik jotradicional
337. Çka gjendet në qelizën qendrore?
338. Veprat “Magjike”.
339. “Karku” kuriozitetesh aritmetike
B. Elemente të teorisë së katrorëve magjikë
340. "Me shtim"
341. Sheshe magjike "të rregullta" të rendit të katërt
342. Zgjedhja e numrave për katrorët magjikë të çdo rendi

KAPITULLI I TREMBËDHJETË.
KURIOSE DHE SERIOZ NE NUMRA
343. Dhjetë figura (vëzhgim).
344. Disa vëzhgime më interesante
345. Dy përvoja interesante
346. Karuseli i numrave
347. Disku i shumëzimit të çastit
348. Gjimnastikë mendore
349. Modele numrash
350. Një për të gjithë dhe të gjithë për një
351. Gjetje numerike
352. Vëzhgimi i një serie numrash natyrorë
353. Një ndryshim i bezdisshëm
354. Shuma simetrike (arrë e pathyer)

KAPITULLI I KATËRMBËDHËDHËM
NUMRAT TË LASHTË POR PËRGJITHMË TË RINJ
A. Numrat fillestarë
355. Numrat e thjeshtë dhe të përbërë
356. "Sosha e Eratosthenes"
357. “Sitë” e re për numrat e thjeshtë
358. Pesëdhjetë numrat e parë të thjeshtë
359. Një mënyrë tjetër për të marrë numrat e thjeshtë
360. Sa numra të thjeshtë?
B. Numrat e Fibonaçit
361. Gjyqi publik
362. Seria e Fibonaçit
363. Paradoks
364. Vetitë e numrave në serinë Fibonacci
B. Numrat kaçurrelë
365. Vetitë e numrave kaçurrelë
366. Numrat pitagoras

KAPITULLI I PESËMBËDHËMBËT
INTELIGJENCA GJEOMETRIKE NË PUNË
367. Gjeometria e mbjelljes
368. Racionalizimi në shtrimin e tullave për transport
369. Punëtorët e Gjeometrit

Buxheti i komunës institucion arsimor

Shkolla e mesme Saranpaul

Punë kërkimore matematikë

Pergatitur nga:

Nxënësi i klasës së tretë Frolov Nikolay,

Mbikëqyrësi:

Arteeva Antonina Andreevna,

mësues i shkollës fillore.

Saranpaul, 2017

Faqe

Prezantimi

Vlera e detyrave të zgjuara

Leonardo Fibonacci- një matematikan që kontribuoi në zgjidhjen e problemeve me zgjuarsi

Klasifikimi i detyrave në "zgjuarsi"

Detyrat logjike

Kalimi i detyrave

Detyrat për transfuzionet

Detyrat e përrallës

Detyra për zgjuarsi, për zgjuarsi

Seritë e numrave, enigmat

konkluzioni

Bibliografi

Prezantimi

Aktiviteti krijues është impulsi më i fuqishëm në zhvillimin e një fëmije. Gjeniu i mundshëm jeton në çdo person, por jo gjithmonë një person ndjen praninë e gjeniut. Është e nevojshme të filloni zhvillimin e aftësive krijuese sa më shpejt që të jetë e mundur.

Çdo detyrë matematikore për zgjuarsi, pavarësisht se për cilën moshë është menduar, mbart një ngarkesë të caktuar mendore, e cila më së shpeshti maskohet nga një komplot argëtues, të dhëna të jashtme, gjendja e problemit etj. Në detyra me shkallë të ndryshme kompleksiteti, argëtimi tërheq vëmendjen e fëmijëve, aktivizon mendimin, shkakton një interes të qëndrueshëm në kërkimin e ardhshëm për një zgjidhje. Natyra e materialit përcakton qëllimin e tij: të zhvillojë aftësi të përgjithshme mendore dhe matematikore tek fëmijët, t'i interesojë ata në lëndën e matematikës, të argëtojë, e cila, natyrisht, nuk është kryesore.Zhvillimi i zgjuarsisë, shkathtësisë, iniciativës kryhet në aktivitet mendor aktiv bazuar në interes të drejtpërdrejtë.

Materiali argëtues matematikor jepet nga elementët e lojës që përmban çdo detyrë, ushtrim logjik, argëtim, qoftë shahu apo enigma më elementare. Për shembull, në pyetjen: "Si të palosni një katror në tryezë me dy shkopinj?" - pazakontësia e prodhimit të tij të bën të mendosh në kërkim të një përgjigjeje, të përfshihesh në një lojë imagjinate.

Shumëllojshmëria e materialeve argëtuese - lojëra, probleme, enigma - siguron një bazë për klasifikimin e tyre, megjithëse është mjaft e vështirë të ndash në grupe një material kaq të larmishëm të krijuar nga matematikanët.

Mund të klasifikohet sipas kritereve të ndryshme: sipas përmbajtjes dhe kuptimit, natyrës së operacioneve mendore, si dhe shenjës së përgjithësisë, fokusohet në zhvillimin e aftësive të caktuara. Baza për ndarjen e grupeve të tilla është natyra dhe qëllimi i materialit të një lloji të veçantë.

Qëllimi: Të studiojë metodat për zgjidhjen e problemeve me zgjuarsi.

Detyrat:

1. Të studiojë temën “Zgjidhja e problemeve me zgjuarsi”, llojet e detyrave për zgjuarsinë dhe metodat e zgjidhjes së tyre.

2. Zgjidh disa lloje detyrash për zgjuarsi, harto në mënyrë të pavarur një algoritëm për zgjidhjen e problemeve të tilla.

Vlera e detyrave të zgjuara

Aktiviteti krijues i studentëve në procesin e studimit të matematikës konsiston, para së gjithash, në zgjidhjen e problemeve. Aftësia për të zgjidhur problemet është një nga kriteret për nivelin zhvillimi matematik studentët, karakterizon, para së gjithash, aftësinë e studentëve për të zbatuar njohuritë e tyre teorike në një situatë të caktuar.

Gjatë zgjidhjes së problemeve tradicionale të shkollës, disa njohuri, aftësi dhe aftësi përdoren për t'i zgjidhur ato në një gamë të ngushtë çështjesh të materialit programor. Ku mënyra të njohura zgjidhjet kufizon kërkimin krijues të studentëve.

Detyra e zgjuarsisë, ndryshe nga ajo tradicionale, nuk mund të zgjidhet drejtpërdrejt sipas asnjë ligji. Detyrat për zgjuarsi janë ato për të cilat në lëndën e matematikës nuk ka Rregulla të përgjithshme dhe dispozitat që përcaktojnë programin e saktë për zgjidhjen e tyre. Për rrjedhojë, lind nevoja për të gjetur një zgjidhje, e cila kërkon mendim krijues dhe kontribuon në zhvillimin e saj.

Zgjidhja e problemeve me zgjuarsi krijon tensionin e kërkimit dhe gëzimin e zbulimit - faktorët më të rëndësishëm të zhvillimit, arritjeve krijuese.

Vlera e detyrave për zgjuarsi është shumë e lartë - aftësia e studentëve për të zgjidhur detyra jo standarde tregon:

1. ​ Aftësia për të menduar në mënyrë origjinale, dhe gjithashtu ka një rëndësi të madhe në formimin dhe zhvillimin e aftësive të tyre krijuese;

2. ​ Aftësia për të përgjithësuar materialin matematikor, për të izoluar gjënë kryesore, për t'u shpërqendruar nga e parëndësishme, për të parë të përgjithshmen në të jashtmen e ndryshme;

3. ​ Aftësia për të përdorur simbole numerike dhe simbolike;

4. ​ Aftësia për të "arsyetuar konsistente, logjike", e lidhur me nevojën për prova, justifikime, përfundime;

5. ​ Aftësia për të reduktuar procesin e arsyetimit, për të menduar në struktura të palosura;

6. ​ Aftësia për kthyeshmërinë e procesit të të menduarit (në kalimin nga mendimi i drejtpërdrejtë në të kundërt);

7. ​ Fleksibiliteti i të menduarit, aftësia për të kaluar nga një operacion mendor në tjetrin, liria nga ndikimi kufizues i modeleve dhe shablloneve. Kjo veçori e të menduarit është e rëndësishme në punë krijuese matematikanët;

8. ​ Aftësia për të zhvilluar kujtesën matematikore është një kujtesë për përgjithësim, logjikës;

9. Aftësia për paraqitje hapësinore.

Edhe K.D.Ushinsky shkruante se "... të mësuarit, pa asnjë interes dhe të marrë vetëm me forcën e detyrimit ... vret dëshirën e studentit për të mësuar, pa të cilën ai nuk do të shkojë larg".

Interesi është një motivues i fuqishëm i aktivitetit, nën ndikimin e tij të gjitha proceset mendore vazhdojnë veçanërisht intensivisht, dhe aktiviteti bëhet emocionues dhe produktiv. Thelbi i saj qëndron në dëshirën e studentit për të depërtuar më thellë dhe më thellë në zonën e njohur, në një nxitje të vazhdueshme për t'u përfshirë në temën e interesit të tij.

Nga historia e shfaqjes së detyrave për zgjuarsi

Nuk është për t'u habitur që detyrat për zgjuarsi janë bërë argëtim "për të gjitha kohërat dhe popujt".Libri i parë i matematikës që na ka ardhur, ose më mirë, i tij​ lëngu 5 metra i gjatë, i njohur në botë si “papirusi i Londrës”, ose “papirusi i Ahmes”, përmban 84 të shoqëruar me zgjidhjen e problemit. Sipas tij, mësimi zhvillohej në shkollën e skribëve shtetërorë. Tashmë egjiptianët e lashtë e kuptuan se sa i rëndësishëm ishte roli në procesin e të mësuarit​ vlera luan një element argëtimi, dhe ndër ato që përfshihen në “papi​ Rus Ahmes "ka pasur shumë detyra të tilla. Pra, për mijëvjeçarë, nga një koleksion​ nofka e problemeve zbavitëse të matematikës në një tjetër bredh "problemin e se​ macet e mia" nga ky papirus. Pavarësisht ekzistencës së "Fillimeve" trembëdhjetë vëllimesh të Euklidit (shek. III para Krishtit), i cili u bë një model i ashpërsisë shkencore për më shumë se dy mijëvjeçarë, elementi argëtues në matematikë nuk u zhduk në Greqinë e lashtë dhe përfaqësohet më qartë në "Aritmetika" nga Diofanti i Aleksandrisë (ndoshta shekulli III). Në mesjetë, italianët Leonardo (Fibonacci) nga Piza (shek. XIII) dhe Niccolò Tartaglia (shek. XVI) lanë gjurmët më të thella në zgjidhjen e problemeve me zgjuarsi.

Koleksionet e argëtimit matematikor, të ngjashme me ato moderne, filluan të shfaqen që nga shekulli i 17-të. Midis tyre, “E këndshme dhe detyra argëtuese konsideruar në numra” nga matematikani dhe poeti Gaspard Claude Bache sieur de Meziriac dhe “Argëtimet matematikore dhe fizike” nga një matematikan dhe shkrimtar tjetër francez Zhak Ozanam.

Në shekullin e 19-të Edouard Lucas, një matematikan francez dhe teoricien i numrave, botoi një vepër me katër vëllime mbi matematikën argëtuese, e cila është bërë klasike. Në fund të shekujve XIX dhe XX. Një kontribut i madh në thesarin e matematikës argëtuese dhanë shpikës të shquar të lojërave dhe enigmave - amerikani i talentuar autodidakt Sam Loyd dhe anglezi Henry Ernest Dudeney. Matematikë argëtuese gjysma e dytë e shekullit të 20-të nuk mund të imagjinohet pa një seri të tërë librash të mrekullueshëm të shkruar nga matematikani i famshëm amerikan Martin Gardner. Ishin esetë e tij të larmishme matematikore, duke ndërthurur në mënyrë harmonike thellësinë shkencore dhe aftësinë për të argëtuar, ato që njohën miliona njerëz në mbarë botën (përfshirë mua) me shkencat ekzakte dhe, natyrisht, me matematikën argëtuese.

Në Rusi, koleksione të tilla problemesh si "Aritmetika" nga L. F. Magnitsky, "Në fushën e zgjuarsisë" nga E. I. Ignatiev, "Matematika e gjallë", "Aritmetika argëtuese", "Algjebra argëtuese" dhe "Gjeometria argëtuese" nga Ya. I. Perelman dhe "Zgjuarësia matematikore" nga B. A. Kordemsky

Leonardo Fibonacci - një matematikan që kontribuoi në zgjidhjen e problemeve me zgjuarsi.

Leonardo Fibonacci lindi dhe jetoi në Itali në qytetin e Pizës në shekujt XII-XIII. Babai i tij ishte një tregtar, dhe për këtë arsye Leonardo i ri udhëtoi shumë. Në Lindje, ai u njoh me sistemin numerik arab; ai më pas e analizoi, përshkroi dhe ia prezantoi shoqërisë evropiane në librin e tij të famshëm "Liber Abaci » (« Libri i Llogarisë "). Kujtojmë që në Evropë në atë kohë përdoreshin numra romakë, të cilët ishin jashtëzakonisht të papërshtatshëm për të vepruar si në llogaritjet komplekse matematikore dhe fizike, ashtu edhe kur punohej me dhe kontabilitetit.

Leonardo Fibonacci prezantoi numrat arabë në Evropë , e cila përdoret nga pothuajse e gjithë bota perëndimore deri më sot.Kalimi nga sistemi romak në sistemin arab revolucionarizoi matematikën dhe shkencat e tjera lidhur ngushtë me të.

Është e vështirë të imagjinohet se si do të ishte bota nëse atëherë, në shekullin e 13-të, Fibonacci nuk do të kishte botuar librin e tij dhe nuk do t'u kishte paraqitur evropianëve numra arabë. Është interesante që ne përdorim numrat arabë pa hezitim, duke i marrë si të mirëqenë. Por nëse jo për Leonardo Fibonacci, kush e di se si do të ishte zhvilluar rrjedha e historisë. Në fund të fundit, prezantimitraktat numrat arabë ndryshuan ndjeshëm matematikën mesjetare për të mirë; e avancoi, e bashkë me të edhe shkencat tjera si fizika, mekanika, elektronika etj. Vini re se janë këto shkenca që e çojnë përparimin përpara. Kjo është arsyeja pse, në shumë mënyra, rrjedha e historisë,zhvillimi i qytetërimit dhe shkencës evropiane në përgjithësi është për shkak të Leonard Fibonacci .

Seritë e numrave të Fibonaçit

Merita e dytë e jashtëzakonshme e Leonardo Fibonacci ështëseria e numrave të fibonaçit . Besohet se kjo seri ishte e njohur në Lindje, por ishte Leonardo Fibonacci që botoi këtë seri numrash në librin e lartpërmendur "Liber Abaci" (ai e bëri këtë për të demonstruar riprodhimin e një popullate lepujsh).

Më vonë doli qëkjo sekuencë numrash është e rëndësishme jo vetëm në matematikë, ekonomi, dhe financa, por edhe në botanikë, zoologji, fiziologji, mjekësi, art, si dhe në filozofi, estetikë e shumë më tepër. sepse qytetërimi, kjo seri numrash u bë e njohur nga Leonardo Fibonacci, ai u mbiquajtur, "Seritë Fibonacci» ose "Numrat e Fibonaçit ».

Formula dhe shembulli i një serie numrash Fibonacci

Në sekuencën Fibonacci,çdo element, duke filluar nga i treti, është shuma e dy elementëve të mëparshëm , pavarësisht se seria fillon me numrat 0 dhe 1. Përftohet totali: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025 …

Fibonacci është një figurë legjendare në matematikë, ekonomi dhe financë ; ai shpalli numrat arabë dhe paraqiti serinë magjike të numrave.

Problemi u shpik nga shkencëtari italian Fibonacci, i cili jetoi në shekullin e 13-të.
“Dikush bleu një palë lepuj dhe i vendosi në një strehë të rrethuar nga të gjitha anët. Sa lepuj do të ketë në një vit, nëse supozojmë se çdo muaj një çift lind një çift të ri lepujsh si pasardhës, të cilët gjithashtu fillojnë të japin pasardhës nga muaji i dytë i jetës?

Përgjigje: 377 çifte Në muajin e parë, do të ketë tashmë 2 palë lepuj: 1 çift fillestar që ka lindur dhe 1 çift i lindur. Në muajin e dytë të lepujve do të ketë 3 çifte: 1 fillestar, përsëri lindje, 1 në rritje dhe 1 lindur. Në muajin e tretë - 5 çifte: 2 çifte që lindën, 1 në rritje dhe 2 të lindura. Në muajin e katërt - 8 çifte: 3 çifte që lindën, 2 çifte në rritje, 3 çifte të lindura. Duke vazhduar shqyrtimin sipas muajve, është e mundur të vendoset një lidhje midis numrit të lepujve në muajin aktual dhe në dy të mëparshëm. Nëse shënojmë numrin e çifteve përmes N, dhe përmes m - numrin rendor të muajit, atëherë N m = N m-1 + N m-2 . Duke përdorur këtë shprehje, numri i lepujve llogaritet sipas muajve të vitit: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.55, 89, 144, 233, 377.

Klasifikimi i detyrave për zgjuarsi

Në probleme të tilla, zgjidhësi kërkohet për një numër të kufizuar peshimesh për të lokalizuar një objekt që ndryshon nga objektet e tjera në peshë. Gjithashtu në këtë seksion, merren parasysh detyrat e transfuzionit, në të cilat është e nevojshme të merret një sasi e caktuar lëngu duke përdorur kontejnerë të një vëllimi të caktuar.

Gjetja e tepricës

Kërkohet aftësia për të kombinuar grupe objektesh sipas karakteristikave të caktuara.

Probleme me tekst për llogaritjet

Procese të thjeshta jetësore, aftësia për të zbatuar njohuritë matematikore në jetë.

Detyra për gjetjen e gabimeve logjike, detyra me kapje

Ata zhvillojnë një cilësi të vlefshme dhe shumë të nevojshme të një personi të suksesshëm - të menduarit kritik. Mësoni të analizoni gjendjen. Ndonjëherë përgjigjja është në vetë problemin.

Caktimi i vetive të numrave dhe veprimet me ta

Vetia e numrave çift dhe tek, vendosja e saktë e kllapave, vendosja e shifrave në një numër që plotëson disa kushte. Pjesëtueshmëria e numrave. Veprimet në numra.

Kriptovalutat

Një rebus matematikor në të cilin një shembull është i koduar për të kryer një nga veprimet aritmetike. Në këtë rast, të njëjtët numra kodohen me të njëjtën shkronjë, dhe numra të ndryshëm korrespondojnë me shkronja të ndryshme.

Detyra për logjikën dhe arsyetimin

Detyrat që nuk lidhen drejtpërdrejt me llogaritjet, por zhvillojnë në mënyrë aktive të menduarit.

Rreth kohës

Llogaritni një datë duke përdorur sugjerime, mbani mend se si funksionon një orë ose përcaktoni moshën e dikujt vetëm me sugjerime.

Në një sekuencë numrash

Në këto detyra, është e nevojshme të zbulohet parimi me të cilin vendoset një sekuencë e caktuar dhe të vazhdohet.

Probleme me ndeshjet

Kur manipuloni ndeshjet, është e nevojshme të arrihet rezultati i dëshiruar. Shumica e këtyre detyrave janë ndër ato "jo standarde", që kërkojnë aftësinë "për të vlerësuar situatën nga një këndvështrim i papritur për shumicën ose për të parë në gjendje mundësinë e përdorimit të të dhënave jo të dukshme".

enigmat

Një lojë në të cilën fjalët, frazat ose deklaratat e tëra janë të koduara duke përdorur vizatime të kombinuara me shkronja dhe shenja.

Shahu

Si rregull, çdo fazë e kursit përfshin disa mësime (minimumi 2) në shah. Shifrat bazë. Mësojmë të ndërtojmë strategji efektive, të mendojmë, të marrim vendime të informuara dhe racionale

Detyrat logjike

Kur zgjidhni probleme logjike për korrespondencën një-për-një, është e përshtatshme të shkruani të dhëna në një tabelë, ku vendosim një shenjë "+" ose një shenjë "-" në kryqëzimin e një rreshti dhe një kolone.

1. Pesë shokë klase - Irena, Timur, Camilla, Eldar dhe Zalim u bënë fituese të olimpiadave për nxënës të shkollës në fizikë, matematikë, shkenca kompjuterike, letërsi dhe gjeografi. Dihet se

Fituesi i Olimpiadës në Informatikë i mëson Irenës dhe Timurit se si të punojnë në kompjuter;

Camilla dhe Eldar u interesuan gjithashtu për shkencat kompjuterike;

Timuri kishte gjithmonë frikë nga fizika;

Camilla, Timur dhe fituesi i Olimpiadës së Letërsisë shkojnë në not;

Timur dhe Kamilla uruan fituesin e Olimpiadës së Matematikës;

Irenës i vjen keq që i ka mbetur pak kohë për letërsinë.

Cilën olimpiadë fitoi secili prej këtyre djemve?

1 mënyrë për të zgjidhur, duke përdorur një tabelë

I T C E Z

F M I L G

Përgjigje: Irena është fituese e Olimpiadës në matematikë. Timur - në gjeografi.

Camille - në fizikë Eldar - në letërsi. Zalim - në shkenca kompjuterike

2. Tre vajza - Rosa, Margarita dhe Anyuta prezantuan në konkurs shporta me trëndafila, margarita dhe pansi të rritura prej tyre. Vajza që rriti margaritë tërhoqi vëmendjen e Rozës se asnjë nga emrat e vajzave nuk përputhet me emrat e luleve të tyre të preferuara. Çfarë lule rriti secila prej vajzave?

Zgjidhja: me arsyetim

a) Anya nuk rriti pansi. b) Margarita nuk rriti margaritë c) Trëndafili nuk rriti trëndafila. Rose mund të rritet ose trëndafila ose pansies. Trëndafili nuk rriti trëndafila. Përfundim: Rose ka rritur pansies. Margarita rriti trëndafila. Anya rriti margaritë.

3. Katër miq - Zhenya, Kostya, Dima dhe Vadim - bënë dekorime për festën. Dikush bëri kurora prej letre të artë, dikush bëri topa të kuq, dikush bëri kurora prej letre argjendi dhe dikush bëri krisur prej letre të artë. Kostya dhe Dima punuan me letër të së njëjtës ngjyrë, Zhenya dhe Kostya bënë të njëjtat lodra. Kush i bëri dekorimet?

Përgjigje:

4. Masha, Lida, Zhenya dhe Katya luajnë instrumente të ndryshme - fizarmonikë me butona, piano, kitarë, violinë, por secila në një. Ata flasin edhe gjuhë të huaja - anglisht, frëngjisht, gjermanisht, spanjisht, por secila është e njëjtë. Kush i bie në cilin instrument dhe cilën gjuhë të huaj flet?

Kalimi i detyrave

Në detyrat për kalime, kërkohet të tregohet sekuenca e veprimeve në të cilat kryhet kalimi i kërkuar dhe plotësohen të gjitha kushtet e detyrës.

Ujku, dhia dhe lakra. Në breg të lumit qëndron një fshatar me një varkë, dhe pranë tij janë një ujk, një dhi dhe një lakër. Fshatari duhet të kryqëzohet dhe të transportojë ujkun, dhinë dhe lakrën në anën tjetër. Mirëpo, përveç fshatarit, në barkë vendoset ose vetëm ujku, ose vetëm dhia, ose vetëm lakra. Nuk mund të lini një ujk me një dhi ose një dhi me lakër pa mbikëqyrje - një ujk mund të hajë një dhi dhe një dhi mund të hajë lakër. Si duhet të sillet një fshatar?

Përgjigje: Një fshatar mund të ndjekë një nga dy algoritmet:

Përgjigje: Le të jenë M1 dhe M2 djem, C1 dhe C2 të jenë ushtarë. Algoritmi i kryqëzimit mund të jetë si më poshtë:

1. M1 dhe M2 –>
2. M1<–
3. C1 ->
4. M2<–
5. M1 dhe M2 –>
6. M1<–
7. C2 ->
8. M2<–

Detyrat për transfuzionet

Këtodetyrat janë praktike. Zgjidhja e problemeve të tilla zhvillon të menduarit logjik, ju bën të mendoni, t'i qaseni zgjidhjes së një problemi nga këndvështrime të ndryshme, të zgjidhni mënyrën më të thjeshtë, më të lehtë nga një shumëllojshmëri zgjidhjesh. Për ta bërë këtë, duke përdorur enët e kontejnerëve të njohur, kërkohet të matni një sasi të caktuar lëngu. Metoda më e thjeshtë për zgjidhjen e problemeve të kësaj klase është numërimi i opsioneve të mundshme.Dhe kërkohet të tregohet sekuenca e veprimeve në të cilat kryhet transfuzioni i kërkuar dhe plotësohen të gjitha kushtet.

1. Si, duke pasur dy kova me kapacitet 3 dhe 5 litra, si të nxjerrim 7 litra ujë nga rubineti?

Përgjigje:

2. Njerka e keqe e dërgoi njerkën për ujë te burimi dhe tha: “Kovat tona përmbajnë 5 dhe 9 litra ujë. Merrni ato dhe sillni saktësisht 3 litra ujë.” Si duhet të veprojë njerka për të përmbushur këtë detyrë?

Përgjigje:

Në problemet e transfuzionit të diskutuara më sipër, u dhanë dy enë dhe uji u derdh nga një rubinet uji.Ka detyra më të vështira, jo dy anije, por tre ose më shumë. Uji NUK merret nga rubineti. Në probleme të tilla, uji është tashmë në disa anije, për shembull, në atë më të madhin. Dhe ne do të derdhim ujë në enë të vogla. Uji nuk mund të derdhet. Nëse është e nevojshme të zbrazni enë, atëherë uji i tepërt derdhet në një enë tjetër. Zakonisht një enë më e madhe është një depo nga e cila merret uji dhe derdhet uji i tepërt në të.

Detyrat e përrallës

Zgjidhja e problemeve të tilla e gjallëron matematikën. Dëshira për të ndihmuar heroin në telashe stimulon aktivitetin mendor, në të ardhmen shkakton dëshirën për të lexuar veprën. Simpatia në detyra të tilla është në anën e heroit pozitiv. E mira triumfon, e keqja dënohet, cilësitë negative përqeshen.

në njërën prej tyre do të takosh vdekjen tënde,

asgjë nuk do të ndodhë me ju,

rruga e tretë do t'ju çojë në Vasilisa e Bukur.

Mbani në mend se të tre mbishkrimet janë bërë nga Koshchei i Pavdekshëm. Ivani e hodhi topin në tokë. Ai u rrotullua, Ivan e ndoqi. Sa kohë, sa shkurt eci Ivani, por arriti te një gur i madh. Në gur shkruhet:

"Nëse shkoni në të majtë, do të takoni vdekjen tuaj",

"Nëse shkoni në të djathtë, do të shpëtoni Vasilisa të Bukurën nga robëria", "Nëse shkoni drejt, diçka do t'ju ndodhë."

Zgjidhja: Hyrja e tretë është e pasaktë - asgjë nuk do t'i ndodhë Ivanit gjatë rrugës. E pasaktë është edhe hyrja e dytë, d.m.th. në rrugën në të djathtë, Ivan nuk do ta shpëtojë Vasilisa të Bukurën. Pra, në rrugën e mbetur (rruga në të majtë), Ivan do të shpëtojë Vasilisa të Bukurën.

2. Gjashtë grabitës grabitën mbretin Dadon. Plaçka doli të ishte e pasur - më pak se njëqind shufra identike. Grabitësit filluan ta ndajnë prenë në mënyrë të barabartë, por një shufër doli të ishte e tepërt. Grabitësit janë përleshur dhe njëri prej tyre ka mbetur i vrarë në një përleshje. Pjesa tjetër filloi të ndante përsëri arin dhe përsëri një copë doli të ishte e tepërt. Dhe përsëri, njëri nga grabitësit vdiq në një përleshje. Dhe kështu me radhë: çdo herë një shufër ishte e tepërt dhe njëri nga grabitësit vdiste në një përleshje. Në fund mbeti një grabitës, i cili vdiq nga plagët e marra. Sa shufra kishte?

Zgjidhja:nëse fillimisht do të kishte një shirit më pak, atëherë ndarja do të kishte ndodhur. Një numër që është më i vogël se 100 dhe i pjesëtueshëm me 2, 3, 4, 5, 6 - 60. Pra, numri i përgjithshëm i shufrave është 60+1=61.

Detyra për zgjuarsi

1. Dy nëna, dy vajza dhe një gjyshe me një mbesë. Sa shume?

2. Apartamenti kishte 3 dhoma. Bërë dy nga një. Sa dhoma ka në apartament?

3. Si të rregulloni 8 karrige në katër muret e dhomës në mënyrë që çdo mur të ketë 3 karrige?

Detyra për zgjuarsi

Sa orë janë dita dhe nata bashkë?

Kishte një mollë në tryezë. Ajo ishte e ndarë në 4 pjesë. Sa mollë janë në tryezë?

Detyrat për ndryshimin e figurës së ndërtuar

2. Bëni të njëjtën figurë nga shkopinj si në foto. Hiqni 2 shkopinj për të bërë 6 katrorë.

Seritë e numrave

1,2,3,4,5,6…

1,4,16…

45,39,33,27…

0,3,8,15,24…

112,56,28,14…

enigmat

Zëvendësoni yjet me numra në mënyrë që barazitë të plotësohen në të gjitha rreshtat dhe çdo numër në rreshtin e fundit të jetë i barabartë me shumën e numrave në kolonën nën të cilën ndodhet. Zgjidhja:

11x10=110

6* : *7 = *

68:17 = 4

** +** =20

10+10= 20

* 2 -* = *

12- 4 = 8

*** +**=1**

101 +41+142

Probleme me përmbajtjen gjeometrike (figura unike)

Ekziston një shëmbëlltyrë e njohur: dikush i dha një milion rubla kujtdo që vizaton figurën tjetër. Por kur vizatohej, u vendos një kusht. Kërkohej që kjo figurë të vizatohej me një goditje të vazhdueshme, pra pa hequr lapsin ose lapsin nga letra dhe pa dyfishuar asnjë rresht, me fjalë të tjera, ishte e pamundur të kalonte një vijë të vizatuar një herë për herë të dytë.

konkluzioni

Në matematikë, ekzistojnë lloje të ndryshme detyrash për zgjuarsi:

Për peshimin dhe transfuzionin,

Detyrat logjike,

detyrat e transfuzionit,

kryqëzimi i detyrave,

Probleme me përmbajtjen gjeometrike,

Rebuse, seri numrash.

Metodat për zgjidhjen e problemeve të tilla qëndrojnë në analizën logjike të kushteve, zgjedhjen e ligjeve të duhura të matematikës dhe zgjidhjen optimale.

Nuk ka asnjë mënyrë universale për të zgjidhur të gjitha llojet e problemeve me zgjuarsi, çdo problem zgjidhet në mënyrën e vet.

Detyrat për zgjuarsi ndihmojnë për të mësuar të mendojnë në mënyrë të pavarur, të zhvillojnë logjikën, interesin për matematikën. Me ndihmën e tyre, ju mund të ndjeni lidhjen e matematikës me problemet e jetës reale.

Zgjidhen detyrat me të cilat përballet autori i veprës, përkatësisht:

Të studiojë temën "Zgjidhja e problemeve me zgjuarsi", llojet e detyrave për zgjuarsinë dhe metodat e zgjidhjes së tyre;

Zgjidh disa lloje detyrash për zgjuarsi, hartoni në mënyrë të pavarur një algoritëm për zgjidhjen e problemeve të tilla.

Bibliografi

1. T.D. Gavrilova: "Matematikë argëtuese". Shtëpia botuese "Uchitel" 2008

2. P.sh. Kozllova: "Përralla dhe sugjerime". Shtëpia Botuese Miros 1995

3. B. A. Kordemsky: "Zgjuarja matematikore" Shtëpia botuese "Shtëpia botuese shtetërore e letërsisë teknike dhe teorike" 1958

4. Ya. I. Perelman: "Algjebra argëtuese". Shtëpia botuese "Shekulli" 1994

5.R.M.Smullyan "Si quhet ky libër?". Shtëpia botuese "Dom Meshcheryakova"

2007

7. http://matematika.gyn

8.www.smekalka.pp